双随机自激过程的统计推断

总之，Nntis是一个具有参数（nν）的自激过程*, 不适用*, nb公司*). 请注意，其他选择可能会导致相当不同的渐近性，例如在[32]中，作者建议使用基线nν的模型*而是一个形式为a的恒定激发核*E-B*t、 我们现在考虑时变情况。我们假设三维时变参数过程θ*它在分量上是正的，并且被限定在紧致空间K的内部。这意味着存在两个非负向量θ和θ，使得0<θ≤ θ≤ θ表示任意θ∈ K、 其中不等式应按分量读取。此外，我们假设Nntadmits盗窃随机强度λn*（t） 定义为λn*（t） =nν*t+Zt-不适用*se公司-nb公司*s（t）-s） dNns，t∈ （0，T），（4.2），其中Nntandθ*皮重适应Ft，Nn=0 a.s。时变模型（4.2）是（4.1）的自然时变参数模型扩展。它是以与双随机泊松过程相同的精神构造的，即在θ的路径上有条件地*t、 Nntis呈标准的非均匀霍克斯过程分布。定理5.1中给出了此类性质的形式定义以及双重随机霍克斯过程的存在性。最后，请注意，时变参数模型（4.2）比参数模型（4.1）更通用。特别是，两个市场事件之间的强度不是指数递减，而是一系列递减指数函数的总和，每个函数都有自己的起点和递减率。FT5的正式定义见第5.5节主要结果5。1初步结果我们在本节给出了双随机Hawkes过程的一般结果。我们从给定参数过程θt的基本条件开始，以确保相关的双随机Hawkes过程的存在。[E] （i）r：=支持∈[0，T]atbt<1 P- a、 s.（5.1）（ii）ZTνsds<+∞ P- a、 s。

（5.2）首先，请注意（5.1）是无害的。事实上，参数模型存在的相应条件是<1。此外，在用局部极大似然估计参数时，我们需要将θtto包含在一个紧集内。因此，（5.2）将在该上下文中自动验证。下一个定理表明了与过程θt相关联的双随机Hawkes过程的存在。我们记得，Fθt指定了与θt相关联的正则滤波。此外，以下更大的滤波FTI用于构建双随机Hawkes过程。我们将过滤定义为Ft=F（θ，N）t=Fθt∨ FNt，其中Nt=N（[0，t]×R）是强度为1的泊松过程，其与θt无关。定理5.1。（存在性）在[E]下，存在一个与fts相适应的点过程，其fts强度具有λ（t）=νt+Zt的表示形式-ase公司-bs（t-s） dNs。（5.3）此外，在θt的路径上，Ntis作为标准Hawkes过程分布，具有非齐次的确定性参数θt，即isEhf（N）FθTi=EhfN￠θ对于任何连续的有界函数f，i |￠θ=θ，（5.4），其中N￠θ是一个具有潜在确定性过程￠θt的双随机Hawkes过程*tsatis fies条件【E】。在此假设下，由于Nntis是一个随时间变化的自激过程，其参数为（nν*t、 不适用*t、 nb公司*t） ，Nntis定义良好并适应toFt。我们描述了统计过程，提供了局部MLEbΘi、nas以及一阶偏差修正版本BΘ（BC）i，n的正式定义。我们陈述了它们的渐近性质，包括本文的主要结果，即定理5.4中BΘ（BC）的GCLT。回想一下，我们已经将我们的观察切碎为形式的Bntime块（（i- （1）n、 我n] 。

对于任何i∈ {1，…，Bn}和任意θ∈ K、 我们考虑强度λi，n（t，θ）=nν+Zt的回归族-（一）-（1）nnae公司-nb（t-s） dNns，（5.5）定义为t∈ （（一）- （1）n、 我n] 。现在，我们确定了第i个区块的准对数可能性，即n（θ）=Zin（i）-（1）nlogλi，n（t，θ）dNnt公司-Zi公司n（i）-（1）nλi，n（t，θ）dt。（5.6）我们将局部MLEbΘi，nas作为第i块定义的拟对数似然的一个最大化子asli，nbΘi，n= 最大θ∈Kli，n（θ）。（5.7）从（5.5）、（5.6）和（5.7）的形式来看，我们可以看到λi，n，li，nandbΘi，nare是第i块事件的函数。特别是，我们没有考虑候选强度（5.5）表达式中由膏状事件引起的可能预激，因为积分的下限固定为（i-（1）n、 渐近地，这种近似是有效的，因为激励核的指数形式以及激励参数的阶数（na*t、 nb公司*t） 诱导过去事件对实际随机强度λn的影响足够弱*（t） 。在下面的内容中，我们指定Hn的形式，并假设存在指数δ>1，使得Hn=n1/δ。（5.8）我们还必须指定过程θ的平滑度*使用以下数量。首先，定义p阶正则模∈ N- {0}，时间t∈ [0，T]和值θ∈ K aswp（t，θ，r）=E“suph∈[0，r∧（T-t） ]|θ*t+h- θ*t | pFt，θ*t=θ#，r>0。（5.9）然后我们确定全局正则性模量aswp（r）=sup（t，θ）∈[0，T]×Kwp（T，θ，r），r>0。（5.10）我们介绍了获得LCLT和矩有界性所需的以下条件。[C] （i）存在指数γ∈ （0，1），使得对于r→ 0，我们有wp（r）=OP（rγp）。（5.11）（ii）δ和γ满足δ>1+γ的关系。

