通过风险因素分解有效计算风险敞口

为了避免这种情况，在下文中，我们使用前向PDE作为过渡密度来计算曝光量。我们使用后向偏微分方程来近似Vkinsd而不是使用密度函数的原因是，我们需要X可到达的整个状态空间中的导数值。设p（X，t；a，0）是X给定状态a在t=0时的转移密度函数，然后v（X，0；t）=ZRp（y，t；X，0）ψNDXk=1wk（t）Vk（y，t）！dy.（8）这里，p通过Kolmogorov正演方程的伴随关系给出-PT-dXi=1xi（uip）+dXi，j=1xixj（σiσjρi，jp）=0，（9）p（x，0；a，0）=δ（x- a） ，（10）其中δ是以0为中心的狄拉克分布。因此，我们可以通过求解投资组合中每个衍生工具的一个正向偏微分方程和一个反向偏微分方程，再加上通过风险因子分解对每个t.3近似值进行一次积分，来获得预期（正）风险敞口。实践中的主要困难来自（1）中X的维数d。虽然NDin（7）通常非常大，但计算复杂度在ND中是线性的，而在ND中是指数的。在本节中，我们介绍了一种近似技术，该技术使大型d计算变得可管理。为了介绍这些概念，我们在第3.1节中重点讨论了近似v（x，t）=E[φ（XT）| XT=x]（11）=ZRdφ（y）p（y，t；x，t）dy，（12）的问题，即为简单起见，贴现因子为1，其中p（·，t；x，t）是XT的概率密度函数。我们首先讨论了锚定ANOVA概念对具有可变系数的偏微分方程的扩展以及“移动锚”的使用。在第3.2节中，我们解释了如何将近似值用作无偏蒙特卡罗估计量的有效控制变量。

完整预期暴露问题（8）的应用将在第3.3.3.1节“锚定ANOVA类型近似”中讨论。建议的方法扩展了Griebel和Holtz（2010）在积分问题背景下考虑的锚定ANOVA分解。在（12）的设置和符号中，Griebel和Holtz（2010）中的方法学选择了锚a∈ Rd然后，对于给定的索引集u D={i:1≤ 我≤ d} 定义被积函数f=φp乘以f（a xu）的投影，其中a xu表示d向量，使得（a xu）i=十二∈ u、 所有/∈ u、 （13）这导致f分解为低维函数，可用于连续求积近似（见Griebel和Holtz（2010）及其参考文献）。与此相反，我们不能假设Xt的联合概率密度函数是解析已知的，因此我们必须直接考虑X的动力学。为了提高准确性，例如为了说明利率的期限结构，这里我们不将度量集中在固定的锚点a上，但我们允许锚点在特定条件下移动，对基础过程进行观察，如下所述。我们首先通过ξi（t）=EhXit从（1）、（2）定义X的确定性近似值Xi=全部，1≤ 我≤ d、 t型≥ 0，Xit=ai+Ztui（a，…，ai-1，Xis，ai+1，ad，s）ds++Ztσi（a，…，ai-1，Xis，ai+1。

，ad，s）dWis，t≥ 0.在Reisinger和Wissmann（2012）中，使用了一种更简单的方法，其中漂移用u（a，0）来近似，然后用坐标变换x来消除→ 十、- u（a，0）t。上述构造考虑了更多关于期限结构的信息，并且系统地考虑了具有非恒定波动性的模型。对于给定子集u D、 然后，我们定义一个流程xUT=ai+Rtui（ξ（t）\\Xus，s）ds+Rtσi（ξ（t）\\Xus，s）dWis，i∈ u、 ξi（t），i 6∈ u、 （14）式中ξ（t）\\Xusfollows（13）中的符号。在这里，我们用流程的条件期望替换了流程的一个子集。例如，如果Xis是一个汇率，x和x是赫尔-怀特模型中的国内和国外短期利率，那么ξ是恒定利率模型下的汇率预期，而ξ只是国内短期利率的预期。问题的关键是，动力学影响维度v，期望值（11）可以用低维问题近似。因此，我们定义neVu（a；x，t）=E[φ（XuT）| XuT=x]，（15），其中右侧通过定义Xutin隐式地取决于a（14）。具体而言，（14）下（15）的后向PDE为Vu公司t+Xi∈uui（ξ（t）\\xu）Vu公司xi+xi，j∈uσi（ξ（t）\\xu）σj（ξ（t）\\xu）ρi，jVu公司xixj |{z}≡ LuVu=0，（16）Vu（x，T）=φ（x）。（17） （16）系数中参数ξ（t）\\xu的意义在于坐标xj，j上的完整信息∈ 使用u，而可以计算锚定点处的解V（a；a，0），只需求解变量xj，j中的| u |维PDE∈ u、 备注2。

