短期债券定价的数值分析方法

图8显示了参数c=0.2087、d=0.035、σe=0.016（欧洲利率）、a=0.0938、b=3.67、σd=0.032（国内利率）和相关系数ρ=0.219（摘自【16】）的样本轨迹。请注意，在非零a的情况下，从（19）的瞬时漂移迫使国内利率不完全转换为欧洲利率re，而是值re+a/b。对于给定的一组参数，“散度项”a/b大约等于0.02，如图8所示。然而，在固定汇率下，a的经济合理值为零。事实上，当原始模型使用[16]年加入欧洲货币联盟（EMU）前的最后3.5年进行估计时，这个系数变得非常不重要。我们还注意到，有趣的是，参数a的负值也会在模型的推广中引起数学问题（与短期利率演变以及债券价格相关），参见【34】。在风险的市场价格不变的情况下，国内债券价格有一个明确的解决方案，即p（τ，rd，re）=A（τ）e-B（τ）rd-C（τ）re。（21）在【16】中，作者声称可以对CIR型收敛模型进行相同的分析；Lacko在[34]中对此进行了研究。如果DWD和dweis之间的相关性为零，则可以将解重新写成（21）形式，并且可以通过求解常微分方程系统以数值方式找到函数。在一般相关情况下，解决方案不能以单独的形式（21）编写。对于另一种自然的泛化也是如此，其中欧洲利率由CKLS型过程（15）建模，我们在描述国内利率行为的方程（19）中允许波动率σdrγdalso的一般形式。

债券价格的解析近似公式——CKLS型模型由Z'ikov'a和Stehl'ikov'a在【59】中研究。请注意，欧洲债券的一个明确解决方案来自这样一个事实，即我们对欧洲利率使用了aclassical Vasicek模型。18近似分析溶液0 241 350.5 1.5 2.5 3.54.500.10.020.040.060.080.120.140.010.030.050.070.090.110.13时间利率欧洲利率均衡欧洲利率国内利率图8。CorzoSchwarz收敛模型中欧洲和国内短期利率的样本路径，参数a=0.0938，b=3.67，σd=0.032，c=0.2087，d=0.035，σe=0.016，ρ=0.219，取自[16]。选定债券定价问题的近似解析解让我们考虑一个市场利率和欧元银行同业拆借利率的例子。小组银行提供每日利率报价，四舍五入至小数点后两位，每个小组银行认为一家主要银行向另一家主要银行报价欧元区内的银行间定期存款。然后，在从面板银行收集数据后：计算代理应针对每个到期日，剔除所收集的所有报价中的最高和最低15%。其余费率将取平均值并四舍五入至小数点后三位。这些费率以百分比点表示。除以100后，我们得到的是十进制数，在前一章描述的模型中用作变量r。因此，市场数据中的值（例如0.123个百分点）不是一个准确的数字，但就十进制数字而言，可以表示区间[0.001225，0.001235]中的任何数字。另一方面，从模型中获得的该区间的任何两个数字实际上都是无法区分的。因此，在分析市场利率时，计算中超过一定精度不会带来任何实际优势。

换句话说，与某些小数点重合的两个近似结果实际上同样有用，因此比较它们的计算复杂度是可行的。我们处理的近似解析解在这方面非常方便。近似解析解195.1。Chan-Karolyi-Longstaff-Sanders模型在本节中，我们考虑风险中性测量的Chan-Karolyi-Longstaff-Sanders（以下简称CKLS）模型r=（α+βr）dt+σrγdw，（22），其中w是维纳过程。请注意，线性漂移与[61]原始Vasicekmodel中的物理度量公式和市场风险价格选择一致，γ=0，以及[14]中提出的Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型，γ=1/2，见（10）和（14）。当当前短期利率水平为r且剩余到期时间为τ时，贴现债券的价格P（τ，r）由偏微分方程的解给出-τP+σr2γrP+（α+βr）卢比- rP=0，r>0，τ∈ （0，T）（23）对于所有r>0，满足初始条件P（0，r）=1，参见，例如，[32]，[8]。回想一下，在Vasicek和CIR模型的情况下，债券定价偏微分方程的显式解是已知的。5.1.1。Choi和Wirjanto的近似公式考虑了短期利率r演化的风险中性度量中的随机微分方程（22）和债券价格P（τ，r）的相应偏微分方程（23）。Choi和Wirjanto的论文[11]的主要结果是精确解Pex的以下近似Pap：定理2。[11，定理2]n Pap（τ，r）=-rB+αβ（τ-（B）+r2γ+qτσ4βB+β（τ-（B）-qσ8βB（2βτ- （1）- 2B级2τ-β+ 2τ-6τβ（24）式中q（r）=γ（2γ- 1） σr2（2γ-1） +2γr2γ-1（α+βr）（25）和b（τ）=（eβτ- 1） /β。

