短期债券定价的数值分析方法

在推导方程的过程中，当它变为某个数量时，衡量一个单位风险的预期回报的上升，必须独立于到期日T。它用λ（r，t）表示，由于它的解释，它被称为风险的市场价格。当我们想要为衍生品定价时，除了谈论短期利率的演变外，有必要将其纳入模型的规范中。请注意，该方程适用于任何导数，特定导数确定终端条件P（r，T），其等于安全支付。如果我们只考虑马尔可夫模型，即u，σ和λ仅是变量r的函数，并不明确依赖于时间t（如果我们假设一个没有交易成本的“理想化市场”，有能力以当前价格购买或出售任何所需数量的证券，以短期利率借入/贷出任何数量的资金，并在连续时间内运作，那么盈利是可能的。在推导证券价格方程式时，这种现实的理想化可能这是另一个“满意”短期利率过程的有意义的简单近似值的原因，而不是需要一个极其复杂的模型。短期利率模型（本文研究的9个模型），引入一个新变量τ=T很方便-t到期剩余时间。对于债券价格，我们得到偏微分方程（PDE）- τP+（u（r）- λ（r）σ（r））rP+σ（r）所有r和τ的rP=0∈ （0，T），（6）P（r，0）=1表示所有r。（7）或者，可以在所谓的风险中性度量EQ中建立模型，这是与P等效的概率度量，其中物理观察过程。在风险中性度量中，证券价格可以以预期值的形式表示。

度量值的变化与上述偏导数方法中的市场风险价格有关，并且在数学上基于Girsanov定理（参见[45，第8.6节]）。上述风险中性模型中的一般模型为asdr=|u（r）dt+|σ（r）dwQ，（8），其中wqi是风险中性度量下的维纳过程，而风险中性裂谷和波动性由|u（r）=u（r）给出- λ（r）σ（r），～σ（r）=σ（r），（9）参见【33，第7.2节】。与（6）相比，我们可以看到风险中性公式包含编写估价PDE所需的所有信息。因此，在为债券或其他衍生品定价时，该模型通常以风险中性的形式制定。最后，让我们注意到，价格的两个备选表达式——风险中性测度下的预期值和偏微分方程的解——也通过所谓的费曼-卡克公式进行关联，参见【45，定理8.2.1】。4.2。Vasicek和Cox-Ingersoll-Ross模型认为Ornstein-Uhlenbeck过程是一个由dr=κ（θ）给出的随机过程- r） dt+σdw，其中κ、θ、σ>0为常数，w为维纳过程。这一过程可用作短期利率的简单模型，称为Vasicek模型，正如Old71richVaˇsicek在[61]中所建议的那样。他将风险的市场价格定义为等于常数λ，从而得出债券价格的偏微分方程，其内容如下（回顾其一般形式（6）-（7））-τP+（κ（θ- r）-λσ）rP+σrP=0（10）10所有r和τ的短期利率模型∈ （0，T），对于所有r，P（r，0）=1。

该微分方程可以显式求解；其解的形式为p（r，τ）=A（τ）e-B（τ）r（11）和函数A，B由（见[61]）ln A（τ）给出=-θ+λσκ+σ2κ-1.-E-κτκ+τ-σ4κ（1-E-κτ），B（τ）=1-E-κτκ。（12） 持续波动的后果之一是未来利率的条件正态分布，因此可能出现负利率。历史上，这是提出其他短期利率模型的动机之一。然而，请注意，虽然这些天观察到的一些利率可能确实为负值，但Ornstein-Uhlenbeck随机过程的负值与违约强度模型（导致求解完全相同的抛物线偏微分方程）中没有套利的情况不一致。一种流行的替代方法是考克斯-英格索尔-罗斯模型（Cox-Ingersoll-Ross model）[14]（通常缩写为CIR模型），该模型不允许负利率，同时保留了债券价格的分析可跟踪性。短期利率的随机微分方程由dr=κ（θ）给出- r） dt+σ√r dw，（13），其中κ、θ、σ>0为常数。与Vasicek模型的区别在于波动率，现在它等于σ√r、 直觉上，如果短期利率r很小，那么波动性也很小；如果短期利率为零，波动率也变为零，正漂移将短期利率推至正值。可以表明，该过程在任何时候都是非负的，而且，如果满足条件2κθ>σ，则该过程仍然是严格正的。如果风险的市场价格选择为λ√r、 具有初始条件（7）的方程式（6）变为-τP+（κ（θ- r）-λσr）rP+σr对于所有r和τ，rP=0（14）∈ （0，T），对于所有r，P（r，0）=1。

