通过风险因素分解有效计算风险敞口

例如，如果投资组合包含股票、大宗商品和外汇的风险，则风险因素分解可以提供一种将风险计算分解为较小子计算的方法。实际的挑战将是开发一个框架，该框架允许以一般方式实现这一点，并且在输入不同的衍生产品或建模框架发生变化时很容易适应。模型参数过程的全相关矩阵Xt，Xt公司=Ft、Rd、Rf、1t、Ft、Rf、2t、Ft、Rf、3t自（36）起，用于第5节的测试，在正不确定性规范化后（Rebonato，1999）：1.-0.3024 0.1226 0.5815-0.0142 0.5510 0.5351-0.3024 1 0.6293-0.2577 0.6895-0.4554 0.31880.1226 0.6293 1 0.0459 0.7453-0.3049 0.41810.5815-0.2577 0.0459 1 0.1230 0.5490-0.0848-0.0142 0.6895 0.7453 0.1230 1-0.3015 0.35870.5510-0.4554-0.3049 0.5490-零点三零一五一-0.32600.5351 0.3188 0.4181-0.0848 0.3587-零点三二六零一外汇和利率SDE由表7中的参数驱动。表7:Black-Scholes-2-Hull-White（BS2HW）模型的参数（29）。欧元i=1（美元）i=2（英镑）i=3（日元）Fi1。2470 0.7926 147.53Rd1。8157e-04 Rf，i-0.0036 0.0065 0.0011λd0。010λif0。010 0.0523 0.010ηd0。0070ηif0。0092 0.0104 0.0057如第4.3节所述，校准函数Θd（t）和Θif（t），i=1、2、3，以拟合2014年12月2日各市场的正向利率曲线。

表8列出了当日用于σ（t）的外汇汇率的ATM波动率。表8:2014年12月2日ATM波动率，用于引导分段恒定波动率函数，如第4.3节所述。欧元-美元（%）欧元-英镑（%）欧元-日元（%）T=100万8.852 6.570 10.247T=300万8.695 6.635 10.245T=600万8.580 7.350 10.517T=1年8.605 7.447 10.848T=2年8.717 7.865 11.580T=3年8.952 8.068 12.247T=5年9.635 8.383 13.642A。1 Heston模型参数在表9中，我们给出了校准的Heston参数以及平均隐含波动率误差。如图A7（a）、A7（b）和A7（c）所示，欧元兑日元市场的倾斜最为明显（请注意y轴上的不同尺度）。由于这种偏差，自举的ATMvolatility与（44）中对未来波动的预期不同。该平均波动率和自举波动率随时间的变化如图A7（d）所示。过程的全相关矩阵，包括随机波动率Xt，Xt公司=Ft，Yt，Rd，Rf，1t，Ft，Yt，Rf，2t，Ft，Yt，Rf，3t在第5.5节的测试中，在调整后使用表9：根据2014年市场数据校准赫斯顿参数。包括以百分比表示的平均隐含体积误差。

模型校准至10%、25%和50%- 1年、2年、3年和5年到期的外汇看跌期权和看涨期权。参数误差EURUUSDκ0.5449 1.71%v0。0072'v 0.0126ρ-0.2752γ0.1560EURGBPκ0.6740 1.03%v0。0054'v 0.0098ρ-0.0762γ0.1771 Urjpyκ0.0476 2.23%v0。0116？v 0.1428ρ0.1890γ-0.3507表示正不确定性（Rebonato，1999）：1.-0.2644-0.2910 0.1142 0.5673-0.0004-0.0107 0.5243-0.0055 0.5043-0.2644 1 0.0019-0.0018-0.0016-0.0001 0.0009-0.0043-0.0014-0.0052-0.2910 0.0019 1 0.6322-0.2558-0.0001 0.6892-0.4535-0.0015 0.32840.1142-0.0018 0.6322 1 0.0438 0.0001 0.7473-0.3091 0.0014 0.41710.5673-0.0016-0.2558 0.0438 1-0.0740 0.1248 0.5468 0.0013-0.0796-0.0004-0.0001-0.0001 0.0001-零点零七四零一-0.0001 0.0003 0.0001 0.0003-0.0107 0.0009 0.6892 0.7473 0.1248-零点零零零一一-0.3001-0.0007 0.36590.5243-0.0043-0.4535-0.3091 0.5468 0.0003-零点三零零一一-0.3452-0.3103-0.0055-0.0014-0.0015 0.0014 0.0013 0.0001 -0.0007-0.3452 1 0.00410.5043-0.0052 0.3284 0.4171-0.0796 0.0003 0.3659-0.3103 0.0041 1（45）注意，由于正则化，相关矩阵发生了改变，相关性与Black-Scholes案例略有不同。B Kolmogorov偏微分方程的数值近似。我们概述了用于偏微分方程解的有限差分方法，因为通过使用正向和反向方程，该方法有些不标准。特别是，我们将Itkin（2015）的adjointmethod从二维扩展到三维，并将其用于正向分量。

