二次增长倒向随机微分方程的求解

经典的可微性可以通过遵循[40]中定理3.1的公式来表示。有关更多详细信息，请参见[3 1]第6节。引理C.2。对于k={1，2，3}，存在一些（i，n）-独立的正常数Cp，ksuchkXp【ti】-1，ti]i≤ Cp、khkp/2适用于每个间隔Ii、i∈ {1，···，n}与任意p≥ 2.证明。这可以通过应用[31]附录A中给出的Lipschitz SDE的标准估计来说明。对于k=1，Eh||X| | p[ti-1，ti]i≤ CpEh公司Ztiti公司-1 |σ（r，Xr）| drp/2i≤ Cphp/2i。k=2时，一个为SEH||X| | p[ti-1，ti]i≤ CpEh公司Ztiti公司-1个|Xr | drp+Ztiti公司-1.|Xr |+|Xr|博士圆周率≤ Cp公司hpiEh公司||X| | 2 III+hp/2 EH||X| | pIi+||X| | 2pIii≤ Cphpi，根据需要。我们可以用类似的方式确定最后一种情况k=3。让我们用k介绍以下过程∈ {0，1，2}，X[k]t：=KkXt=0，Yi，[0]，[k]t：=KkYi[0]，t=0，Zi，[0]，[k]t：=KkZi，[0]，t=0和a lsoeYi，[0]t:=Xk=0k！Yi，[0]，[k]t，eZi，[0]t:=Xk=0k！Zi，[0]，[k]t（C.3），对于每个间隔t∈ 二、一∈ {1，···，n}。引理C.3。存在一些（i，n）独立的正常数Cpsuch，不等式彝文[0]-eYi，[0]p【ti】-1，ti]+Ztiti公司-1 | Zi，[0]r-eZi，[0]r | drp/2i≤ Cph3p/2适用于每个间隔Ii、i∈ {1，···，n}与任意p≥ 2.证明。

由于Θi，[0]，相对于的经典微分性，我们可以使用泰勒展开的残差公式；呃彝文[0]-eYi，[0]p【ti】-1，ti]+Ztiti公司-1 | Zi，[0]r-eZi，[0]r | drp/2i≤ CpEhsupr公司∈二、Z（1- ）Yi，[0]，rdp+Ztiti公司-1.Z（1- ）Zi，[0]，rd博士p/2i≤ CpZ公司呃Yi，[0]，p【ti】-1，ti]+Ztiti公司-1.Zi，[0]，r博士p/2id。应用Lipschitz BSDE的标准估计值（例如，参见[12]），以下各项的边界kxbui+1以及引理C.2，一个获得SEH彝文[0]-eYi，[0]p【ti】-1，ti]+Ztiti公司-1.Zi，[0]r-eZi，[0]r博士p/2i≤ CpZ公司呃||X| | pIi+||X| | pIi||X| | pIi+||X| | 3pIiid≤ Cph3p/2根据需要。最后一个引理意味着我们需要得到（eYi，[0]，eZi，[0]），这是（Yi，[0]，Zi，[0]）的二阶近似值。此外，正如我们接下来将看到的，由于共形展开引入的分级结构，这些BSDES的解可以通过简单的常微分方程显式获得。FBSDEs的相关系统总结如下：X【0】t=Xti-1+Ztti-1b（r，X[0]r）dr，X[1]，it=Ztti-1.xj bi（r，X[0]r）X[1]，jrdr+Ztti-1σi（r，X[0]r）dWr，X[2]，它=Ztti-1.xj bi（r，X[0]r）X[2]，jr+xj，xkbi（r，X[0]r）X[1]，jrX[1]，krdr+Ztti-12倍[1]，jrxjσi（r，X[0]r）dWr，Yi，[0]，[0]t=bui+1（X[0]ti）-Ztizi，[0]，[0]rdWr，（C.4）Yi，[0]，[1]t=xjbui+1（X[0]ti）X[1]，jti-Ztizi，[0]，[1]rdWr，（C.5）Yi，[0]，[2]t=xjbui+1（X[0]ti）X[2]，jti+xj、xkbui+1（X[0]ti）X[1]，jtiX[1]，kti-Ztizi，[0]，[2]rdWr，（C.6）用于t∈ 二、一∈ {1，···，n}与{i，j，···}的爱因斯坦约定。定义C.1。