同样，可以以闭合形式求解，假设解（11），将其插入偏微分方程，并获得函数a（τ），B（τ）的常微分方程组。该系统可以显式求解，精确公式见【14】。4.3。Chan Karolyi Longstaff-Sanders短期利率模型如我们所见，将恒定波动率从Vasicek模型更改为σ√rin-CIR模型可防止短期利率变为负值。然而，相同的原因适用于γ>0的σrγ形式的任何波动率。具有一般短期利率模型的模型11表1。[12]中考虑的单因素短期利率模型是托卡斯蒂克过程的特例（15）。模型：短期利率方程：Merton【38】dr=αdt+σdwVasicek【61】dr=（α+βr）dt+σdwCox Ingersoll Ross（1985）【14】dr=（α+βr）dt+σr1/2dwDothan【20】，【6】dr=σRdW几何布朗运动【37】dr=βrdt+σrdwBrennan Schwartz【7】，【13】dr=（α+βr）dt+σRdcox Ingersoll Ross（1980）【15】dr=σr3/2dwConstant方差弹性【37】dr=βRdW t+σrγdw表2。Vasicek和CIR模型在[12]中给出的假设的参数估计和测试结果。模型：αβσγP-valueunrestricted 0.0408-0.5921 1.6704 1.4999 Vasicek 0.0154-0.1779 0.0004 0 0.0029CIR 0.0189-0.2339 0.0073 1/2 0.0131γ在应用于实际数据时可能表现更好，γ=1/2的假设实际上常常被统计检验所拒绝。Chan、Karolyi、Longstaff和Sanders的开创性论文【12】开始了对波动率正确形式的讨论。作者使用了短期利率过程的代理，并考虑了一个用单个随机微分方程dR=（α+βr）dt+σrγdw（15）表示的一般短期利率模型，该模型被称为CKLS模型。

它包括作为特例的Vasicek（γ=0）和CIR（γ=1/2）模型（因此允许对其进行模型参数的统计检验），以及其他几个模型，见表1。Chan等人使用广义矩法估计参数。他们发现参数γ与Vasicek和CIR模型所示的值存在显著差异，见表2。[3]对广义矩法（所谓稳健广义矩法）进行了改进，该方法对异常值的存在具有鲁棒性。这类估计器的另一个贡献是[17]的间接稳健性估计。另一种常用的参数估计方法是基于近似似然函数的诺曼高斯估计[40]。12短期利率模型他们在[21]中被广泛用于各种利率市场。对于短速率过程，有几种校准方法，如拟极大似然法、基于ait-Sahalia的似然函数级数展开的极大似然法[2]，以及马尔可夫链蒙特卡罗等贝叶斯方法。这些方法的一个共同特点是将一定的市场利率作为短期利率的代理，并使用时间序列分析的计量经济学技术来估计模型的参数。这些参数可用于之后对债券和其他衍生品定价。例如，在[43]中，首先使用诺曼方法估计了CCLS过程的参数，然后使用Box方法通过数值求解偏微分方程来计算衍生品价格。有关此类结果的更多信息，请参见【41】、【42】。另一种方法是使用衍生品价格来校准模型的参数。

然而，这需要快速计算价格，因为在校准过程中，必须使用不同的参数多次计算价格。Vasicek和Cir模型的债券定价方程的精确解使这两种模型的情况成为可能，参见[49]、[50]。一般来说，当没有精确解时，近似解析解提供了一种方便的替代方法。4.4。另一个单因素模型改变恒定波动率并不是确保短期利率积极性的唯一方法。另一种简单的方法是将短期利率定义为一个正函数，而短期利率是一个随机过程。特别是，Black Karasinski模型[5]（由于其结构，也被称为指数Vasicek，参见[8，第3.2.5节]）将短期利率定义为r=ex，其中x遵循Ornstein-Uhlenbeck过程dx=κ（θ- x） dt+σdw。（16） 注意，在Black-Karasinski模型的情况下，短期利率r的随机微分方程为asdr=r（κθ+σ- κln r）dt+σr dw，这意味着短期利率没有线性漂移，这与之前考虑的模型相同。Ait-Sahalia在[1]中提出了另一个非线性漂移模型，当利率保持在其域的中间部分时，产生的均值回归非常小，而在域的两端产生的非线性均值回归很强。这个性质是由随机微分方程dr=（α-1r级-1+α+αr+αr）dt+σrγdw，α的漂移函数图见图4-1=0.000693，α=-0.0347，α=0.676，α=-4.059，摘自【2】。短期利率模型130 0.20.10.02 0.04 0.06 0.08 0.12 0.14 0.16 0.1800.1-0.06-0.04-0.020.020.040.060.080.12短期利率漂移图4。Ait-Sahalia模型参数α的非线性漂移-1=0.000693，α=-0.0347，α=0.676，α=-4.059，摘自【2】图5。

欧元利率-从同一点开始的期限结构示例。数据来源：http://www.emmi-benchmarks.eu4.5.短期利率是多个因素的总和使用单因素短期利率模型的后果之一是债券价格的形式为P=P（τ，r）。这意味着给定期限的债券价格由短期利率水平唯一决定。将其转换为期限结构的语言：期限结构由其开始（小型到期利率，即短期利率）唯一确定。虽然这在某些时间段内可能不是一个不合理的利率属性，但在其他时间段内显然不成立，如图5所示。如果我们将短期利率定义为更多因素的函数，即r=r（x，…，xn），那么债券价格的形式为P=P（τ，x，…，xn）。如果可以对系数x……的多个组合实现相同的短期利率水平，xn，这些可以产生不同的债券价格，从而产生期限结构，如图5所示。此外，决定短期利率的因素本身可能有一个似是而非的解释。14短速率模型在【4】中，作者提出了短速率r到ber=u的模型-nXj=1xi，其中u被解释为长期平均速率和x，xn表示n条经济“新闻”流的当前效应，其中包括有关央行决策、经济统计等的谣言。每条新闻的到来都是通过过程dxi=ξixidt+σidwi（负常数ξi）和可能相关的维纳过程wi）建模的。因此，任何新闻的影响都会以指数形式消失。

