二次增长倒向随机微分方程的求解

每个iod Ii应用引理2.1，一个alsosees | | Yi | | S∞[技术信息-1，ti]≤ ||Y | | S∞:= eβ|π|K′+|π| | l | | T, （3.3）在i中一致有界∈ {1，···，n}，因此| | Zi | | HBM O[ti-1，ti]。换句话说，底层转发过程由Xti，xs=x+Rstib（r，Xti，xr）dr+Rstiσ（r，Xti，xr）dWr，s给出∈ Ii+1，henceYi+1，ti，xtii是x的确定函数∈ 如果K′的精确大小足够大，不会与（2.3）的真解相矛盾，则K′的精确大小在某种程度上是任意的。提案3.1。在假设2.1、2.2和假设3.1【i（a，b）】下，存在一些与（i，n）无关的正常数C，使得过程Zit，t∈ B SDE（3.1）满足| Zit |的溶液的II≤ C（1+| Xt |），t∈ Ii，P-a.s.在i中均匀分布∈ {1，···，n}。证据我们使用控制变量的表示定理（文献[1]中的Th eorem 8.5），并遵循Ma&Zhang（2002）[40]中定理3.1的论点。让我们用初始数据（t，x）介绍参数化解（Xt，x，Yi，t，x，Zi，t，x）∈ [技术信息-1，ti]×Rd:Xt，xs=x+Zstb（r，Xt，xr）dr+Zstσ（r，Xt，xr）dWr，（3.4）Yi，t，xs=bui+1（Xt，xti）+Ztisf（r，Xt，xr，Yi，t，xr，Zi，t，xr）dr-ZtisZi，t，xrdWr，（3.5）s∈ [t，ti]其中（3.4）和（3.5）关于xis kn所处位置的经典差别[1]。不同的过程(xXt，x，xYi，t，x，xZi，t，x）由以下正向和反向SDE的解给出：xXt，xs=I+Zstxb（r、Xt、xr）xXt、xrdr+Zstxσ（r、Xt、xr）xXt，xrdWr，xYi、t、xs=xbui+1（Xt，xti）xXt，xti+Ztitnxf（r、Xt、xr、Θi、t、xr）xXt，xr+θf（r，Xt，xr，Θi，t，xr）xΘi，t，xrodr-中兴通讯xZi，t，xrdWr，（3.6），其中I是d×d单位矩阵xΘi，t，x=(xYi，t，x，xZi，t，x）。请注意|yf |有界且|zf（r、Xt、xr、Θi、t、xr）|≤ K1+| Zi，t，xr|根据假设2.2（iii）。根据（3.3）中的事实和下面的备注，我们可以看到||zf（·，Xt，x·，Θi，t，x·）| HBM O[t，ti]≤ C带有一些常数C。

因此，文献[13]中的推论9或文献[30]中的定理A.1暗示，对于任何p≥ 2.xΘi，t，xpKp【t，ti】≤ Cp，qEh|xbui+1（Xt，xti）xXt，xti | p'q+中兴通讯|xf（r、Xi、t、xr、Θi、t、xr）xXi，t，xr | drp“qi”q≤ Cp，qEh||xXt，x | | 2p'q[t，ti]i2'q1+hpiEh | | Yi | 2p'q[t，ti]i2'q+EhZtit | Zi，t，xr | dr2p“qi2”q（3.7）式中，q是满足q的正常数*≤ (R)q<∞. 这里，q*=R*R*-1> 1是r的共轭指数*逆H¨older不等式的幂上界(采埃孚* W）。我们在最后一行使用了假设2.2（iv）和H¨older不等式。根据SDE的标准估计，可以表明||xXt，x | | S2p'q≤ 具有与初始数据（t，x）无关的正常数C。yiin（3.3）的有界性和下面关于z的评论与引理A.1一起表明（3.7）的右侧由某个正常数所界。特别是，可以选择aSee，例如，在【31】中的附录A。每个i的公共常数C∈ {1，···，n}这样|xYi，t，xt |≤ ||xYi，t，x | | Sp[t，ti]≤ 楔形in（t，x）∈ [技术信息-1，ti]×Rd.根据表示定理[1，40]，我们得到了=xui（t，Xt）σ（t，Xt），T∈ [技术信息-1，ti]，P-a.s.函数徐毅：[ti-1，ti]×Rd→ R1×定义人xui（t，x）：=xYi、t、xt。现在，σ的Lipschitz性质给出了所需的结果。现在让我们定义一个逐步可测量的过程Zt，t∈ [0，T]byZt：=nXi=1Zit{ti-1.≤t<ti}，t∈ [0，T]（3.8），因此RT | Zt | dt=Pni=1Rtiti-1 | Zit | dt。提案3.2。在假设2.1、2.2和3.1【i（a）、ii】下Zt，t∈ [0，T]（3.8）定义属于HBMO【0，T】满足| | Z | | HBM O【0，T】≤ 具有一些n-indepe ndentpositive常量C.Proof。

