银行挤兑时间和模型的平均场博弈

停时格的完备性当然是已知的，但我们在附录（定理B.2）中证明了它，因为我们无法找到精确的参考。现在定义J:M×S→ R byJ（u，τ）=E[F（B，W，u，τ）]。注意，J（u，τ）在τ中是平凡的超模，在这个意义上，J（u，τ∨ τ′）+J（u，τ）∧ τ′）≥ J（u，τ）+J（u，τ′），每u∈ M和每对τ，τ′∈ S、 事实上，这是平等的，这源于对同一性f（B，W，u，τ）的两个方面都抱有期望∨ τ′）+F（B，W，u，τ∧ τ′）=F（B，W，u，τ）+F（B，W，u，τ′）。此外，假设（B.2）确保J相对于u的差异越来越大，即J（u′，τ′）- J（u′，τ）≥ J（u，τ′）- J（u，τ），无论何时τ，τ′∈ S和u，u′∈ M满足τ≤ τ′和u≤ u′。根据Topkis的单调性定理[30]，我们推导出集值映射Φ（u）：=arg maxτ∈SJ（u，τ）以强s et顺序增加，这意味着每当u，u′∈ M满足u≤ u′，且无论何时τ∈ Φ（u）和τ′∈ Φ（u′），我们有τ∨ τ′型∈ Φ（u′）和τ∧ τ′型∈ Φ（u）。利用可积性假设（3.3）所证明的假定的上半连续性和Fatou引理，可以很容易地检验J在τ中是阶上半连续的。根据【30，定理1】，这意味着对于每个u，Φ（u）是一个非空的完全晶格。特别是，它是一个最大值，我们称之为φ*（u）和我们用φ表示的最小值*（u）。注意φ*: M→ S在u′的意义上增加≥ uim层φ*（u′）≥ φ*（u）。此外，很容易检查函数ψ：S→ 由ψ（τ）=定律（τ| W）定义的M是单调的。Thu sφ*o ψ是从S到自身的单调映射，由于S是一个完整的格，我们根据塔斯基的不动点定理得出结论，存在τ，使得τ=φ*（ψ（τ））。

可以很容易地验证，从定义4.1的意义上讲，任何此类固定点τ都是强MFE。现在，在附加假设C下，我们证明了第3.5项陈述中的最后一项主张。定义τ≡ sup T，通过感应τn=φ*o ψ（τn-1） 对于n≥ 1、很明显，τ≤ τ。现在假设τn≤ τn-1，则φ的单调性*o 早先证明的ψ意味着τn+1=φ*o ψ（τn）≤ φ*o ψ（τn-1） =τn.如果我们定义τ*作为非递增序列（τn）n的a.s.极限≥停车时间的1，然后τ*∈ 因为晶格S是完整的（见定理2）。我们声称τ*是MFE。注意ψ（τn）→ ψ（τ）*) 几乎可以肯定，因为18勒内·卡莫纳（REN’E CARMONA）、弗朗克·奥斯·德拉鲁（FRANC,OIS DELARUE）和丹尼尔·拉克尔（DANIEL LACKERτn）→ τ*. （m，t）中F=F（ω，ω，m，t）的联合连续性假设（C.1）以及一致可积性假设（C.2）通过控制收敛确保j（ψ（τ*), τ*) = 画→∞J（ψ（τn），τn+1）。此外，对于任何σ∈ S、 τn+1∈ Φ（ψ（τn））表示j（ψ（τn），τn+1）≥ J（ψ（τn），σ）。将两侧的极限传递到getJ（ψ（τ*), τ*) ≥ J（ψ（τ）*), σ） 。这表明τ*∈ Φ（ψ（τ*)), 尤其是τ*是MFE。同样，定义θ≡ 0，通过感应θn=φ*o ψ（θn-1） 对于n≥ 1、很明显，θ≥ θ、 如上所述，我们通过归纳证明θn≥ θn-1、接下来，我们定义θ*作为非递增序列（θn）n的a.s.极限≥1个停止时间。如前所述得出θ*是MFE。最后，很容易检查，如果τ是任何MFE，则它是s et值映射Φ的固定点o ψ、 在这个意义上，τ∈ Φ（ψ（τ））。简单地说，θ=0≤ τ≤ sup T=τ。应用φ*o ψ和φ*o ψ分别重复到左侧和右侧，我们得出结论θn≤ τ≤ τ为eachn，因此θ*≤ τ≤ τ*. 备注5.1。上述证明表明，在完全连续性假设下，无需使用Tarski定理证明存在性，因为MFEsτ*和θ*感应式构造。6.