如果风险的市场价格被认为是恒定的，那么可以用封闭的形式来表示债券价格。[10]中制定了单因素CIR模型的多因素版本，其中短期利率r是n个分量的总和，即r=nXj=1ri，（17），每个XI遵循贝塞尔平方根过程dri=κ（θ- ri）dt+σi√ridwi，（18）假设独立的维纳过程。它们的独立性和风险市场价格λi的选择√riagain允许债券价格的分析表达式。在图6中，我们显示了一个双因素CIR模型的样本轨迹，其参数等于κ=0.7298，θ=0.04013，σ=0.16885，κ=0.021185，θ=0.022543，σ=0.054415，这些参数取自【10】。方程（17）-（18）可以推广到一般的CKLS过程（15）和相关的维纳过程。然而，除特殊情况外，债券价格的封闭式公式不可用，因此，有必要对其进行近似。4.6。随机波动率多因素利率模型非恒定波动率是已知的，尤其是从股票市场和衍生期权中。最著名的衡量波动率的指数可以说是VIX，即CBOE波动率指数。这是衡量标准普尔500指数期权价格所传达的市场对近期波动性预期的关键指标。自1993年推出以来，它一直被许多人认为是投资者情绪和市场波动的晴雨表。我们在图7中展示了它的演变。看见http://www.cboe.com/micro/VIX/vixintro.aspxShort利率模型150 241 350.5 1.5 2.5 3.54.500.10.020.040.060.080.12时间因素R1均衡水平R1均衡水平r20 241 350.5 1.5 2.5 3.54.500.10.020.040.060.080.12时间因素短期利率图6。

双因素CIR模型：参数κ=0.7298，θ=0.04013，σ=0.16885，κ=0.021185，θ=0.022543，σ=0.054415的样本轨迹和短率，取自【10】。图7：。VIX，CBOE波动率指数。数据来源：http://www.cboe.com/micro/VIX/16短期利率模型除波动率是非常数和随机的外，还有证据表明其在不同于股票价格的时间尺度上演化，参见Jean-Pierre Fouque的一本简明书籍【23】，George Papanicolaou和K.Ronnie Sircar总结了他们在这方面的工作，即在包含此特征的模型中，使用摄动方法求解期权价格的偏微分方程。大约十年后的2011年，同一位作者以及KnutSolna出版了一本内容更广泛的新书【24】，内容涉及股票、利率和信贷衍生品的多尺度随机波动性，因此该书的标题中已经有利率这一主题。波动率的随机性及其测量中的利息也可以从以下事实中看出：CBOE已经开始计算与利率市场相关的所有波动率指数：CBOE/CBOT 10年期美国国债波动率指数和CBOE利率掉期波动率指数。例如，让我们考虑一下随机波动率Vasicek模型，如【23】所示。它与普通Vasicek模型的不同之处在于其波动性。它不是一个常数，而是一个非负函数f，以随机过程y的值计算，遵循Ornstein-Uhlenbeck类型：dr=κ（θ- r） dt+f（y）dw，dy=κ（θ- y） dt+v dw，其中增量dw和dw之间的相关性为ρ∈ (-1，1）。经验数据表明ρ>0，参见，例如，[23，p。

177]。Fong和Vasicek在[25]中通过以下随机微分方程组提出了随机波动率短期利率模型的另一个例子：dr=κ（θ- r） dt公司+√y dw，dy=κ（θ- y） dt+v√y dw，其中维纳过程可以关联，增量dw和dwisρ之间的关联∈ (-1，1）。如果风险的市场价格由λ给出√y（短期利率风险的市场价格）和λ√y（波动风险的市场价格），那么债券价格的偏微分方程可以分解为三个常微分方程组。4.7。收敛多因素模型建模货币联盟的进入Corzo和Schwarzin[16]提出了利率的基本收敛模型，其中他们对欧洲WWW形成之前的利率进行了建模。cboe。com/VXTYNWW。cboe。com/SRVx注意，该模型是单因素CIR模型的推广，风险市场价格的选择也可以被视为该模型的推广。17货币联盟的近似解析解。参与国于1999年1月确定了对欧元的汇率。在固定汇率的情况下，各国的利率必须相同。然而，在确定汇率之前，就可能观察到参与国的利率趋同。这推动了欧洲短期利率REAN和国内短期利率rd的以下模型：drd=（a+b（re- rd）dt+σddwd，（19）dre=c（d-re）dt+σedwe，（20）其中维纳过程通常是相关的：cov（dwd，dwe）=ρdt。请注意，方程式（20）是欧洲利率的Vasicek模型，而（19）模型是国内利率与欧洲利率的回归，a给出了可能的微小差异。