（5.12）该模型定义错误，因此li不是该模型的对数似然函数。请注意，这并不意味着bΘi，nare不相关。（iii）励磁参数a*坦德b*tsatisfyc：=sup（t，n）∈[0，T]×NZtna*se公司-nb公司*s（t）-s） ds<1 P- a、 s.（5.13）注意，条件期望E[.| Fs，θ*s=θ]指以θ为条件的运算符E[.| Fs]*s=θ。根据定义，对于F-可测随机变量X，如果我们写出GX（θ）=E[X | Fs，θ*s=θ），两个表达式之间的关系可以表示为E[X | Fs]=GX（θ*s） 。E[.| Fs，θ]存在的正当性*s=θ]见第10.3节。条件【C】-（i）量化过程θ的规律性*t通过正则指数γ。满足[C]-（i）的过程的一个自然示例是漂移函数，即形式为θ*t=θ*+Ztu公司*sds，（5.14），其中u*是一个随机过程，它的值在R的一个紧子集中。另一个例子是布朗运动的一个混沌版本，可以得到如下结果。取一些τ>0，一个正因子θ（M）∈ R、 正对角矩阵σ=diag（σν，σa，σb），并考虑过程θ*t=θ（M）+στZtt-τWsds，（5.15），其中（Wt）t∈[-τ、 是一个三维标准布朗运动。可以定义θ*通过在达到某个临界值时停止进程W来生成紧空间。第二个示例用于将参数的随机分量建模为干扰过程，我们在模拟研究中使用了（5.15）。注意，τ越小，自相关θ越小*我们将回到极限τ内的布朗运动→ 0

对于示例（5.14）和（5.15），我们得到γ=1，但请注意θ的相关结构*t但可能非常复杂（要做到这一点，我们可以采取任何步骤*t具有复杂的相关结构）。条件[C]-（ii）控制hnand的下界，这对于推导LCLT和矩的局部有界性是必要的。尤其是γ≤ 1、[C]-（ii）表示hn=o(√n） 。这是第（1.3）条所述。最后，[C]-（iii）是确保Nn矩存在的附加条件。我们可以看到，如果≤ A.*≤ a、 b类≤ B*≤ b和a<b。我们现在指定指数κ=γ（δ- 1） >1，（5.16），其中不等式是[C]-（ii）的直接结果。对于θ∈ K、 正对称矩阵Γ（θ）被定义为由θ生成的参数Hawkes过程的渐近Fisher信息，可在（10.9）中找到。下一个定理包括LCLT和小于2κ重标局部极大似然估计阶数的局部收敛性√hn公司bΘi，n- θ*（一）-（1）N.定理5.2。（LCLT和矩的有界性）让L∈ [0，2κ]，[C]下有uniformlyin i∈ {1，···，Bn}thatE（i-（1）nhf公司phn公司bΘi，n- θ*（一）-（1）Ni=E（i-（1）NFT-Γθ*（一）-（1）N-ξ+ oP（1）（5.17）对于任何连续函数f，当| x |时| f（x）|=O（| x | L）→ ∞ , 使得ξ遵循标准正态分布，且独立于F。现在，我们引入了任何i∈ {1，…，Bn}asbΘ（BC）i，n=bΘi，n-BbΘi，nhnT，（5.18），其中b在第10.1节（10.14）中定义，并应与经典i.i.d案例的非常相似的形式进行比较，参见示例[12]。最后，我们回顾了（1.5）中引入的全局偏差校正估计量的定义，即bΘ（BC）n=BnBnXi=1bΘ（BC）i，n.（5.19），在下一个定理中，表达式x∧ y代表min{x，y}。定理5.3。（偏差校正）Let ∈ （0，1）。

