双随机自激过程的统计推断

我们采用爱因斯坦的求和约定，即在表达式中重复的任何标记都是隐式求和的。例如，表达式aijbj应为readPjaijbj。最后，如第5节所述，对于矩阵M，我们使用上标指定其逆元素，即M（i，j）位置的元素的Mijstands-1当定义明确时，Mij=0，否则。通过得分函数在似然函数最大化子附近的泰勒展开，可以立即看到存在ξn∈ [bΘn，θ]使得0=θln（bΘn）=θln（θ）+θln（θ）（bΘn- θ）+θln（ξn）（bΘn- θ）2，（10.62）其中θln（ξn）（bΘn-θ）2是第i分量为θ、 ijkln（ξn）（bΘn-θ） j（bΘn- θ） k.出租 ∈ （0，1）。通过应用引理10.7和10.9，它仍然认为θlcn（θ）+θlcn（θ）（bΘn- θ）+θlcn（ξn）（bΘn- θ）2=操作h1-κn, （10.63）其中剩余项OPh1-κn明确承认关于Eθ，n的任意阶矩。我们现在应用操作符Eθ，n除以hnT和obtainEθ，n[Γcn（θ）（bΘn- θ） ]+Eθ，n[Γcn（θ）]Eθ，n[bΘn- θ]- Eθ，nθlcn（ξn）2hnT（bΘn- θ）2.= OP（h-κn），其中，由于cn（θ）in（10.46）。术语Eθ，n[Γcn（θ）]Eθ，n[bΘn- θ] 很有趣，因为它包含我们要评估的数量。因此，必须对第一项和第三项进行评估，以得出偏差的扩展。Westart的第一项，即我们的估计值与Γcn（θ）之间的协方差。为了计算这种协方差的极限值，我们考虑鞅Mcn（t，θ）=Rtθλn，c（s，θ）λn，c（s，θ）{dNn，cs- λn，c（s，θ）ds}，我们定义了经验协方差过程Ccn（θ）和Qcn（θ），其分量为，对于任何三重态（i，j，k）∈ R×R×R，Ccn（θ）i，jk=hnTZhnTθ、 iλn，c（s，θ）θ、 jklogλn，c（s，θ）ds，和qcn（θ）i，jk=-Mcn（T，θ）ihnTZhnTθλn，c（s，θ）jθλn，c（s，θ）kλn，c（s，θ）ds，我们以类似的方式定义Cn（θ）和Qn（θ）。

下一个引理阐明了Ccn（θ）+Qcn（θ）的作用，是一个简单的计算。引理10.13。我们有eθ，n[Ccn（θ）i，jk+Qcn（θ）i，jk]=-phnT Eθ，n[cn（θ）iΓcn（θ）jk]。（10.64）证明。请注意，对于两个Lbounded进程（us），（vs），我们有Z、 美国{dNn，cs- λn，c（s，θ）ds}，Z.vs{dNn，cs- λn，c（s，θ）ds}t=Ztusvsλn，c（s，θ）d取期望值，该屈服θ，nZtus{dNn，cs- λn，c（s，θ）ds}Ztvs{dNn，cs- λn，c（s，θ）ds}= Eθ，nZtusvsλn，c（s，θ）ds公式（10.64）直接从Γcn（θ）和cn（θ）。现在，通过与（10.11）的证明相同的论证，我们得到了任意整数p≥ 1和任何 ∈ （0，1），supθ∈Kh公司pnEθ，n | Ccn（θ）- C（θ）| p→P0，（10.65）和SUPθ∈Kh公司pn | Eθ，n[Qcn（θ）- Q（θ）]| p→P0（10.66），其中C和Q分别在（10.11）和（10.12）中定义。在我们讨论θ，n[Γcn（θ）（bΘn）的极限表达式之前- θ） 在我们用C（θ）+Q（θ）展开偏差时，我们需要控制Γcn（θ）的收敛-1towardΓ（θ）-1、我们定义c=最小θ∈Kmin{c∈ R+|十、∈ R- {0}，xTΓ（θ）x≥ c | x |>0}，所有矩阵的最小特征值Γ（θ）。我们考虑事件序列Bn（θ）={十、∈R- {0}，xTΓcn（θ）x≥c | x |}，及其补码Bn（θ）c.Lemma 10.14。对于任意整数p≥ 1和任何 ∈ （0，1）即（i）supθ∈KPθ，n【Bn（θ）c】=OPH-pn编号.（ii）supθ∈Kh公司pnEθ，nΓcn（θ）-1.- Γ（θ）-1.Bn公司→P0。证据我们从显示（i）开始。我们记得，在我们的符号约定中，符号| x |代表pi | xi |表示任何向量或矩阵。很明显，我们有pθ，n[Bn（θ）c]≤ Pθ，n十、∈ R- {0}，| xT（Γcn（θ）- Γ（θ））x | x |>c, （10.67）和规范| M |和supx的等效性∈R-对称矩阵空间上的{0}| xTMx | | x |，（10.67）表示存在一些常数η>0，使得pθ，n[Bn（θ）c]≤ Pθ，n[|Γcn（θ）- Γ（θ）|>ηc]≤ （ηc）-pEθ，nΓcn（θ）- Γ（θ）| p，其中在最后一步中使用了马尔可夫不等式。（i） 由（10.54）可知。

