二次增长倒向随机微分方程的求解

需要进一步研究真解的正则性及其近似。6.2利普希茨BSDEs6。2.1关于Lipschitz-BSDE的收敛估计在提醒中，让我们测试Lipschitz-BSDE的拟议方案的完整性。前几节中给出的模式同样适用于标准Lipschitz-BSDES，并得出相同的收敛估计。在提供数值结果之前，让我们首先解释允许的设置以及相关结果中的相关变化。设置中的主要变化可总结如下：oξ（x）和f（t，x，0，0）在x中最多有多项式增长。oξ∈ C（Rd）和f对于空间变量（x，y，z）是一次性连续可微的，其中|yf ||zf |有界且|xf |在x中最多有多项式增长。o假设3.1（ii）被删除，（i）修改为max1≤我≤n个|mxbui+1（x）|≤ K′（1+| x）|(-m）∨0），十、∈ Rd，m=0，···，3，带某个正整数 ≥ 1、现在允许扰动（δi）具有多项式增长相应修改假设5.1，以检查上述多项式增长条件。注意，用于qg BSDE的终端函数的有界性是保证导数过程(xΘi，t，x）由结果适定[13]。因为衍生过程xΘi，t，xnow遵循Lips chitz BS DE，有界条件是不必要的，命题3.1中的类似分析会产生| Zit |≤ C（1+| Xt）|). 定理3.1同样的分析仍然成立。请注意，|γit |现在以Lipschitz常数为界，因此命题3.2不再需要。

自Xt起，x∈ 任何p的SPP≥ 1、hi的缩放（如Ch3p/2等）附录B和附录C中的短期扩展保持不变。从这些观察结果可以看出，定理4.1中的估计仍然成立。自(|mxbui |）i，mhave多项式增长，第5节中出现的常数C（特别是引理5.1和定义5.1中的常数C）通常依赖于x的多项式。这导致了C→ C（1+| x|). 然而，可以通过在每个地方适当调整第5节中使用的“ρ”来吸收影响。（5.3）也是如此，因为短期扩展的初始值依赖性最多是多项式。命题5.1变得不必要（仅适用于qg BSDE），因此网格大小M的比例因子δ>0不限于δ<1/ρ。命题5.2与修正ρ的证明方式完全相同，通过简单应用切比雪夫不等式，证明了推论5.1的主要结果。它也被用来证明解的唯一性。6.2.2数值示例：不同利率的期权定价使用相同的比例规则 = ζ|π| 1/2但当然，不截断驱动程序。我们考虑两种不同利率下的欧式期权的一个非常流行的估值问题，r代表投资，r（6=r）代表借贷。由于此问题经常用于测试Lipschitz BSDE的数值格式，因此将当前格式与基于蒙特卡罗模拟的现有数值示例进行比较将具有一定的指导意义。让我们假设证券价格的动态asXt=x+ZtuXsds+ZtσXsdWs，其中d=1和u，σ是正常数。对于到期日T时的期权支付Φ（XT），自融资复制的期权价格Y由YT=Φ（XT）给出-ZTtnrYs+u- rσZs-Ys公司-Zsσ-（R）- r） ods-ZTtZsdWs。

