双随机自激过程的统计推断

本着同样的精神，当出现截断参数时，它也很有用，在前面的方程中考虑Enfor的子集，我们有更强的条件hαnT≤T≤ hnT，其中α∈ （0，1），我们用Eαn表示。下一个引理说明λi，n的矩的一致有界性*λi，n，c，以及Ni，nand Ni，n，c上随机积分的lp估计。引理10.5。对于任意整数p≥ 1和任意Fθi，n，*-可预测核χ，使得rtχ（s，t）dst在t上一致有界∈ [0，hnT]独立于T和n，（i）sup（θ，i，n，T）∈EEθ，i，nλi，n*（t）P≤ MpP-a.s.这是K Ris是一个Borel空间。（ii）sup（θ，i，n，t）∈EEθ，i，nRtχ（s，t）dNi，nsp<Mp，χp-a.s.（iii）sup（θ，i，n，t）∈EEθ，i，nλi，n，c（t）p<MpP-a.s.（iv）sup（θ，i，n，t）∈EEθ，i，nRtχ（s，t）dNi，n，csp<Mp，χp-a.s.其中Mp和Mp，χ分别是仅取决于p和p及χ的有限常数。证据这是引理10.3证明的直接改编，条件期望E[.1{Ri，n（0）≤Mn}| Fi，n∨Fθi，n，*hnT，θi，n，*= θ] 。1{Ri，n（0）的存在性≤Mn}和（10.23）中的指数decay清楚地表明，结果仍然是一致的，在四元组中（θ，i，n，t）。通过直接应用Jensen不等式，替换Fi，n仍然是正确的∨Fθi，n，*hnTby通过较小的过滤Fi，n，即对于算子Eθ，i，n。在我们开始估计两个模型之间的距离之前，我们先说明一个技术引理。引理10.6。设h:s 7→ ae-设f，g是满足不等式f的两个非负函数≤ g+f*h其中（f*h） （t）=Rtf（t- s） h（s）ds是常见的卷积。那么我们就有了≥ 0f（t）≤ g（t）+aG* e（a-b） 。（t） 证明。对任意n的不等式进行迭代∈ N*F≤ g+g*nXk=1h*（k） +f* H*（n+1）。

（10.29）我们≥ 0，注意，通过一个简单的计算，对于任何整数k≥ 1我们有h*（k） （t）=tk-1（k-1） 哦！ake公司-我们推断* H*（n+1）（t）=Ztf（t- s） snn！an+1e-bsds≤tnn！an+1Ztf ds→ 0as n→ +∞. 对于任意整数n≥ 1nXk=1h*（k） （t）=nXk=1tk-1（k- 1） 哦！ake公司-英国电信≤ ae（a-b） 因此，我们通过取极限n得到结果→ +∞ 在（10.29）中，在任意点t处进行评估≥ 在下文中，我们量化了双随机模型与其常参数近似之间的局部误差。我们回忆起关键指数κ=γ（δ- 1） 这已经在（5.16）中产生，并且在下一个结果中起着重要作用，因为它证明了一个模型对另一个模型的收敛速度是h的幂-1n，其中Hn与时间变化后一个区块的典型尺寸成比例。回想一下，γ表示θ的时间正则性指数，而δ通过关系hn=n1/δ控制与n相比的小块大小。注意，在（5.16）中，我们的κ>1。下一个引理显示模型（Ni，n，c，λi，n，c）和（Ni，n，λi，n*) 在Lpsense中是渐近环流。证明遵循与引理10.3证明相同的路径。引理10.7。Letα∈ （0，1）是截断指数，并且 ∈ （0，1）。我们有，对于任何p≥ 1，任何确定性核χ，使得rtχ（s，t）ds在t上一致有界∈ R+，以及任何可预测过程（ψs）s∈矩有界的R+：（i）sup（θ，i，t）∈EαnEθ，i，nλi，n，c（t）- λi，n*（t）p=OP（h-κn）（ii）supθ∈K、 1个≤我≤BnEθ，i，nRhnThαnTψs{dNi，n，cs- dNi，ns}p=OPhp（马力）-κn（iii）supθ∈K、 1个≤我≤BnEθ，i，nRhnThαnTχ（s，hnT）{dNi，n，cs- dNi，ns}p=OP（h-κn）备注10.8。对于p=1，如果我们还记得的话n=hnn-1T和κ=γ（δ-1） ，我们得到一个典型的偏差-κn=T-γγn在实际模型与其常参数近似之间。这不是很令人惊讶，因为在一个块上，参数过程θ*完全偏离了那个顺序。