此外，（ii）可用初等结果| A获得-1.-B-1 |=| B-1（B）-A） A-1 |≤ |A.-1个|∞|B-1个|∞|B-A应用于集合Bn（θ）上的Γcn（θ）和Γ（θ）。引理10.15。允许 ∈ （0，1）和i∈ {0，1，2}。以下扩展适用。Eθ，n[Γcn（θ）（bΘn- θ） ]我=-Γ（θ）jk{C（θ）k，ij+Q（θ）k，ij}hnT+OPH-（κ∧)N. （10.68）证明。首先请注意，根据引理10.14（i）和霍尔德不等式，我们得到了θ，n【Γcn（θ）（bΘn- θ） ]=Eθ，n[Γcn（θ）（bΘn- θ） 10亿（θ）]+oPH-N. 因此，我们可以在不丧失一般性的情况下，假设事件Bn（θ）的指示器存在于（10.15）的左侧。拿 ∈ （0、1）和▄ ∈ (, 1） 。作为（10.63）的结果，我们得到了表示，bΘn- θ=√hnTΓcn（θ）-1.cn（θ）+Γcn（θ）-1.θlcn（ξn）（bΘn- θ）22小时+运营H-κn, （10.69）在集合Bn（θ）上，其中剩余项OPH-κn允许关于算子Eθ，n的任意阶矩。我们在期望中注入（10.69），得到Eθ，n[Γcn（θ）（bΘn- θ） ]=√hnTEθ，n[Γcn（θ）Γcn（θ）-1.cn（θ）1Bn（θ）]+Eθ，n“Γcn（θ）Γcn（θ）-1.θlcn（ξn）（bΘn- θ）22hnTBn（θ）#+OP（h-κn），其中剩余项OP（h-κn）由H"older不等式得出，使用以下事实： < . ByLemma 10.14（ii），第一学期允许扩张√hnTEθ，n[Γcn（θ）Γ（θ）-1.cn（θ）]+OPH-3.N, （10.70）我们使用霍尔德不等式来控制√hnTEθ，nΓcn（θ）（Γcn（θ）-1.- Γ（θ）-（1）cn（θ）我们通过引理10.14（i）忽略了指示函数的影响。对于任何i∈ {0，1，2}，我们在（10.70）中开发了矩阵积，使用引理10.13和（10.65），这导致了估计√hnTEθ，n[Γcn（θ）Γ（θ）-1.cn（θ）]i=Γ（θ）jk{C（θ）k，ij+Q（θ）k，ij}hnT+OPH-3.N. （10.71）仍需控制项Eθ，nΓcn（θ）Γcn（θ）-1.θlcn（ξn）（bΘn-θ）22hnTBn（θ）. 以L为例∈ （2，2κ）。

