二次增长倒向随机微分方程的求解

e、 ，supx/∈Bi | Yi，ti-1，xti-1.-bui（x）|≤ C supx∈Bi | Yi，ti-1，xti-1.-bui（x）|。备注5.1。函数组的存在性∈ C∞B∩ L∞可以很容易地看到上述方案的满足性（iv）。假设v:Rd→ R是满足maxx的任意光滑有界函数∈Bi | v（x）- [bYi，ti-1，xti-1] |≤ C. 然后，通过构造(五、v） 等于此方案中的bun+1∈ C∞bis步骤（iv）中使用byn+1，tn，xtn=ξ（x）构造的有界函数。如果b与x无关，则无需通过移动网格中心来调整引理5.1。如果b与x成正比，则可以使用对数变换使漂移x-ind再次依赖。如果x位于网格Bi的边缘，则应用非中心差异方案。([bYi，ti-1，xti-1] ，则，[bYi，ti-1，xti-1] ）具有所需的精度。自(五、v） 等于精度为（C）的真导数, C) C=||十五||∞, v实际上是BUI的有效候选人。虽然没有必要单独列出bui，但我们可以假设在候选函数中选择总变化最小的函数，以避免ne ighboring rid点之间不必要的振荡。调整立方体外部的v，使其平滑跟踪Y、I、ti-1，xti-1始终是可能的。备注5.2。从（4.2）和定义5.1可以看出，如果 ↓ 0比|π|快，由于f∈ C、 另一方面，对于C的和，我们至少需要ν>1/3汇聚。有趣的是，对于下一节给出的数值示例，我们发现稳定性（i）是在ν=1/2时实现的，即标度 = ζ|π| 1/2，系数ζ为X的波动率。

标度规则也暗示了抛物型偏微分方程的稳定性问题与显式有限差分方程的关系，但我们需要进一步研究，以了解在极限n下证明假设3.1是否可行→ ∞ 对于一些ν>1/3.5.2的误差估计，不幸的是，我们无法在极限n内证明上述方案的假设3.1→ ∞因为驱动器的非线性。因此，在下面的分析中，我们不得不将注意力限制在n的有限范围内的近似值上。在这种情况下，假设3.1通过在给定范围内取最大值的模拟而变为独立的，并且可以使用包括定理4.1在内的所有估计值。然而，这并不能说明使用内部隔离是否会改善近似。我们需要确认假设3.1的界限在假设5.1的相关范围内保持稳定。（后验检查）值max1≤我≤nmaxx公司∈B′in | bui（x）||xbui（x）||xbui（x）||xbui（x）|确定了一个后验概率，在给定的离散化范围内是稳定的，例如，n∈ 【n，n】。这里是B’i( Bi）表示稍大的网格立方体| B′i |≥ |Bi |+λ| |σi||√Hi和samespacing, 其中λ>1是某个常数，| |σi | | X的最大波动大小i、 e.，| |σ（·，x）| |[ti-1，ti]对于边界附近的xBi。备注5.3。注意，假设5.1确保|mxbui（·）| 0≤M≤3在路径（Xt，t）的（λ）-σ范围内∈ Ii）提供Xti-1.∈Bi。现在考虑定理C.1的条件版本，对于周期Ii=[ti-i、 ti]给定Xti-1.∈Bi。由于（λ）-西格玛范围外路径的贡献被λ的任意幂抑制，因此可以选择其大小，以便外部路径不会改变n的agive范围的误差估计。

实际上，λ 5就足够大了。根据上述注释5.3和定理C.1，存在一个常数C，使得| Yi，ti-1，xti-1.-bYi，ti-1，xti-1 |≤ Ehsupt公司∈Ii | Yi，ti-1，xt-bYi，ti-1，xt | pXti公司-1=xip≤ C（1+| x |ρ）h3/2i≤ CMρh3/2i，十、∈Bi（5.3）这意味着来自B′i的信息- BI仅用于保证误差估计。对于给定的n∈ [n，n]，其中ρ是某个正整数。仔细检查短期扩展中的初始值d依赖性，可以发现在当前设置中ρ=3。然而，ρ的精确值不影响以下估计，并将ρ保留为一般整数ρ≥ 2对于以后的讨论很有用。以下结果表明，假设3.1（ii）通过假设5.1中的后验检验，在一定的NB范围内得到保证。提案5.1。使用缩放规则假设假设2.1、2.2和假设5.1 = ζ|π| 1/2，则存在常数C，使得pni=1 | |δi+1 | | L∞≤ C统一forn∈ 【n，n】。特别是（| | bui | L∞)1.≤我≤nare也是一致有界的。证据根据定义，我们有nxi=1 | |δi+1 | | L∞≤n+1Xi=2nsupx∈Bi公司|Yi，ti-1，xti-1.-bYi，ti-1，xti-1 |+| bYi，ti-1，xti-1.- bui（x）|+ supx公司/∈Bi | Yi，ti-1，xti-1.- bui（x）| o.From（5.3），一个hassupx∈Bi | Yi，ti-1，xti-1.-bYi，ti-1，xti-1 |≤ CMρ|π| 3/2≤ Cn（ρδ-3） /2与常数C一致。下一步，通过构造，| bYi，ti-1，xti-1.-bui（x）|≤ C, |bYi，ti-1，xti-1.-xbui（x）|≤ C以及|bYi，ti-1，xti-1.-xbui（x）|≤ C 在每个网格点x处∈ Bi。构建在网格立方体中的功能可以分为两部分；一个是（4.2）模式的正则化，另一个是与hi成比例的两项。由于（4.2）中的第一项被证实具有高达三阶的有界导数，因此二（一）阶导数的差异以C为界 （C）) 在网格点的任何间隔之间。