有关金融衍生品定价的具体差异方法的更一般性介绍，请参见Tavella和Randall（2000）的例子，特别是利率衍生品Andersen和Piterberg（2010）。通常，每个风险因素用一个维度定义一个网格，Kolmogorov正向偏微分方程（9）或反向偏微分方程（3）中的偏导数用该网格上的有限差近似。B、 1后向方程我们使用空间域中心的二阶中心差和上风的组合来稳定域外部的大漂移（见附录B.3），为0。6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 8%8.5%9.5%10.5%11%11.5%（a）0欧元。7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 7%7.5%8.5%9%9.5%10%10.5%（b）0欧元。6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.610%11%12%13%14%15%16%17%18%19%（c）欧元日元0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6%8%10%12%14%16%18%20%（d）欧元日元图7：外汇对的隐含波动微笑。这些线是模型fit，钻石是市场隐含波动率。相关误差如表9所示。在图7（d）中，显示了基于自举ATMvolatilities（虚线）和模型随机波动率预期（实线）的分段常数波动率随时间的变化。获得时间变量中的常微分方程系统（in’t Hout和Welfert，2009）。设U（τ）为时间τ处半离散Kolmogorov后向方程的解，其中τ=T-t、 然后我们有以下初值问题dudτ=F（τ）U，τ≥ 0，U（0）=U，（46），给定矩阵F，从PDE导出，初始向量Ugiven由网格点处的payoff导出。边界条件也来自Payoff函数。我们采用交替方向隐式（ADI）分裂方法。

设Fn=F（τn）为离散矩阵，根据（46），在时间步长τn=nτ、 n个∈ Nτ>0均匀步长，则该矩阵首先分解为Fn=Fn+Fn+Fn+Fn，其中单个Fni，1≤ 我≤ d包含第i维中的一阶和二阶导数对F的贡献。继in’t Hout和Foulon（2010）之后，我们定义了一个矩阵F，它解释了混合导数项，并对此进行了充分明确的处理。在这里，我们给出了一个三维问题的格式，通过设置F=0，可以得到特殊情况下的二维情况。Hundsdorfer-Verwer（HV）方案（Hundsdorfer和Verwer，2003），Y=Un-1+τFn-1牛顿-1，（I）-θτFnj）Yj=Yj-1.- θτFn-6月1日-1，j=1，2，3，~Y=Y+τFnY公司- Fn公司-1牛顿-（1）,（一）-θτFnj）~Yj=Yj-1.- θτFnjYj，j=1，2，3，Un=Y，定义了所有θ的二阶一致ADI分裂，并且可以显示为θ的von Neumannstable∈+√3，1, 见Haentjens和in’t Hout（2012）。我们使用θ=0.8>+√3.≈ 计算中为0.789。在上述范围内，精确度和稳定性似乎对θ的选择不太敏感。B、 2正向方程我们使用Kolmogorov正向和反向偏微分方程之间的伴随关系。很容易看出（对于充分光滑的系数），dPdt=FT（t）P，t≥ 0，P（0）=P，（47），上面的F是Kolmogorov正演方程的一致格式。离散密度函数P的初始数据由Dirac delta的近似值给出。我们选择一个网格，使网格点与Dirac delta的位置重合。然后，将所有其他网格点的Pis设置为零，并将该特定点的Pis设置为一个较大的值，从而将数值求积规则应用于Pgives 1。在空间边界处，我们应用zeroDirichlet条件。因此，继Andreasen和Greg（2010）以及Capriotti等人之后。