h矩的有界性nΓcn（θ）ijΓcn（θ）jkθ、 klmlcn（θ）2hnTBn（θ），对于任意（i，j，k，l，m）且一致于θ∈ K、 我们有eθ，n“Γcn（θ）ijΓcn（θ）jkθ、 klmlcn（ξn）（bΘn- θ） l（bΘn- θ） m2hnTBn（θ）#≤ Kh公司-nEθ，n（bΘn- θ） l（bΘn- θ） m级LL=OPH-3.N,其中，H"older不等式用于第一个不等式，定理10.12用于函数f:x→ （xlxm）L，即阶数L的多项式增长，以获得最终估计。最后，我们导出了2hnteθ，n的展开式[θlcn（ξn）（bΘn-θ）2] 。首先要注意的是，对于任何integerp≥ 1和任何 ∈ （0，1），supθ∈Kh公司pnEθ，nhnT公司θlcn（θ）- K（θ）P→P0，（10.72），其中K（θ）在（10.10）中引入。下一个引理被证明与引理10.15相同。引理10.16。允许 ∈ （0，1）和i∈ {0，1，2}。我们有展开式2hnteθ，n[θlcn（ξn）（bΘn- θ）2] i=Γ（θ）jkK（θ）ijk2hnT+OPH-（κ∧)N. （10.73）证明。考虑三个指数i、j、k∈ {0，1，2}和 ∈ （0，1）。我们有分解2hnteθ，n[θ、 ijklcn（ξn）（bΘn- θ） j（bΘn- θ） k]=2hnTEθ，n[θ、 ijklcn（ξn）]Eθ，n[（bΘn- θ） j（bΘn- θ） k]+2hnTEθ，n[θ、 ijklcn（ξn）（bΘn- θ） j（bΘn- θ） k）]。我们现在注意到，第一项允许扩展Γ（θ）jkK（θ）ijk2hnT+OPH-（κ∧)N, （10.74）替换Eθ，n[（bΘn- θ） j（bΘn- θ） k]和2hnteθ，n[θ、 ijklcn（ξn）]，通过其估计θ，n[（bΘn）]- θ） j（bΘn- θ） k]=Γ（θ）jkhnT+OPH-（κ∧)N, （10.75）和2HNTEθ，nθ、 ijklcn（ξn）= K（θ）ijk+OPH-N. （10.76）（10.75）通过注入膨胀的BΘn获得- θin（10.69）仅为一阶，且（10.76）是（10.72）的结果，且力矩一致有界θlcn（θ）hnTinθ∈ Kby引理10.9（ii）。注意，展开式（10.75）不是定理10.12应用于x的直接结果→ xjxk因为这将导致较弱的估计值Γ（θ）jkhnT+oP（h-1n）取而代之。

最后，第二项是OP阶H-3.N根据霍尔德不等式和定理10.12，我们就这样做了。在我们转向最终定理之前，我们回顾一下∈ {0，1，2}表达式b（θ）j=Γ（θ）ijΓ（θ）kl（K（θ）ikl+2{C（θ）K，il+Q（θ）K，il}），（10.77），定义见（10.14）。现在，我们准备陈述关于局部极大似然估计偏差校正的一般定理，我们用块指数i公式化。定理10.17。允许 ∈ （0，1）。估计量bΘi，nhas的偏差为展开式θ，i，nhbΘi，n- θi=b（θ）hnT+OPH-（κ∧)N, （10.78）在i中均匀分布∈ {1，···，Bn}和inθ∈ K、 此外，（5.18）中定义的偏差修正估计量bΘ（BC）i具有（均匀）偏差扩展θ，i，nhbΘBCi，n- θi=OPH-（κ∧)N. （10.79）证明。我们在这个证明中去掉索引i。拿 ∈ （0，1）和一些j∈ {0，1，2}。通过引理10.15和引理10.16，我们得到了eθ，n[cn（θ）]jkEθ，nhbΘn- θik=Γ（θ）kl（K（θ）jkl+2{C（θ）l，jk+Q（θ）l，jk}）2hnT+OPH-（κ∧)N,这是一组联立线性方程组。在对该方程组进行反演并应用引理10.14后，偏差的表达式变为j∈ {0，1，2}，Eθ，nhbΘn- θij=Γ（θ）ijΓ（θ）kl（K（θ）ikl+2{C（θ）K，il+Q（θ）K，il}）2hnT+OPH-（κ∧)N,正好是（10.78）。最后，与引理10.15和10.16的证明类似的计算显示θ，nbbΘn= Eθ，nb（θ）+OPH-N（10.80），所以我们有（10.79），这就是证明。最后，我们用E（i）表示上述定理的版本-（1）n、 定理5.3的证明。这与定理5.2.10.5证明GCLTI的论点完全相同。在本节中，我们使用与[34]中类似的鞅方法来证明定理5.4。使用与所引用著作第22页（34）不同的分解，我们得到了第47-48页（37）中证明的相同推理线，即证明GCL为[C*].