兼容性和非随机停止时间的密度本节阐述了定义4.2的属性（3）中引入的兼容性的关键概念，并在这样做的过程中，为证明第4节公布的结果迈出了一些第一步。在这里，我们的目标是讨论有关这些兼容性属性的一些重要事实，即如何用非随机停止时间近似兼容（随机）停止时间。本质上，这与过滤放大有关。说Fτt+与FB，W，ut有条件独立于FB，W，ut+与说FB，W，u，τt+与FB，W，ut有条件独立于FB，W，ut+。说这适用于每一个t∈ [0，T），它反过来说，相当于说每一个FB，W，u+-鞅仍然是一个FB，W，u，τ+-鞅。许多不同的名称和特征都与过滤放大的这一性质有关，如H假设[8]、Immer-sion[23]、非常好的扩展[22]和自然扩展[24]，而我们借用了Kurtz[25]中的兼容术语，与其他关于平均场比赛的作品保持一致【28、12、11】。在继续之前，我们回顾了一个关于弱收敛的有用结果，它将被反复使用：引理6.1（定理2.9和定理2.16）。假设E和E′是波兰空间。假设Pn，P∈ P（E×E′）满足Pn→ P，并假设每个pn都有相同的边缘。也就是说，Pn（·×E′）不依赖于n。那么，f或E非常有界的可测函数φ：E×E′→ R使得φ（x，·）在E′上连续u-几乎每x∈ E、 wehaveZφdPn→ZφdP。对我们来说，最重要的是在潜在概率测度的弱极限下的兼容性行为。关键结果如下所示，这大致表明，兼容流程是适应流程的弱限制。银行挤兑时间和模型的平均场博弈19命题6.2。

设X和Y是波兰空间，X同胚于局部凸空间的凸子集。设Y=（Y，…，YN）和X=（X，…，XN）分别是在公共概率空间上定义的Y和X值随机过程。对于R∈ {X，Y}，设FRn=σ{R，…，Rn}表示由R生成的过滤。假设i非原子定律。最后，假设X与Y兼容，即fxn条件依赖于FYNgiven FYn，对于每个n=1，N、 然后存在连续函数hjk:Yk→ X代表k∈ {1，…，N}和j≥ 1，使得（Y，（hj（Y），hj（Y，Y），hjN（Y，…，YN）））→ （Y，X）in law in space YN×XN，as j→ ∞. 特别是，存在Y适应的X-v值过程Xj=（Xj，…，XjN），这样（Y，Xj）=> （Y，X）。证据见附录A。6.1。随机停止时间。本节致力于研究随机停止时间的一些紧性性质，类似于Baxter和Chacon的结果，但扩展了他们的结果[7]。缩写Ohm输入=C×P（C×[0，T]）。对于本节，fix a测量ρ∈ P(Ohm输入），表示（B，W，u）的联合定律，并在ρ下假设（B，W）是关于过滤FB，W，u的维纳过程（因此也是关于右侧过滤FB，W，u+）。请注意Ohm = Ohm输入×[0，T]。我们接下来定义三组概率度量Ohm, 与（随机）停止时间的各种概念相对应：oR+（ρ）是联合定律P的集合∈ P(Ohm) 具有Ohm输入边际ρ，使得Fτt+在条件上独立于给定的FB，W，ut+，对于每个t∈ [0，T）。

