双随机自激过程的统计推断

更具体地说，在此设置中，假设MLE估计值（θ、a、b）和b随时间保持不变。局部对数似然函数和局部方差估值器的计算采用了【33】中的公式。为了计算bΘ（BC）n，我们可以实现（5.18）中定义的函数，或者在数值研究之前进行蒙特卡罗模拟，以计算任意θ的bi，n（θ）。我们选择后一个选项，因为这样可以消除泰勒展开式中出现的比1更高阶的偏差项。事实上，尽管这些术语逐渐消失，但它们可以在一个具体的例子中出现。更具体地说，我们首先计算参数值θ网格和块长度网格的样本平均值 对于100000条参数模型的蒙特卡罗路径，我们表示b（θ，). 然后在每个块上，我们通过b（bΘi，n，i、 n）.7.2模型设计我们认为T=21600秒，对应于一个工作日从上午10点到下午4点的活动时间。选择市场事件与交易相对应。Nntprocess是使用[33]中描述的算法的时变版本生成的（第4节，第148-149页）。集成参数设置为nΘ≈ （.8、11、30），这与我们的经验结果具有可比性。这平均产生NnT≈ 每天有27300笔交易。我们考虑了时变参数的三个确定性模型和一个随机模型。前两种设置是玩具模型。模型I是θ的线性趋势*t=θ（M）+A(-1+2tT），其中非随机目标值θ（M）=（.8、11、30），振幅设置为A=（.5、4、10）。这意味着θ*t在中创建值.3，1.3×7、15×20、40, 这与我们的经验结果的每日变化相当。

在模型IIθ中*toscillates围绕θ（M）=（.8，11，30），其形式为θ*t=θ（M）+A cos（tT2π），尤其意味着所取值的范围与模型I中的值相同。模型III直接取自文献。我们有一个*坦德b*t恒定，而ν*t采用通常的日内模式，因此CH非常适合此模型。正如【16】所指出的（参见第5-6节和图2的讨论），下次交易前的预期持续时间往往遵循U型日内模式。这种昼夜效应促使[7]（见第5节，第1011-1017页）对霍克斯过程进行建模，其中ν*它是随时间变化的二次型。模型写为ν*t=eβ+{eβ+eβ}（t/t- eβ/（eβ+eβ））。我们将模型拟合为经验日内平均值和发现β≈ -.84，β≈ -.26和β≈ -.39，这意味着T-1RTν*tdt公司≈ .61、其他两个参数（a*t、 b类*t） =（11，30）假定为常数。模型IV是模型III的扩展，基于更现实的考虑，其中*坦德b*塔尔索具有日内季节性。此外，我们考虑了三个参数中的加性随机分量。我们假设ν*t=eβν+{eβν+eβν}（t/t- eβν/（eβν+eβν））+σνИWνt，a*t=eβa+{eβa+eβa}（t/t- eβa/（eβa+eβa））+σaWat，b*t=eβb+{eβb+eβb}（t/t- eβb/（eβb+eβb））+σbWbt，其中（βν，βν，βν）≈ (-0.84，-0.26，-0.39），（βa，βa，βa）≈ （2.35，-0.05、0.40）和（βb、βb、βb）≈ （3.66，-0.33，0.67）分别在拟合相应参数的日内平均值时获得。我们还设置（σν，σa，σb）=（0.8/（6T1/2），11/（6T1/2），30/（6T1/2））和▄Wt=（▄Wνt，▄Wat，▄Wbt）=Rtt-1WT=（Wνt，Wat，Wbt）标准三维布朗运动的WSDS。这意味着噪声系数的标准偏差大致等于时间T时参数值的1/6。此外，我们还限制了ν所取的可能值*tso强度参数保持大于0.2。