对于后者，由于它们属于C类，与h成比例，且x中的二次增长最多，一阶导数的差异以C（1+| x |）h为界≤ CMρh。结合这两者，我们可以看到| bYi，ti-1，xti-1.- bui（x）|≤ C+ C类(+ Mρh） ≤ Cn（ρδ-3） /2两个相邻网格点之间的整个间隔。通过重复相同的动作，在e上可以看到maxx∈Bi | bYi，ti-1，xti-1.- bui（x）|≤ Cn（ρδ-3） /2。结合这两个结果，一个hassupx∈Bi公司|Yi，ti-1，xti-1.-bYi，ti-1，xti-1 |+| bYi，ti-1，xti-1.- bui（x）|≤ Cn（ρδ-3） /2。由于立方体外的bui（x）是按照yi、ti构造的-1，xti-1.∈ Cb公司∩ L∞因此，它保持相同的精度顺序，其中还有supx/∈Bi | Yi，ti-1，xti-1.- bui（x）|≤ Cn（ρδ-3） /2。ThusPni=1 | |δi+1 | | L∞≤ Cn（ρδ-1） /2证明了第一项索赔。迭代使用泛定界，也有| | bui | | L∞≤ eβ|π|||bui+1 | | L∞+ |π| | | l | | T+ Cn（ρδ-3） /2个≤ eβT||ξ| | L∞+ T||l | | T+Cn（ρδ-1） /2个虽然一个人可能只有|bYi，ti-1，xti-1.- xbui（x）|≤ C 当x∈ b导数的方向与边界正交（因为不能将中心差视为[bYi，ti-1，xti-1] 在定义5.1的步骤（iii）中，通过从相邻的内部点进行估计，可以得出相同的结论。这就产生了第二个。提案5.2。使用缩放规则假设假设2.1、2.2和假设5.1 = ζ|π| 1/2。那么就存在一些恒定的C满意度n+1Xi=1 | Ri（Xti-（1）|pi2p≤ 中国大陆-1（5.4）均匀适用于n∈ [n，n]，对于每一个p>1。证据

使用| bYi，ti-1，xti-1.-bui（x）|≤ C（1+| x |ρ）n-3月2日，十、∈Bigiven in（5.3），| | bui | L∞≤ C shownin命题5.1和Byi，ti的二次增长性质-1，xti-1在x中，一项任务是n+1Xi=1 | Ri（Xti-（1）|pi2p≤ |n+1 |最大值1≤我≤n+1EhbYi，ti-1，Xti-1吨-1.- bui（Xti-（1）2pi2p≤ 中国大陆-1最大值1≤我≤n+1Eh（1+| | X |ρIi）2pi2p+C√n最大值1≤我≤n+1Eh（1+| | X | |ρIi）2p||X | | IiM/24pki2p≤ 中国大陆-1+Cp，kn-kδ+1/2。由于k>1是任意的，因此可以获得所需的结果。让我们定义近似分段常数过程（YF-Dt，ZF-Dt），t∈ [0，T]使用有界函数（bui）1≤我≤n+1按照定义5.1进行构造，asif Dt=bui（x），ZF Dt=y[1]（ti-1，x）σ（ti-1，x）对于t∈ [技术信息-1，ti），i∈ {1，···，n+1}。x是双值Fti-1-最接近Xti的可测量r.v-1、推论5.1。假设假设2.1、2.2和假设5.1具有缩放规则 = ζ|π| 1/2。然后存在正常数q>1和Cp，qsuch thatmax1≤我≤nEh | | Y- YF D | | 2p[ti-1，ti]i2p+nXi=1Ztiti-1Eh | Zt- ZF Dt | idt1/2≤ Cp，qn-1/2用于对于n，p均大于1∈ 【n，n】。证据对于t∈ II和x∈ Bi，距Xti最近的网格点-1，一个有| Yπt- YF Dt |≤ |bui（Xti-（1）- bui（x）|{Xti-1.∈Bi}+1{Xti-1个/∈Bi}）≤ C + 2 | | bui | L∞{Xti-1个/∈Bi}和类似的| Zπt- ZF Dt |≤ |y【1】（ti-1，Xti-（1）- y【1】（ti-1，x）| |σ（ti-1，Xti-1） |+| y[1]（ti）-1，x）| |σ（ti-1，x）- σ（ti-1，Xti-（1）|≤ C | Xti-1.- x |（1+| Xti）-1 |）≤ C（1+| Xti-1 |）1{Xti-1.∈Bi}+C（1+| Xti-1 |）1{Xti-1个/∈Bi}。由于切比雪夫不等式适用于集合Xti-1个/∈ Bigives是M的多重因子-K∝ N-kδ/2对于任何k≥ 1，一个getsEh | | Yπ- YF D | | 2pIii2p+Eh | | Zπ-ZF D | | 2PIIII2P≤ 中国大陆-1/2。（5.5）因此，命题5.1、5.2和定理4.1.5.3稀疏网格的应用得出了结论。为了缓解所谓的维数灾难，使用稀疏网格进行高维多项式插值存在一个非常有趣的结果。根据Barthelmann等人的定理8（以及备注9）。