（26）公式（24）的推导基于将价格计算为风险中性度量中的预期值。利用条件期望的树状性质，将精确价格中出现的积分近似为20个近似解析解，得到一个闭式近似。有关（24）推导的更多细节，请参阅[11]。作者进一步表明，这种近似与Vasicek模型的精确解相一致【61】。此外，他们将上述近似值与CIR模型的精确解进行了比较，CIR模型的精确解也是以闭合形式存在的。作者还提供了相对错误定价的图形演示，即债券价格的相对错误。5.1.2。Choi和Wirjanto近似公式的渐近分析如【11】中给出的数值示例所示，在τ较小的情况下，债券价格的误差较小。此外，对于τ=0，公式是精确的。这表明在渐近分析中使用τ作为一个小参数。在γ=1/2的情况下，使用精确解Pexciri（即Cox-Ingersoll-Ross模型），计算其在点τ=0附近的τ展开式，并将其与Choi和Wirjanto近似公式PapCIR的展开式进行比较，得到了γ=1/2的PapCIR（τ，r）- ln PexCIR（τ，r）=-σαβ+r（β- 4σ）τ+o（τ）asτ→ 0+。考虑到债券价格的对数，我们可以估计债券价格的相对误差（上一小节的相对错误定价）和形成利率期限结构的利率的绝对误差。在CIR模型的情况下，扩展近似和精确解的结果激发了在一般CKLSmodel（即任意γ）的情况下也找到类似的估计。在文[54]中，我们证明了以下定理：定理3。

[54，定理3]设Pappe为（24）给出的近似解，Pexbe为（23）给出的唯一完全解的精确债券价格。Thenln Pap（τ，r）- ln Pex（τ，r）=c（r）τ+o（τ）asτ→ 0+其中C（r）=-γr2（γ-2)σ2α(-1+2γ）r+4βγr- 8r3+2γσ+2β（1-5γ+6γ）r2（1+γ）σ+σr4γ（2γ-1） （4γ- 3） （27）+2αrβ(-1+4γ）r+（2γ- 1） （3γ- 2） r2γσ.此外，证明方法能够提出一个更高精度的近似公式，如以下定理所述。近似解析解21定理4。[54，定理4]让Pexbe得到债券的确切价格。让我们用公式ln Pap2（τ，r）=ln Pap（τ，r）定义改进的近似Pap2- c（r）τ- c（r）τ（28），其中ln Papis由（24）给出，c（τ）由定理3和c（r）中的（27）给出=σr2γc（r）+（α+βr）c（r）-k（r）式中，c（r）w.r对r的一阶和二阶导数的Cnd和Cst，以及kis定义的Byk（r）=γσr2(-2+γ）h6αβ(-1+2γ）r+12βγr- 10（1- 2γ）r1+4γσ+6βσ1.-5γ+6γr2（1+γ）+βr2γσ-10（5+2γ）r+3（1- 2γ）(-3+4γ）r2γσ+2αr3β(-1+4γ）r+3β2.-7γ+6γr2γσ- 5(-1+2γ）r1+2γσ. （29）然后是（28）得出的高阶近似值ln Pap2与精确解ln Pexsatis fiesln Pap2（τ，r）之间的差值- ln Pex（τ，r）=o（τ）asτ→ 0+。在表3中，我们显示了L∞和L-关于差分Pap的r的范数- ln Pexand ln Pap2- 在Pex我们考虑r∈ [0，0.15]。我们还计算了这些范数中的实验收敛阶（EOC）。回想一下，实验收敛阶给出了误差kln Pap（τ，.）的预期幂律估计指数α的近似值-ln Pex（τ，.）k=O（τα）为τ→ 0+。EOCI由比率=ln（erri/erri+1）ln（τi/τi+1）给出，其中erri=kln Pap（τi，.）- ln-Pex（τi，.）kp。在表3中，我们显示了L-τ值较大时，原始近似值与改进近似值之间的差值误差。