很明显，在所有这些模型中，参数都足够平滑，以满足GCLT的假设。最后，我们查看hn=136.5、273、546的几个值，它们分别对应于大小为T hn/n=108、216和432秒的块长度。我们有NT≈ 27300，这意味着我们应该取n=27300，如第6节所述。根据该理论，我们希望HNI与n1/3和n1/2的阶数相同，它们大约等于30和165，因此我们对HNI的选择似乎与该理论一致。7.3结果表1显示了朴素估计量可行统计量的蒙特卡罗结果。对于所有模型，偏差的值都是惊人的，因为它与标准偏差的大小相同。这表明偏差在有限样本中也起着至关重要的作用。表2显示了偏差校正估计器的结果。此外，图1提供了关联的QQ图。在这种情况下，样本平均值非常接近0，这表明我们提出的简化方法工作得很好。强度参数的标准偏差接近1，但其他参数a的标准偏差更大*和b*. 相应地，渐近性略微低估了尾部分布的质量。原因可能是很难准确估计小块上参数模型的方差。表1：几种模型的Zn有限样本特性+参数。平均Stdv。

RMSE 0.5%2.5%5%95%97.5%99.5%I型ν*0.69 1.02 1.23 0.00 0.40 1.00 82.60 89.70 97.00a*0.77 1.10 1.34 0.40 1.00 1.50 78.00 86.50 95.90b*1.37 1.24 1.85 0.20 0.60 1.00 58.20 67.60 83.90 II型ν*0.71 1.02 1.24 0.00 0.60 1.10 81.20 89.40 97.60a*0.71 1.14 1.34 0.30 1.40 2.10 79.50 86.70 94.30b*1.33 1.27 1.83 0.10 0.40 1.10 60.00 69.60 85.40模型IIIν*0.80 1.05 1.32 0.10 0.30 0.90 78.40 86.30 95.30a*0.78 1.14 1.38 0.00 1.20 1.70 78.10 85.70 94.10b*1.43 1.24 1.89 0.00 0.20 0.40 55.70 66.10 80.60模型IVν*0.83 0.99 1.29 0.00 0.20 0.50 79.70 87.10 96.30a*1.05 1.04 1.48 0.00 0.60 0.90 71.60 80.90 93.00b*1.62 1.10 1.96 0.00 0.10 0.20 52.20 63.20 79.70+此表显示了以N（0,1）分布为基准的汇总统计数据和经验分位数，适用于与hn=273（对应于216秒的块长度）的朴素估计量相关的可行Z统计数据。模拟设计为ModelI IV，M=1000蒙特卡罗模拟。表3显示了并行方法估计量的性能。很明显，无论手上的模型是什么，偏差修正的局部方法都比MLE和CH表现得更好。在模型III中，CH表现出无误判的MLE。尽管CH的性能比其他模型好得多，但它仍然没有优于局部方法，这表明即使在标准参数模型上，局部方法也可以表现得更好。这两个估计员都有严重的偏差，以防出现误判。更令人惊讶的是，尽管模型III遵循了[7]中的模型，因此CH在该特定情况下执行了MLE，且没有误判，但估计值仍然有偏差（尽管对于*并具有较小的标准偏差）。最后，我们可以看到，当hnis较小时，朴素估计量更有偏，这与我们的预期相符。

hn越大，偏差校正效果越好，但AHN越大，偏差校正效果越差（因为参数在abigger块上移动过多）。这可以在表3中看到，因为偏差校正估计器在4分钟阻塞时的性能似乎略优于7分钟阻塞。8实证研究在本节中，我们对2015年在纳斯达克进行的苹果（APPL）股票的日内交易（对应于交易）次数实施了本地MLE。我们的目标是双重的。首先，使用相对较大（30分钟）的局部块，我们记录了参数的季节性和日内变化。其次，我们实现了朴素估计和偏差修正估计。我们排除了1月1日、感恩节后一天和12月24日这两个不太活跃的日子。这给我们留下了251个交易日的数据。为防止开盘和收盘影响，我们考虑在上午9:30至下午3:30之间进行的交易，这相当于5个完整的交易小时。每日交易量平均为15000笔，在最活跃的日子里交易量超过50000笔，略多于图1：QQ图以N（0,1）分布为基准，与偏差修正估计量相关，hn=273（对应216秒的区块长度）。leftcolumn对应于ν*t、 中间的列表示*将右侧立柱与b对齐*t、 模拟设计为I-IV型，M=1000蒙特卡罗模拟。表2：几个模型的Z（BC）有限样本特性+参数。平均Stdv。