（6.10）尽管终端和驱动器功能都不顺畅，但考虑到qg BSDE的图3中的结果，我们可以预期相当准确的结果。图4：认购期权拟议方案（6.10）的经验收敛性。首先，我们研究了Payoff函数等于看涨期权函数的情况：Φ（x）=（x- K） +，其中K>0是履约价格。正如[32]所指出的，这个例子提供了一个非常有趣的测试，因为价格必须与利率为R的Black Scholes模型的价格完全相等。这是因为复制投资组合由多头唯一头寸组成，因此投资者必须始终借钱为其头寸融资。我们选择了{T=1，r=0.01，r=0.06，u=0.06，X=100}等常见参数，并在图4中测试了以下五组（K，σ），其中n=10到n=3000：set={K=106，σ=0.3}，set={K=166，σ=0.3}，set={K=106，σ=1.0}，set={K=306，σ=1.0}，set={K=106，σ=2.0}。虽然我们用molli-fied函数测试了相同的模型，但我们发现在经验收敛速度上没有显著差异。对于T=1，利率为6%时，K=106接近于货币远期利率。较大的罢工对应于货币的2σ。每套Black-Scholes价格分别为BS={12.000、1.117、38.346、11.662、68.296}。尽管OTM期权的相对误差略高，但在每种情况下，精确BS价格的收敛速度都接近1。令人惊讶的是，尽管存在非光滑函数和较大的波动性，但我们并没有看到收敛速度的任何恶化。观测到的误差大小的不规则性可能是由于靠近终端时间的网格的配置相对于终端功能的不可区分点发生了变化。接下来，让我们考虑一个调用扩展情况：Φ（x）=（x-K）+-2（x-K） +。

这与[32]中研究的设置完全相同，因此我们可以测试与基于标准回归的蒙特卡罗模拟相关的ou r sch eme性能。让我们选择[32]中的相同参数集：{r=0.01，r=0.06，u=0.05，X=100，T=0.25，σ=0.2，K=95，K=105}（6.11）。[32]的结果表明，Y=2.96±0.01或Y=2.95±0.01，一个标准偏差取决于r回归的基函数选择。在图e 5中，我们将我们的方案的估计值与[32]中的估计值进行了比较。虚线代表2。96±0.01，便于比较。在我们的s模式中，Yconverge接近2.96。事实上，Bender&Steiner（2012）[5]提出的使用鞅基函数的回归方法[32]的改进建议为2.96，这与我们的结果完全一致。图5：建议的（6.10）通话价差方案的经验收敛性。图6:T=1.0且波动率较高的看涨期权价差的（6.10）预测方案的经验收敛性。我们还测试了最终支付Φ（x）=（x）的更长期限和更高波动性的收敛性- K）+- （十）- K） +。我们像以前一样使用了{r=0.01，r=0.06，u=0.05，X=100，K=95，K=105}，但成熟度更长的是T=1.0和set：={σ=0.3}，set：={σ=0.5}和set：={σ=1.0}。从图6可以看出，所有情况下都有一个ob-servesmooth收敛。波动率较高时价格下降是自然的，因为Kis更接近货币远期点，因此短期头寸对波动率具有更高的敏感性。一个大型Lipschitz-constantBender和Steiner的例子[5]测试了一个极端情况，p参数集（6.11）替换为byR=3.01。

在这种情况下，d河的非线性具有Lipschitz常数（R-r） /σ=15。他们的实验表明，在他们尝试的模拟设置下，[32]的标准方法在这个例子中无法收敛。他们用鞅基函数改进的方法（见[5]中的表3）给出了Y 6.47，n=128，Y 6.44，最小分区n=181。图7:R=3.01时（6.10）建议方案的经验收敛性。在图7中，我们绘制了n=10到n=3000的方案的估计yf。T虚线对应于【5】中给出的值6.44。在我们的方案中，我希望收敛到6.38。特别是，使用相同的离散化n=181，我们的方案产生Y 6.43表现出良好的一致性。注意，方法【5】要求根据X定律更改基函数。备注6.2。数值计算在Microsoft Excel VBA中实现，XeonX5570 cpu@2.93GHz。对于n=100个时间步的qg-bsdew二维示例大约需要8秒，对于n=1000个时间步的Lipschitz-bsdew一维示例大约需要0.8秒。7结论在本文中，我们通过连接由渐近展开技术以显式形式给出的短期表达式，开发了马尔可夫qgBSDEs的半解析计算方案。该方法也可以以几乎相同的方式应用于标准Lipschitz BSDEsin。至少对于低维设置，该方案作为一种略微精细的TREE方法非常容易实现，并且即使对于非常大的qu系数和Lipschitz常数也具有较高的精度。对于高维设置，我们建议使用sparsegrid方案作为有希望的候选方案，以至少在一定程度上克服维度诅咒。

