双随机自激过程的统计推断

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Statistical inference for the doubly stochastic self-exciting process》
---
作者：
Simon Clinet and Yoann Potiron
---
最新提交年份：
2017
---
英文摘要：
  We introduce and show the existence of a Hawkes self-exciting point process with exponentially-decreasing kernel and where parameters are time-varying. The quantity of interest is defined as the integrated parameter $T^{-1}\\int_0^T\\theta_t^*dt$, where $\\theta_t^*$ is the time-varying parameter, and we consider the high-frequency asymptotics. To estimate it na\\\"ively, we chop the data into several blocks, compute the maximum likelihood estimator (MLE) on each block, and take the average of the local estimates. The asymptotic bias explodes asymptotically, thus we provide a non-na\\\"ive estimator which is constructed as the na\\\"ive one when applying a first-order bias reduction to the local MLE. We show the associated central limit theorem. Monte Carlo simulations show the importance of the bias correction and that the method performs well in finite sample, whereas the empirical study discusses the implementation in practice and documents the stochastic behavior of the parameters.
---
中文摘要：
我们引入并证明了具有指数递减核且参数是时变的Hawkes自激点过程的存在性。感兴趣的数量定义为积分参数$T ^{-1}\\int\\u 0^T\\theta\\u T ^*dt$，其中$\\ theta\\u T ^*$是时变参数，我们考虑高频渐近。为了简单地估计它，我们将数据分成几个块，计算每个块上的最大似然估计量（MLE），并取局部估计的平均值。渐近偏差渐近爆炸，因此我们提供了一个非简单估计量，它被构造为na\\“当对局部极大似然估计应用一阶偏差缩减时，我们给出了相关的中心极限定理。蒙特卡罗模拟显示了偏差修正的重要性，并且该方法在有限样本中表现良好，而实证研究讨论了在实践中的实现，并记录了参数的随机行为。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
--
一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
--

---
PDF下载：
--> Statistical_inference_for_the_doubly_stochastic_self-exciting_process.pdf (824.77 KB)

2022-5-25 11:03:15 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：统计推断 Multivariate Applications Quantitative Econophysics

双随机自激过程的统计推断Simon Clinet1,2和Yoann Potiron东京大学数学科学研究生院：3-8-1 Komaba，Meguro ku，Tokyo 153-8914，Japan。电子邮件：simon@ms.u-东京。ac.jp，网站：http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~simon/CREST，日本科学技术厅，日本。庆应义塾大学工商学院。2-15-45 Mita，Minato ku，东京，108-8345，日本。电话：+81-3-5418-6571。电子邮件：potiron@fbc.keio.ac.jp，网站：http://www.fbc.keio.ac.jp/~Potiron这个版本：2018年9月19日摘要我们介绍并证明了一个具有指数递减核且参数是时变的Hawkes自激点过程的存在性。利息数量定义为综合参数T-1RTθ*tdt，其中θ*这是时变参数，我们考虑了高频渐近性。为了简单地进行估计，我们将数据分成几个块，计算每个块上的最大似然估计量（MLE），并取局部估计的平均值。渐近偏差渐近爆炸，因此我们提供了一个非天真估计，当对局部MLE应用一阶偏差缩减时，该估计被构造为天真估计。我们给出了相关的中心极限定理。蒙特卡罗模拟表明了偏差校正的重要性，并且该方法在有限样本中表现良好，而实证研究讨论了实践中的实现，并记录了参数的随机行为。关键词：霍克斯过程；高频数据；综合参数；时变参数1介绍在高频数据中，观察市场事件的频率比以往任何时候都高。例如，这些事件的时间安排与其他金融量（如资产价格、波动性和微观结构噪音）之间的相关性已成为特别关注的问题。

