短期债券定价的数值分析方法

首先，使用与前一章相同的参数在CKLSmodel上测试近似值；结果表明，所提出的问题具有实际应用的可能性。作为另一个例子，考虑了Dothan模型。Dothan模型[20]假设风险中性度量中的短期利率遵循随机微分方程dr=urdt+σrdw。Dothan模型中的零息票债券有一个显式的解，但计算起来很复杂（参见[8]）。因此，我们使用[28]中计算的Dothan债券价格，其误差估计可用。它们精确到给定的四位小数。将u（r）=ur和σ（r）=σr设置到系数的递归公式中，将得到价格及其对数的系数。在数值实验中，我们使用了[28]中的值。作者为零息票债券定价，该债券在到期日T时支付100美元（因此其价格是目前价值的100倍）。使用他们的迭代算法，对于τ=1、2、3、4、5、10，他们获得了所有参数组合的精度为四位小数，在某些情况下，还获得了更高的成熟度。如表5所示，从[28]中选择的值用于测试更广泛参数和到期日的近似值。通过考虑所谓的指数展开，推导出Arrow-Debrew价格的闭合形式短期近似值，债券价格或其他近似解析解27见表5，可以增强短期渐近展开的思想。Dothan模型中的债券价格，具有指定的参数和到期日，且短期利率的初始值r=0.035-Taylorapproximation与精确值的比较。

源Stehl'ikov'a【60】参数τTaylor，J=3 Taylor，J=5 Taylor，J=7精确【28】u=0.005，σ=0.01 1 96.5523 96.5523 96.55232 93.2082 93.2082 93.2082 93.20823 89.9666 89.9663 89.96634 86.8260 86.8251 86.82515 83.7852 83.7830 83.783010 70.0312 69.9977 69.9982 9982u=0.005，σ=0.02 1 96.5525 96.5525 96.5525 96.55252 93.2099 93.2098 93.2098 93.20983 89.9721 89.9715 89.97154 86.8391 86.8370 86.8370 86.83705 83.8362 83.8056 83.8057 83.805710 70.4396 70.1530 70.1551 70.1551u=0.005，σ=0.03 1 96.5527 96.5527 96.5527 96.55272 93.2115 93.2113 93.2113 93.21133 89.9776 89.9767 89.9767 89.97674 86.8521 86.8491 86.8491 86.84915 83.8362 83.8287 83.8287 83.828710 70.4396 70.3112 70.3151 70.3151可以通过单个积分获得导数。这项技术最初由Makri和Miller在《化学物理》中介绍【36】，后来由Capriotti介绍给Financeby【9】。Stehl'ikov'a和Capriotti在[63]中使用它来计算Black Karasinski模型中的债券价格。推导了短期利率模型中债券价格的指数展开式，其中r=r（x），其中辅助过程的形式为dx（t）=u（x）dt+σdw，（38），其中u（x）是漂移函数。请注意，该过程具有恒定的波动率σ，但在一般情况下，可以通过积分变换将一般状态相关的波动率函数映射到这种情况。注意，Ait-Sahalia在[2]中的近似跃迁密度中也使用了这种变换。债券价格不直接计算；相反，所谓的Arrow-Debreuprices由封闭式公式近似，债券价格由单个数值积分得出。