也就是说，R+（ρ）是满足定义4.2的相容性（3）的P集合R（ρ）是联合定律P的集合∈ P(Ohm) 具有Ohm输入边际ρ，使Fτ在条件上独立于给定FB，W，ut的（B，W，u），对于每个t∈ [0，T）。oR（ρ）是P的集合∈ P(Ohm) 具有Ohm输入边际ρ，其中τ是相对于FB，W，u的P-完成的停止时间，此外，对于某些连续函数，τ的形式为τ=τ（B，W，u）：Ohm输入→ [0，T]。集合R+（ρ）和R（ρ）表示随机停止时间的不同概念，尽管我们很快就会看到R+（ρ）=R（ρ）。另一方面，R（ρ）应被视为一组（联合定律）B，W，u-停止时间，具有有用的附加特性，即τ可以写成（B，W，u）的连续函数。备注6.3。假设ρ（db，dw，dm）=W（db）W（dw）δbm（b）（dm），对于一些可测函数bm:C→ P（C×[0，T]）。假设bm在b 7→ bm（b）（C）是可测量的FBt∈ FW，τt，对于t∈ [0，T]。然后，在ρ，FB，W，ut=FB，Wta下。s、 对于每一个t，很容易证明R+（ρ）（相应的R（ρ））正是联合定律P的集合∈ P(Ohm)具有Ohm输入边际ρ，使得（B，W）是关于全过滤FB，W，u，τ+（分别为FB，W，u，τ）的维纳过程。实际上，因为FB，WT可以分为两个独立的部分，FB，WT=σ{（Bs-Bt，Ws-Wt）：s∈ [t，t]}∨ FB，Wt，它认为Fτ与FB，Wt条件独立，给定FB，Wtif且仅当FB，W，τ与σ{（Bs）无关- Bt，Ws- Wt）：s∈ [t，t]}。定理6.4。对于如上所述的ρ，R+（ρ）是凸紧的，等于R（ρ）的闭包。此外，R+（ρ）=R（ρ）。在转向证明之前，我们陈述了一个非常有用的推论：20 REN’E CARMONA，FRANC,OIS DELARUE，A和DANIEL Lackerrolution 6.5。

假设F有界且可联合测量，且t 7→ F（b，w，m，t）是连续的，对于每个m和w-几乎每个（b，w）。对于如上所述的ρ，我们有supp∈R+（ρ）EP[F（B，W，uτ，τ）]=支持∈R（ρ）EP[F（B，W，uτ，τ）]。证据根据定理6.4，R（ρ）在R+（ρ）中是稠密的。必须表明第7页→ EP[F（B，W，u，τ）]是R+（ρ）上的连续s。但这是根据F的假设和引理6.1得出的。在定理6.4的证明之前，我们先用一个预备引理，它允许我们在停止时间和某种形式的c\'adl\'ag过程之间连续映射。在本节的其余部分中，设D=D（[0，T]；R+）表示从[0，T]到R+=[0]的c\'adl\'ag函数集（即，左极限右连续函数），∞). 赋予D通常的目的论。和往常一样，对于h∈ D、 w rite h（t-) = lims公司↑t的th（s）∈ （0，T）和h（0-) = h（0）。引理6.6。定义Φ：D→ [0，T]乘以Φ（h）=inf{T≥ 0:h（t）≥ 1/2}∧ T、 设S表示非减量h的集合∈ D，其中h（t-) ≤ 1/2≤ h（t）表示t=Φ（h）。那么Φ在S证明的每个点都是连续的。让hn→ h在D中，其中h∈ S、 设sn=Φ（hn），注意（sn）∞n=1有界。Let（snk）∞k=1指定任何收敛子序列，并让s∈ [0，T]表示其极限。首先假设0<s<T，因此在不丧失一般性的情况下，我们可以为每k取0<snk<T。因为hnk→ h和snk→ s、 因此（hnk（snk））∞k=1有界，其极限点包含在{h（s-), h（s）}（见[15，提案3.6.5]）。因为hnk（snk）≥ everyk和h的1/2≥ h（s）-) （作为h∈ S） ，我们得出结论：h（S）≥ 1/2。另一方面，对于>0，（hnk（snk-）∞k=1有界，其极限点包含在{h（（s-）-), h（s）-）}。因为Hnk（snk- ）<每k和h（s）1/2- ）-) ≤ h（s）- ），我们得出以下结论：h（s- ）≤ 1/2。发送↓ 0产生h（s- ) ≤ 1/2≤ h（s），因此s=Φ（h）。接下来，假设s=T。