将It^o公式应用于e2γYi，可以得到t∈ IIthatztie2γYir2γ| Zir | dr=e2γYiti- e2γYit+Ztite2γYir2γf（r、Xr、Yir、Zir）dr-Ztite2γYir2γZirdWr。假设2.2（i）中的二次结构条件给出了sztite2γYirγ| Zir | dr≤ e2γYiti- e2γYit+Ztite2γYir2γlr+β| Yir|博士-Ztite2γYir2γZirdWr。因为yiti=bui+1（Xti）=Yi+1ti- δi+1（Xti）和| |δi+1（·）| | L∞≤ C在i中均匀分布∈ {1，···，n}，一个有e2γYiti≤ e2γYi+1ti+Ce2γYi+1ti |δi+1（Xti）|具有一些正常数C。因此，选择t=ti-1，Ztiti-1e2γYirγ| Zir | dr≤e2γYi+1ti- e2γYiti-1.+ Ce2γYi+1ti |δi+1（Xti）|+Ztiti-1e2γYir2γlr+β| Yir|博士-Ztiti公司-1e2γYir2γZirdWr。因此对于任何τ∈ t和j：=最小值J∈ {1，···，n}：τ≤ tj公司,Ztjτe2γYjrγ| Zjr | dr+nXi=j+1Ztiti-1e2γYirγ| Zir | dr≤ e2γYn+1tn- e2γYjτ+CnXi=je2γYi+1ti |δi+1（Xti）|+Ztjτe2γYjr2γlr+β| Yjr|dr+nXi=j+1Ztiti-1e2γYir2γlr+β| Yir|博士-Ztjτe2γYjr2γZjrdWr-nXi=j+1Ztiti-1e2γYir2γZirdWr。由于e2γYjτ>0和δn+1≡ 0，在e上获得sehztjτe2γYjrγ| Zjr | dr+nXi=j+1Ztiti-1e2γYirγ| Zir | drFτi≤ Ehe2γξ（XT）+Cn-1Xi=je2γYi+1ti |δi+1（Xti）|+nXi=jZtiti-1.∨τe2γYir2γlr+β| Yir|博士Fτi。根据假设3.1[i（a），ii]和（3.3），上述不等式意味着存在一些独立常数C，使得ehztτ| Zr | drFτi≤e4γ| | Y | | S∞γ1+2γT||l | | T+β| | Y | S∞+ 中国大陆-1Xi=1 | |δi+1（·）| | L∞≤ 从而证明了该权利要求。3.3终端let（Y，Z）中扰动BSDE的误差估计是BSDE（2.3）和（Yi，Zi）到（3.1）的解。让我们把δYit：=Yt-Yit，δZit：=Zt-Zit，δfi（t）：=f（t，Xt，Yt，Zt）- f（t，Xt，Yit，Zit），用于t∈ 二、一∈ {1，···，n}。然后（δYi，δZi）跟随BSDEδYit=δYi+1ti+δi+1（Xti）+Ztitδfi（r）dr-t的ZtitδZirdWr，（3.9）∈ 二、我们的第一个主要结果如下所示。定理3.1。

在假设2.1、2.2和3.1[i（a，b），ii]下，存在一些与n无关的正常数\'q>1和Cp，\'qsuch，对于任何p>1，max1≤我≤东北supr公司∈Ii |δYir | 2pp+nXi=1Ztiti-1E |δZir | dr≤Cp，\'q |π| EhN-1Xi=1 |δi+1（Xti）|p“qip”q证明。它直接遵循下面的命题3.3和3.4。备注3.3。定理3.1表明我们需要E |δ|∝ N-k>2时，右手侧会聚。我们将看到，事实上，k=3是通过短期扩张实现的。提案3.3。