银行挤兑时间和模型的平均场博弈

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英文标题：
《Mean field games of timing and models for bank runs》
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作者：
Rene Carmona, Francois Delarue, and Daniel Lacker
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  The goal of the paper is to introduce a set of problems which we call mean field games of timing. We motivate the formulation by a dynamic model of bank run in a continuous-time setting. We briefly review the economic and game theoretic contributions at the root of our effort, and we develop a mathematical theory for continuous-time stochastic games where the strategic decisions of the players are merely choices of times at which they leave the game, and the interaction between the strategic players is of a mean field nature.
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中文摘要：
本文的目的是介绍一组我们称之为计时平均场对策的问题。我们通过一个连续时间背景下的银行挤兑动态模型来激励该公式。我们简要回顾了经济和博弈论在我们努力的根源上的贡献，并发展了连续时间随机博弈的数学理论，其中参与者的战略决策仅仅是他们离开博弈的时间的选择，并且战略参与者之间的相互作用是平均场性质的。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> Mean_field_games_of_timing_and_models_for_bank_runs.pdf (405.83 KB)

2022-5-25 09:27:03 上传

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关键词：银行挤兑 Contribution Quantitative Differential Mathematical

银行RUNSREN'E CARMONA、FRANC'OIS DELARUE和DANIEL LACKERAbstract的时间和模型的平均场游戏。本文的目的是介绍一组我们称之为时间平均场博弈的问题。我们通过一个连续时间环境下的银行挤兑动态模型来激励公式。我们简要回顾了经济和博弈论在我们工作根源上的贡献，并发展了连续时间随机博弈的数学理论，其中参与者的战略决策仅仅是他们离开游戏时间的选择，战略参与者之间的互动是平均场性质的。1、导言我们的出发点是一套早期的银行系统博弈论模型，这套模型是由托布莱恩（Ryant）[9]和戴蒙德（Diamond）以及戴维希（Dybvig）[14]提出的，他们的基本论文提出了储户博弈的银行模型，其中至少存在一个好均衡和一个坏均衡。随后进行了许多概括，例如包括非流动性影响和更随机的因素，并将模型的范围扩展到银行挤兑和存款保险之外，以包括金融中介，如在Rochet和Vives的工作中[33]。在那里，作者使用Morris和Shin在[31]中提出的全球博弈方法以及投资者之间的不同意见来证明纳什均衡的存在性和唯一性。他们将分析银行挤兑的经济和金融基础，并提出最后贷款人角色的基准。Greenand Lin的工作【17】仍处于静态框架中，在与我们的弱平衡概念非常接近的背景下讨论了随机平衡（也称为聚合不确定性），这将在本文后面定义。关于银行挤兑的早期博弈论论文的作者很快意识到，他们的模型抑制了现在所知的互补性。

通常，如果更多的储户提前提取资金，那么银行倒闭的可能性就会增加，这进一步刺激了提前提取。从数学上讲，对一个储户的最终支付与其他储户的行为之间存在着越来越大的差异。这个性质称为互补性，具有这个性质的博弈称为超模博弈。这些博弈的平衡理论更多地取决于它们的秩序结构，而不是它们的分析属性（例如，见[30，19]），使用的是托普基斯（Topkis）[36，35]首先开发的机制，后来由米尔格罗姆（Milgrom）和罗伯茨（Roberts）[30]以及维维斯（Vives）[37]重新定义的机制。许多银行挤兑模型的一个共同特征是存款人之间相互作用的对称性或平均场性质，本文的目标是利用这一特性发展一个通用的数学理论。虽然上述大多数工作本质上是静态的，但2014年7月，利维尔·戈斯纳（Livier Gossner）在PIMS系统风险研讨会上的一次演讲激发了我们对银行挤兑动态模型的兴趣，戈斯纳试图将罗切特·维维斯（Rochet and Vives）的早期工作扩展到连续时间。

在该模型中，随机性的常见来源来自银行的投资价值和可能需要进行再销售以面对基金赎回，而投资者的私人信号的差异导致了特殊的噪声源，排除了不必要的均衡。另一个值得一提的连续时间银行挤兑模型可以在2 REN’E CARMONA、FRANC,OIS DELARUE、A和DANIEL LACKERHe以及Xiong的论文【18】中找到，其中随机性的来源来自债务期限的交错性质。考虑到这些银行挤兑模型，我们提出了一类一般的连续时间模型，我们称之为时间平均场博弈，其中连续的代理策略选择停止时间，即退出博弈的时间。对于两种不同的制度，我们给出了两组不同的结果。在上述互补性质下，我们证明了“平均场均衡”（MFE）的存在，并说明了如何利用它们来构造相应的n人对策的近似均衡，这是针对非常一般的部分信息结构完成的。另一方面，在没有互补性的情况下，我们得到了“弱MFE”在强连续性假设下的存在性结果，并且仅在完全信息环境下。然后，通过证明两个收敛模，将弱MFE与n人对策联系起来。一方面，n人博弈中的均衡本身（如果存在的话）收敛到弱MFEA n→ ∞. 另一方面，弱MFE可以用来构造n人对策的近似均衡。我们的模型与Lasryand Lions（29）以及Caines、Huang和Malham\'e（20）独立推出的平均场游戏密切相关。然而，在我们的模型中，代理通过选择停止时间而不是控制进程来进行操作。