（2015），我们可以首先建立近似Kolmogorov向后偏微分方程偏导数的矩阵，并将这些矩阵的转换用于Kolmogorov向前偏微分方程。现在我们可以将HV分裂应用于（47），并获得前向PDE的二阶（时间）一致近似值。相反，我们按照Itkin（2015）的方法计算后向方程HV方案的精确伴随，这导致了不同的方案，即换位和近似因式分解不会相互转换。根据Itkin（2015）中分析的二维情况，向前方案适用于三维情况，然后是（I-θtFn）TY=Pn-1，（I）-θtFn）TY=Y，（I-θtFn）TY=Y，~Y=Pn-1+T（Fn）T- θ（Fn）TY- θ（Fn）TY- θ（Fn）TY（一）-θtFn）T▄Y=▄Y，（I-θtFn）T▄Y=▄Y，（I-θtFn）T▄Y=▄Y，Pn=▄Y+T（（Fn-1） T型- θ（Fn-1） T）（Y）- Y）- θ（Fn-1） T（Y）- Y）-θ（Fn-1） T（Y）- Y） +（Fn-1） TY.通过使用此方案，我们得到了伴随关系ptun=PTnU，即使用后向方程计算条件期望函数，然后在Dirac测度的位置（左侧）对其进行计算，或者计算密度，然后对“Payoff”函数进行积分，得到了完全相同的结果。除了使用精确伴随的数学美学之外，该方案还具有以下稳定性优势。正如in’t Hout和Wyns（2016）所述，分裂方案不能为Dirac初始数据提供稳定的、收敛的解决方案。（47）的直接分裂容易引起密度的剧烈振荡，并可能给出无意义的期望。

通过使用上述方案，我们可以确保，即使我们无法保证解的稳定性，导出的感兴趣量（例如，EPE）与具有正则（EPE、Lipschitz和分段平滑）数据的后向方程相同。伴随方程还确保了网格内部离散概率的守恒。通过选择足够大的区域，可将边界处的质量损失降至最低。利用由Kolmogorov前向PDE数值解获得的离散转移概率网格，以及由后向PDE近似得到的投资组合值网格，可以通过应用于（8）的数值求积来提取风险敞口。B、 3网格构造和数值参数用于近似的网格是非均匀的，如Haentjens和in’t Hout（2015），其中使用sinh变换在高程点周围放置高密度的网格点。此外，网格被移动以包括正演方程的非光滑Dirac deltafunction所在的初始点值。在表10中，选择了以Ft、Rdtand和Rftis为单位的计算域。参数ξ控制接近初始点位值的点的分数（见Haentjens和in’t Hout（2015））。表10：有限差分网格参数。最小最大ξ外汇利率（Ft）0 8F国内利率（Rdt）-0.5 0.8 100国外利率（Rft）-0.5 0.8 100以上，我们对较大的绝对利率使用逆风差，即∈ [-0.5，-0.1]∪[0.2，0.8]，否则存在中心差异。三个方向的网格点数mm，min选择为m=2m=2m；另见附录D。对于F网格，间隔【Fleft，Fright】 【Fmin，Fmax】定义为网格均匀且密集，类似于Haentjens和in’t Hout（2012），而在sinh变换之外使用。

我们将该间隔设置为[Fleft，Fright]=[0.95F，1.02F]。基于C回归的蒙特卡罗算法我们使用常数、线性和双线性基函数{ψj：j=1，…，6}={F，Rd，Rf，F Rd，F Rf，RdRf}，来解释风险因素之间的相关性。该算法沿采样路径ωi确定选项值Yi（t）=Y（t；ωk），并可通过以下步骤总结：0。在t=0的所有时间点生成所有路径（Ft（ωi）、Rdt（ωi）、Rft（ωi）），T1、从到期日开始，设定t← T，Yi（T）← φ（FT（Nωi））。但请参见备注1，为什么我们不直接使用后向方程来计算风险敞口。2、设置Yi（t）← 经验值(-tRdt（ωi））Yi（t）。解决线性回归问题EhY（t）Xt公司-ti公司-Xj=1βjψj（Xt-t）我-→ 通过近似路径ω上的期望值来确定最小值β。4。设置t← T-t和Yi（t）←β+βFt（ωi）+βRdt（ωi）+βRft（ωi）+βFt（ωi）Rdt（ωi）+βFt（ωi）Rft（ωi）+βRdt（ωi）Rft（ωi）5。从2开始向后重复。对于所有时间步。D案例B的有限差异误差和单个项。与蒙特卡罗估计值相比，我们显示了案例B中所有相关项的单个FD误差，包括EE（表11）和EPE（表12）。备注4。例如，在下表中，BSHW EU-RU指的是第5节中的V{1,5}（F，Rf，1），即Black-Scholes-Hull-White模型，其中欧元兑美元汇率F允许Black-Scholes模型，但具有Hull-White国外短期利率Rf，1和确定性国内利率，其他术语也类似。表11：具有三个CCY的投资组合的有限差异风险敞口误差（EE）。注释4解释了术语的命名。误差以eL（见方程式（34））为单位，以不同数量网格点的百分比进行测量。时间步数固定为500。在括号内（对于m=40），1000个时间步长的FD解决方案的误差。