在假设2.1、2.2和假设3.1【i（A，b）】下，不等式nxi=1Ztiti-1E |δZir | dr≤ Cpmax1≤我≤nEhsupr公司∈Ii |δYir | 2pi1/p+C |π| n-1Xi=1E |δi+1（Xti）|，适用于任何p>1且具有一些与n无关的正常数C和Cp的情况。对于每个间隔Ii，让我们定义新的逐步可测量的过程βir，r∈ 二、和γir，r∈ 二、如下所示：βir：=f（r、Xr、Yr、Zr）- f（r，Xr，Yir，Zr）δYirδYir6=0，γir:=f（r，Xr，Yir，Zr）- f（r，Xr，Yir，Zir）|δZir |δZir6=0（δZir）.然后，|βi |≤ K是Lipschitz性质的有界过程，根据命题3.1，存在一些与（i，n）无关的正常数C，使得|γir |≤ K（1+| Zr+| Zir）≤ C（1+| Xr |）），R∈ Ii，P-a.s.（3.10）和i∈ {1，···，n}。BSDE（3.9）现在可以写成δYit=δYi+1ti+δi+1（Xti）+zitβirδYir+δZirγir博士-ZtitδZirdWr。（3.11）It^o公式的一个简单应用给出了|δYiti-1 |+Ztiti-1E |δZir | dr=EδYi+1ti+δi+1（Xti）+Ztiti公司-1Eh2δYirβirδYir+δZirγir印尼盾。通过H¨older等式和（3.10），我们可以得到一些正常数C，CpthatZtiti-1E |δZir | dr≤E |δYi+1ti|- E |δYiti-1个|+ C |π| E |δYi+1ti |+C |π| E |δi+1（Xti）|+CZtiti-1Eh |δYir |（1+|γir |）idr≤E |δYi+1ti|- E |δYiti-1个|+ C |π| E |δYi+1ti |+C |π| E |δi+1（Xti）|+Cp |π| Ehsupr∈Ii |δYir | 2pi1/p，其中p是满足p>1的任意常数。

i总结∈ {1，···，n}，一个得到snxi=1Ztiti-1E |δZir | dr≤ E |δYn+1tn|-E |δYt |+C |π| nXi=1E |δYi+1ti |+C |π| nXi=1E |δi+1（Xti）|+Cp |π| nXi=1Ehsupr∈Ii |δYir | 2pi1/p。由于δYn+1tn=δn+1=0，因此在e上得到期望的结果。提案3.4。在假设2.1、2.2和3.1【i（a），ii】下，存在一些与n无关的正常数\'q>1和Cp，\'qsuch，对于任何p>1，Ehmax1≤我≤nsupr∈Ii |δYir | pi≤ Cp，qEhN-1Xi=1 |δi+1（Xti）|p“qi1/”q.证明。让我们使用命题3.3中定义的相同符号sβir，γird。我们还介绍了该过程（γr，r∈ [0，T]），通过γr：=Pni=1γir{ti-1.≤r<ti}。对于（3.8）定义的Z，它满足|γr |≤ K（1+| Zr |+| Zr |）。根据引理2.1和P位置3.2，Z和Z都在HBMO中，γ也在HBMO中。尤其是| |γ| | HBM O≤ 由一些与n无关的常数。从定义A.2中的备注可以看出γ* W∈ BMO（P）。因此，新的概率度量Q可以用dQ/dP=ET来定义，而e是一个Dol'eans数据，指标ET：=eRtγrdWr. 测度Q下的布朗运动WQt由WQt=Wt给出-t的Rtγrdr∈ [0，T]。根据引理A.2，存在一个常数r*满足1<r*< ∞ 因此，对于每1<\'r≤ R*, everseH¨older的权力不平等认为：1/EτEE'rT'Fτ1/r≤ C'r.这里，τ∈ tti是一个任意的f停止时间，C是一个仅依赖于r和HBM O的正常数。我们将q>1作为该r的共轭指数，如下所示。通过最后一次观察，所有这些常数都可以依赖于n来选择。在新的测量Q下，BSDE（3.11）由δYit=δYi+1ti+δi+1（Xti）+ZtitβirδYirdr给出-ZtitδZirdWQr，可解为δYit=等式ERITβirdrδYi+1ti+δi+1（Xti）英尺对于所有t∈ 二、自|βi |≤ K、 一个获得|δYit |≤ eKhiEQ公司|δYi+1ti |+|δi+1（Xti）|英尺.

