双随机自激过程的统计推断

更正（，BC 3）幼稚1 0.57 0.24≈ 1 12.48 2.18 0.94 49.80 10.33 0.78BC 1 0.56 0.24≈ 1 11.16 2.17≈ 1 40.24 9.54 0.98幼稚2 0.57 0.24≈ 1 11.78 2.00 0.98 44.74 8.20 0.89BC 2 0.56 0.24≈ 1 11.12 2.00≈ 1 39.92 7.79 0.99幼稚3 0.56 0.24≈ 1 11.42 1.96 0.99 42.14 7.58 0.92BC 3 0.56 0.24 1 11.10 1.96 1 40.16 7.48 1天真4 0.56 0.24≈ 1 11.22 1.96≈ 1 40.66 7.40 0.96BC 4 0.56 0.24≈ 1 11.07 1.96≈ 1 39.72 7.36 0.94幼稚5 0.56 0.24≈ 1 11.07 1.97 0.99 39.60 7.50 0.94BC 5 0.56 0.24≈ 1 11.01 1.97 0.98 39.14 7.50 0.92MLE 0.55 0.23≈ 1 10.78 2.11 0.95 36.77 8.55 0.91CH 0.55 0.22 0.99 11.69 1.44 0.63 40.50 4.85 0.63+样本平均值、标准偏差和与BC 3的相关性，分别用于具有hn的朴素估计量（朴素1-5）和偏差修正估计量（BC 1-5）=√n、 2√n、 4√n、 8个√n、 16个√n、 2015年，MLE和CH为APPL实施。我们定义了几个确定性关键量，如Fisher信息矩阵，作为依赖于点过程NPt的量的时间平均限值。为每个θ定义回归族∈ K为λ（t，θ）=ν+Zt-ae-b（t-s） dNPs。（10.1）我们假设存在未知参数θ*∈ K，使得NPTI的FNPt强度表示为λP*（t） =λ（t，θ*). （10.2）对数似然过程在常数项下为lT（θ）=ZTlog（λ（t，θ））dNPt-ZTλ（t，θ）dt。（10.3）MLE^θ是lT（θ）的最大化子。我们定义了（θ*) = -TθlT（θ*) ∈ R3×3，（10.4）KT（θ*) =TθlT（θ*) ∈ R3×3×3，（10.5）MT（θ*) =ZT公司θλ（t，θ*)λ（t，θ*){dNPt- λ（t，θ*)dt}，（10.6）和任何指数k，l，m∈ {0，1，2}，CT（θ*)k、 lm=TZTθ、 kλ（t，θ*)θ、 lmlog（λ（t，θ*)) dt，（10.7）和qt（θ*)k、 lm=-MT（θ*)kTZT公司θλ（t，θ*)Lθλ（t，θ*)mλ（t，θ*)dt。（10.8）当T→ ∞因为这个过程是指数混合的。

实际上，对文献[10]中引理6.6的一个轻微推广表明，向量过程（λ（t，θ*), θ（t，θ*), ··· , θ（t，θ*)) 满足引用文件第14页定义的混合条件【M2】，这反过来意味着Γ（θ）的存在*) ∈ R3×3和K（θ*),C（θ*) ∈ R3×3×3任何 ∈ （0，1）和任意整数p≥ 1，E |ΓT（θ*) - Γ（θ*)|p=OT-P, （10.9）E | KT（θ*) - K（θ*)|p=OT-P, （10.10）andE | CT（θ*) - C（θ*)|p=OT-P, （10.11）其中| x |表示pi | xi |表示任何向量或矩阵x。此外，这也是混合特性的一个简单结果，以及MT（θ*) 是一个收敛于QT（θ）的鞅*) - Q（θ*)] = OT-, （10.12）对于某些Q（θ*) ∈ R3×3×3。注意Γ（θ*) 是渐近Fisher信息。特别是，在【10】中，作者展示了MLE矩的收敛性（见定理4.6），Ehf√T（^θT）- θ*)我→ 流行性出血热Γ（θ*)-ξi、 （10.13）式中，f可以是多项式增长的任何连续函数，ξ遵循标准正态分布。此外，很容易看出，（10.9）-（10.13）中的收敛在θ中保持一致*∈ 在[10]的证明有轻微变化的情况下。应将结果（10.13）与定理5.2进行比较。最后，从Γ、K、C和Q，我们定义了任何K∈ {0，1，2}b（θ*)k=Γ（θ*)jkΓ（θ*)lm（K（θ*)jlm+2{C（θ*)l、 jm+Q（θ*)l、 jm}）（10.14），重复指数的隐式求和。函数b出现在第10.4.10.2节“双随机Hawkes过程的构造”中局部极大似然估计偏差的展开式中。我们在参数过程的非常一般的条件下建立了双随机自激过程的存在性。