RMSE 0.5%2.5%5%95%97.5%99.5%I型ν*-0.01 1.02 1.02 0.40 2.80 5.70 94.70 97.20 99.30a*0.00 1.12 1.12 1.10 4.00 7.60 93.50 96.70 99.10b*-0.02 1.30 1.30 2.60 6.60 10.70 90.10 93.40 98.60模型IIν*0.02 1.02 1.02 0.90 2.70 5.20 95.70 98.10 99.40a*-0.07 1.16 1.16 2.00 5.00 9.00 92.10 95.70 99.00b*-0.08 1.32 1.33 4.20 7.60 11.50 90.50 94.30 98.20模型IIIν*0.00 1.05 1.05 0.10 2.90 6.20 94.30 96.90 99.50a*-0.02 1.15 1.15 1.90 4.80 8.80 91.00 95.90 99.00b*-0.06 1.29 1.30 4.00 7.30 11.00 90.80 94.50 98.30模型IVν*0.07 0.99 1.00 0.30 2.30 4.60 94.20 97.60 99.70a*-0.04 1.05 1.05 1.20 3.50 5.40 94.90 97.30 99.30b*-0.07 1.15 1.15 1.40 5.70 9.10 92.00 95.80 99.30+此表显示了以N（0,1）分布为基准的汇总统计数据和经验分位数，适用于与偏差校正估值器相关的可行Z统计数据，hn=273（对应于216秒的块长度）。模拟设计是模型I-IV，M=1000蒙特卡罗模拟。3000个工作日。在图2-4中，我们记录了三个参数的日内变化。为了做到这一点，我们将5小时的交易时间分为10个区块，30分钟。在每个区块，我们拟合最大似然估计并获得相应的估计值。我们还估计了标准偏差，这使我们能够建立95%的置信区间。考虑到估计值相对于其自身置信区间的波动性，很明显，无论是参数模型还是季节性成分模型都不能满足Fitsuch数据的要求。在2015年的大部分交易日中，始终观察到参数日内值的这种时变趋势。这三个参数的行为是不一致的。季节模型似乎对强度参数做得很好，尽管参数的形状对于每一天都非常特殊。

其他两个参数的季节趋势不太明显。A.*倾向于在季节路径附近不太远的地方振荡，其行为是特定于一天的，其中b*真的可以从一边或另一边走得很远，没有特定的模式。出于所有这些原因，我们相信在模型中同时考虑季节性和随机性影响更为现实。在表4中，我们报告了已实施估计数的统计数据。由于我们的方法是非参数的，因此不需要为时变参数假设任何特定的参数模型。总体而言，我们发现每日估计值大致等于（0.56、11、40），标准差约为（0.24、2、8）。结果与数值研究结果一致。我们实施了各级hn=√n、 2√n、 4√n、 8个√n、 16个√n，我们分别表示相应的偏差校正刺激因子BC 1-5。我们可以看到，BC 2-4高度相关，而BC 1和BC 5的相关性稍低。这可能是因为Hn在BC 1的非活动日可能太小，而在BC 5的情况下可能太大。这表明，局部方法似乎对可能的调谐参数hn的大范围具有鲁棒性。此外，如果我们在模型表3中添加“日效应”，则MLE和CH的平均值很可能更好。表3：8个估计器对多个模型的性能+*A.*B*东部标准时间。平均Stdv。平均Stdv。