然后进行迭代|δYit |≤ EQheKPnj=ihj |δYn+1tn |+nXj=ieKPjk=ihk |δj+1（Xtj）|Fti。由于δYn+1tn=δn+1（Xtn）=0，因此得出|δYit |≤ 均衡器Pn编号-1j=ieKPjk=ihk |δj+1（Xtj）|英尺要塞∈ 二、一∈ {1，···，n}。反向H¨older不等式给出δYit≤ eKTEQhn公司-1Xj=i |δj+1（Xtj）|Fti=Ektethetn-1Xj=i |δj+1（Xtj）|Fti公司≤ C'qeKTEhN-1Xj=i |δj+1（Xtj）|\'\'qFti1/(R)q，然后是yieldsmax1≤我≤nsupt公司∈Ii |δYit |≤ C'qsupt∈[0，T]呃N-1Xi=1 |δi+1（Xti）|\'\'qFti1/(R)q.使用Jensen和Doob的最大不等式，最终得到sehmax1≤我≤nsupt公司∈Ii |δYit | pi≤ Cp，qEhsupt∈[0，T]呃N-1Xi=1 |δi+1（Xti）|\'\'qFtip/(R)qi≤ Cp，qEhsupt∈[0，T]呃N-1Xi=1 |δi+1（Xti）|\'\'qFtipi1/q≤ Cp，qEhN-1Xi=1 |δi+1（Xti）|p“qi1/”Q证明了该索赔。4连接qg-BSDEs4的顺序。1 qg-BSDEWe的短期展开式给出了BSDE（3.1）作为短期展开式（bYi，bZi）的解析近似解（Yi，Zi）。我们需要两个步骤，分别涉及Fujii和Takahashi（2012）[27]和（2015）[31]中提出的BSDE线性化方法和小方差展开方法。我们把技术细节留到附录B和附录C中，以便我们可以专注于主要内容。对于每个区间t，我们得到近似解（bYi，bZi）为Byit：=bYi，[0]t+bYi，[1]t，bZit：=bZi，[0]t，（4.1∈ 二、一∈ {1，···，n}，其精确表达式可从（C.15）、（C.16）、（C.17）和（C.18）中读取。

对于数值实现，每个连接点{ti}处的值最相关；在Xti条件下-1=x，x∈ Rd，近似解byi，ti-1，xti-1： =bYiti-1.Xti公司-1=x，bZi，ti-1，xti-1： =bZiti-1.Xti公司-1=X由以下简单的显式公式给出；bYi，ti-1，xti-1=y（ti-1，x）+y[2]（ti-1，x）+hifti公司-1，x，y（ti-1，x）+y[2]（ti-1，x），y[1]（ti-1，x）σ（ti-1，x）, （4.2）bZi，ti-1，xti-1=y[1]（ti-1，x）σ（ti-1，x），（4.3），其中χ（ti，x）=x+hibti公司-1，x,y（ti-1，x）=bui+1χ（ti，x）,y【1】（ti-1，x）=I+嗨xb（ti，χ（ti，x））xbui+1（χ（ti，x）），y[2]（ti）-1，x）=hiTrx、 xbui+1（χ（ti，x））σσ（ti，χ（ti，x））,其中I表示d×d-单位矩阵。关于短期近似误差估计的主要结果由定理C.1给出。我们强调，这个定理本身就很有趣。它提供了强意义下qg-bsdee的短期渐近展开。4.2连接程序我们现在通过以下方案连接这些近似解。定义4.1。（连接方案）（i）设置bun+1（x）=ξ（x），x∈ Rd.（ii）从i=n到i=1重复（a）使用（4.2）计算BSDE（3.1）的短期近似值，并存储值bYi，ti-1，x′ti-1.x′∈b对于一个有限的子集生物路（b）定义航站楼（x），x∈ 下一个周期的RDII-1bybui（x）：=插值bYi，ti-1，x′ti-1.x′∈Bi公司（x） 其中，“插值”表示满足假设3.1（i）中边界的某个平滑插值函数。根据δiin（3.2）的定义，我们得到δi（x）=Yi，ti-1，xti-1.- bui（x）=δiSE（x）+Ri（x），其中δiSE（x）：=Yi，ti-1，xti-1.-bYi，ti-1，xti-1., （4.4）Ri（x）：=bYi，ti-1，xti-1.- bui（x）.