我们坚持纯概率方法，尽管原则上PDE公式可能涉及变分不等式或自由边界问题。平均场博弈论中的概率方法起源于【10】，尽管我们的技术与【12、28、26】中的弱收敛和紧参数关系更密切。虽然大多数（连续时间）平均场博弈模型涉及代理选择控制过程，而不是停止时间，但值得注意的一个例外是纽茨最近的工作[32]，该工作研究了一个易于处理但通用的模型，可以计算或最不明确地描述均衡。第3.4节展示了该模型如何融入我们的框架。我们基于单调性的存在性结果（定理3.5）总结了一些最近关于具有互补性和连续代理的对策的论文。例如，Adlakhaha和Johari【3】采用了一些类似的技术来研究具有战略互补性的离散时间平均场博弈。Balbus等人[5]在静态博弈方面的工作也非常相关，甚至包括对离散时间“最优停止博弈”的讨论，尽管他们的模型中没有随机因素。有关非原子超模对策的相关工作，请参见[38]及其在[6]中的更正。对具有互补性的游戏感兴趣的读者也可以参考Acemoglu和Jensen[2，1]最近关于聚合游戏的工作，这是一种接近平均场的游戏。我们证明的技术关键需要一些新的结果，这些结果本身就很有趣，关于过滤的逐步扩大[23，8]，特别是与“兼容性”或“浸入式”属性（也称为H假设）相关的结果，最近，鉴于其在信贷风险模型中的许多应用，人们对其重新产生了兴趣。

我们的工作需要一个新的特征，即当一个过滤通过随机时间逐步扩大时，它满足了这个兼容性特性：粗略地说，如果过滤F是由维纳过程W生成的，如果过滤F以最小的方式逐渐扩大到G，以呈现给定的随机时间τa停止时间，当且仅当存在（W，τn）在分布上收敛到（W，τ）的F停止时间序列τnsuch时，F与G“兼容”。这种相容性的概念自然产生，因为弱收敛性参数在我们的分析中起着核心作用；本质上，论文[12，28]中也出现了同样的情况，涉及的是更传统的平均场游戏模型。本文的组织结构如下。下一节介绍了银行挤兑的连续时间模型，该模型基于【33】中的一些观点和戈斯纳之前提到的演讲。这是从即将出版的书【11】中借来的，我们提出了一个简化的动机版本。我们使用连续时间随机过程来模拟银行资产的价值和储户的私人信号。在一组关于存款人的成本和回报的假设中，捕捉到了时间平均场博弈经济模型和银行挤兑模型中的大量事实，并阐述了时间博弈的数学问题。第3节描述了概括前一节设置的一般主题框架。在这里，我们提供了所有必要的定义和符号，并陈述了论文的第一个主要结果，即不完全性假设。下面的第4节进一步专门介绍了由维纳过程驱动的具有连续目标函数的模型的设置。

这些章节中没有给出任何证据，仅举例说明抽象框架如何概括第2节中提出的银行挤兑，以及结果如何回答其中提出的问题。本文的其余部分，从第5节开始，致力于证明第3节和第4节中宣布的结果。特别是第6节，制定了关于过滤放大和随机停止时间的必要材料，其中一些可能是独立关注的。两个附录提供了我们在印刷文献中无法找到的技术结果证明。致谢：我们要感谢Geo Offrey Zhu在我们调查timin g.2平均场比赛的早期启发了大家的讨论。银行挤兑模型银行资产负债表的性质、储户挤兑引发的证券销售的影响以及银行可能的倒闭是分析银行挤兑及其后果的两个重要因素，尤其是从监管角度来看。然而，为了进行数学分析，我们将简化他们的角色，以便关注投资者的最佳时机决策。假设银行资产的市场价值根据某个（重新估值的）随机过程B=（Bt）t随时间演变≥0，其中银行资产的初始值B>0为所有人所知，尤其是储户所知。我们假设资产产生的股息流量严格高于无风险利率。这些股息不进行再投资，因此不包括在Bt中。存款人的存款利率相同。只要Bt>0，该银行将继续经营业务。设n为储户数量。我们最终会让n→ ∞ 推导平均场博弈模型。因此，我们将每个投资者的初始存款标准化为Di=1/n，因此初始存款总额为1。