当参数在紧致空间中取值时，我们还提供了各种随机积分关于该点过程的矩的有界性。对于霍克斯过程的构造，我们遵循了与[6]中相同的过程，即，我们通过一个固定点参数证明了双重随机霍克斯过程的存在性。在下面的内容中，我们让b=(Ohm, F、 F，P），F=（Ft）t∈[0，T]，F=F是一个随机基础，使得过滤F由三维可预测过程（θs）s生成∈[0，T]=（νs，as，bs）s∈[0，T]是分量非负的，并且通过rw上强度为1的泊松过程n，其与θ无关。换句话说，Ft=F（θ，N）t。在下面，可预测性或自适应性等属性将自动引用到F。在我们讨论自激双随机过程的存在之前，我们回顾一下鞅的akey结果。引理10.1。设F=（Ft）t∈[0，T]，F=Ft是独立于F的a过滤和G aσ-场。还考虑由Ht=Ft定义的扩展过滤∨G、 那么任何平方可积Ft鞅也是Ht鞅。特别是，对于任何Ht可预测过程u，使得RTUSDM，MISIintegrable，E[RTUSDM | G]=0。证据让M定义为引理，并为0写≤ s≤ T≤ T，E【Mt | Hs】=E【Mt | Fs】∨ G] =E【Mt | Fs】=毫秒，自G起⊥⊥M和G⊥⊥财政司司长。接下来，rtusdmis是一个Ht鞅，是lemmafollows的第二部分。我们现在证明了与θ相关的双随机Hawkes过程的存在性。定理5.1的证明。我们在二维整数测度N（dt，dx）上使用积分应用固定点参数。让我们首先定义λ（t）=ν和点过程，定义为snt=ZZ[0，t]×R{0≤十、≤λ（s）}N（ds，dx）。（10.15）可以立即看到λ（t）是Nt的Ft强度。

然后，我们递归定义了具有随机强度λnasλn+1（t）=νt+Zt的t适应点过程序列Nnalong-ase公司-bs（t-s） dNns，（10.16a）Nn+1t=ZZ[0，t]×R{0≤十、≤λn+1（s）}n（ds，dx）。（10.16b）注意，λ和nna都随着n的增加而增加，因此都会在点方向上收敛到一些限制值λ和n，它们的值取[0+∞]. 此外，N计算曲线t 7下属于正域的N点→ λ（t），直接应用单调收敛定理。现在，让我们介绍过程序列ρnde，定义为ρnt=Eλn（t）- λn-1（t）| Fθt.然后ρn+1t=EZtase公司-bs（t-s）λn（s）- λn-1（s）ds公司FθT=Ztase公司-bs（t-s） Ehλn（s）- λn-1（s）FθTids=Ztase-bs（t-s） ρnsds，我们在第二等式中使用了富比尼定理。此外，第一个等式由引理10获得。1适用于补偿测量N（ds，dz）-ds公司dz和FNTandFθT之间的独立性。因此，设置Φnt=Rtρnsds，我们通过Fubini定理Φn+1t=ZtZt公司-sase公司-bsudu公司ρnsds。请注意，RT-sase公司-bsudu公司≤ASB公司≤ 根据条件（5.1），r<1。因此，Φn+1t≤ rΦnt，从而将单调收敛定理应用于序列Pnk=0Φkt尼尔斯Ztλ（s）dsFθT≤Ztνsds+rEZtλ（s）dsFθT. （10.17）对（10.17）中的术语进行简单的重新排列，我们得到Ztλ（s）dsFθT≤ （1）- r）-1Ztνsds<∞ P- a、 其中最后一个不等式是条件（5.2）的结果。特别是，我们推断RTλ（s）Ds和Nta几乎肯定都是有限的。我们需要证明λ（t）满足（5.3）。通过单子性，我们通过取极限n得出→ +∞ 在（10.16a）中，λ（t）=νt+Zt-ase公司-bs（t-s） dNs。（10.18）最后，我们展示了如何获得（5.4）。由于N和Fθtar是独立的，它仍然认为在FθT上，N是强度为1的泊松过程。