（4.5）这里，δIse表示短期近似的误差（见定理C.1），Ritheinterpolation误差以及呈现近似函数的正则化效应-1，xti-1在满足假设3.1（i）的范围内。备注4.1。尽管其外观相似，但它不同于四步sc血红素（Maet.al.（1994）[38]）、其扩展（如[22，23]）和其他PDE离散化方法。它们通常需要时间t上的差异性，即σσ的均匀椭圆度以及驾驶员的全球视野连续性。特别是，我们不知道有任何文献用这种方法处理控制变量二次增长驱动因素的马尔可夫BSD Es。4.3总误差估计引理4.1。在假设2.1和2.2下，解Yt，t∈ BSDE（2.3）的[0，T]满足连续性属性Esups公司≤U≤T于- Ys公司P≤ Cp公司T- sp/2对于任何0≤ s≤ T≤ 坦德p≥ 2带有一些正常数Cp.Proof。使用Burkholder-Davis-Gundy不等式和假设2.2（i），可以得到≤U≤t | Yu- Ys | pi≤ CpEh公司Zts | f（r，Xr，Yr，Zr）| drp+Zts | Zr | drp/2i≤ CpEh公司Zts公司lr+β| Yr+γ| Zr|博士p+Zts | Zr | drp/2i。由于l，| Y |有界且| Zt |≤ C（1+| Xt |）与常数C，证明了该主张。现在让我们给出本文的主要结果：定理4.1。定义分段常数过程（Yπt，Zπt），t∈ [0，T]byYπT：=bui（Xti-1） ，Zπt：=y[1]（ti-1，Xti-1） σ（ti-1，Xti-1） ，对于ti-1.≤ t<ti，i∈ {1，····，n}和Yπtn=ξ（Xtn），Zπtn=0，其中，构造[1]由定义4.1中的连接方案确定。然后，在假设2.1、2.2和3.1下，存在一些与n无关的正常数\'q>1和Cp，\'qsuch thatmax1≤我≤内赫Y- Yπ2p【ti】-1，ti]i2p+nXi=1Ztiti-1EhZt公司- Zπtidt公司1/2≤ Cp，\'qp |π|+Cp，\'q√内赫nXi=1Ri（Xti-（1）对于任何大于1的p，p“qi2p”Q保持不变。证据

通过简单的操作，我们可以得到max1≤我≤内赫Y- Yπ2p【ti】-1，ti]i1/p+nXi=1 zTiTi-1E级Zt公司- Zπtdt公司≤ Cp公司最大值1≤我≤内赫Yti公司-1.-伊提-1.2pi1/p+nXi=1Ztiti-1E级Zt公司-青春痘dt公司+Cp公司最大值1≤我≤内赫伊提-1.- bui（Xti-（1）2pi1/p+nXi=1Ztiti-1E级青春痘-bZit公司dt公司+Cp公司最大值1≤我≤nEhsupt公司∈二、年初至今- Yti公司-1.2pi1/p+nXi=1Ztiti-1E级bZit公司-bZiti公司-1.dt公司.因此，通过应用定理3.1、C.1、引理4.1、C.7和表达式（4.4）、（4.5）、max1≤我≤内赫Y- Yπ2p【ti】-1，ti]i1/p+nXi=1 zTiTi-1E | Zt- Zπt | dt≤Cp，\'q |π| EhN-1Xi=1 |δi+1（Xti）|p“qip”q+Cp最大值1≤我≤nEh |δi（Xti-1） | 2pi1/p+nXi=1hi+ Cp |π|≤ Cp |π|+Cp，\'q |π| nnp\'q-1nXi=1EhδiSE（Xti-（1）2p气+EhnXi=1 | Ri（Xti-（1）|p“qiop”q≤ Cp，\'q |π|+Cp，\'qnEhnXi=1 | Ri（Xti-（1）|p'qip'q，证明了预期结果。