我们一致同意∈ {1，···，Bn}存在 > 0，因此Var（i-（1）nhphn公司bΘ（BC）i，n- θ*（一）-（1）Ni=T-1Γθ*（一）-（1）N-1+oP（1），（10.81）E（i-（1）Nphn公司bΘ（BC）i，n- θ*（一）-（1）N2+= OP（1），（10.82）E（i-（1）nhbΘ（BC）i，n- θ*（一）-（1）ni=oPN-1/2, （10.83）对于任何t∈ [0，T]和任意随机变量X，Vart[X]=Et（十）- Et[X]）.上述方法基于【34】中介绍的技术，但差异很大，而且更深入。事实上，[34]提供的条件在这种特殊情况下很难验证，因为模型的最近相关性。我们选择走不同的道路。更具体地说，citedauthor使用了与（3.3）不同的分解。因此，我们获得了难以验证的不同条件，这是证明的主要目标。定理5.4在[C]下的证明*]. 我们把证据分成两部分。第1步。证明的第一部分在于表明Θ=BnBnXi=1θ*（一）-（1）n+oPN-1/2. （10.84）注意，对于玩具模型，（10.84）要与（3.1）进行比较。此外，【34】第46-47页的（35）中也显示了（10.84），但参数过程被限制为遵循连续的It过程。为了证明（10.84），有必要证明√nBnBnXi=1θ*（一）-（1）N- -1新西兰元n（i）-（1）nθ*十二烷基硫酸钠= oP（1）。（10.85）我们可以用√nBnBnXi=1-1新西兰元n（i）-（1）Nθ*（一）-（1）N- θ*s| {z}OP(γn）ds=oP（1），（10.86），其中我们使用[C]-（i）获得（10.86）中的顺序。因此，我们推断（10.86）中的左侧为OP（hγnn）阶-γ） 。考虑到[BC]中的左不等式以及γ>，这一点将以同情的方式消失。因此，我们证明了（10.84）。第2步。在这里，我们保留了第3节中介绍的技术和符号，并在Mi、nand Bi、n的定义中用局部估计BΘ（BC）i代替BΘi。

为了显示GCLT，我们将显示S（B）n→我们将证明一些vt的存在性，使得Fθ*T-稳定定律，S（M）n→ VTN（0，1）。注意，前者是（10.83）的直接结果。显示后一个S（M）n→ VTN（0，1），我们将使用[24]中第244页的定理3.2。首先，我们展示了条件Lindeberg条件（3.13），即在我们的情况下，对于任何η>0，我们有nbnxi=1E（i-（1）NMi，nn√nBnMi，n>ηo→P0。（10.87）让η>0。首先，请注意nbn=hn。利用H"older不等式，我们得到thathnE（i-（1）NMi，nn√nBnMi，n>ηo≤E（i-（1）NphnMi，n2+2+| {z}ai，nE（i-（1）NN√nBnMi，n>ηo2+| {z}bi，n。一方面，从[C]的（10.82）来看，我们有ai，nis一致有界*]. 另一方面，使用（10.82）和[C]-（ii），我们得到bi，ngoes一致为0。我们这样证明了（10.87）。现在我们证明了条件方差条件（3.11），即：thatnBnBnXi=1E（i-（1）NMi，n→PVT：=T-2ZTΓ（θ*s）-1ds。（10.88）我们得到nbnbnxi=1E（i-（1）NMi，n=TBnXi=1hnE（i-（1）NMi，nn、 我们使用[27]中第51页的命题I.4.44以及[C]中的（10.81*] 显示（10.88）。现在，条件（3.10）和（3.12）自动满足，因为Mi，nis是鞅增量，并且因为我们考虑参考连续鞅M=0。最后给出了稳定收敛的条件（3.14）。因此，我们考虑有界Fθ*-鞅Z，我们证明了√nBnBnXi=1E（i-（1）NMi，nZi，n→P0，（10.89）其中Zi，n：=ZiN- Z（i-（1）n、 利用泰勒展开式（10.63）和Z的有界性，通过类似于引理10.15的计算，我们得到√nBnBnXi=1E（i-（1）NMi，nZi，n=hn公司√nBnXi=1Γθ*（一）-（1）N-1E（i-（1）新罕布什尔州θlci，nθ*（一）-（1）NZi，ni+oP（1）。现在请注意，lci，nθ*（一）-（1）N可以写成正则泊松鞅上的积分：lci，nθ*（一）-（1）N=ZhnTZR公司+θλi，n，c（s，θ*（一）-（1）n） λi，n，c（s，θ*（一）-（1）n） {0≤Z≤λi，n，c（s，θ*（一）-（1）n） }nNi，n（ds，dz）- ∧i，n（ds，dz）o，其中∧i，n（ds，dz）=dsdz。