此外，财务代理可以对订单进行建模，以预测关键数量，例如未来一小时的交易量。出于所有这些原因，需要到达时间间隔模型，也称为持续时间模型。作为一项开创性工作，[16]引入了自回归条件持续时间（ACD）模型。其他参考文献包括但不限于【39】、【41】以及【4】、【18】以及最近的【36】和【35】。引用的工作部分基于【22】和【23】中介绍的自激霍克斯点过程。在该模型中，点过程的强度nTi定义为λ（t）：=ν+Rtφt-SDN，其中基线ν>0。自激过程非常常用于建模现象，主要是因为过去的事件可以推动未来的事件。在高频金融文献中，[38]以几个股票的顺序流记录了这种时间聚类特性。其他应用示例见【15】、【1】、【2】、【42】、【28】等。此外，【3】还概述了霍克斯流程在金融领域的应用。我们将注意力限制在指数激励函数φt=ae的情况-bt，如【31】所述。在[37]中，已考虑采用局部平稳过程方法进行时变参数扩展，并在[19]、[7]和[8]中限制为基线时变情况。我们的方法与后两项工作非常一致，因为我们考虑了高频的观点。

在[7]中，作者允许背景参数（他们称之为）ν随时间变化，以考虑日内季节性，并考虑背景参数随时间变化的ACD模型。他们说明，在考虑时变背景的情况下，ACD在数据上的表现更好，而且正如[16]中已经详细记录的那样，背景参数在一天中移动了很多。这就产生了一个问题：当以超高频采样时，其他两个参数a和b会发生什么变化？它们在一天中看起来是不变的吗？在我们的实证研究中，我们记录到，尽管日内季节性模式不太清楚，但它们在日内的移动与背景参数一样。事实上，从一天到下一天，路径是非常不同的，虽然日内季节性可以被视为一个因素，但它似乎不能单独解释这种行为。相应地，我们引入了一个具有随机时变参数θ的自激过程*t： =（ν*t、 a*t、 b类*t） 。新的关注对象定义为综合参数Θ：=TZTθ*tdt，（1.1），其中T>0是地平线时间。为了估计积分参数（1.1），我们选择进行局部极大似然估计，这在[10]的参数背景下进行了研究，其数值计算可参考[33]。具体而言，如果我们考虑Bn：=nh-1n具有时间长度的规则非重叠观测块n： =T hnn-1，将（1.1）的估计量定义为bΘn：=BnBnXi=1bΘi，n，（1.2）其中bΘi，n对应于应用于第i个区块市场事件的最大似然估计，n对应于0到T之间的事件顺序数（通常为预期事件数量），区块大小hn代表区块顺序中的事件数量（通常为区块上的预期事件数量）。

在高频金融问题中使用局部估计的黎曼和的想法非常普遍，例如可以在[26]或[29]中找到。我们最近的工作包括[9]。当不考虑高频数据情况时，关于局部参数方法的更一般文献包括【17】，但也包括【21】，【13】的局部平稳过程等。本文的第一个贡献是获得随机参数θ的条件*在块大小Hn下，我们可以显示高频渐近的局部中心极限定理（LCLT），以及2κ>2阶矩的不确定性。所使用的技术，即准似然分析（QLA），其最通用和强大的公式可参考[40]，并不存在特定的问题，可以在很大程度上应用于不同的模型。对于这一部分，最好使用HN的砌块，其成型速度非常慢，因为砌块长度nwill更小，因此参数θ*每个块上的最大常数。特别是，如果θ*这不是常数，我们得到了一个必要的条件(√n） 。（1.3）这项工作所解决的第二个问题是BΘn产生的渐近偏差。即使在简单的参数情况下，请注意，每个BΘi，nis阶块的MLE偏差-1n，因此bΘ的偏差也是相同的h阶-1n。渐近偏差，即标度误差的偏差√NbΘn- Θ, 因此是有序的√新罕布什尔州-1n。如果我们不想得到渐近偏差，那么我们需要假设√n=o（hn）。（1.4）因此，对于该部分，块尺寸Hn应尽可能大。考虑到必要的条件（1.3）和（1.4），没有希望获得bΘn的交感偏向将消失的任何HN。因此，我们推导了一阶偏差修正参数。相应地，我们将bΘ（BC）i定义为偏差修正后的最大似然估计，当与第i块的观测值相匹配时。