对于p>1，情况相当不同。人们会期望与parameterprocess的偏差具有相同的阶数，即h阶-κpn=T-γpγpn。但正如前面引理所示，两个模型之间的偏差非常小，因为偏差仍然是h阶-κn=T-γ对于任何p，这种损失是由于点过程结构及其相关的Burkholder-Davis-Gundy型不等式的形状造成的（见引理10.2）。这与以下事实中的现象相同。对于强度为λ的泊松过程，我们有E[| Nt- λt | p]~ t时的αpt→ 0，即与所选力矩成线性关系的收敛速度。证据我们将在q上通过递归显示∈ 对于p=2q形式的每一个p，我们有N的主要值∈ N、 t型∈ [0，hnT]和一致in（θ，i），Eθ，i，nλi，n，c（t）- λi，n*（t）Q≤ Ln，q+Mn，qe-b（1-r） t，（10.30），其中Ln，qand Mn，qdepend on n and q only，Ln，q=OP（h-κn）和n中多项式增长的Mn，qis。注意，然后（i）将通过在集合[hαnT，hnT]上取上确界并使用估计Mn，qe自动证明-b（1-r） hαnT=oP（h-κn）我们得到θ，i，n |λn，c（t）- λn*（t） | p=OP（h-κn）在集合Eαn上一致。步骤1。在q=0的情况下，我们给出了我们的索赔，即p=1。写入|λi，n*（t）- λi，n，c（t）|≤ |νi，n，*T- νi，n，*| +Zt公司-ai，n，*se公司-bi，n，*s（t）-s）- ai，n，*E-bi，n，*（t-s）dNi，ns+Zt公司-ai，n，*E-bi，n，*（t-s）dNi、n、cs- dNi，ns+ Ri，n（t）≤ Ai，n（t）+Bi，n（t）+Ci，n（t）+Ri，n（t）（均匀）主成分Eθ，i，nAi，n（t）=OP（h-κn）是[C]-（i）的直接结果。由theinequality | ae-英国电信- ae-bt |≤|A.- a |+| b- b类|E-bt（10.31）表示任何（ν，a，b），（ν，a，b）∈ K、 我们可以写θ，i，nBi，n（t）≤ Eθ，i，nZt-|ai，n，*s- a |+| bi，n，*s- b类|E-b（t-s） dNi，ns≤vuutEθ，i，nsups公司∈[0，t]|ai，n，*s- a |+| bi，n，*s- b类|Eθ，i，nZt公司-E-b（t-s） dNi，ns,其中Cauchy-Schwartz不等式应用于最后一个不等式。

请注意，右项几乎肯定由引理10.5控制的常数控制，因此均匀主项Eθ，i，nBi，n（t）=OP（h-κn）来自[C]-（i）。最后，对于Ci，n（t），writeEθ，i，nCi，n（t）≤ Eθ，i，nZt-ae-b（t-s） d镍、氮、碳- 镍，ns（10.32），其中d镍、氮、碳- 镍，nsis是一个整数度量，它计算不属于dNi，n，cand和dNi，n的跳跃，即位于曲线t之间的Ni，nth点→ λi，n*（t） 和t→ λi，n，c（t）。简单计算表明，该计数过程允许|λi，n，c（s）- λi，n*（s） |作为随机强度。我们现在计算：Eθ，i，nCi，n（t）≤ Eθ，i，nZt-ae-b（t-s） |λi，n，c（s）- λi，n*（s） | ds=Zt-ae-b（t-s） Eθ，i，n |λi，n，c（s）- λi，n*（s） | ds。