测试这个有趣的想法是留给未来的工作。从理论上看，主要困难在于控制导数的界限|mxbui |统一，这仍然是一个悬而未决的问题。这迫使我们需要对假设5.1中的这些边界进行后验检查，以保证agiven范围的收敛性。在适当的假设下，相应的半线性模型的性质可以提供必要的规律性。这个问题的解决留待将来的工作。BMO鞅及其性质在本节中，让我们总结BMO鞅的性质、相关的HBMO空间及其在讨论中起重要作用的性质。定义A.1。BMO鞅M是满足M=0且| | M | | BMO：=supτ的平方可积鞅∈TTEhhMiT公司- hMiτ| Fτi∞< ∞ ,其中最高值接管所有停车时间τ∈ TT。定义A.2。HBMO（Rk）是Rk值渐进可测过程Z的集合，满足| | Z | | HBM O：=supτ∈TTEhZTτ| Zs | dsFτi∞< ∞ .注意，如果Z∈ HBMO（R1×d），我们有Z·ZsdWsBMO=supτ∈TTEhZTτ| Zs | dsFτi∞= ||Z | | HBM O<∞ ,因此Z*W：=R·ZSDW是BMO鞅。下一个结果就是众所周知的能源不平等。引理A.1。让Z在HBMO中。那么，对于任何n∈ N、 呃ZT | Zs | dsni公司≤ N||Z | | HBM On、 证明。参见[20]中引理9.6.5的证明。设E（M）是M.引理a.2的Dol\'eans-Dade指数。（逆H¨older不等式）设M是BMO鞅。然后Et（M），t∈ [0，T]是一致可积鞅，对于每个停止时间τ∈ TT，存在一些正常量r*> 1使得不等式het（M）r | Fτi≤ Cr，MEτ（M）r，每1<r保持一次≤ R*对于某些正常数Cr，Mdepending仅在r和| | M | | BMO上。证据见Kazamaki的Theo rem 3.1（1994）[34]。引理A.3。

设M是平方可积鞅，cm：=hM i-M那么，M∈ BM O（P）ifand only ifcM∈ BM O（Q），dQ/dP=ET（M）。此外，| | cM | | BMO（Q）由| | M | | BMO（P）的某些函数确定。证据参见【34】中的第2.4条和第3.3条。备注A.1。定理3.1[34]还指出，存在一些递减函数Φ（r），Φ（1+）=∞ 和Φ(∞) = 0这样，如果| | M | | BMO（P）满足| M | | BMO（P）<Φ（r），则E（M）允许具有幂r的反向H¨older不等式。这意味着与引理A.3一起，可以取一个满足1<r的公共正常数≤ R*这样，E（M）和E（^M）在各自的概率测度P和Q下都满足具有幂的反H¨older不等式。此外，上界r*仅由| | M | | BMO（P）（或等效于| | M | | BMO（Q））确定）。B短期扩展：步骤1在以下两部分中，我们近似BSDE（3.1）半解析解（Yi，Zi），并获得其误差估计。我们需要两个步骤来实现这一目标，分别涉及Fujii和Takahashi（2012）[27]和（2015）[31]中提出的BSDE线性化方法和小方差扩展方法。在没有混淆的情况下，我们采用所谓的爱因斯坦约定，假设重复索引（如∈ xi的{1，···，d}），而不显式使用summationsymbolP。例如xi，xjξ（XT）xXiT公司XXJT假设指数i和j的总和表示SPDI，j=1xi，xjξ（XT）xXiT公司xXjT。（B节的持续假设）我们做出假设2.1、2.2和假设3.1（i）本节的持续假设。让我们为每个间隔t介绍BSDE（3.1）的下一个分解∈ 二、一∈ {1，···，n}：Yi，[0]t=bui+1（Xti）-Ztitz，[0]rdWr，（B.1）Yi，[1]t=Ztitfr、 Xr，Yi，[0]r，Zi，[0]r博士-Ztitz，[1]rdWr。