（系数函数）我们定义了函数集χ：Ii×Rd→ Rd，y:Ii×Rd→ R、 y【1】：Ii×Rd→ Rd，y【2】：Ⅱ×Rd→ Rd，G【2】：Ⅱ×Rd→ Rd×d，y[2]：Ii×Rd→ R乘以χ（t，x）：=x+Ztti-1b（r，χ（r，x））dr，y（t，x）：=bui+1（χ（ti，x）），见备注3.3。y[1]j（t，x）：=xj bui+1（χ（ti，x））+Ztitxj bk（r，χ（r，x））y[1]k（r，x）dr，G[2]j，k（t，x）：=xj，xkbui+1（χ（ti，x））+Ztitnxb（r，χ（r，x））G[2]（r，x）<->j、 k级+xj，xkbm（r，χ（r，x））y[2]m（r，x）odr，y[2]（t，x）：=ZtitTrG[2]（r，x）[σσ]（r，χ（r，x））dr，y[2]=y[1]，表示（t，x）∈ Ii×Rd，i∈ {1，···，n}。我们使用了爱因斯坦约定和符号[xb（r，x）]i，j=xi bj（r，x），i，j∈ {1，···，d}. 我们用A表示s ymm量化<->:= A+A对于ad×d矩阵A。请注意，上述系数函数由给定x的ODE给出∈ Rdin每个时段。这些函数以以下方式表示BSDE的解：引理C.4。对于每个周期t∈ 二、一∈ {1，····，n}，BSDE（C.4），（C.5）和（C.6）的溶液由，根据爱因斯坦约定，Yi，，[0]t=y（t，Xti）给出-1） ，Zi，[0]，[0]t≡ 0（0阶）Yi，[0]，[1]t=y[1]j（t，Xti-1） X[1]，jt，Zi，[0]，[1]t=y[1]j（t，Xti-1） σj（t，χ（t，Xti-1） ），（一阶），最后，对于二阶yi，[0，[2]t=y[2]j（t，Xti-1） X[2]，jt+G[2]j，k（t，Xti-1） X[1]，jtX[1]，kt+y[2]（t，Xti-1） ，Zi，[0]，[2]t=2y[2]j（t，Xti-1） X【1】，ktxkσj（t，χ（t，Xti-1） ）+G[2]j，k（t，Xti-1） X[1]，jtσk（t，χ（t，Xti-1） （）.证据这是【31】第8节结果的特例。BSDE（C.4）、（C.5）和（C.6）的唯一解的存在性是非常明显的。

使用定义C.1中给出的ODE，将IT^o公式应用于建议的表格，并将结果与BSDE进行比较，可以直接检查表达式。由于每个区间II的跨度hi都很短，我们希望我们可以通过Euler方法的一个步骤来近似上述ODS，而不影响Le mma C.3中给出的误差顺序。定义C.2。（近似系数函数）我们定义了函数集；χ：Ii×Rd→ Rd，y:Ii×Rd→ R、 y【1】：Ii×Rd→ Rd，y【2】：Ⅱ×Rd→ Rd，G【2】：Ⅱ×Rd→ Rd×d，y[2]：Ii×Rd→ R乘以χ（t，x）：=x+（t） b（ti-1，x），y（t，x）：=bui+1（χ（ti，x）），y[1]j（t，x）：=xj-bui+1（χ（ti，x））+δ（t）xj bk（ti，χ（ti，x））xk bui+1（χ（ti，x）），G[2]j，k（t，x）：=xj，xkbui+1（χ（ti，x））+δ（t）n[xb（ti，χ（ti，x））]x、 xbui+1（χ（ti，x））<->j、 k级+xj，xkbm（ti，χ（ti，x））xmbui+1（χ（ti，x））o，y[2]（t，x）：=δ（t）TrG[2]（ti，x）[σσ]（ti，χ（ti，x））,andy[2]=y[1]，表示（t，x）∈ Ii×Rd，i∈ {1，···，n}。我们有爱因斯坦公约和符号（t） ：=t- ti公司-1，δ（t）：=ti- t、 因此，G[2]是对称矩阵值。