到目前为止，我们已经证明存在一个序列Ln，使得Ln=O（h-函数f（t）=Eθ，i，n |λi，n，c（t）- λi，n*（t） |满足不平等F（t）≤ Ln+Ri，n（t）+f* h（t），（10.33），其中h是定义为h:t 7的核→ ae-bt.引理10.6，本屈服强度Sf（t）≤ Ln+Ri，n（t）+Zt{Ln+Ri，n（s）}ae（a-b） （t-s） ds。（10.34）现在回想一下b- a> b（1- r） 在集合{Ri，n（0）上≤ Mn}，我们有Ri，n（s）≤ Mne公司-bs<Mne-b（1-r） sto getf（t）≤ （1+（1- r）-1） Ln+Ri，n（t）+Zt{Mne-b（1-r） s}aeb（1-r） （t-s） ds公司≤ （1+（1- r）-1） Ln+（1+at）Mne-b（1-r） t.如果我们回想一下，在上面的表达式中，f（t）代表Eθ，i，n |λi，n，c（t）-λi，n*（t） |，在q=1的情况下，这种统一估计清楚地证明了（10.30）。第2步。我们证明了任意q的结果∈ N*. 让表达式f（t）代表Eθ，i，n |λi，n，c（t）-λi，n*（t） | p。

对于任何η>0f（t）=Eθ，i，n |λi，n，c（t），使用与上一步类似的符号- λi，n*（t） | p≤ Eθ，i，n | Ai，n（t）+Bi，n（t）+Ci，n（t）+Ri，n（t）| p≤ （1+η）-1） q-1Eθ，i，n | Ai，n（t）+Bi，n（t）+Ri，n（t）| p+（1+η）q-1Eθ，i，nCi，n（t）pIt很容易看出，与前一种情况类似的参数导致统一估计θ，i，nAi，n（t）p+Eθ，i，nBi，n（t）p=OPH-κpn.现在，定义W（s，z）=ae-b（t-s） |1{0≤Z≤λi，n，c（s）}- 1{0≤Z≤λi，n*（s） }to getEθ，i，n[Ci，n（t）p]=Eθ，i，nW* Nt公司P≤ （1+η）-1） q-1Eθ，i，nW* （N）- ∧）tP+ （1+η）q-1Eθ，i，nW* ∧tP,将引理10.2应用于getEθ，i，nW* （N）- ∧）tP≤ KpEθ，i，n“ZZ[0，T]×R | W（s，z）| pdsdz#+Eθ，i，nZZ[0，T]×RW（s，z）dsdz！P= Kp公司Eθ，i，nZt公司-猿类-pb（t-s） |λi，n，c（s）- λi，n*（s） | ds+ Eθ，i，n“Zt公司-ae-2b（t-s） |λi，n，c（s）- λi，n*（s） | dsp#！，这很容易用归纳假设来界定，如（10.30）所示。请注意，此处存在积分项|λi，n，c（s）- λi，n*（s） |是获得更高估计值的主要障碍H-κpn这是人们所期望的。最后是θ，i，nW*∧tP= Eθ，i，nZt公司-ae-b（t-s） |λi，n，c（s）- λi，n*（s） | dsP以与引理10.3的证明完全相同的方式处理，以得到θ，i，n的边界W* ∧tP≤ cqf公司* h（t），（10.35），其中h:s 7→ ae-如果η取得足够小，则为bs，cq<1。因此，我们已经证明，对于q=1的情况，f满足类似的卷积不等式，我们可以应用引理10.6得出结论。第3步。仍需显示（ii）和（iii）。它们只是应用引理10的结果。2到情况Wψ（s，z）=ψs | 1{0≤Z≤λn，c（s）}- 1{0≤Z≤λn*（s） }|和Wχ（s，z）=χ（s，t）| 1{0≤Z≤λn，c（s）}-{0≤Z≤λn*（s） }|以及霍尔德不等式。现在，我们可以通过证明与估计相关的任何数量都渐近非常接近于常数参数模型（Ni，n，c，λi，n，c）的对应数量来证明极大似然估计的一致渐近正态性。