从N表示为N上的积分，我们得出结论（5.4）成立，这就完成了证明。现在，我们将关于点过程的著名结果应用于双随机Hawkes过程的情况，并导出关于N的随机积分的一些有用的矩估计。写出∧N的补偿测度，即∧（ds，dz）=dsdz。给定一个可预测的函数W，writeW* Nt=RR【0，t】×RW（s，z）N（ds，dz），以及W的相关定义* ∧t.关于随机测度的可预测函数和积分定义，可参见【27】第二段。下面的引理是对[25]中引理I.2.1.5的直接修改，也使用了引理10.1和（5.4）。引理10.2。设W为可预测函数，使得W* ∧t<∞ 几乎可以肯定。然后，对于任何整数p>1，存在一个常数kp，使得e“supt∈[0，T]W* （N）- ∧）tPFθT#≤ KpE公司ZZ[0，T]×R | W（s，z）| pdsdz+ZZ[0，T]×RW（s，z）dsdz！PFθT对于任意（随机）核χ：（s，t）→ χ（s，t），我们说，对于任何t，对于某些过滤，χ是G-可预测的∈ [0，T]过程χ（.，T）为。例如，核χ（s，t）=ase-bs（t-s） 是Fθ-可预测的。尽管如此，在证明过程中，我们还需要处理其他内核。因此，Weintroducing引入了以下引理，以确保在条件（5.13）下双随机Hawkes过程的矩的有界性。引理10.3。

在条件c下：=支持∈[0，T]Rtase-bs（t-s） ds<1 P- a、 在美国，通过（5.3）定义的计数过程允许[0，T]上的矩可以由独立于T的值来限定。此外，对于任何Fθ-可预测核χ，使得rtχ（s，t）ds在t上一致有界∈ [0，T]独立于T，对于任何具有一致有界矩独立于T的可预测过程ψ，我们有（i）supt∈[0，T]Eλ（t）p | Fθtp<Qp（ii）支持∈[0，T]呃Rtχ（s，t）dNsp | FθTip<Qp，χ，其中常数Qp，Qp，χ与T无关。证据我们分三步进行证明。第1步。我们证明（i）对于p=1成立。我们写下[λ（t）| Fθt]=νt+Zt-ase公司-bs（t-s） E[λ（s）| FθT]ds≤ ν+sups∈[0，t]E[λ（s）| Fθt]Zt-ase公司-bs（t-s） ds公司≤ ν+c sups∈[0，t]E[λ（s）| Fθt]，其中我们在最后一步中使用了条件（5.13）。在双方的[0，T]上取上确界，我们得到支持∈[0，T]E[λ（T）| FθT]≤ （1）- c）-1ν。（10.19）这尤其证明了p=1的情况，因为（10.19）的右侧与T无关。第2步。我们证明了（i）对任何整数p＞1都成立。请注意，有必要考虑p=2q，q>0的情况。因此，我们通过对q的归纳来证明我们的结果。在步骤1中已经证明了初始化情况q=0。请注意，对于任何 > 0，E[λ（t）p | Fθt]≤ （1+-1） q-1ν+（1+)Q-1E级Zt公司-ase公司-bs（t-s） dNsPFθT,这里我们使用了不等式（x+y）q≤ （1+)Q-1xq+（1+-1） q-1yq对于任何x，y， > 0.现在，对于固定的t∈ [0，T]，定义W（s，z）=ase-bs（t-s） {0≤Z≤λ（s）}，注意eZt公司-ase公司-bs（t-s） dNsPFθT= 呃W*Nt公司PFθTi≤ （1+-1） q-1EhW* （N）- ∧）tPFθTi+（1+)Q-1EhW* ∧tPFθTi。我们现在将引理10.2应用于getEhW* （N）- ∧）tp | FθTi≤ KpE公司ZZ[0，T]×R | W（s，z）| pdsdz+ZZ[0，T]×RW（s，z）dsdz！PFθT= KpE“Zt-后堂-pbs（t-s） λ（s）ds+Zt公司-ase公司-2bs（t-s） λ（s）dsPFθT#。我们很容易将第一项与归纳假设联系在一起。