（B.2）它们是线性化方法的主要贡献【27，48】。引理B.1。对于每个间隔Ii，i∈ {1，···，n}，存在一个唯一的解（Yi，[0]，Zi，[0]），以满足BSDE（B.1），具有一些（i，n）独立的正常数C和Cp，即| | Yi，[0]| | S∞[技术信息-1，ti）+| | Zi，[0]| | HBM O[ti-1，ti]≤ C、 还有| | Zi，[0]| | Sp[ti-1，ti]≤ 任何p的CPP≥ 2.证明。有界性| | Yi，[0]| | S∞≤ C很容易遵循假设3.1（i），这意味着| | Zi，[0]| | HBM O≤ C、 第二项主张源自命题3.1中使用的类似论据。引理B.2。对于每个间隔Ii，i∈ {1，···，n}，存在一个唯一的解（Yi，[1]，Zi，[1]），以满足BSDE（B.2），且一些（i，n）独立的正常数Cp，即| | Yi，[1]| | Sp[ti-1，ti]+| | Zi，[1]| | Hp[ti-1，ti]≤ 任何p的CPP≥ 2.证明。由于它是一个Lipschitz BSDE（Lipschitz常数为零），唯一解的存在性注意，自Takahashi（1999）[47]和Kunitomo&Takahashi（2003）[37]首次尝试以来，小方差渐近展开已广泛应用于Europeancontin-gent索赔的定价。易于遵循。标准估计值（例如参见[12]）和假设2.2（i）暗示（一，字，一）pKp【ti】-1，ti]≤ CpEh公司Ztiti公司-1 | f（r，Xr，Yi，[0]r，Zi，[0]r）| dr圆周率≤ CpEh公司Ztiti公司-1.lr+β| Yi，[0]r |+γ| Zi，[0]r|博士圆周率≤ Cp公司||l | | pT+| | Yi，[0]| | pSp[ti-1，ti]+| | Zi，[0]| | 2pS2p[ti-1，ti].因此，我们可以通过引理B.1得到期望的结果。现在，我们定义了每个时间间隔t的过程（eYi，eZi）∈ 二、一∈ {1，···，n}byeYit：=Yi，[0]t+Yi，[1]t，eZit：=Zi，[0]t+Zi，[1]t.命题B.1。存在一些（i，n）独立的正常数Cpsuch，不等式易-eYi公司p【ti】-1，ti]+Ztiti公司-1.齐尔-埃齐尔博士圆周率≤ Cph3p/2适用于每个间隔Ii、i∈ {1，···，n}与任意p≥ 2.证明。