我们引入了一个（确定性）函数L（通常至少满足L（0）=0且0<L′<1），我们认为值L（Bt）是t时银行资产的清算值。因为L是确定性的，所以大家都知道。每当投资者试图提取存款时，银行都会在利率>r的信用额度上向流动投资者付款。在时间t，信贷额度限额等于银行资产的流动价值L（Bt）。该模型是这样建立的，它允许银行向投资者支付资金，而不必对其投资进行修补。据说，如果所有储户都能得到全额付款，即使发生挤兑，该银行也是安全的。据说，如果该行资产的当前市场价值足以支付储户，但清算价值却不足以支付储户，那么该行就存在流动性问题。最后，如果其资产的当前市场价值低于其对储户的义务，则称其破产。我们将确认以下内容，在有关银行资产价值的完整信息的情况下，一旦银行出现流动性问题，储户就会开始运行，可能早在银行破产之前。为了具体起见，让T成为一个有限的时间范围，但请注意，下面的故事对于T=∞ 甚至当T是一个适当的随机时间时。在时间T，银行的资产到期并产生一笔可用于支付信贷额度和储户的付款。现金流在时间T停止。当时，如果英国电信≥ 1、银行是安全的，每个人都得到全额支付；o如果BT<1，银行无法全额支付所有人，则存在外部违约。4 REN’E CARMONA、FRANC,OIS DELARUE和DANIEL Lacker这不是银行违约的唯一方式。实际上，如果流动储户的提款总额超过SL（Bt），则在时间t<t时有可能发生内生违约。

让我们用τi表示储户i尝试提取其存款的时间，并用un这些时间的经验分布表示，即un=nnXi=1Δτi，其中我们使用符号δxf表示将质量1置于单态{x}上的概率度量。请注意，un[0，t）表示在timet之前尝试提款的储户比例，内生违约时间由τendo=inf{t给出∈ （0，T）；un[0，t）>L（Bt）}，按照将空集的最大值定义为t的惯例。为了简单起见，我们假设一旦储户逃跑，他就无法回到游戏中，换句话说，他的决定是不可逆转的。储户战略行为。我们现在解释n储户的战略行为。Wedenote通过Fi=（Fit）t≥0玩家i可用的信息∈ {1，···，n}。这是一个过滤，表示玩家i在时间t可用的信息。在我们首先讨论的特定情况下，这些过滤都是相同的。它们是基于对信号（Bt）0的完美（尽管不是主动）观察≤T≤T、 我们把这种情况称为公众监督。在更现实的模型形式中，过滤函数由过程Xi生成，n=（Xi，nt）t≥0和过程（un[0，t]）t≥0，其中，Xi，nti是储户i的私有信号，即在时间t时可以获得的b的观测值。我们假设它的形式为Xi，nt=Bt+σ，其中σ>0，对于i∈ {1，···，n}，p过程（Wit）t≥0是独立的同分布（i.i.d.）随机过程（也独立于B），表示特殊噪声，模糊了对银行资产准确价值Bt的观察。当fi由Xi生成时，nand（un[0，t]）t≥0，我们讨论对银行资产价值的私人监控。

然而，对于更现实的模型形式，我们将要求过滤仅由Xi生成，nand不包括过程提供的信息（un[0，t]）≥0，其中包含其他储户的私人信号。该模型在数学上应该更具挑战性，因为个人储户必须以分布式方式选择其取款策略，只使用其私人信号中包含的信息，而忽略过程（un[0，t]）≥0.在任何情况下，过滤Fi将在每个特定应用中进行规定，并将发挥以下作用：代理i的时间τichosen要求为Fi停止时间，以便允许。考虑到所有其他玩家j 6=我已经选择了他们的时间τjt来尝试撤回他们的存款，那么支付Pi（τ-i、 τi）给储户i，因为储户i试图在τi时在银行运行（回顾Di=1/n）asPi（τ-i、 τi）=Di∧L（Bτi）-un[0，τi）+= Di公司∧L（Bτi）-nnXk=1[0，τi）（τk）+在这里和整篇文章中，我们用un[0，t）来代替更精确的un（[0，t））。银行挤兑时间和模型的平均场博弈5，然后存款人i的问题是选择τi，即解决最大化问题（τ-i） =supτiEe（r-r） τiPi（τ-i、 τi）这是一个最优停止问题。这个最大化问题的任何解都代表了参与者i对选项τ的最佳响应-其他储户的账户。求出一组停止时间τifor i=1，同时让所有参与者满意的是，找到一个搜索最佳答案的固定点。这是通过为该游戏建立纳什均衡来实现的。通过完善的观察，解决公众监督的问题。