从（15）到Vu（a；x，t）=E[exp(-RTtρ（Xus）ds）φ（XuT）| XuT=x]是简单的，对应的反向PDE而不是（16）是Vu公司t+LuVu+ρ（ξ（t）\\xu）Vu=0。为了将来参考，我们还提供了远期PDE聚氨酯t+Xi∈Uxi（ui（ξ（t）\\xu）pu）-Xi，j∈Uxixj（σi（ξ（t）\\xu）σj（ξ（t）\\xu）ρi，jpu）=0，（18）pu（x，0；a，0）=δ（x- a） 。（19） 从这里开始，我们可以遵循Griebel和Holtz（2010）的路径以及其中的参考，通过差异算子递归定义分解, 通过五、= 五、并且，对于u 6=,Vu（a；x，t）=Vu-Xw公司UVw=Xwu型(-1） | w|-|u | Vw，（20），其中第一次求和中的包含是严格的。这确实是一种分解，因为ev（a；x，t）=Xu{1，…，d}Vu=dXk=0X | u |=kVu。（21）我们注意到，对于u={i，…，i | u |}，Vu（a；ξ（t）\\xu，t）仅非平凡地取决于坐标{xi，…，xi | u |}和满意度（16）的子集。因此，Vuand因此Vu可以通过求解维数不高于| u |的问题来找到。例如，考虑d=3，u={1，2}，然后Vu（a；x，t）=V{1,2}-V{1}+V{2}+五、= V{1,2}- V{1}- V{2}+V.我们现在可以通过V0，s（a；x，t）=sXk=0X | u |=k来定义近似值Vu=sXk=0ckX | u |=kVu，（22），其中ck是整数常量，也依赖于s和d（我们抑制此项以保持符号简单）。关键是锚点处的近似值V0，s（a；a，t）可以通过求解最大尺寸为s的偏微分方程来找到。备注3。近似值V0,1和V0,2分别与delta和delta GammaApproximation有一定的相似性（参见Alexander et al.（2006））。在后者中，导数值近似为V（Xt，t）≈ V（a，0）+五、tt+（Xt- a） T型V+（Xt- a） T型电视（Xt- a） ，其中a=X，V是梯度或三角形电视黑森或伽马。

一个显著的区别是，如果V是二维函数或二维函数之和，则V0,2不会进行任何近似，而delta gamma总是涉及线性和二次近似。另一种近似，扩展（22），由Vr给出，s（a；x，t）=sXk=0ckX | u |=kVu∪{1，…，r}，r+s≤ d、 （23）在这里，我们始终保留第一个r坐标，并且仅将拆分应用于剩余的d-r坐标。锚点处的近似值Vr，s（a；a，t）可以通过求解最大r+s的维数偏微分方程来找到。正是这种近似值，我们将在本文的数值计算中使用，r=1，s=1或s=2。选择坐标轴来捕捉大部分动态，可以通过先验知识，也可以通过精度较低的小规模试运行。例如，对于s=1，r=1，我们有v1,1（a；x，t）=X1<i≤DV{1，i}-V{1}+ V{1}（24）=X1<i≤dV{1，i}- （d）- 2） V{1}，即c=-（d）- 2） ，c=1 in（23），对于s=2，r=1，V1,2（a；x，t）=X1<i<j≤DV{1，i，j}-V{1，i}-V{1，j}+V{1}+X1<i≤DV{1，i}-V{1}+ V{1}（25）=X1<i<j≤dV{1，i，j}- （d）-2） X1<i≤dV{1，i}+（d- 2） （d）- 1） V{1}，即c=D-1., c=-（d）- 2） ，c=1.3.2控制变量在某些情况下，小r和s的近似值（23）将非常精确。有一种期望，但通常不能保证，增加r或s将提高精确度。由于所涉及的高维性和偏微分方程的数量，进一步项的计算也可能非常昂贵。在这种情况下，用MC方法模拟某些修正值，而不是用PDE计算修正值，以获得更准确的近似值，这将是很有价值的。因此，我们现在讨论如何将近似值（23）转换为（11）的aMonte Carlo方案的控制变量。