平均Stdv。Inaive 2m 0.009 0.007 0.286 0.196 1.239 0.630BC 2m 0.000 0.007-0.012 0.201-0.124 0.658naive 4m 0.005 0.007 0.134 0.189 0.546 0.495BC 4m 0.000 0.007 0.002 0.192 0.005 0.503naive 7m 0.002 0.007 0.068 0.188 0.271 0.477BC 7m 0.000 0.007 0.004 0.189 0.010 0.481MLE-0.011 0.006 0.489 0.198 0.485 0.494CH 0.018 0.010 0.424 0.438 1.378 0.942模型II初始2m 0.009 0.007 0.287 0.213 1.346 0.734BC 2m0.000 0.007-0.018 0.218-0.078 0.744naive 4m 0.005 0.007 0.126 0.198 0.538 0.516BC 4m 0.000 0.007-0.009 0.201-0.019 0.525naive 7m 0.002 0.007 0.057 0.196 0.245 0.490BC 7m 0.000 0.007-0.009 0.197-0.022 0.494MLE-0.017 0.006 0.708 0.214 0.666 0.516CH-0.063 0.012 0.294 0.443-0.265 1.097模型IIInaive 2m 0.009 0.006 0.348 0.235 1.474 0.734BC 2m 0.000 0.006-0.009 0.241-0.108 0.742 AIVE 4m0.005 0.005 0.158 0.227 0.645 0.568BC 4m 0.000 0.005-0.003 0.241-0.015 0.578naive 7m 0.002 0.006 0.074 0.225 0.316 0.543BC 7m 0.000 0.006-0.004 0.227-0.020 0.548MLE-0.004 0.006-0.081 0.220-0.572 0.519CH-0.009 0.005-0.002 0.213-0.082 0.454Model IVnaive 2m 0.009 0.006 0.624 0.332 3.533 2.579BC 2m 0.000 0.006-0.011 0.311-0.199 2.333naive 4m 0.005 0.006 0.276 0.274 1.389 1.022BC 4m 0.0000.006-0.006 0.270-0.008 0.967naive 7m 0.003 0.006 0.133 0.265 0.655 0.889BC 7m 0.000 0.006 0.000 0.265 0.013 0.876MLE-0.004 0.006 0.005 0.286 0.924 0.959CH-0.012 0.009-0.857 0.699-3.802 2.430+此表显示了统计数据- 其中，bΘ等于原始估计量和偏差修正估计量，Hn=136.5、273、546（分别对应于108秒（约2分钟）、216秒（约4m）和432s（约7m））、MLE和CH。模拟设计为I-IV模型，M=1000蒙特卡罗模拟。图2：局部估计ν*2015年6月30分钟长砌块的参数。两条虚线对应95%置信区间。

粗线代表季节性日内影响，估计为2015年所有交易日的时间局部平均值。图3：局部估计a*2015年6月30分钟长砌块的参数。两条虚线对应95%置信区间。粗线代表季节性日内影响，估计为2015年所有交易日的时间局部平均值。图4：局部估计b*2015年6月30分钟长砌块的参数。两条虚线对应95%置信区间。粗线代表季节性日内影响，估计为2015年所有交易日的时间局部平均值。与BC不同。这很可能是由我们在数值研究中获得的强烈偏差所解释的。在这两个估计量中，毫不奇怪的是，MLE比CH更符合局部估计，因为在退化情况下，MLE是“局部估计”，hn=n.9。结论我们引入了具有指数激励函数的Hawkes过程的时变参数扩展。我们还提供了积分参数的估计量及其中心极限定理。我们在数值模拟中看到，这对实践特别有意义，因为一些并行方法（例如，应用于所有观测值的MLE）存在偏差。最后，我们的实证研究指出，除了季节性影响外，参数中可能存在变异性。还有一些问题需要探讨，例如，如果核尾部较粗，如多项式递减核，那么局部极大似然估计会发生什么变化。

据作者所知，即使在参数情况下，也没有研究过重标极大似然估计矩的收敛性。此外，还可以研究调谐参数HN的最优性，并且我们可能允许更频繁地改变调谐参数。最后，我们指出，该方法可以扩展到估计比综合参数更一般的密钥数量，例如参数T的函数-1RTfs（θ*s） ds。尤其是加权版本T的GCLT-1RTθ*swsds中，Ws是实践者选择的权重过程，可以通过类似的推理得出。10附录10。1参数Hawkes过程的标准MLE我们简要介绍了指数核φt=ae的参数Hawkes过程的标准最大似然估计程序-b在长期（也称为低频）渐近中，即当我们考虑Hawkes过程在时间间隔[0，T]上的观测值时，T→ ∞.表4：12个估计值的汇总统计+*A.*B*东部标准时间。平均Stdv。校正（，BC 3）平均Stdv。校正（，BC 3）平均Stdv。