此外，（1.1）的偏差修正估计量定义为bΘ（BC）n：=BnBnXi=1bΘ（BC）i，n。（1.5）我们提供了bΘ（BC）nhas无渐近偏差的条件。最后，获得了全局中心极限定理（GCLT），这是2κ阶矩的不确定性、LCLT以及BΘ（BC）的渐近偏差为零这一事实的直接结果。下一节提供了设置，第3节为时变自激过程案例开发了统计基础，第4节介绍了通用模型。在第5节中，我们讨论了主要结果。在第6节中，我们对统计程序的实施提供了一些实际指导。我们还在第7节中进行了数值模拟，并在第8节中对实际逐点数据进行了实证分析。最后，第9节得出结论。证据见附件。2在本工作中，术语“市场事件”应理解为可能对应于交易时间、买卖订单（限额或市场）、取消订单、价格变动时间等。我们需要首先引入一些符号，将在整个工作中使用。对于任何随机过程Xt，我们定义FX=（FXt）t∈[0，T]，其中FXt=σ{Xs，0≤ s≤ t} 指定Xt生成的规范过滤。我们假设nnt是一个点过程，它统计事件的数量[0，t]。这意味着，如果在时间t有市场事件，则dNnt=1，如果没有，则dNnt=0。此外，我们假定在时间0时没有跳跃，因此dNn=0。相应地，我们定义了市场事件的强度λn*（t） 。强度过程可以看作是事件的瞬时预期数量，即。

λn*（t） dt=EhdNnt | F（θ*,Nn）ti，其中F（θ*,Nn）是由Fθ产生的过滤*和FNnt。关于定义，读者可以参考[14]或[27]，了解关于apoint过程补偿器的更一般结果。通常有两种方法可以使事件的数量趋于一致。低频渐近性假设T→ ∞. [10] 在遍历框架中采用这种方法。相反，高频观点（有时也称为重传递渐近）假设T是固定的，并且事件数量在[0，T]上爆炸。我们采用后一种方法，并进一步考虑强度序列，使得E[λn*（t） ]的阶数为n，其中→ ∞. 这产生了n阶NnTof的大量观测结果，因此我们处于大样本理论的经典框架中。3问题概述：一个说明性的例子我们通过介绍一个点过程玩具模型开始我们的理论阐述，该模型在考虑自激模型情况时提供了一个克服困难的视角。为了简洁起见，我们停留在启发式水平。连续参数θ*在本节其余部分中，假设为一维。参数θ*它也被限制为紧凑型setK=θ、 θ, 其中θ>0。此外，θ*假设它适用于某些过滤Ft，并且在0≤ s<t≤ T那是|θ*T- θ*s | p= OP（（t- s） p），其中Es[.]表示与Fs相关的条件透视。最后，我们假设过程nnt适用于Ftand，遵循双随机Poisson过程（或Cox过程）的动力学，其基本随机强度假设定义为λn*（t） =npθ*t、 估算程序如下[34]。

我们有兴趣评估GCLT√n（bΘn-Θ）→dVTN（0，1），其中渐近随机方差VT=T-1RTvtdt独立于N（0，1）。由于参数θ*这是光滑的，我们得到Θ=BnBnXi=1θ*（一）-（1）n+OP(n） 。（3.1）因此，如果我们能够证明√nBnBnXi=1bΘi，n- θ*（一）-（1）N→dVTN（0，1）。（3.2）我们关注如何在这个简单的玩具模型中获得（3.2）。为此，我们将（3.2）的左侧重写为一个鞅三角形数组和一个偏差数组的和。形式上，（3.2）表示为√nBnBnXi=1Mi，n{z}S（M）n+√nBnBnXi=1Bi，n{z}S（B）n→dVTN（0，1），（3.3），其中Mi，n=bΘi，n- θ*（一）-（1）N- E（i-（1）NbΘi，n- θ*（一）-（1）N和Bi，n=E（i-（1）NbΘi，n- θ*（一）-（1）N. 因此，我们显示（3.3）的策略依赖于利用（3.3）左侧的鞅分解来显示块之间的协方差可以忽略不计。更准确地说，我们想证明s（M）n→一方面是dVTN（0，1），另一方面是S（B）n→另一方面，P0。为了说明上述情况，经典的有效条件（例如参见[20]中第58-59页的推论3.1，或[27]中的其他推论VIII.3.33）将在∈ {1，…，Bn}我们可以证明e（i-（1）Nphn公司bΘi，n- θ*（一）-（1）N= 五（一）-（1）n+oP（1），（3.4）和一些κ>1的-（1）Nphn公司bΘi，n- θ*（一）-（1）N2κ= OP（1）。（3.5）如果我们显示LCLT，即√hn（bΘi，n- θ*（一）-（1）n）→dv（i-（1）nN（0，1）在块数i中一致∈ {1，····，Bn}，我们可以从（3.5）中推断出（3.4）成立。这将是我们的战略，以表明S（M）n→dVTN（0，1）。此外，为了获得GCLT（3.3），我们还需要证明偏差数组渐近消失。