定义C.2中的函数在以下意义上为定义C.1中的系数函数提供了良好的近似值：引理C.5。存在一些（i，n）独立的正常数CpsatisfyingE支持∈二、χ（t，Xti-（1）-χ（t，Xti-（1）p+支持∈二、y（t，Xti-（1）-y（t，Xti-（1）p+Xk=1上升∈二、y[k]（t，Xti-（1）-y[k]（t，Xti-（1）p+支持∈二、G[2]（t，Xti-（1）-G[2]（t，Xti-（1）p+支持∈二、y[2]（t，Xti-（1）-y[2]（t，Xti-（1）P≤ Cph3p/2i，对于每个间隔Ii，i∈ {1，···，n}与任意p≥ 2.证明。首先，让我们考虑一下（χ，χ）。

利用t中的1/2-H¨older连续性、x中b的全局Lipschitz和lineargrowth性质，我们得到了|χ（t，x）-χ（t，x）|≤Ztti公司-1 | b（r，χ（r，x））- b（ti-1，x）| dr≤ KZtti公司-1小时（r） 1/2+|χ（r，x）-χ（r，x）|+（r） | b（ti-1，x）|印尼盾≤ C（1+| x | h1/2i）h3/2i+KZtti-1 |χ（r，x）-χ（r，x）|由Gronwall不等式导出，支持∈Ii |χ（t，x）-χ（t，x）|≤ eKhiC（1+| x|√hi）h3/2i。ThusEhsupt公司∈Ii |χ（t，Xti-（1）-χ（t，Xti-1） | pi≤ Cph3p/2i1+马力/2 EH | Xti-1 | pi≤ Cph3p/2i（C.7），具有一些（i，n）独立的正常数Cp.自|xbui+1 |≤ 假设3.1（i）下的K′，| y（t，x）-y（t，x）|=| bui+1（χ（ti，x））- bui+1（χ（ti，x））|≤ K′|χ（ti，x）- χ（ti，x）|。因此，根据（C.7），Ehsupt∈Ii | y（t，Xti-（1）-y（t，Xti-1） | pi≤ Cph3p/2i（C.8），具有一些（i，n）独立的正常数Cp。现在让我们考虑一下[1]（t，x）=xbui+1（χ（ti，x））+δ（t）xb（ti，χ（ti，x））xbui+1（χ（ti，x））。因为两者|xbui+1 |和|xb |有界，很容易看到sup（t，x）∈Ii×Rd | y[1]（t，x）|≤ C（C.9）具有一些正常数C。

对于t∈ IIx给定∈ Rd，我们有[1]（t，x）-y[1]（t，x）=xbui+1（χ（ti，x））- xbui+1（χ（ti，x））+Ztitxb（r，χ（r，x））y[1]（r，x）- xb（ti，χ（ti，x））y[1]（ti，x）博士自（C.9），1/2-H¨older连续性和的全局Lipschitz性质xb，我们得到| y[1]（t，x）- y[1]（t，x）|≤ |xbui+1（χ（ti，x））- xbui+1（χ（ti，x））|+Ztitn|xb（r，χ（r，x））| | y[1]（r，x）-y[1]（r，x）|+|xb（r，χ（r，x））| | y[1]（r，x）- y[1]（ti，x）|+|xb（r，χ（r，x））- xb（ti，χ（ti，x））| | y[1]（ti，x）| odr≤ K′|χ（ti，x）- χ（ti，x）|+KZtit | y[1]（r，x）-y[1]（r，x）| dr+Chi+CZtitδ（r）1/2+|χ（r，x）-χ（r，x）|+|χ（r，x）- χ（ti，x）|博士≤ KZtit | y[1]（r，x）-y[1]（r，x）| dr+Ch3/2i1+| x |φ）。因此，后向Gronwall不等式（例如，参见[44]中的推论6.62）给出了假设∈Ii | y[1]（t，x）-y[1]（t，x）|≤ Ch3/2i（1+| x | phi）eKhi和henceEhsupt∈Ii | y[1]（t，Xti-（1）-y[1]（t，Xti-1） | pi≤ Cph3p/2i，（C.10），需要一些（i，n）独立的常数cpa。