估计量BΘi的偏差，nadmits扩展（i-（1）nhbΘi，n- θ*（一）-（1）ni=bθ*（一）-（1）NhnT+OPH-（κ∧)N, （5.20）在i中均匀∈ {1，…，Bn}。此外，估计量bΘ（BC）i，nha是一致偏差展开式（i-（1）nhbΘ（BC）i，n- θ*（一）-（1）ni=OPH-（κ∧)N. （5.21）现在我们的目标是结合定理5.2和定理5.3来说明全局估计的渐近性质。下文分为两部分。当假设参数非常平滑时，主参数给出GCLT。第二部分研究当参数粗糙时会发生什么。5.2全局中心极限定理当参数是光滑的时，在本节中，我们对δ和γ规定了一个附加条件，以使bΘ（BC）渐近无偏。δ和γ满足关系γγ-< δ<3。（5.22）直观地说，[BC]中的左侧不等式确保每个块的大小不会太大，因此参数过程θ引起的偏差*titself可以忽略不计。相反，右手边不等式是通过避免太小的块来控制局部极大似然估计的有限样本偏差的有效条件。更准确地说，条件[BC]特别意味着指数γ∈, 1.. 注意，这种条件排除了作为参数过程的It^o-过程类。此外，在, 1.我们有γγ-≥ 1+γ等于γ=1，因此[BC]是比[C]-（ii）更强的条件。例如，在Lipschitz情况下，γ=1，[BC]（因此[C]-（ii））满足2<δ<3。这意味着通过定义δ，必须取hn，使n=o（hn）和hn=o（n）。最后，我们陈述了这项工作的主要结果，该工作研究了偏差修正估计（BC）n的极限误差。定理5.4。（GCLT）假设[C]和[BC]保持不变。那么，Fθ*T-稳定定律为n→ ∞,√NbΘ（BC）n- Θ→T-2ZTΓ（θ*s）-1dsN（0，1），（5.23），其中N（0，1）独立于σ-场Fθ*T.备注5.5。

（收敛速度）定理（5.4）中的收敛速度与参数情况中的收敛速度相同。我们还猜想渐近方差是非参数有效界。备注5.6。（对参数过程中跳跃的鲁棒性）我们假设我们向参数过程θ添加一个跳跃组件*t=θ（C）t+θ（J）t，（5.24），其中θ（J）t表示三维有限活动跳跃过程，dθ（J，k）为零（无跳跃）或表示k=1，2，3时t跳跃大小的实数。我们进一步假设没有初始跳跃，即J=0。此外，我们假设JT是一个与其他量无关的一般泊松过程。在类似的假设下，可以调整这项工作的结果。备注5.7。（相互激励的过程）证明可以适应多维霍克斯过程。研究相应的条件超出了本文的范围。5.3粗略参数情况下会发生什么？在本节中，我们对正则条件γ∈, 1.失败。我们首先给出了一个理论论证，以表明界限3/4可以小于1/2，尽管一些相应的偏差理论公式项可能涉及到任何实际利益。尽管如此，可以使用蒙特卡罗方法计算偏差（有关更多详细信息，请参阅我们数值研究中的第7.1节）。然后，我们提供了朴素估计量和一阶偏差修正估计量的预期一致性收敛速度。当γ/∈, 1., 定理5.4通常不成立。这是由于OREM 5.3，（5.21）中获得的偏压展开，其顺序为h-κ∧ncan以n为主-仅当γ>3/4时。然而，我们可以预期，将偏差修正到更高阶可以提高（5.21）中的收敛速度。因此，即使对于γ，我们也会得到相应的中心极限定理≤ 3月4日。