为此，我们引入伪候选强度族和伪对数似然过程，如λi，n，c（t，θ）=ν+Zt-ae-b（t-s） dNi，n，cs（10.36）和lci，n（θ）=ZhnTlog（λi，n，c（t，θ））dNi，n，ct-ZhnTλi，n，c（t，θ）dt，（10.37）对于任何θ∈ K、 注意λi，n，c（t，θi，n，*) = 定义λi，n，c（t）。这些量都与（Ni，n，c，λi，n，c）有关，因此无法观测到。作为前面引理的结果，我们陈述了候选强度族的一致lpboundness，以及它们的相对偏差的估计。引理10.9。Letα∈ （0，1）。对于任何整数p，我们都有≥ 1和任意j∈ N即（i）sup（θ，i，N，t）∈EEθ，i，nsupθ∈Kjθλi，n（t，θ）P≤ KjP-a.s.（ii）sup（θ，i，n，t）∈EEθ，i，nsupθ∈Kjθλi，n，c（t，θ）P≤ KjP-a.s.（iii）sup（θ，i，t）∈EαnEθ，i，nsupθ∈Kjθλi，n（t，θ）- jθλi，n，c（t，θ）p=OP（h-κn），其中常数Kjdepend完全基于j.Proof。注意，通过形式为νorRt的项的线性组合，λi，n（t，θ）的导数可以在θ中一致有界-（t- s） 日本脑炎-b（t-s） dNi，ns，j∈ N、 N中一致项矩的有界性∈ 因此，时间间隔[0，hnT]是引理10.3（ii）的结果，其中χ（s，t）=（t- s） 日本脑炎-b（t-s） ，因此（i）如下。（ii）以相同方式证明。最后一场秀（三）。注意supθ∈K级|jθλi，n（t，θ）- jθλi，n，c（t，θ）|可以由formRt项的线性组合来限定-（t- s） 日本脑炎-b（t-s） d | Ni，n- Ni，n，c | s。然后，通过截断参数和引理10.7（iii），可以轻松推导出此类表达式的Lpestimate。现在，我们遵循与[10]中介绍的符号类似的符号，并考虑主要的兴趣量来推导MLE的性质。我们定义了任何（θ，θ）∈ K、 Yi，n（θ，θ）=hnT（li，n（θ））- li，n（θ）），（10.38）i、 n（θ）=√hnT公司θli，n（θ），（10.39）和最终Γi，n（θ）=-hnT公司θli，n（θ）。（10.40）我们以同样的方式定义Yci，n，ci，n和Γci，n。

我们为下一个引理引入集合I={（θ，I，n）∈K×N | 1≤ 我≤ Bn}。引理10.10。允许 ∈ （0、1）和L∈ （0，2κ）。对于任何p∈ N*, 对于任何 ∈ （0，1），我们有theestimatessupθ∈K、 1个≤我≤BnEθ，i，ni、 n（θ）- ci，n（θ）L→P0，（10.41）supθ∈K、 1个≤我≤BnEθ，i，nsupθ∈K | Yi，n（θ，θ）- Yci，n（θ，θ）| p= OP公司H-κn, （10.42）supθ∈K、 1个≤我≤BnEθ，i，nΓi，n（θ）- Γci，n（θ）p=OPH-κn, （10.43）sup（θ，i，n）∈IEθ，i，nH-1nsupθ∈K级|θli，n（θ）|p<K p-a.s.（10.44）证明。让我们展示一下（10.41）。我们可以将（10.39）中的方程式表示为，并将constantmodel对应的方程式表示为i、 n（θ）=√hnT（ZhnTθИλi，n（s，θ）~λi，n（s，θ）dNi，ns-ZhnT公司θИλi，n（s，θ）ds）（10.45）和ci，n（θ）=√hnT公司ZhnT公司θλi，n，c（s，θ）λi，n，c（s，θ）dNi，n，cs-ZhnT公司θλi，n，c（s，θ）ds. （10.46）引理10.5（i）和（iii），引理10.9（i）和（ii）以及因子的存在√hnT，对于某些α，可以用hαnT替换这些积分的下界∈ （0，）。