用{ωk:1表示≤ K≤ Nω}d维布朗运动W的一组Nω独立样本，XT（ωk）是给定样本路径ωkof W的（1）的（强）解。（11）中V（x，0）的标准估计量为thenbVNω=NωNωXk=1φ（XT（ωk））。用Φ=φ（XT）表示随机支付，即对于事件ωkde fineΦ（ωk）=φ（XT（ωk））和Φr，s=sXk=0ckX | u |=kφ（Xu∪{1，…，r}T）（与（23）比较），然后我们定义了估计量bvnωr，s=NωNωXk=1（Φ（ωk）- α（Φr，s（ωk）- Vr，s）），（26），其中α将在稍后确定，以实现最佳方差缩减，而Vr，sgiven by（23）将由数值PDE解构建。FromV=E[φ（XT）]，Vu∪{1，…，r}=E[φ（Xu∪{1，…，r}T）]，我们得到[bVNωr，s]=V，即标准估计量和控制变量估计量都是无偏的。通常，我们会发现α≈ 1是最佳值。实际上，如果α=1，则bvnωr，s=Vr，s+NωNωXk=1（Φ（ωk）- Φr，s（ωk）），（27），即我们对截断分解的近似误差进行采样。选择bvnωr，sover标准估计量bvnω的动机是，对于给定的ωk，Φr，sandΦ将很接近，因此与标准估计量相比，方差大大减小。使方差最小的α值由控制变量和标准估计量的协方差确定，可由估计量近似（见Glasserman（2004））cσ=NωNωXk=1（Φr，s（ωk）- Vr，s）），bρ=NωNωXk=1Φ（ωk）-bVNω（Φr，s（ωk）- Vr，s），最佳值估计为bα=bρ/cσ。然后，方差减少约为yvar[Φ-α（Φr，s- Vr，s）]Var[Φ]≈ 1.-cov（Φ，Φr，s）pvar（Φ）pvar（Φr，s）。综上所述，在前一节中的近似值Vr、S不够准确的情况下，可以使用（27）中相对较少数量的修正项（右手和）的蒙特卡罗样本进行修正。3.3衍生工具组合的应用我们现在讨论预期风险的近似值，如（7）所示。

为了从风险因素分解的降维中获益，我们计算了第3.1节中涉及的所有偏微分方程的解。一般原则是将（7）中的流程X替换为（14）中定义的流程X。因此，weapproximate V in（8）byVu（a；x，t）=ZRpu（y，t；x，0）ψNDXk=1ωk（t）Vk，u（ξ（t）\\yu，t）！dy，（28），其中Pu是Xu的跃迁密度函数，满足正向PDE（18），（19），而不是（9）。类似地，Vk，uis作为（16）的解给出，Payoff函数φkin（17）。关键点是我们通过求解| u |维偏微分方程来计算Puk和Vk，并且（28）是一个| u |维积分问题，因为p是D | u维中的Dirac测度。然后，Vr由（28）和（23）定义。整个计算的复杂性是线性inND和指数r+s。对于模型衍生价格以封闭形式可用的产品（如大多数掉期），我们将在计算中使用这些价格，以提高速度和准确性。对于其他项目（如期权），我们将使用附录B.4案例研究中概述的数值PDE近似值。在本节中，我们将在第5节中介绍详细数值研究的市场设置，其中我们计算复杂度不断增加的投资组合的预期风险敞口（4）和预期正风险敞口（5）。该示例包括各种汇率和利率产品，选择该示例是为了代表投资组合中的每个产品都暴露于一个或多个apool风险因素的场景。因此，例如，中期到期的交换期权在国内和国外市场都面临利率风险，相反，国内利率会影响交换期权以及国内零息票债券。4.1驱动风险因素我们考虑外汇和利率产品组合。