根据的有界性|mxbui+1（x）|和|mxb |带m∈ {1，2}，很容易看出| G[2]|是一个lsobonddsup（t，x）∈Ii×Rd | G[2]（t，x）|≤ C（C.11）和一些正常数C。使用（C.11）、1/2-H¨older和Lipschitz连续性对[1]进行了类似分析xb，xb，后向Gronwall不等式yieldssupt∈Ii | G[2]（t，x）-G[2]（t，x）|≤ Ch3/2i（1+| x | phi）和henceEhsupt∈Ii | G[2]（t，Xti-（1）-G[2]（t，Xti-1） | pi≤ Cph3p/2i（C.12），需要一些（i，n）独立的正常数cpa。最后，我们考虑[2]（t，x）=δ（t）TrG[2]（ti，x）[σσ]ti，χ（ti，x）.根据（C.11）和σ的线性增长性质，| y[2]（t，x）|≤ Cδ（t）1+| x|, （C.13）满足每（t，x）∈ Ii×Rd具有一些正常数C。

我们有[2]（t，x）-y[2]（t，x）=ZtitTrG[2]（r，x）[σσ]（r，χ（r，x））-G[2]（ti，x）[σσ]（ti，χ（ti，x））因此，drand | y[2]（t，x）- y[2]（t，x）|≤ZtitTrn公司|G[2]（r，x）-G[2]（r，x）|+| G[2]（r，x）- G[2]（ti，x）|[σσ]（r，χ（r，x））+G[2]（ti，x）[σσ]（r，χ（r，x））- [σσ]（ti，χ（ti，x））odr公司≤ Ch3/2i（1+| x |）+Chi（1+hi | x |）和一些（i，n）-独立常数C。因此，我们得到，对于任何p≥ 2、Ehsupt∈Ii | y[2]（t，Xti-（1）-y[2]（t，Xti-1） | pi≤ Cph3p/2i（C.14），根据需要。根据（C.7），（C.8），（C.10），（C.12），（C.14）和y[2]=y[1]，该权利要求得到了证明。现在我们介绍每个周期t的过程（bYi，[0]t，bZi，[0]t）∈ 二、它们由（C.3）中的（eYi，[0]t，eZi，[0]t）定义，定义C.1中的系数函数被定义C.2中的近似函数取代，即：。；bYi，[0]t：=y（t，Xti-1） +（X[1]t）y[1]（t，Xti-（1）+（X【2】t）y[2]（t，Xti-1） +（X[1]t）G[2]（t，Xti-1） X[1]t+y[2]（t，Xti-（1）, （C.15）bZi，[0]t：=y[1]（t，Xti-1） σ（t，χ（t，Xti-i） （）+（X【1】t）xσ（t，χ（t，Xti-1） ）y[2]（t，Xti-1） +（X[1]t）G[2]（t，Xti-1） σ（t，χ（t，Xti）-1） （）, （C.16）为了简单起见，我们使用了矩阵表示法。索引的细节可以从引理C.4中的thosegiven检查。引理C.6。存在一些（i，n）独立的正常数Cpsuch，不等式eYi，[0]-bYi，[0]p【ti】-1，ti]i+EheZi，[0]-bZi，[0]p【ti】-1，ti]i≤ Cph3p/2适用于每个间隔Ii、i∈ {1，···，n}对于任何p≥ 2.证明。它可以很容易地从引理C.2和C.5中显示出来。推论C.1。存在一些（i，n）独立的正常数Cpsuch thatEh | | Yi，[0]-bYi，[0]| | p[ti-1，ti]+Ztiti公司-1 | Zi，[0]r-bZi，[0]r | drp/2i≤ Cph3p/2适用于每个间隔Ii、i∈ {1，···，n}与任意p≥ 2.证明。