箭头Debreu pricesψ（x，T；x）是作为偏微分方程的解给出的（见【52】）tψ=- r（x）- xu（x）+σ十、ψ、 （39）初始条件ψ（x，0；x）=δ（x- x） 。在28个近似解析解表6中寻找解决方案。当短期利率的初始水平为r=0.06时，比较Black Karasinski模型中六个月（左）和一年（右）到期的债券价格的连续近似值，参数a=1，b=ln 0.04，σ=0.85。阶次泰勒指数展开式泰勒指数展开式1 0.970000 0.969249 0.940000 0.9374312 0.968045 0.968138 0.932179 0.9330373 0.968123 0.968140 0.932807 0.9330774 0.968141 0.968142 0.933097 0.9331055 0.968142 0.968142 0.933118 0.9331066 0.968142 0.968142 0.933110 0 0.933106表7。当空头利率的初始水平为r=0.06时，与蒙特卡罗获得的价格相比，在Black-Karasinski模型中，当参数a=1，b=ln 0.04，σ=0.85时，用六阶指数展开和不同的卷积步骤计算债券价格。资料来源：Stehl'ikov'a和Capriotti，[63]。成熟度卷积步长：5卷积步长：2.5卷积步长：1 MC5 0.65949 0.65955 0.65966 0.659710 0.46139 0.46222 0.46229 0.462320 0.26812 0.26827 0.26831 0.2683形式ψ（x，t；x）=√2πσtexp-（十）-x） 2σt- W（x，t；x）, （40）并将其插入（39）中，得到W（x，t；x）的偏微分方程。

在表格W（x，t；x）中写入=∞Xn=0Wn（x；x）tn，（41）允许递归计算函数Wn（x；x）作为一阶线性常微分方程的解。与前面描述的简单泰勒展开相比，债券价格的这种形式的展开导致了更快的收敛，尤其是对于更长期限的债券，见表6。分离指数展开的一个重要优点是，可以通过卷积方法在大时间范围内系统地提高其精度，参见算法的[63]。这使得即使是到期时间超过20年的零息票债券，产生的结果也能精确到4个重要数字以上。这记录在表7中，其中的结果与蒙特卡罗价格进行了比较。近似解析解295.3。随机波动率模型中波动率的快速时间尺度在Stehl'ikov'a和ˋSevˇcoviˇc的论文【57】中，研究了具有随机波动率的广义CIR模型。瞬时利率（短期利率）r由形式（13）的均值回复过程建模，其中常数σ出现在波动率函数σ中√r被随机色散y的平方根代替，即dr=κ（θ- r） dt公司+√Y√r dwr。（42）短期利率的随机微分方程由dy=α（y）dt+v给出√y dwy，（43）在函数α上给出了某些条件：[0，∞) → R为零和完整，参见[57，假设A]和[57，引理1]中的具体示例。假设维纳过程的微分dwyand和dwrare是不相关的。本文提供了一种建模工具，用于模拟可在实际市场中观察到的快速振荡随机波动率的影响，参见[23]、[24]。如果色散y的时间刻度长度用ε表示，则变量y读数的方程（43）如下：dy=α（y）εdt+v√Y√εdwy。

（44）在下文中，我们假设0<ε 1是一个小的奇异参数。该过程的条件分布的密度由福克-普朗克方程的解给出。然后，其平稳分布的密度g（y）由平稳福克-普朗克方程的归一化解给出，该方程的读数为asvy（yg）- 对于过程（44），y（α（y）g）=0（45）。注意，极限密度函数g与标度参数ε>0无关。风险函数的市场价格被视为形式∧（t，r，y）=λ√R√y、 λ（t，r，y）=λ√y、 式中λ，λ∈ R是常数（请注意，这是原始单因素CIR模型的推广，该模型假设风险的市场价格与短期利率R的平方根成比例）。然后，我们将债券价格P的部分微分方程改写为算子形式：（ε-1L+ε-1/2L+L）Pε=0，（46）本文中考虑的函数α的具体示例模拟了一种波动率聚集现象，其中可以在密度分布的两个局部极大值附近观察到分散。特别是，它使用了一个随机微分方程，该方程导致波动率的极限密度等于两个伽马密度的凸组合，这已在[55]中提出。然而，使用极限分布及其统计矩，得出了一般过程（43）的结果。30近似解析解，其中线性微分算子L，L，lar定义如下：L=α（y）y+Vy、 L=-λvyy、 L=t+（κ（θ-r）-λry）r+ryrr（右后）-r、 接下来我们将解Pε展开为泰勒幂级数：Pε（t，r，y）=∞Xj=0εjPj（t，r，y）（47），终端条件P（t，r，y）=1，对于j，Pj（t，r，y）=0≥ 1到期时t=t。