因此，差异√hnT公司(i、 n（θ）- ci，n（θ））等于三项SzhnthαnT之和θИλi，n（s，θ）~λi，n（s，θ）（dNi，ns- dNi、n、cs）+ZhnThαnT(θИλi，n（s，θ）~λi，n（s，θ）-θλi，n，c（s，θ）λi，n，c（s，θ））dNi，n，cs+ZhnThαnT{θИλi，n（s，θ）- θλi，n，c（s，θ）}ds。因此，我们将引理10.7（ii）和10.9（i）应用于第一项，将引理10.5（iii）和10.9（iii）应用于第二项，最后将引理10.9（iii）应用于最后一项，以获得总体估计supθ∈K、 1个≤我≤BnEθ，i，ni、 n（θ）- ci，n（θ）L=OPhL公司-κn, （10.47）对于任何 ∈ （0，1）。如果我们能够找到 这样我- κ<0，这可以通过 由于L<2κ，因此非常接近1。等式（10.42）、（10.43）和（10.44）也得到类似证明。引理10.11。对于任意整数p≥ 存在一个常数M，使得sup（θ，i，n）∈IEθ，i，n|cn（θ）| p<M p-a.s.（10.48）此外，存在映射（θ，θ）→ Y（θ，θ），对于任何 ∈ （0，1），supθ∈K、 1个≤我≤BnEθ，i，nsupθ∈K | Yci，n（θ，θ）- Y（θ，θ）|= OH-pn编号P-a.s。

（10.49）最后，对于任何θ∈ K、 对于任何 ∈ （0，1），supθ∈K、 1个≤我≤-1nEθ，i，nΓci，n（θ）- Γ（θ）p=OH-pn编号P-a.s.（10.50），其中Γ（θ）是（10.9）中引入的参数θ的参数Hawkes过程回归模型的渐近Fisher信息矩阵。证据注意，当θi，n，*= θ、 常数模型Ni，n，cis只是一个参数Hawkes过程，参数为θ，与过滤Fi，n无关。因此，通过正则分布论证，算子Eθ，i，nacts作为Ni，n，cd的简单算子E，作为具有真值θ的Hawkes分布。很明显，在引理3.15和定理4.6的证明中有轻微的变化，这些估计在θ中保持一致∈ K和块索引中。定理10.12。让我∈ （0，2κ）。我们有SUPθ∈K、 1个≤我≤BnnEθ，i，nhfphn（bΘi，n- θ）我- 流行性出血热T-Γ（θ）-ξio→P0，（10.51）对于| f（x）|=O（| x | L）的任何连续函数f，当| x |→ ∞ , ξ服从标准正态分布。证据通过（10.42）和（10.49），我们可以确定一些数字 ∈ （0，1）使SUPθ∈K、 1个≤我≤Bnh公司（p∧κ） nEθ，i，nsupθ∈K | Yi，n（θ，θ）- Y（θ，θ）| p→P0，（10.52）和asbΘi，nis也是θ的最大值→ Yi，n（θ，θ），（10.52）表示块指数i和初始值bΘi，ntoθi，n的一致性，*, i、 e.supθ∈K、 1个≤我≤BnPθ，i，nhbΘi，n- θi→P0，（10.53），因为Y满足[10]中的非简并条件[A4]。从（10.43）和（10.50）我们推导出supθ∈K、 1个≤我≤Bnh公司（p∧κ） nEθ，i，n | i，n（θ）- Γ（θ）| p→P0。（10.54）乘以（10.41），i、 n（θ）和ci，n（θ）具有相同的渐近分布，其形式为Γ（θ）ξ，其中ξ遵循标准正态分布。

根据文献[10]中定理3.11的证明，我们推断√hn（bΘi，n- θ） 在分布上一致收敛于T-Γ（θ）-ξ当θi，n，*= θ、 即supθ∈K、 1个≤我≤BnnEθ，i，nhfphn（bΘi，n- θ）我- 流行性出血热T-Γ（θ）-ξio→P0，（10.55）对于任何有界连续函数f。最后，我们将（10.55）推广到阶数小于L的多项式增长函数的情况。首先注意，通过（10.41）和（10.48），我们得到了∈ （L，2κ）supθ∈K、 1个≤我≤BnEθ，i，n|i、 n（θ）| L=OP（1）。