对证据的进一步调查表明，如果将偏差修正到q阶∈ N-{0}，条件[C]-（ii）和[BC]分别替换为δ>1+（q+1）/（2γ）和γ/（γ- 1/2）<δ<2+q，因此GCLT在较弱的条件γ下有效∈+2（1+q），1i。对于q→ +∞, 渐近容许区间变为, 1., 因此，对于任何γ＞1／2的情形，理论上可以构造一个渐近正态估计量。当γ∈ （0，]），我们不能使用相同的鞅方法。通常，如果没有关于θ分布的一些信息，就无法纠正由展开式（5.21）中的参数过程引起的偏差*t、 我们不能证明偏差的顺序是正确的，因为这意味着δ的选择是γ<δ（γ-如果γ达到临界值γ=1/2，这是不可能的。调查在θ结构的附加规范下，其他方法是否能更好地估计偏差*这超出了本工程的范围。当中心极限定理失效时，我们现在讨论估计量的收敛速度。我们可以证明这两个估计量bΘ和bΘ（BC）都是一致的。事实上，结果表明，对于任何α，一阶偏差修正后的版本都是nα-一致的∈0，γ1+γ, 然而，朴素估计量只是一个估计量，如果（\'\'n\'），则称其为一致估计量- Θ）=OP（1）。nα-对任何α一致∈0，γ1+γ. 更具体地说，我们有以下结果。该命题可以通过与定理5.4的证明类似的推理来证明。提案5.8。（一致性）对于任何α∈0，γ1+γ, 选择δ∈1+γ，α给定snα（bΘn- Θ）→P0。此外，如果γ∈ （0，3/4），对于任何α∈0，γ1+γ, 选择δ∈（1+γ）∨γγ-α、 2αgivesnα（bΘ（BC）n- Θ）→P0。特别是我们可以看到，BΘnis几乎已经√当γ=1且无任何偏角方向时，n-一致。

以类似的方式，γ=3/4的情况也会产生几乎√预计会出现n-一致性偏差校正的刺激因子BΘ（BC）nas。同样，知道命题5.8中给出的α的界是否是最优的超出了本文的范围。6统计实施在本节中，我们为上述理论提供了一些实践指导，包括GCLT的学生版。实际上，在真实数据上，感兴趣的数量是nΘ，而n（通常）是未知的。这并不妨碍我们获得GCLT的学生版。一种可行的方法是直接估计nΘ而不是估计Θ。当适当除以n时，这将产生与不可行程序相同的估计值，即我们有nbΘ=cnΘ，其中bΘ是朴素或双方向估计值。的确，请注意，最大化bΘi，nof li，n（θ）等于n-1Θi，n，其中Θi，nis是li，n（n）的最大值-1θ），对应于普通的拟似然（即忽略n的实际值）。现在，我们提供了渐近方差VT=T的估计量（达到比例因子）-2RTΓ（θ*s）-1ds，也不需要关于n值的信息。对于任何i∈ {1，···，Bn}，我们用公式n=-Hξli，nN-1ξ|ξ=nbΘi，ni-1.（6.1）期限ξli，nN-1ξ不依赖于n（当选择Hn时），当忽略n的值时，它精确地对应于Hawkes模型似然函数ξ点处的Hessian矩阵。特别是，这意味着可以计算BCI，nCa。然后估计渐近方差，直至一个比例因子，因为加权sumbCn=BnBnXi=1bCi，n.（6.2）下一个命题说明了n的一致性-1BCnotowards VT以及相应的定理5.4的学生版本，这是GCLT稳定收敛的必然结果。提案6.1。

我们没有-10亿立方厘米→此外，我们在分布bc中有收敛性-1/2nnbΘ（BC）n- nΘ→ N（0，1）。（6.3）注意，BC是标度积分参数nbΘ（BC）的估计值与目标nΘ本身之间的离散度的渐近方差。尤其是可行的渐近密度区间可以从数据中构造出来。由于n的值未知，为hn选择哪个值？一个想法是规范化θ的值*当参数等于θ时，0和T之间的预期事件数大约为1*t（与高频数据中的其他模型类似，其中n与样本数据的大小完全对应，就像根据定时观察到的对数价格回报估计波动性时一样）。这等于取n≈ NTI实践。虽然这并不完美，但它为hn的选择提供了指导，对于常规过程（γ=1），hn被假定为n1/3=o（hn）和hn=o（n1/2）。在我们的数值研究中，我们有NT≈ 27300，等于取n=27300。这使usn1/3≈ 30和n1/2≈ 165，相应地，我们看不同的hn=136.5273546，它们是相同的顺序。在我们的实证研究中，我们考虑hn=√n、 2√n、 4√n、 8个√n、 16个√n、 7数值模拟7。1研究目标在本节中，我们报告了评估Z（BC）n=BC中心极限理论的数值结果-1/2nnbΘ（BC）n- nΘ→ N（0，1）在几个时变参数模型的有限样本环境中。此外，我们还报告了学生化天真估计员的行为Zn=bC-1/2nnbΘn- nΘ.最后，我们比较了bΘ（BC）和bΘnw两种并发方法的性能，它们是1。考虑到[0，T]上的参数不是时变的，则[0，T]上的极大似然估计。[7]（CH）的时变基线强度MLE，假设ν*t=f（t，θ），其中fb为3阶多项式。