结果表明，在长达10年的长时间范围内，高阶近似pap2使债券价格的近似值提高了大约两倍。L和L∞用kfkp=（hP | f（xi）| p）1/pand kfk给出了在具有步骤h的网格上定义的函数f的范数∞= 最大| f（xi）| 0.22近似解析解表3。L∞和L-原ln-PapCir的错误和ln-Pap2CIRapproximations的改进。参数设置为等于α=0.00315，β=-0.0555，σ=0.0894。资料来源：Stehl'ikov'a和ˇSevˇcoviˇc【54】。τkln Pap- ln Pexk公司∞九龙平机会2号- ln Pexk公司∞EOC1 2.774×10-74.930 4.682×10-107.0390.75 6.717×10-84.951 6.181×10-117.0290.5 9.023×10-94.972 3.576×10-127.0040.25 2.876×10-10–2.786×10-14–τkln Pap- ln PexkEOC kln Pap2- ln PexkEOC1 6.345×10-84.933 9.828×10-117.0420.75 1.535×10-84.953 1.296×10-117.0310.5 2.061×10-94.973 7.492×10-137.0120.25 6.563×10-11–5.805×10-15–5.1.3。基于Vasicek模型的近似我们的目标是提出一个尽可能简单的公式，但仍然能够很好地近似于债券的精确价格。在校准模型时使用近似值需要对不同参数集的值以及到期时间和短期利率水平进行多次评估。因此，其简单的形式可以提高校准程序的效率。特别是，本节中Stehl'ikov'a在[62]中发布的近似值导致了一维优化问题。再次，我们考虑了短期利率r演化的风险中性度量中的模型（22）和债券价格P（τ，r）的相应偏微分方程（23）。回想一下，在Vasicek模型的情况下，即γ=0时，溶液Pvascan以闭合形式表示：ln Pvas（τ，r）=αβ+σ2β1.-eβτβ+τ+σ4β（1-eβτ）+1-eβτβr。

（30）现在，让我们考虑一个一般模型（22）和通过用Vasicek价格（30）中的瞬时波动率σrγ代替σ得到的债券价格近似值，即ln Pap（τ，r）=αβ+σr2γ2β1.-eβτβ+τ+σr2γ4β（1-eβτ）+1-eβτβr.（31）定理5。[62，定理1]设Pappe为（31）的近似解，Pexbe为（23）的精确债券价格。Thenln Pap（τ，r）- ln Pex（τ，r）=c（r）τ+o（τ）近似解析解23图9。比较CIR模型（实线）中的精确项结构，基于Stehl'ikov'a（交叉）的Vasicek模型的近似值，以及Choi和Wirjanto（圆）的[11]近似值。参数设置为等于α=0.00315，β=-0.0555，σ=0.0894。资料来源：Stehl'ikov'a，[62]。asτ→ 0+其中C（r）=-γr2γ-2σ[2αr+2βr+（2γ- 1） r2γσ]。对于近似公式的实际使用，除了精度顺序外，误差的绝对值也很重要。将近似值与CIR模型的精确值以及[11]中的参数值进行比较，结果表明（精确值参见[62]）对于较短的到期日，差异小于市场数据引用的准确性。例如，欧元银行同业拆借利率（Euribor）以四舍五入至小数点后三位的百分比表示。此外，图9显示，尽管这种近似的精度比[11]中的近似精度低一个数量级，但它给出了实际参数集的数值可比结果。让我们考虑基于理论利率和市场利率比较的单因素模型校准，其中参数选择为24个近似分析解最小化函数f=mnnXi=1mXj=1wij（R（τj，ri）-Rij），（32），其中ri（i=1，…，n）是第i天观察到的短期利率，τj（j=1。