Monte Carlobenchmark采用4.10条路径和1000个时间步进行计算。MC SE m=40 m=60 m=80 m=100BS EU 0.15 0.22（0.18）0.064 0.12 0.077BSB EU-EG 0.22 0.23（0.20）0.072 0.13 0.087BSB EU-EJ 0.22 0.22（0.19）0.050 0 0 0.057BSHW EU-RE 0.21 0.24（0.15）0.15 0.20 0.17BSHW EU-RU 0.22 0.22（0.20）0.23 0.18 0.21BSHW EU-RG 0.22 0.22（0.18）0.058 0.11 0.071BSHW EU-RJ 0.22 0.21（0.17）0.061 0.11 0.075BSSBS EU-EG-EJ 0.21 0.24（0.20）0.088 0.14 0.10BSHW EU-RE-RU 0.210.16（0.14）0.14 0.098 0.11BSBSHW EU-EG-RE 0.21 0.23（0.15）0.16 0.21 0.18BSHW EU-EJ-RE 0.21 0.22（0.15）0.13 0.18 0.15BSBSHW EU-EG-RU 0.22 0.24（0.23）0.21 0.17 0.19BSBSHW EU-EJ-RU 0.22 0.22（0.21）0.20 0.16 0.18BSHW EU-EG-RG 0.22 0.25（0.22）0.088 0.14 0.096BSBSBHW EU-EJ-RJ 0.22 0.23（0.19）0.063 0.12 0.074表11（尤其是）和表12中的结果表明FD误差已经与更多样本的MC标准误差的数量级相同（即，表12：具有三个CCY的投资组合的正风险敞口（EPE）的有限差异误差）。注释4解释了术语的命名。误差以不同数量网格点的百分比在eL（见等式（34））中测量。时间步数固定为500。在括号内（对于m=40），1000个时间步长的FD解决方案的误差。

Monte Carlo基准由4·10条路径和1000个时间步计算。MC SE m=40 m=60 m=80 m=100BS EU 0.073 0.30（0.34）0.099 0.042 0.030BSBS EU-EG 0.070 0.23（0.25）0.11 0.078 0.071BSBS EU-EJ 0.084 0.24（0.27）0.070 0 0 0.038 0.048BSHW EU-RE 0.092 0.31（0.37）0.11 0.050 0 0 0 0.041BSHW EU-RU 0.094 0.45（0.42）0.24 0.17 0.14BSHW EU-RG 0.093 0.29（0.32）0.090 0.040 0.043BSHW EU-RJ 0.093 0.30（0.34）0.10 0.054 0.048BSSBSBS EU-EG-EJ 0.064 0.21（0.23）0.090 0 0.056 0.045BSHWHWEU-RE-RU 0.091 0.53（0.51）0.31 0.24 0.21BSBSHW EU-EG-RE 0.069 0.22（0.25）0.12 0.10 0.10BSBSHW EU-EJ-RE 0.083 0.25（0.29）0.080 0 0 0.054 0.062BSSHW EU-EG-RU 0.071 0.33（0.30）0.18 0.13 0.11BSHW EU-EJ-RU 0.085 0.44（0.41）0.26 0.20 0.17BSBSHW EU-EG-RG 0.070 0.26（0.28）0.12 0.076 0.058BSSHW EU-EJ-RJ 0.084 0.29（0.32）0.11 0.051 0.030比实际使用的样品多）。因此，我们在大多数计算中使用m=60个网格点和500个时间步（除非另有说明）。在表13中，我们报告了随着网格点m数量的增加，完整近似值的准确性。作为参考，我们还使用标准的蒙特卡罗（Monte Carloe）估计器计算近似值。备注5。在表13的第一列中，我们报告了一个估值器的结果，其中使用相同的布朗路径来估计给定Vu和括号中的结果，如果在整个美国也使用相同的路径。似乎通常不清楚哪个估计量的方差较小。对不同的u使用独立路径会导致Vu。如果这些项主要是正相关的，那么对不同的u使用相同的路径预计会增加方差，如果它们主要是负相关的，则会减少方差。致谢作者感谢Sumit Sourabh博士提供的有益建议和Shashi Jain博士提供的数据。