然后再次（hnk（snk- ）∞k=1有界，其极限点包含在{h（（T- ）-), h（T- ）}。因为hnk（snk- ）<k和h各1/2（（T- ）-) ≤h（T- 我们得出结论，h（（T- ）-) ≤ 1/2。这意味着h（T-) ≤ 1/2，足以表示Φ（h）=T；实际上，h（T）≥ 1/2，在这种情况下Φ（h）=T，因为h∈ S、 orh（T）<1/2，在这种情况下，所有T的h（T）<1/2∈ [0，T]和Φ（h）=T。最后，假设s=0。当hnk（snk）→ h（0）=h（0-), 这说明h（0）≥ 1/2。因此Φ（h）=0。在我们开始证明定理6.4之前，请注意FB，W，ut=σ{B·∧t、 W·∧t、 ut}，其中mt表示度量值m的图像∈ P（C×[0，T]），通过映射C×[0，T] （w，s）7→（w）·∧t、 s∧ t） 。这清楚地表明，FB，W，u是由连续的FB，W，ut-可测量函数生成的。类似地，Fτt=σ{τ∧ t} 由连续Fτt-可测函数生成。定理6.4的证明。我们将证明分为四种：R（ρ）是紧的：因为OhmR（ρ）的任何元素的输入边际都是ρ，因为[0，T]是紧的，所以R（ρ）是紧的。为了表示R（ρ）是闭合的，让Pn→ 引脚P(Ohm输入），带Pn∈ R（ρ）。设[0，T]上的ft，gT和gtbe有界连续函数，Ohm输入，以及Ohm分别输入，并假设它们相对于Fτt，FB，w，ut和FB，w，ut是可测量的。找到一个有界的FB，w，ut-可测量函数φtonOhm输入φt（B，W，u）=EP[gT（B，W，u）| FB，W，ut]。因为Pno （B、W、u）-1=Po （B、W、u）-1=ρ对于任何y n，我们有时间和银行运行模型的平均场游戏21φt（B，W，u）=EPn[gT（B，W，u）| FB，W，ut]。

因此，根据引理6.1，EP[ft（τ）gT（B，W，u）gT（B，W，u）]=limn→∞EPn[英尺（τ）gT（B，W，u）gT（B，W，u）]=limn→∞EPn[英尺（τ）φt（B，W，u）gt（B，W，u）]=EP[英尺（τ）φt（B，W，u）gt（B，W，u）]。如证明前所述，连续有界函数生成FB，W，u和Fτt，对于所有有界函数ft，gT，gT（B，W，u）gT（B，W，u）]=EP[ft（τ）EP[gT（B，W，u）| FB，W，ut]gT（B，W，u）]，其测量能力要求与上述相同，但无连续性要求。这表明，对于每一个t∈ [0，T），so P∈ R（ρ）。R（ρ）=R+（ρ）：首先我们显示R（ρ） R+（ρ）。修复t∈ [0，T）和P∈ R（ρ）。论坛∈ FB、W、u和C∈ Fτt，我们有P（C | FB，W，ut）P（A | FB，W，ut）=P（C∩ A | FB，W，ut）。通过后向鞅收敛，在t yieldsP（C | FB，W，ut+）P（A | FB，W，ut+）=P（C∩ A | FB，W，ut+。这表明R（ρ） R+（ρ），从R（ρ）闭合之前开始，现在是k。因此，必须表明每个点P∈ R+（ρ）是R（ρ）中序列的极限点。要查看此信息，请设置pn：=Po （B，W，u，（τ+1/n）∧ T）-1，弱收敛于P。因为Fτt+与FB，W，ut有条件地独立于FB，W，ut+在P下，我们有，对于0<s≤ t<t，Pn（τ≤ s | FB，W，uT）=P（τ≤ s- 1/n | FB，W，uT）=P（τ≤ s- 1/n | FB，W，u（t-1/n）+=Pn（τ≤ s | FB，W，u（t-1/n）+）。因为FB，W，u（t-1/n）+ FB，W，ut，我们得出结论，Pn（τ≤ s | FB，W，uT）=Pn（τ≤ s | FB，W，ut）。（6.1）由于Pn（τ=0）=0，我们也对s=0取（6.1）。S ince（6.1）适用于所有S∈ [0，t]，我们得出结论：Fτt+=σ{{τ≤ s} ：s≤ t} 与FB，W，ut无关。对于t∈ （0，T）。得出以下结论：∈ R（ρ），我们仍然必须检查Fτ与FB，W，ut在Pn下的FB，W，u无关。

