银行挤兑时间和模型的平均场博弈

因此，EPf（B，u）gt（τ）ht（W）h+（W）= 画→∞EQnf（B，bmn（B））gt（τ）ht（W）h+（W）= 画→∞EQn[f（B，bmn（B））gt（τ）ht（W）]EQn[h+（W）]=EP[f（B，u）gt（τ）ht（W）]EP[h+（W）]。这显示FB，uT∨ FW，τ独立于σ{Ws- 重量：s∈ [t，t]}，在P下。（4）的证明：根据推论6.5，可以显示[F（B，W，uτ，τ）]≥ EP[F（B，W，uτ，σ）]对于每FB，W，u-停车时间σ，形式为σ=σ（B，W，u），其中σ：C×P（C×[0，T]）→ [0，T]是连续的。确定这样的停车时间。利用^σ的连续性，并利用引理6.1处理F in（B，W）的不连续性，我们得到了ep[F（B，W，uτ，τ）]- EP[F（B，W，uτ，σ）]=limn→∞方程[F（B，W，mn（B），τ）]- 方程[F（B，W，mn（B），σ（B，W，bmn（B））]≥ 0，其中我们最终使用了定理8.1中MN的最优性属性。I ndeed，the lawQ′n：=Qno （B，W，σ（B，W，bmn（B）））-通过注意到（正如我们在（1）的证明中所看到的）bmnis在某种意义上适应了b 7，很容易被视为属于A→ bmn（b）（C）是C的FBt可测量值∈ FW，τt。银行挤兑时间和模型的平均场博弈31附录A.命题6.2的证明为了证明定理6.2，我们需要从作者以前的工作中得到一个初步结果。回想一下=> 表示法律上的趋同。提案A.1（第[12]号提案C.1）。设X和Y为公共概率空间上定义的随机变量，取一些波兰空间E和F中的值。如果X定律是非原子的，如果F是局部凸空间的凸子集（同胚），则存在一系列连续函数φn:E→ F使得（X，φn（X））=> （X，Y）。命题6.2将命题A.1扩展到了动态设置，这是兼容性的作用最为明确的地方。这包含在第三作者的博士论文【27，命题2.1.6】中，其本身隐含在【12，引理3.11】的证明中，尽管为了完整性，我们将其包括在内。命题6.2的证明。

p屋顶是命题A.1的归纳应用。首先，根据Yi定律是非原子的假设，命题A.1允许我们找到连续函数hj:Y的序列→ X使得（Y，hj（Y））=> （Y，X）为j→ ∞. 让我们来说明事实上（Z，hj（Y））收敛到（Z，X）。Letφ：Z→ R有界且可测，设ψ：X→ R应连续。注意，假设Z和Xare在给定Y时是条件独立的。现在使用引理6.1获取limj→∞E[φ（Z）ψ（hj（Y））]=limj→∞EhE[φ（Z）| Y]ψ（hj（Y））i=E[φ（Z）| Y]）ψ（X）]=E[φ（Z）| Y]E[ψ（X）| Y]]=E[φ（Z）ψ（X）| Y]=E[φ（Z）ψ（X）]。Z×X形式的函数类 （z，x）7→ φ（z）ψ（x），其中φ和ψ如上所示，是决定收敛性的（参见，例如，[15，命题3.4.6（b）]），我们得出结论（z，hj（Y））=>（Z，X）。我们归纳如下。缩写Yn：=（Z，…，Zn）对于每个n=1，N、 注：YN=Y，以及类似的定义Xn。假设我们得到1≤ n<n和连续函数gjk:Yk→ X代表k∈ {1，…，n}和j≥ 1，令人满意的Limj→∞（Z，gj（Y），gjn（Yn））=（Z，Xn），（A.1），其中收敛通常是分布的。我们将证明存在连续functionshik:Yk→ 每k X∈ {1，…，n+1}和i≥ 1这样的thatlimi→∞（Z，hi（Y），hin+1（Yn+1））=（Z，X，…，Xn+1）。（A.2）根据命题A.1，存在一系列连续函数^gj：（Yn+1×Xn）→ X suchthatlimj→∞（Yn+1，Xn，^gj（Yn+1，Xn））=（Yn+1，Xn，Xn+1）=（Yn+1，Xn+1）。（A.3）我们现在要求Limj→∞（Z，Xn，^gj（Yn+1，Xn））=（Z，Xn，Xn+1）。（A.4）32 REN'E CARMONA、FRANC,OIS DELARUE、A和DANIEL Lackerreed，设φ、ψn和ψ分别是Z、Xn和X上有界可测函数，ψ与ψ连续。