为了符号的简单性，让我们把δYi，[0]t：=Yit- Yi，[0]t，δZi，[0]t：=Zit- Zi，[0]tδYi，[1]t：=Yit-eYit，δZi，[1]t：=Zit-eZitfor每个间隔t∈ 二、一∈ {1，···，n}。然后，它们分别由以下BSD的解给出：δYi，[0]t=zitf（r，Xr，Yir，Zir）dr-ZtitδZi，[0]rdWr，δYi，[1]t=Ztitf（r、Xr、Yir、Zir）- f（r，Xr，Yi，[0]r，Zi，[0]r）博士-ZtitδZi，[1]rdWr。根据Lipschitz BSDE的稳定性结果（例如，参见[12]），假设2.2（i），（3.3）a ndProposition 3.1，可以得到（δYi，[0]，δZi，[0]）pKp【ti】-1，ti]≤ CpEh公司Ztiti公司-1.lr+β| Yir |+γ| Zir|博士圆周率≤ Cphpi公司||l | | pT+| | Yi | pS∞[技术信息-1，ti]+| | Zi | | 2pS2p[ti-1，ti]≤ Cphpi，（B.3）和一些（i，n）-独立正常数CphpiP≥ 使用假设2.2（ii）yie lds对（δYi，[1]，δZi，[1]）进行类似分析（δYi，[1]，δZi，[1]）pKp【ti】-1，ti]≤ CpEh公司Ztiti公司-1h |δYi，[0]r |+（1+| Zir |+| Zi，[0]r |）|δZi，[0]r | idr圆周率≤ Cp公司hpi | |δYi，[0]| | pSp[Ii]+Eh1+| | Zi | 2pIi+| | Zi，[0]| | 2piieh希兹提提-1 |δZi，[0]r | dr圆周率.通过应用属性3.1、emma B.1和之前的估计（B.3），可以得到期望的结果。C短期展开：步骤2在第二步中，我们获得了BSDE（B.1）和（B.2）的简单解析近似，同时保持命题B.1中相同的精度顺序。我们使用[31]中提出的BSDE小方差展开方法，将所有问题转化为一组简单的ODE。此外，我们将看到，这些常微分方程可以用单步Euler方法近似每个中心值Ii。（C节的长期假设）与上一节类似，我们制定了假设2.1、2.2和假设3.1（i）本节的长期假设。C、 （Yi，[0]，Zi，[0]）的1近似对于每个区间，我们引入一个新的参数successing∈ (-c、 c）对于一些常数c>1 toperturb（2.1）和（B.1）：Xt=Xti-1+Ztti-1b（r，Xr）dr+Ztti-1σ（r，Xr）dWr。

（C.1）Yi，[0]，t=bui+1（Xti）-Ztizi，[0]，rdWr。（C.2）对于t∈ Ii=【ti】-1，ti]，i∈ {1，···，n}。请注意，被引入X的方式，通过这种方式，我们对每个间隔Ii有不同的过程。在下文中，为了避免混淆指定区间的指数和x分量的指数∈ 对于后者，我们使用粗体哥特式符号s，如{i，j，····}，每个符号都贯穿1到d。引理C.1。（X，Yi，[0]，，Zi，[0]，）关于的经典导数kXt：=KkXt，kYi，[0]，：=KkYi，[0]，t，kZi[0]，：=KkZi，[0]，tfor k={1，2，3}由以下正向和反向SDE的解给出：X，它=Ztti-1.xjbi（r，Xr）X，jrdr+Ztti-1.σi（r，Xr）+(X，jr）xjσi（r，Xr）dWr，X，它=Ztti-1.xj bi（r，Xr）X，jr+xj，xkbi（r，Xr）X，jrX，krdr+Ztti-1.2(X，jr）xjσi（r，Xr）+(X，jr）xjσi（r，Xr）+(X，jr）(X，kr）xj，xkσi（r，Xr）dWr，X，它=Ztti-1.xj bi（r，Xr）X，jr+3xj，xkbi（r，Xr）X，jrX，kr+xj、xk、xmbi（r、Xr）X，jrX，krX，先生dr+Ztti-1.3(X，jr）xjσi（r，Xr）+3(X，jr）(X，kr）xj，xkσi（r，Xr）+(X，jr）xjσi（r，Xr）+3(X，jr）(X，kr）xj，xkσi（r，Xr）+(X，jr）(X，kr）(X，先生）xj，xk，xmσi（r，Xr）dWr，写Xi更合适，强调对区间t的依赖性∈ Ii，但我们省略了“i”，以减轻符号的重量。Yi，[0]，t=xj bui+1（Xti）X，jti-中兴通讯Zi，[0]，rdWr，Yi，[0]，t=xj bui+1（Xti）X，jti+xj、xkbui+1（Xti）X，jtiX，kti-中兴通讯Zi，[0]，rdWr，Yi，[0]，t=xj bui+1（Xti）X，jti+3xj、xkbui+1（Xti）(X，jti）(X，kti）+xj、xk、xmbui+1（Xti）(X，jti）(X，kti）(X，mti）-中兴通讯Zi，[0]，rdWr，用于t∈ Ii=【ti】-1，ti]。爱因斯坦约定用于{i，j，···}遍历1到d证明。