对于第二项，H"older不等式的一个初等应用表明，对于任何k>1和任何非负函数f，g，（Rfg）k≤ （Rfkg）（Rg）k-这与归纳假设一起导致了第二项的相似界限。另一方面，我们有W* ∧tPFθTi=EZt公司-ase公司-bs（t-s） λ（s）dsPFθT.我们再次应用与上述相同的H"older不等式，函数f（s）=λ（s）和g（s）=ase-bs（t-s） 到getEZt公司-ase公司-bs（t-s） λ（s）dsPFθT≤ cp公司-1E级Zt公司-ase公司-bs（t-s） λ（s）pdsFθT= cp公司-1Zt-ase公司-bs（t-s） Ehλ（s）p | FθTids≤ cpsups∈[0，t]Ehλ（s）p | Fθt最后，我们已经证明了e[λ（t）p | Fθt]≤ （1+-1） q-1ν+（1+)Q-1（1+-1） q-1Ap+（1+)qcpsups∈[0，t]E[λ（s）p | Fθt]。这就产生了，取集合[0，T]的上确界，并取 > 0足够小，以便（1+)qcp<1，支持∈[0，T]E[λ（T）p | FθT]1.- （1+)质量控制计划≤ （1+-1） q-1ν+（1+)Q-1（1+-1） q-1Ap，除以1.- （1+)质量控制计划双方都得到了结果。第3步。仍需显示（ii）和（iii）。但请注意，它们是λ矩有界性以及引理10.2.10.3 LCLT和2κ阶矩有界性的直接结果。我们重点讨论了模型在每个块上的局部极大似然估计BΘi，no的渐近性质∈ {1，···，Bn}。回想一下，我们得到了全局过滤Ft=F（θ*,N） 具有双重随机Hawkes过程序列的∈[0，T]。我们对每个时间块执行最大似然估计（一）-（1）nT，inT公司, 我∈ 参数Hawkes过程回归族的{1，···，Bn}，并给出了每个局部估计bΘi，nofθ的局部中心极限定理*（一）-（1）n、 在块索引i中均匀。

此外，我们还证明了重标度估计量的所有高达2κ>2阶的矩√hn公司bΘi，n- θ*（一）-（1）N在i中一致收敛。我们没有直接在每个块上导出极限定理，而是表明通过选择适当的时间变化，可以将统计问题简化为长期框架。这样的过程基于以下基本引理。引理10.4。设（Nt）t是一个适应过滤Ft的点过程，Ft随机强度λ（t）。对于γ>0，考虑Nγt=Nγt，它适用于Fγt=Fγt。然后，Nγtλγ（t）=γλ（γt）作为aFγt-随机强度。此外，如果NTI是参数过程（θs）s的双随机Hawkes过程，则Nγtha是参数（γθγs）s的Hawkes过程的分布，即λγ（t）=γνγt+Zt-γaγse-γbγs（t-s） dNγs.（10.20）证明。首先注意，Nγt=Nγ由rγtλ（s）ds补偿。通过变量u=γ的简单变化-1s这个积分可以写成rtγλ（γu）du，它证明了引理的第一部分。在双重随机Hawkes情况下，我们写出时变强度的积分形式，并再次应用变量u=γ的变化-1s，λγ（t）=γλ（γt）=γνγt+Zγt-γ-酶-bs（γt-s） dNs=γνγt+Zt-γaγue-γbγu（t-u） dNγu，我们完成了。根据引理10.4，对于任何块索引i∈ {1，···，Bn}，我们考虑时间变化τni:t7→ N-1t+（i- （1）nand点进程（Nns）{s∈（（一）-（1）n、 我n] }为了得到时间变化点过程Ni，通过公式Ni，nt=NnτNi（t）在时间集[0，hnT]上定义- Nn（i-（1）n、 这种工艺适用于过滤Fi，nt=Fτni（t），对于t∈ [0，hnT]。参数过程如下（θi，n，*t） {t∈[0，hnT]}=（θ*τni（t））{t∈[0，hnT]}其规范过滤可表示为Fθi，n，*t=σ{θi，n，*s | 0≤ s≤ t} ，对于t∈ [0，hnT]。