但这是显而易见的，因为Fτ=σ{τ∧ 0}是平凡的σ-字段。R（ρ）是凸的：要检查R（ρ）是凸的，请注意R（ρ）是P的集合∈ P(Ohm输入×[0，T]），第一个边际ρ，其中p[φT（τ）ψ（B，W，u）ψT（B，W，u）]=每TφT（τ）| FB，W，utiψ（B，W，u）ψT（B，W，u）i∈ [0，T]和边界函数φT，ψ和ψT的每三个三元组，分别可相对于FτT，FB，W，uT和FB，W，uT测量。分解任何P∈ R（ρ）通过写入P（dω，ds）=ρ（dω）P（ω，ds），并注意上述方程等效于zOhm输入×[0，T]P（dω，du）ψ（ω）ψT（ω）φT（u）=ZOhm输入ρ（dω）ψ（ω）ψt（ω）Z[0，t]P（ω，du）φt（u）。这显然是P上的一个凸约束，我们得出结论，R（ρ）是凸的。22 REN’E CARMONA，FRANC,OIS DELARUE，A and DANIEL LACKERR+（ρ）包含在R（ρ）的闭包中：设P∈ R+（ρ），并考虑过程ht=1{τ≤t} 定义日期Ohm输入×[0，T]。注意，H是Fτ+-适应的，因为{Ht=1}={τ≤ t}∈Fτt+。作为第一个近似值，请注意c\'adl\'ag过程Hnt=1{（τ+1/n）∧T≤t} 在Skorohod拓扑中，是Fτ自适应的，几乎肯定收敛到H。因为Φ（Hn）=（τ+1/n）∧ T→τ=Φ（H）a.s。通过引理6.6，我们可以假设H实际上是Fτ适应的。接下来，通过常规近似，我们可能会发现一系列c\'adl\'ag Fτ适应过程，几乎肯定与H和形式Hnt=KXk=1hnk[tnk，tnk+1）（t），其中0<tn<…<tnk=t<tnk+1，其中hnk≥ 0是Fτtnk可测量的随机变量。替换hnkby maxj=1，。。。，Khnj没有改变Φ（Hn）的值，通过引理6.6，它几乎肯定会收敛到Φ（H）=τ，因为H∈ S a.S.作为最终近似，letbHnt=Hnt+t/n；最后一个近似值解释了HN可能不属于s，而H属于s的事实。请注意| Hnt-bHnt |→ t中0均匀，solimnΦ（bHn）=limnΦ（Hn）=τ。

根据这些近似值，我们可以假设H本身在增加，形式为HT=KXk=1hk[tk，tk+1）（t）+tn，其中0<t<∈ [0，T]bySt=（B·∧t、 W·∧t、 ut），其中mt是在验证开始前定义的。那么S=（St）t∈[0，T]是一个连续的fb，W，u自适应过程，其值为Ohm输入实际上，FB，W，ut=σ（St）=σ（S·∧t） 对于每t，永远y k=1，K、 注意，（h，…，hk）在条件上独立于给定的S·∧tk。根据命题6.2，存在一系列连续函数gnk：Ohm输入→ R+这样的gnk（S）是σ（Stk）=FB，W，utk，可测量每个k和（S，gn（S），gnK（S））=> （S，h，…，hK），英寸Ohm输入×RK+，单位为n→ ∞.现在定义Hnt=Hnt（S）=KXk=1gnk（S）1[tk，tk+1）（t）+tn。接下来是（S，Hn）=> （S，H），因为H几乎肯定属于引理6的集S。6我们有（S，Φ（Hn））=> （S，Φ（H））=（S，τ）。现在让▄gnk（s）=maxj=1，。。。，kgnj（s），deneehnt=eHnt（s）=KXk=1gnk（s）1[tk，tk+1）（t）。那么Φ（eHn）=Φ（Hn）几乎可以肯定，所以我们有（s，Φ（eHn））=> （S，τ）。现在，因为每个gnkis都是连续的，我们可以将EH（·）视为Ohm输入引理6.6中定义的子集S。因此，引理6.6确保Φ（eHn（·））是一个连续映射fr omOhm输入到[0，T]。因此，（S，Φ（eHn））定律属于R（ρ）。银行挤兑时间和模型的平均场博弈23命题4.3的证明。有了推论6.5，我们现在准备验证命题4。3、很容易检查P是否满足弱MFE定义4.2的属性（2）。Asτ*isa FB，W-停止时间，Fτt+包含在P-完成FB，W，ut中，相容性属性（3）很容易保持（注意，相容性对完成过滤不敏感）。