它直接来自引理C.3和C.6。自X[1]ti起-1=X【2】ti-1=0，我们有一个非常简单的表达式-1每个周期II=[ti-1，ti）：bYi，[0]ti-1=y（ti-1，Xti-1） +y[2]（ti-1，Xti-1） ，bZi，[0]ti-1=y[1]（ti-1，Xti-1） σ（ti-1，Xti-1） 。近似解（bYi，[0]，bZi，[0]）具有以下连续性：引理C.7。存在一些（i，n）独立的正常数Cpsuch，不等式支持∈二、bYi，[0]t-bYi，[0]ti-1.pi+Ehsupt∈二、bZi，[0]t-bZi，[0]ti-1.圆周率≤ Cphp/2i，每间隔Ii、i保持∈ {1，···，n}与任意p≥ 2.证明。自y（t，x）=y（ti-1，x）表示（t，x）∈ Ii×Rd，我们有-bYi，[0]ti-1=X【1】ty[1]（t，Xti-（1）+X【2】ty[2]（t，Xti-1） +X[1]tG[2]（t，Xti-1） X【1】t+y[2]（t，Xti-（1）-y[2]（ti-1，Xti-（1）.（C.9）（记住y[1]=y[2]）、（C.11）和（C.1 3）中的界限，以及表C.2中的估计值，意味着∈二、bYi，[0]t-bYi，[0]ti-1.圆周率≤ CpEh | | X[1]| | pIi+| | X[2]| | pIi+| | X[1]| | 2pIi+hpi1+| Xti-1 | 2p我≤ Cphp/2根据需要。同样，我们有| bZi，[0]t-bZi，[0]ti-1 |≤ |y[1]（t，Xti-（1）-y【1】（ti-1，Xti-1） | |σ（t，χ（t，Xti-1） ）|+| y[1]（ti）-1，Xti-1） | |σ（t，χ（t，Xti-1） （）- σ（ti-1，Xti-1） |+| X[1]t|xσ（t，χ（t，Xti-1） ）y[2]（t，Xti-1） +G[2]（t，Xti）-1） σt、 χ（t，Xti-（1）≤ C（t）1+| Xti-1个|+ C（t） 1/2+（t） （1+| Xti-1 |）+ C | X[1]t|1+| Xti-1个|,通过一些正常数C，我们得到了Ehsupt∈二、bZi，[0]t-bZi，[0]ti-1.圆周率≤ Cphp/2根据需要。C、 2（Yi，[1]，Zi，[1]）的近似值我们现在想要近似（Yi，Zi）分解中出现的剩余BSDE（B.2）。我们将在下文中看到，这可以通过非常简单的fa shion实现。我们定义了过程（bYi，[1]，bZi，[1]），bybYi，[1]t：=δ（t）fti公司-1，Xti-1，bYi，[0]ti-1，bZi，[0]ti-1., （C.17）bZi，[1]t：=0，（C.18）对于每个周期t∈ 二、一∈ {1，···，n}。这里，δ（t）=ti- t如前所述。引理C.8。

存在一些（i，n）独立的正常数Cpsuch，不等式易[1]-bYi，[1]p【ti】-1，ti]+Ztiti公司-1 | Zi，[1]r | drp/2i≤ Cph3p/2适用于每个间隔Ii、i∈ {1，···，n}与任意p≥ 2.证明。让我们把δYi，[1]t：=Yi，[1]t-bYi，[1]t，δZi，[1]t：=Zi，[1]t对于t∈ 二、那么，（δYi，[1]，δZi，[1]）是以下Lipschitz BSDE的解：δYi，[1]t=zitδf（r）dr-ZtitδZi，[1]rdWr，其中δf（r）：=f（r，Xr，Yi，[0]r，Zi，[0]r）-f（ti-1，Xti-1，bYi，[0]ti-1，bZi，[0]ti-1） 。