[3] ，已知函数f的紧集上存在满足以下一致估计的插值函数：Rd→ R在Ck类中；sup | x|≤Mf（x）- Aq，df（x）≤ Cq，dN-k（q，d）（对数（N（q，d）））（k+1）（d-1） 。（5.6）此处，Aq，d（f）：Rd→ R是q次插值多项式函数(≥ d） 基于Sm-olyak算法。插值函数由值off（xi）、xi唯一确定∈ H（q，d），其中H（q，d）是稀疏网格，其节点数由N（q，d）给出。Cq，dis一些正常数，仅取决于（q，d）和sup | x|≤M级|m的mxf={0，···，k}。稀疏网格H（q，d）是切比雪夫多项式取极值的点集。有关详细信息，请参见[3，45]及其参考文献。稀疏网格方法看起来很有吸引力，因为（5.6）对维度d只有微弱的对数依赖性。出于我们的目的，我们需要插值f（x）=bYi，ti-1，xti-有效地使（5.6）的右侧为C. 分别考虑（4.2）中第一项和剩余两项的插值。前者的k=3，后者只有yk=1，但与hi成正比∝ . 因此，对于BYI的插值，ti-1，xti-1，节点数N（q，d）∝ ε(∝ nε/2），ε>1可以保持与推论5.1.6数值例子相同的误差估计在本文的其余部分，我们使用说明性模型演示了我们的计算方案及其经验收敛率。为了简单起见，我们在每个时间步使用一个完整的网格（代替Aspase网格）和缩放规则 = ζ|π| 1/2。正如现有文献所述，我们关注的是近似BSDE的初始值（Y=Y0，x），因此计算仅限于相关网格点。

在稀疏网格的高维设置上进行更广泛的测试将留给未来的工作。例如，请参见[41，50]。6.1一个可解的qg BSDELet，我们首先考虑以下d=2的模型，类似于[15]中研究的模型：Xt=x+ZtbXsbXsds+ZtσXs0σXs1 0ρp1- ρdWs，（6.1）Yt=ξ（XT）+ZTta | Zs | ds-ZTtZsdWs，（6.2）其中bi，σi，i∈ {1，2}，ρ∈ [-1、1]和a都是常数。对于本例，通过使用aexponential转换eaYt，t∈ [0，T], 我们得到了一个封闭形式的解：Yt=alogE经验值aξ（XT）英尺, （6.3）其期望值可通过对密度X积分半解析获得。我们使用ξ（X）=3sin（x）+sin（x）（6.4）作为终值函数，并设置x=（1，1）, T=1，b=b=0.05，ρ=0.3。图1（6.2）的拟议方案与seti的经验收敛性，i∈ {1，···，5}。我们测试了以下五组参数（σi=1,2，a）：组=σi=0.5，a=1.0, 设置=σi=0.5，a=2.0, 设置=σi=0.5，a=3.0,设置=σi=1.0，a=3.0, 设置=σi=0.5，a=4.0（6.5）将分区从n=1更改为n=300。在图1中，我们绘制了s eti，i的log（relativeerror）与log（n）的对比图∈ {1，···，5}，其中相对误差由拟定方案估计的Yb确定- 从（6.3）中获得的值从（6.3）中获得的值。正如自然预期的那样，我们使用的“a”越大，就需要越大的ζ来保持导数（通过有限差分方案计算）不发散，正如假设5.1所要求的那样。驱动截断正如我们所强调的，在假设5.1 f下有稳定的导数对于所提出的格式收敛是至关重要的。对于qg BSDE（6.2），如果我们在保持因子ζ = ζ|π| 1/2恒量，我们观察到这些导数（以及Y的估计）实际上是发散的。