（10.56）我们现在采用[40]的符号和定义β=, β=- β、 ρ=2，0<ρ<1- 2β，0<α<ρ，0<ρ<min{1，α1-α、 2β1-α} 都非常小，因此M=L（1- ρ）-1<L，M=βL（2β1-α- ρ）-1<2γ（δ-1） =κ，M=(- β） L（1- 2β- ρ）-1<κ，最终M=Lα1-α- ρ-1<∞. 然后，通过（10.52），（10.54），（10.56）和最终（10.44），满足了[40]中的条件[A1]、[A4]、[A6]、[B1]和[B2]。很简单，我们可以应用定理3和[40]中的命题1的条件版本（关于算子Eθ，i，n）来获得anyp的条件≤ 五十、 supθ∈K、 1个≤我≤-1nEθ，i，nphn公司bΘi，n- θp=OP（1）。（10.57）这种条件矩的随机有界性以及分布的收敛性显然足以暗示该定理。到目前为止，我们关注的是Ri，n（0）由序列Mn限定的情况。尽管如此，时变参数Hawkes过程有一个残差，该残差在块的开始处先验地没有界。在定理5.2中，我们放松了这个假设。此外，我们使用常规条件分布技术（例如，参见第4.3节（第77页-80）在【5】中），当不通过θ的任何特定起始值进行调节时，获得（10.51）*t、 我们提供以下形式的证明。回想一下E（i-（1）E[.| Fi，n]的nstands。定理5.2的证明。我们可以分解（i-（1）nhf公司√hn（bΘi，n- θ*（一）-（1）n）iasE（i-（1）nhf公司phn公司bΘi，n- θ*（一）-（1）N{Ri，n（0）≤Mn}i（10.58）+E（i-（1）nhf公司phn公司bΘi，n- θ*（一）-（1）N{Ri，n（0）>Mn}i。

（10.59）设ξ如定理5.2所示。一方面，通过正则条件分布参数，如果我们定义负（θ）=Eθ，i，nhf√hn（bΘi，n-θ我-流行性出血热T-Γ（θ）-ξi、 我们可以用i统一表示∈ {1，····，Bn}数量（i-（1）NFphn公司bΘi，n- θ*（一）-（1）N{Ri，n（0）≤Mn}- FT-Γθ*（一）-（1）N-ξ（10.60）作为Gθ*（一）-（1）N通过定义Eθ，i，and，因为ξ⊥⊥F、 我们注意到Gθ*（一）-（1）N≤ supθ∈KEθ，i，nhfphn公司bΘi，n- θ我- 流行性出血热T-Γ（θ）-ξ我, （10.61）取（10.61）中的sup over i，根据定理10.12，我们已经证明（10.60）是oP（1）阶的统一。另一方面，（10.59）以hLnQ1{Ri，n（0）>Mn}为界，对于某些Q>0，我们使用了dthatbΘi，在一个紧空间中获取其值。通过简单的计算，很容易看出p[Ri，n（0）>Mn]≤ P[λn*（（一）- （1）n） >Mn]，而马尔可夫质量则很容易被M控制-1nE[λn*（（一）- （1）n） ]=O（纳米-1n）。我们还记得形式为nqq的mni，其中q可以任意大，因此我们已经证明（10.59）渐近消失。10.4局部极大似然估计的偏差缩减我们进一步研究了局部极大似然估计的渐近条件偏差的性质，即量e（i-（1）nhbΘi，n- θ*（一）-（1）镍。然后，我们推导了偏差修正估计量bΘ（BC）i的表达式，其中期望值趋向于θ的速度更快*（一）-（1）n、 我们首先估计局部极大似然估计偏差的阶数。正如读者所见，以下计算非常复杂。因此，仅在本节中，我们采用以下注释约定。首先，我们删除索引参考i。因此，所有变量Nn，λn*,ln，Eθ，n等应读取Ni，n，λi，n*,li，n，Eθ，i，n等。所有结果都隐式地统一表示在blockindex中。其次，对于允许算子Eθ，n，wedenote x Z的一阶矩的随机变量Z，其中心版本，即随机变量Z-Eθ，n【Z】。