本文的主要结果是检验了解Pεasε的奇异极限行为→ 0+。更准确地说，它确定了渐近展开式的前三项sp、P、Pof（47）。推导中的主要工具是对极限分布进行平均，其密度g由（45）给出，并由以下括号h·i表示。特别是，以下两个命题是必不可少的：首先，函数ψ满足hLψi=0（见[57，引理3]），其中Lψ有界。其次，[57，引理4]给出了ψ和hLψi的表达式，其中ψ是Lψ=F的解，右侧是满足hF i=0的给定函数。对于奇异参数0<ε的较小值，债券定价方程（46）的解Pε=Pε（t，r，y）可以近似 1，byPε（t，r，y）≈ P（t，r）+√εP（t，r）+εP（t，r，y）+O（ε），本文的主要结果在于函数P，P，P的推导。请注意，前两项P，Pare独立于y变量代表随机波动率。第一项是平均方程hLiP=0的解，该方程是单因素CIR模型中债券价格的偏微分方程，参数设置为此处研究模型的平均值（关于极限分布）。它的形式是p（t，r）=a（t）e-B（t）r，（48），其中函数a和B由常微分方程组给出，该方程组可以以闭合形式求解。第二项Pdependson也不是过程y的瞬时水平。Preads的方程ashLPi=f（t）re-B（t）r，其中函数B来自（48），函数f来自模型参数和闭合形式的解（48）。

解的形式为p（t，r）=（A（t）+A（t）r）e-B（t）r，函数B与（48）中的函数A相同，表示线性常微分方程组。近似解析解31展开式中的下一项P非平凡地取决于y变量。它被分解为其期望值和零均值函数asP（t，r，y）=P（t，r）+P（t，r，y），其中hPi=0。可以使用迄今为止获得的结果，通过积分计算函数▄pC。函数“Psatis”表示方程hl“Pi=（a（t）+b（t）r+c（t）r）e-B（t）r，其中给出了函数a、B、c，因此其形式为'P（t，r）=（a（t）+a（t）r+a（t）r）e-B（t）r其中函数B与（48）中的函数相同，而函数A、A、A是常微分方程线性系统的解。更详细的计算见【57】。回想一下具有随机波动性的Fong-Vasicek模型，其中短期利率由以下一对随机微分方程dR=κ（θ）给出- r） dt公司+√y dw，dy=κ（θ- y） dt+v√y dw。（49）对于风险市场价格的适当选择，债券价格的计算可以简化为求解常微分方程。这种计算的简单性使其成为评估上述近似的质量的合适选择。引入快速波动时间尺度，方程（49）变为（参见方程（44））dy=κε（θ- y） dt+v√ε√y dw。（50）然而，当使用真实数据估计参数时，从（50）的参数中，我们只能得到θ、κ=κε和v=κ√ε。因此，我们无法从两个值κ、v来构造三个参数κ、v、ε。因此，在Seleceniova[47]的硕士论文中，在Stehlikova的监督下，使用了另一种方法，继Danilov和Mandal在[18]和[19]中使用的参数化之后。

波动性过程中的强平均反转可以用大值κy来表征。因此，我们可以定义ε=1/κ，并期望它足够小，可以用作扰动参数。在【47】中，与上述推导类似的推导用于计算债券价格膨胀的前两项，从而得出零级债券价格ε（t，r，y）的近似值≈ P（t，r）和一阶Pε（t，r，y）≈ P（t，r）+√εP（t，r）。32近似解析解表8。Fong-Vasicek模型的利率：0阶和1阶近似值与精确值的比较。参数取等于κ=0.109，κ=1.482，θ=0.0652，θ- 0.000264，v=0.01934，λ=-11，λ=-6，r=0.04。资料来源：Seleˇc'eniov'a，[47]。准确利率近似到期日y=1.6×10-4y=2.4×10-4y=3.2×10-4订单0订单11 0.0424 0.0426 0.0429 0.0427 0.04322 0.0448 0.0451 0.0455 0.0451 0.04583 0.0470 0.0474 0.0478 0.0473 0.04824 0.0491 0.0495 0.0498 0.0493 0.05025 0.0510 0.0514 0.0517 0.0511 0.05216 0.0527 0.0531 0.0534 0.0528 0.05387 0.0543 0.0547 0.0550 0.0543 0.0543 538 0.0558 0.0561 0.0564 0.0557 0.05679 0.0572 0.0575 0.0578 0.0570 0.058010 0.0584 0.0587 0.0590 0.0582 0.0592然后，将得出的利率与精确值进行比较。在表8中，我们给出了样本结果。让我们注意到，即使债券价格的零阶近似值等于具有平均系数的单因素模型中的债券价格，但这不是平均债券价格hP（t，r，y）i。还有一个更强大的结果：平均债券价格hP（t，r，y）i，虽然是t和r的函数，但并不等于任何单因素模型中的债券价格，正如文献[56]所示，这篇论文最后也被重新印行了。5.4。