根据假设2.2（ii），它满足正常数K |δf（r）|≤ |f（r，Xr，Yi，[0]r，Zi，[0]r）- f（ti-1，Xti-1，Yi，[0]r，Zi，[0]r）|+| f（ti-1，Xti-1、易、[0]r、子、[0]r）- f（ti-1，Xti-1，bYi，[0]r，bZi，[0]r）|+| f（ti-1，Xti-1、bYi、[0]r、bZi、[0]r）- f（ti-1，Xti-1，bYi，[0]ti-1，bZi，[0]ti-（1）|≤ K（r） 1/2+（1+| Yi，[0]r |+| Zi，[0]r |）| Xr- Xti公司-1个|+K | Yi，[0]r-bYi，[0]r |+K（1+| Zi，[0]r |+| bZi，[0]r |）| Zi，[0]r-bZi，[0]r |+K | bYi，[0]r-bYi，[0]ti-1 |+K（1+| bZi，[0]r |+| bZi，[0]ti-1 |）| bZi，[0]r-bZi，[0]ti-1 |。从引理B.1，我们知道| | Yi，[0]| | | S∞[技术信息-1，ti]+| | Zi，[0]| | Sp[ti-1，ti]≤ 任何p的CPP≥ 从（C.15），（C.16），引理C.2，以及引理C.5的证明中所示的（y，y[i]，G[2]）的有界性，一个类似的不等式| | bYi，[0]| | Sp[ti-1，ti）+| | bZi，[0]| | Sp[ti-1，ti]≤ Cpholds。Lipschitz SDE Ehsupt的连续性∈Ii | Xt- Xti公司-1 | pi≤ Cphp/2对于任何人来说都是众所周知的≥ 2.

那么，Eh | |δYi，[1]| | pIi+Ztiti公司-1 |δZi，[1]r | drp/2i≤ CpEh公司Ztiti公司-1 |δf（r）| dr圆周率≤ Cp（h3p/2i+hpiEh1+| | Yi，[0]| | 2II+| | Zi，[0]| | 4PIIHSUPT∈Ii | Xt- Xti公司-1 | 2pi+hpi呃| |易[0]-bYi，[0]| | pIii+Ehsupt∈二、bYi，[0]t-bYi，[0]ti-1.圆周率+Eh1+| | Zi，[0]| | 2pIi+| | bZi，[0]| | 2piieh希兹提提-1 | Zi，[0]r-bZi，[0]r | drpi+hpiEh1+| | bZi，[0]| | 2PI+| bZi，[0]ti-1 | 2piEhsupt∈二、bZi，[0]t-bZi，[0]ti-1.2pi）≤ Cph3p/2来自推论C.1和引理C.7。关于短期近似的主要结果可以总结为下一个定理C.1。根据假设2.1、2.2和假设3.1（i），过程（bYi、bZi）定义为（bYit：=bYi，[0]t+bYi，[1]t，bZit：=bZi，[0]t，t∈ Ii）是qg BSD E（3.1）和满意度的解（Yi，Zi）的短期近似值，一些（i，n）独立的正常数Cp，thatEh | | Yi-bYi | | p[ti-1，ti]+Ztiti公司-1 | Zir-bZir | drp/2i≤ Cph3p/2i，对于每个周期Ii，i∈ {1，···，n}和P≥ 2.证明。它直接来自命题B.1、推论C.1和引理C.8。确认该研究得到了金融高级研究中心（CARF）的部分支持。参考文献[1]Ankirchner，S.、Imkeller，P.和Dos Reis，G.，2007二次增长SDES的经典和变分可微性，概率电子杂志，第12卷，1418-1453。[2] Barrieu，P.和El Karoui，N.，2013，《二次半鞅的单调稳定性及其在无界广义二次BSD Es中的应用》，《概率年鉴》，第41卷，第3B期，1831-1863年。[3] Barthelmann，V.、Novak，E.和Ritter，K.，2000，《解析网格上的高维多项式插值》，计算数学进展12273-288。[4] Bender，C.和Denk，R.，2007，《反向SDE的正向方案，随机过程及其应用》，1171793-1812。[5] Bender，C。