5实施示例5。1有限差分模式美国剩下的问题是找到构造光滑有界函数（bui）的具体方法1≤我≤定义4.1步骤（ii）中使用的n+1。需要注意的是，无需为整个空间x指定bui（x∈ RD但仅适用于那些在互动中使用的人。基于这一观察，我们认为有限差分方案是一种非参数粗粒化方法。让我们假设RDR中的每个Bia栅格立方体都以原点为中心，按大小等距分布. 对于函数v:Rd→ R、 我们将一阶中心差表示为v：Rd→ Rd；(v（x））j：=（v（x+ ej）-v（x）- ej））/（2), j={1，··，d}，其中ej是方向j的单位向量。注意th at，当v∈ C、|十五- v |∝ . 对于高阶差分，我们使用类似于Mv、 m=2，···。让我们排列一系列网格Bi Bi+1满意度M/2≤ |B |≤ |Bn+1 |≤ M、 （5.1）式中，M是一个非常大的常数，| Bi |立方体边缘的长度。让我们写x∈BI当x位于立方体内部，但在网格点上不是必需的，并且表示立方体的边界Bi。引理5.1。

假设bui∈ C∞B∩ L∞和距离（y，Bi）≤ C′ 有一些正常数。然后，表示x∈ 将最近的网格点偏移到y，存在一个常数C suc hbui（y）- 【bui（y）】≤ C,xbui（y）- [xbui（y）]≤ C,xbui（y）- [xbui（y）]≤ C ,哪里[bui（y）]：=bui（x）+xbui（x）·（y）- x） +（y-x）xbui（x）·（y）- x）[xbui（y）]：=xbui（x）+xbui（x）·（y）- x）[xbui（y）]：=xbui（x）。证据从泰勒公式可以明显看出这一点。让我们根据离散化的数量asM=Cnδ/2（5.2），用给定的常数C和任意δ来缩放网格立方体的大小∈ （0，1/ρ），其中ρ≥ 2是稍后指定的整数。（见（5.3）和以下讨论。）在这种情况下，现有的二次增长项hi | x | inbYi，ti-1，xti-（4.2）中的1由Cn批准-立方体内的1+δ。我们现在对第4.1条的连接方案进行如下修改。定义5.1。（具有有限差异的连接方案）（0）设置缩放规则 = ζ|π|ν，常数ζ，ν>0，然后构建网格立方体B序列 B ···  Bn+1 Rd满足（5.1）和（5.2）。（i） 假设bui+1属于C类∞B∩L∞和{bui+1（x）的值，xbui+1（x），xbui+1（x）| x∈已知Bi+1}。（ii）存储{[bYi，ti]的值-1，xti-1] ，x∈ Bi}其中[bYi，ti-1，xti-1] 等于tobYi，ti-1，xti-1由（4.2）计算，bui+1（χ（ti，x））及其导数替换为引理5.1中的近似值。（iii）存储{[bYi，ti-1，xti-1] ，则，[bYi，ti-1，xti-1] | x∈ Bi}。（iv）将buias视为适当的C∞B∩ L∞-类功能（见备注5.1）满足bui（x），xbui（x），xbui（x）[bYi，ti-1，xti-1] ，则，[bYi，ti-1，xti-1] ，则，[bYi，ti-1，xti-1], 十、∈ Bi。哪里 近似等于误差大小，分别以（C）为界, C, C)用一些常数C，平滑地跟踪i，ti-1，xti-1网格立方体外侧，同时保持与内部i相同的精度顺序。