在剩下的部分中，我们不必使ζ变大，而是研究驱动因子f的变化，使其在标度ru le之后具有全局Lipschitz常数（见[15]第2.1节）∝ nα，0<α<1。（6.6）Imkeller和Reis（2010）[33]（定理6.2）研究了这种截断下qg BSDE的误差估计，并将其应用于Chassagneux和Richou（2016）[15]的后向数值格式。从定理6.2【33】很容易看出，这种截断不会影响定理4.1收敛速度的理论边界，这也是【15】中研究的方案的情况。图2：（6.2）的拟议方案的经验收敛性，具有截断的驱动因素，使得利普斯奇兹常数标度为N∝ n1/3。我们选择了常数ζ，以便它在不进行任何截断的情况下对集合（6.5）起到一定的作用，并采用了比例因子α=1/3。我们测试了以下七种情况的大二次系数；{a=2，a=4，a=6，a=8，a=10，a=12，a=20}（6.7），同时保持其他p参数相同，即x=（1，1）, T=1，b=b=0.05，ρ=0.3，σ=σ=0.5。（6.8）在图2中，我们根据将分区数从n=1更改为n=500的日志（n）绘制了日志（相对误差）。除粗隔板n外。10，即使对于非常大的二次系数，dr-iver的截断也会产生相当稳定的收敛。我们发现，经验收敛速度没有显著变化，接近1。截断（6.6）的引入看起来很有吸引力，因为不需要根据系数a的不同大小来调整ζ。稳定性（假设5.1）、有限差方案的缩放规则以及驱动的截断（N∝ nα）。这个有趣的问题需要进一步研究。备注6.1。

由于Imkeller&Reis【33】中引入的截断保持了结构条件（假设2.2（i））不变，因此仍然可以使用QGBSDE的误差估计。从定理6.2【33】可以看出，原始qg BSDE及其截断版本的差异由Lipschitz常数N（δY：=Y）决定- YN，δZN：=Z- ZN）标度为| |（δYN，δZN）| | Kp∝ N-β=n-任意β>0的αβ。因此，它不影响对流速度的估计。另一方面，采用Lipschitz BSDE（见第6.2.1节）的简单证明并结合截断方法，无法改善收敛性分析。这是因为在Lipschitz常数上，误差估计的系数通常为nd，指数形式为C∝ 通过使用格伦沃尔引理，eNT=enαt。不可微分终端函数我们现在测试一个不可微分终端函数ξ（x）=min的情况最大值（x，1），3+ 最大值（2- x、 0）（6.9）in（6.2）。如果我们直接应用上一节中给出的有限差分方案，假设5.1中出现的第二和第三阶导数将以1的速率增长/ 和1/,至少，在边界t=t附近。因此，自然有人预计，如果空间不合理化，就会出现一些不稳定性 = ζ|π| 1/2非常小。注意，在e上，只要选择并保持适当的molli fied函数，就可以始终应用第5节的技术。然而，在这种情况下，推论5.1的总误差当然包含了一个由软化引起的附加项。图3：（6.2）的拟议方案与不可微分终端函数（6.9）的经验收敛性。

左侧使用（6.7）中的（6.8）w和a，右侧使用a=10和（6.8），但挥发性（σi）1的不同选择≤我≤2=0.2、0.5、1.0。在图3中，我们使用终端函数（6.9）测试了模型（6.2），并通过直接应用有限差分方案绘制了n=1到n=500的分区数的日志（相对误差）。驱动程序N的相同截断∝ n1/3的使用与前一示例中相同。在左图中，我们用相同的参数集（6.8）测试了相同的7例“a”（6.7）。在右图中，我们保持a=10，但测试（6.8）替换为三种不同的挥发性选择（σi）1≤我≤2=0.2、0.5、1.0。结果非常令人鼓舞。从左边看，虽然我们确实观察到了一些不稳定性，但总体收敛速度与图2中的前一个可区分终端函数的例子没有太大差别。从右图可以看出，波动性的大小对经验收敛速度没有显著影响（但在一定程度上增加了不稳定性）。在计算中，我们观察到，当t远离成熟度时，导数的最大值衰减得更快。事实上，从表达式（6.3）和分部积分公式可以看出，解Yt，·t:Rd→ 对于t<t，R是x的平滑函数，只要x具有平滑密度，这是（Xt）t的currentlog normal模型（6.1）的情况∈[0，T]。上述数值结果（以及下一小节的示例）表明，在适当的条件下，可以放宽假设2.2、3.1（以及5.1）中的条件。