最后注意，Fi，nt随机强度现在是λi，n的形式*（t） =νi，n，*t+Zt-ai，n，*se公司-bi，n，*s（t）-s） dNi，ns+Ri，n（t），（10.21），其中Ri，n（t）是由关系式Ri，n（t）=Z（i）定义的Fi，n-可测量剩余过程-（1）N-不适用*se公司-nb公司*s（τni（t）-s） dNns。（10.22）Ri，n（t）应解释为前几块诱发的预激。注意，从核的指数形式来看，φt=ae-bt假设，Ri，n（t）可以由i，n（t）限定≤ E-btRi，n（0）（10.23）注意，所有过程Ni，nCa都可以表示为泊松过程序列上的积分Ni，Ras上的nof强度1如下：Ni，nt=ZZ[0，t]×R+{0≤Z≤λi，n*（s） }Ni，n（ds，dz）。（10.24）实际上，Ni，nis是由Ni定义的初始泊松过程的时空变化版本，N（A×B）=N（τNi（A）×nB），对于A和B，R的任何两个Borel集。在时变表示中，我们定义了随机强度的回归族∧i，N（t，θ）=ν+Zt-ae-b（t-s） dNi，ns，（10.25），与λi，n（见（5.5））相关，通过∧i，n（t，θ）=n-1λi，n（τni（t），θ）。此外，第i块（5.6）中定义的准对数似然过程现在具有表示形式（直到常数项对数（n）Ni，nhnT）li，n（θ）=ZhnTlog（∧i，n（t，θ））dNi，nt-ZhnT∧i，n（t，θ）dt，（10.26）注意，在我们的例子中，真实的下伏强度λi，n*不属于回归族（∧i，n（.，θ））θ∈k原因有二：参数过程θ*在第i块上不是常数，回归族不考虑（10.21）中存在的预激项。我们处于一个错误的情况下，但我们希望利用过程θ的连续性*为了证明交感理论仍然成立，即MLE趋向于θi，n的值，*= θ*（一）-（1）nwhich是过程θ的值*在第i个块的开头。

因此，对于随机强度在回归族中且真值θ=θ的模型，该过程渐近等效于执行最大似然估计*（一）-（1）n、 为了将这种想法形式化，我们引入了一个与真值θ生成的参数情况相对应的辅助模型*（一）-（1）n、 更准确地说，我们引入了由Ni生成的常数参数Hawkesprocess Ni，n，cg和初始值θi，n，*, 其随机强度满足λi，n，c（t）=νi，n，*+Zt公司-ai，n，*E-bi，n，*（t-s） dNi，n，cs。（10.27）此外，我们假设Ni，n，ct具有代表性Ni，n，ct=ZZ[0，t]×R+{0≤Z≤λi，n，c（s）}Ni，n（ds，dz）。（10.28）注意，Ni，n，ctis未被观察到，只是作为一个中介来推导MLE的渐近性质，通过系统地显示任何变量Ni，n，|λi，n，li，n等渐近非常接近其由常数参数模型生成的对应物。出于稍后将变得明显的原因，将预激Ri，n（0）局部化并用一些仅依赖于n的确定性值Mn将其约束，对于某些q>1，Mn=O（nq）是至关重要的。为了将我们的局部估计问题简化为参数Hawkes过程的情况，我们还需要对参数过程的初始值设置条件。因此，我们将广泛使用条件期望E[.1{Ri，n（0）≤Mn}| Fi，n，θi，n，*= θ] ，我们用Eθ，i，n表示，其存在性由经典正则分布参数证明（参见第4.3节（第77页-80）in[5]）。本着同样的精神，对于一个可测量的集合∈ F、 Pθ，i，n【A】应理解为Eθ，i，n【1A】。最后，我们需要经常取四重态的上确界（θ，i，n，t）。为此，我们引入了符号E={（θ，i，n，t）∈ K×N×R+1.≤ 我≤ BN和0≤ T≤ hnT}。当n∈ N是固定的，我们将E的子集定义为En={（θ，i，t）∈ K×N×R+| 1≤ 我≤BN和0≤ T≤ hnT}。