因此，我们将研究如何在toy模型中获得这三个条件（2κ阶局部矩的有界性、LCLT和无渐近偏差）。读者可以在第10.5节中找到更多细节。为了确定想法，我们提供了一种方法，当点过程的强度定义为λn时，该方法在估计（1.1）时有助于获得参数情况下的极大似然估计的渐近性质*（t） ：=n√θ*. 参数模型的对数似然可以表示为一个恒定的加性项asln（θ）=log√θNnT公司- N√θT，（3.6），其最大化子^θnadmit显式形式^θn=NnTnT公司. （3.7）如果我们引入鞅▄Nnt=Nnt- N√θ*t、 我们可以将^θnas重写为▄NnT的函数：^θn=θ*+√θ*nT▄NnT+▄NnTnT！。（3.8）根据鞅的经典极限定理（例如，参见[30]中第152页的定理2.28，如果我们插值一个连续鞅，或者参见[27]第584页更一般的定理IX.7.3），我们得到了CLT√n（^θn）- θ*) →dT公司-Γ（θ*)-N（0，1），其中Fisher信息的形式为Γ（θ*) =（θ*)-. 我们也有更有力的说法，对于任何p≥ 1： 呃√n（^θn）- θ*)圆周率→ 呃T-Γ（θ*)-ξpi，（3.9），其中ξ跟在N（0，1）之后。最后，我们还可以在（3.8）中计算MLEE的有限样本偏差^θn- θ*=√θ*nT。（3.10）我们现在回到时变参数模型的情况λn*（t） =npθ*t、 在这种情况下，我们将鞅的定义改为▄Nnt=Nnt- nRtpθ*sds。从显式形式（3.7）计算得出，局部MLE可以表示为BΘi，n=~NniN-Nn（i-（1）nhnT+hnT（▄NniN-Nn（i-（1）n） Zi公司n（i）-（1）nnpθ*sds+hnTZin（i）-（1）nnpθ*sds！。（3.11）鉴于（3.11），在hn=o（n）的假设下，很容易获得局部条件方差vs=T的LCLT-1Γθ*s-1和2κ阶矩的有界性。仍然需要控制偏差数组S（B）n。

计算得出usBi，n=qθ*（一）-（1）nhnT+OP(n） ，（3.12），其中剩余项OP(n） ，这不是参数偏差（3.10）的一部分，是由于θ的偏差*t、 为了获得无渐近偏差，我们假设√n=o（hn）。因此，如果我们假设hn=n1/δ<δ<2，我们可以证明GCLT的渐近方差vt=T-2RTΓ（θ*t）-此玩具模型中的1dt。这是一个简单的例子，不需要进一步的偏差校正来获得GCLT。然而，在时变自激模型中，我们需要对估计器进行偏差校正。这可以在这个简单的设置中通过bΘ（BC）i，n=bΘi，n完成-qbΘi，nhnT。（3.13）4我们在本节中介绍的模型是时变自激过程，也称为双随机Hawkes过程，类似于[11]中介绍的双随机泊松过程。我们首先回顾了非时变自激点过程的定义。在参数情况下，点过程NP，Nt可通过其强度函数λP，n确定*（t） =nν*+Zt公司-不适用*E-nb公司*（t-s） dNP，ns，（4.1），其中θ*= （ν）*, A.*, B*) 是三维参数。自激特性可以从强度形式λP，n直接读取*在（4.1）中。事实上，在时间t到来的市场事件将立即增强强度，增加一个数量级因子na*, 有利于在未来发生新的事件。经过一段时间的有序（nb）之后，激发会指数衰减*)-1、我们现在解释关于渐近性的选择。首先，我们假设基线强度与提高自发事件的平均速率成正比。此外，我们假设激发变量为量级（na*, nb公司*) 为了保持市场事件后典型激励时间之间的比例，（nb*)-1和两个自发事件之间的平均到达时间（nν*)-1.