，m）是数据集中利率的第j个到期日，Rijis是第i天到期日为τ的利率，R（τ，R）是到期日为τ的利率，对应于根据给定参数和权重的模型计算的短期利率R。在[50]和[49]中，该方法与wij=τj（即，给予更长期限更多权重）一起使用，以使用利率的显式解校准Vasicek和CIR模型。为了达到目标函数的全局最小值，作者采用了进化策略。如果我们尝试使用这种方法来估计具有不同γ的模型，而不使用解析近似，那么计算将变得非常困难，因为对目标函数的每次评估都需要模型的数值解（23）。请注意，进化策略中的每个种群成员都需要进行评估（详情请参见[49]）。使用解析近似简化了目标函数的计算，但通常优化问题的维数不变。我们表明，使用本文提出的近似方法，我们能够将校准简化为一维优化问题，该问题可以使用简单的算法快速解决。因此，我们考虑将标准（32）替换为根据（31）计算得出的近似RAP（τ，R）。注意，近似公式ln是参数α和σ的线性函数；可以写成ln Pap（τ，r）=c（τ，r）+c（τ，r）α+c（τ，r）σ，其中c=1-eβτβr，c=β1.-eβτβ+τ, c=r2γ2β1-eβτβ+τ+1.-eβτ2β！。因此，取（32）对α和σ的导数，并将其设为零，就可以得到这两个参数的线性方程组。这意味着，一旦我们将γx化并将β作为参数，我们就可以得到每个β对应的α和σ的最佳值。

将它们代入（32）则会导致一维优化问题。通过在γ值范围内进行此操作，我们也可以找到最佳参数γ。我们在模拟数据上展示了所提出的想法。再次，我们考虑了具有[11]中参数的CIRmodel，并模拟了每日期限结构-到期日为1、2、3、…、的利率，12个月，使用CIR模型的精确公式-一年一段时间。在目标函数（32）中，我们使用权重wij=τjas近似解析解25表4。使用利率近似公式估计参数γ。使用精确公式模拟数据，参数α=0.00315，β=-0.0555，σ=0.0894，γ=0.5。使用的到期日为1，2，12个月（以上）和1、2、…、，5年（以下）。资料来源：Stehl'ikov'a，[62]γαβσF0 0.00324-0.0578 0.0176 1.1×10的最佳值-120.25 0.00319-0.0565 0.0403 2.9×10-130.5 0.00315-0.0555 0.0896 1.1×10-150.75 0.00312-0.0548 0.1912 6.3×10-131 0.00310-0.0548 0.3813 2.5×10-12γαβσF0 0.00377-0.0663 0.0214 1.0×10的最佳值-80.25 0.00344-0.0607 0.0432 2.4×10-90.5 0.00311-0.0553 0.0860 2.2×10-100.75 0.00281-0.0506 0.1688 6.7×10-91 0.00256-0.0471 0.3238 2.7×10-8英寸【50】和【49】。之后，我们重复相同的程序，到期日为1年、2年、3年、4年和5年。表4给出了几种γ值的估计结果，展示了估计参数和目标函数F的最佳值。5.2。

一般单因素模型：幂级数展开前几节中考虑的近似值有一个共同特点：它们的精度顺序可以用形式n-Pap（τ，r）表示- ln P（τ，r）=c（r）τω+o（τω）（33）asτ→ 0+，其中P是精确的债券价格，PAPI是建议的近似值。关系式（33）断言ln-papan和ln-P的泰勒级数在一定的阶上重合。特别是，在[54]中，已经表明，对于[11]中的CKLSmodel公式，关系式（33）与ω=5保持一致，并且推导出了导致ω=7的改进。[62]中提出了一个ω=4的简单公式。对于多因素模型，也有类似的估计。这些结果表明，泰勒展开式（价格本身及其对数）也可能是一个很好的近似值。让我们考虑一个具有常数系数dr=u（r）dt+σ（r）dw的一般单因素模型。（34）26近似解析解回顾债券价格P（τ，r）是偏微分方程的解-τP+u（r）rP+σ（r）卢比- rP=0（35），对于所有r>0，τ∈ （0，T）和初始条件P（0，r）=1，对于所有r>0。PDE的易转换导致债券价格的对数满足方程，即f（τ，r）=log P（τ，r）：-τf=σ（r）(射频）+rrf+ u（r）射频- r=0（36），对于所有r>0，τ∈ （0，T）和初始条件f（0，r）=0，对于所有r>0。将这些函数按τ=0的级数展开式写入格式P（τ，r）=∞Xj=0cj（r）τj，f（τ，r）=∞Xj=0kj（r）τj（37）使我们能够以闭合形式计算参数cj或kj。这种方法的实际应用取决于这些序列的收敛速度，即τ和r的合理值。然后，我们可以通过将有限和（37）终止于某个指数J来近似债券价格及其对数。我们展示了[60]的结果。