使用Z和（Yn+1，Xn+1）的条件独立性，给定Yn+1along和（A.3）以及引理6.1，以获取limj→∞E[φ（Z）ψn（Xn）ψ（^gj（Yn+1，Xn））]=limj→∞EEφ（Z）| Yn+1ψn（Xn）ψ（^gj（Yn+1，Xn））= EEφ（Z）| Yn+1ψn（Xn）ψ（Xn+1）= EEφ（Z）| Yn+1Eψn（Xn）ψ（Xn+1）| Yn+1= EEφ（Z）ψn（Xn）ψ（Xn+1）| Yn+1= E[φ（Z）ψn（Xn）ψ（Xn+1）]。同样，形式为Z×Xn×X的函数类 （z，x，x′）7→ φ（z）ψn（x）ψ（x′），其中φ、ψn和ψ如上所示，是决定收敛的，并且（A.4）如下所示。通过^gj的连续性，极限（A.1）意味着，对于每个j，limk→∞（Z，gk（Y），gkn（Yn），^gj（Yn+1，gk（Y），gkn（Yn））=（Z，X，…，Xn，^gj（Yn+1，X，…，Xn））=（Z，Xn，^gj（Yn+1，Xn））。（A.5）结合两个极限（A.4）和（A.5），我们可以找到一个子序列jk，使得→∞（Z，gjk（Y），gjkn（Yn），^gk（Yn+1，gjk（Y），gjkn（Yn））=（Z，Xn，Xn+1）。定义香港l:= hjk公司l对于l = 1.n和hkn+1（Yn+1）：=^gk（Yn+1，gjk（Y），gjkn（Yn））完成诱导。附录B.停止时间格在本节中，我们证明第5节中定义的停止时间集S是一个完整的格。回想一下，S定义为概率空间上定义的（a.S.equal的等价类）随机时间τ的集合Ohmcom×Ohmind，是过滤Fsig的停止时间。回想一下，随机变量族Φ的本质上确界被定义为最小（相对于a.s.阶）随机变量超过a.s.T的每个元素：定理B.1（定理a.33 of【16】）。设Φ是一组实值随机变量。然后存在一个唯一的（直到a.s.相等）随机变量Z=ess supΦ，这样Z≥ 每X X X个a.s∈ Φ，还有Z≤ Y a.s.对于满足Y的每个随机变量Y≥ 每个X的X a.s.f∈ Φ。此外，还存在一个可数集Φ Φ，使得Z=supX∈ΦX防腐蚀。

存在性和唯一性在[16，定理A.33]中有说明，其中的证明构造了所需的Φ。基本定义类似地定义，或简单地通过ess infΦ=- ess sup公司(-Φ）。定理B.2。集S是一个完全格。证据固定一组Φ S、 定义Z=ess supΦ，并找到一个可数集{τn:n≥ 1} Φ，使得Z=supnτna。s、 定义σn=maxk=1，。。。，nτk，所以σn是一个随σn增加的稳定时间序列↑ Z a.s.停止时间序列的增长极限再次是停止时间[13，定理IV.55（b）]，因此Z∈ S、 一个类似的论点表明Φ的本质上限也是一个停止时间，唯一的区别是这一步骤至关重要地使用了filtrationfsig的正确连续性；事实上，虽然停止时间序列的上确界始终是停止时间，但银行挤兑时间和模型的平均场博弈33只有在基础过滤正确连续的情况下，停止时间序列的上确界才保证是停止时间【13，定理IV.55（c）】。参考文献1。D、 Acemoglu和M.K.Jensen，《大型动态经济体中的稳健比较静态》，技术报告，国家经济研究局，2012年2月，综合比较静态、博弈和经济行为81（2013），27–49.3。S、 Adlakha和R.Johari，《具有战略互补性的动态博弈中的平均场均衡》，运筹学61（2013），第4971–989.4号。C、 Aliprantis和K.Border，《有限维分析：搭便车指南》，第3版，Springer，2007.5。五十、 Balbus、P.Dziewulski、K.Reffett和L.P.Wozny，《具有策略完成性的大型博弈的定性理论》，见SSRN 2208125（2014）。6。五十、 Balbus，K.Reffett和L.Wozny，非原子超模对策中的单调平衡。评论，《游戏与经济行为》94（2015），182–187.7。J、 R.Baxter和R.V。

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