我们从上述表示中推断出E（i-（1）新罕布什尔州θlci，nθ*（一）-（1）NZi，ni=0，因为σ-场Fθ*独立，因此Z和Ni，n- ∧i，nare正交。因此（10.89）成立。因此，根据[24]的定理3.2，我们得到了Fθ*S（M）n向Fθ律的T-稳定收敛*具有随机方差VT的T-条件高斯极限。特别是，定理5.4中的VTandN（0，1）相互独立。我们现在证明了在条件[C]下可以得到（10.81），（10.82）和（10.83*]. 首先请注意，对于任何L∈ （0，2κ），计算得出（i-（1）Nphn公司bΘ（BC）i，n-bΘi，nL=h-LnT公司-LE（i-（1）NBbΘi，nL=OPH-Ln公司在i中均匀∈ {1，…，Bn}。因此，结合前面的估计和定理5.2，我们已经表明定理5.2仍然是真的ifbΘi，nis被BΘ（BC）i，n代替。我们将在下面使用这个事实。如果我们将条件方差分解为（10.81）asE（i-（1）Nphn公司bΘ（BC）i，n- θ*（一）-（1）N- E（i-（1）nhphn公司bΘ（BC）i，n- θ*（一）-（1）Ni、 然后（10.81）遵循定理5.2。此外，（10.82）是定理5.2的直接结果。最后，根据定理5.3中的（5.21），如果存在，（10.83）成立 ∈ （0，1）使得√n=oPH（κ∧)N. 从关系中√n=hδn，这可以重新表示为δ<κ∧. 如果我们用其表达替换κ，我们得到两个条件δ<γ（δ-1） δ<，即γγ-< δ<3。这就是精确条件[BC]。10.6命题5.8证明的证明。Letγ∈ （0，1）和α∈ （0，γ1+γ）和最终δ∈ （1+γ，α）。我们遵循定理5.4的证明。（10.81）和（10.82）为真，因为δ>1+γ。此外，通过δ和α的假设，（10.83）被E（i）代替-（1）nhbΘ（BC）i，n- θ*（一）-（1）ni=OPN-γ（1-δ-（1）∧δ-1.= oP（n-α） 。写入分解nαBnBnXi=1bΘi，n- θ*（一）-（1）N= nα-nS（B）n+S（M）no，（10.90）我们有nα-S（M）n→P0，因为S（M）nis的中心极限定理仍然有效且α<。Finallynα-S（B）n=oP（1）。这就是BΘn的证明。

偏差修正情况的证明遵循使用E（i）的相同路径-（1）nhbΘ（BC）i，n-θ*（一）-（1）ni=OPN-γ（1-δ-（1）∧δ-1.代替之前的估计。10.7命题6.1的证明注意，对于任何θ∈ K、 我们有ξli，nN-1ξ|ξ=nθ=n-2.θli，n（θ），（10.91）和thusn-1bCn=BnBnXi=1θli，nbΘi，n-1hn=T BnBnXi=1Γi，nbΘi，n-1，这样就可以在i中统一证明∈ {1，…，Bn}估计值Γi，nbΘi，n-1=Γθ*（一）-（1）N-1+oP（1）（10.92）和Γθ*（一）-（1）N-1=-1新西兰元n（i）-（1）nΓ（θ*t）-1dt+oP（1）。（10.93）为了表示（10.92），我们考虑了分解Γi，nbΘi，n-1.- Γθ*（一）-（1）N-1=Γi，nbΘi，n-1.- Γi，nθ*（一）-（1）N-1 |{z}ai，n+Γi，nθ*（一）-（1）N-1.- Γθ*（一）-（1）N-1 |{z}bi，n。我们有| ai，n |≤ supθ∈Khn公司θθli，n（θ）-1.bΘi，n- θ*（一）-（1）N. （10.94）通过一些代数演算，很容易证明supθ项∈Khn公司θθli，n（θ）-1.借助引理10.9（i）和引理10.14（i），isLpbounded。通过BΘi，n的一致稠度，这得到ai，n=oP（1）。此外，我们得到了bi，n=oP（1），这是引理10.14（ii）的直接结果。因此（10.92）成立。最后，近似值（10.93）是引理10.9（i）和引理10.14（i）以及假设[C]-（i）的直接结果。致谢西蒙·克林特的研究部分得到了佳洁士日本科技厅的支持。Yoann Potiron的研究得到了国家科学基金会（DMS 14-07812）、日本青年科学家科学促进会（60781119）和庆应义塾大学的aprivate资助。所有财务数据均由巴黎中央高等专科学校定量财务主席提供。我们要感谢Per Mykland、Nakahiro Yoshida、Frederic Abergel、Feng Chen、Holger Dette（编辑）、一位匿名副编辑和两位匿名推荐人的有益讨论和建议。参考文献【1】E.Bacry、S.Delattre、M.Ho Off mann和J.-F.Muzy。

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