收敛多因素模型通过将瞬时波动率替换为Vasicek类型的简单模型（即具有恒定波动率）来近似具有一般波动率的模型中的债券价格的想法也成功地应用于多因素模型：收敛模型形成了一类特殊的双因素模型。使用收敛模型（convergencemodel）对被观察国家加入货币联盟（EMU）进行建模。它描述了两种短期利率的行为，即欧洲货币联盟国家的国内短期利率和瞬时短期利率。欧洲短期利率采用单因素模型建模。假设它会影响国内短期利率的演变，因此它会进入SDE进行演变。这种模型是在【16】年首次提出的。该模型基于Vasicekmodel，短期利率的波动率为常数。【34】和【35】中考虑了CoxIngersoll-Ross型的类似模型，其中挥发率与短期利率的平方根成比例。在下面的章节中，我们将描述这两种模型，并展示它们是如何为债券定价的。然后，我们提出了一种非线性波动率的推广，类似于单因素近似解析解33CKLS模型中的波动率。让我们考虑以下SDE系统定义的模型：dr=ur（r，x，t）dt+σr（r，x，t）dw，dx=ux（r，x，t）dt+σx（r，x，t）dw，（51），其中ρ∈ (-1，1）是维纳过程增量与W之间的相关性，即Cov（dW，dW）=ρdt。过程x是一个随机过程，它与瞬时速率有关。它可以是长期利率，也可以是其他国家的短期利率，等等。

实数和风险中性参数之间的关系类似于单因素情况：（风险中性漂移函数）r=（实数漂移函数）r- λr（r，x，t）×（波动率）r，（风险中性漂移函数）x=（实际漂移函数）x- λx（r，x，t）×（波动率）x，其中λr，λx分别是短期利率风险的市场价格和因子x。如果实际衡量中的短期利率满足SDE（51），风险市场价格为λr（r，x，t），λx（r，x，t），则债券价格P满足以下PDE（假设因子x为正）：Pt+（ur（r，x，t）- λr（r，x，t）σr（r，x，t））Pr+（ux（r，x，t）- λx（r，x，t）σx（r，x，t））Px+σr（r，x，t）Pr+σx（r，x，t）Px+ρσr（r，x，t）σx（r，x，t）PR十、- rP=0，对于r，x>0，t∈ （0，T）和终端条件P（r，x，T）=1，r，x>0。使用It^o引理和无风险投资组合的构造导出了该模型，参见，例如[32]，[8]。5.4.1。CKLS类型的收敛模型本文【59】的重点是CKLS类型的收敛模型。回想一下，Vasicek型模型中的债券价格是已知的，在CIR型模型中，其计算可以简化为常微分方程的数值解，且两个维纳过程的增量不相关。在文献[59]中，考虑了具有不相关维纳过程的一般CKLS模型（相关性的影响只能在高阶项中看到，当将τ作为一个小参数时，本文给出的数值结果表明，差异经常出现在小数点处，考虑到市场报价的精度，小数点处的差异是不可观察的）。前一节中描述的[62]中的近似公式用于计算欧洲债券价格，并以类似方式提出了国内债券价格的近似值。