假设每个外汇汇率都由完整的Black-Scholes-2-Hull-White（BS2HW）模型控制（参见Clark（2011））。每种汇率都有随机的国内外利率。为了说明清楚，我们考虑了所有汇率都与单一货币相关的情况，即低于欧元的情况，因此我们可以将外汇和利率的联合动态写为DFIT=（Rdt- Rf，it）Fitdt+σi（t）FITDF，it，1≤ 我≤ m、 （29a）dRdt=λd（Θd（t）- Rdt）dt+ηddWdt，（29b）dRf，它=hλif（Θif（t）- 射频、it）- η如果ρI（I），J（I）σI（t）idt+ηifdWf，it，1≤ 我≤ m、 （29c）具有给定的布朗运动（Wi）1≤我≤2m+1=（WF，1，Wd，WF，1，WF，2，WF，2，WF，3，WF，3），其中d[Wi，Wj]t=ρi，jdt，对于1≤ i、 j≤ 2m+1，（30），I（I）是第I个汇率指数，J（I）是第I个汇率指数（例如，I（1）=1，J（1）=3）。这里，Rdi是国内短期汇率，Rf是国外短期外汇汇率Fi，i=1，m、 市场总数为m+1。利率采用均值回复赫尔-怀特过程建模，其中Θd（t）和Θif（t），1≤ 我≤ m、 旨在拟合各市场的远期利率曲线。有关校准的更多详细信息将在第4.3节中给出。我们将对随机波动率模型的讨论推迟到第5.5节，但在此指出，在保持对称性和三角不等式等重要外汇特征的同时，将这些模型从单一货币对扩展到多重货币通常并不容易（seeDoust（2012）；De Col等人（2013年））。在数值示例中，我们选择欧元美元、欧元英镑和欧元日元，即m=3。欧元（国内）和美元、英镑和日元（所有国外）市场的利率加上分段持续波动，这就产生了d=200万+1=7个风险因素。在随机波动的情况下，欧元兑美元、欧元兑英镑和欧元兑日元均采用赫斯顿模型建模，因此有10个风险因素。

这个例子足够复杂，因为7维或10维alpde解决方案是不可行的，我们可以证明不同分解的效果。4.2衍生工具我们考虑跨货币和利率掉期以及外汇期权的投资组合。零息票债券尽管下面的投资组合没有明确包含任何债券，但这里研究的债券都是基于息票分支的，这些息票分支可以由一串在不同时间T支付1的零息票债券复制（因此从时间0值开始计算）。短期利率R isP（t，t）=P（0，t）P（0，t）eA-B（t，t）Rt，（31）式中（t，t）=B（t，t）f（t）-η4λB（t，t）（1- E-2λt），B（t，t）=1- E-λ（T-t） λ，andf（t）=-对数（P（0，t））t，t≥ 0，（32）见菲利波维奇（2009）。为简单起见，我们在此假设一个单一曲线框架，并且不对贴现曲线和转发曲线进行区分（请参见引言末尾的讨论）。交叉货币掉期（CCYS）我们考虑一系列以欠款结算的外汇远期掉期，包括分期付款和收款。请注意，两个分支都需要以本国货币进行估值，并使用未来汇率。继Filipovic（2009）之后，时间t的掉期价值（t，t，t）≤ T付款日期T，TNC=T isVccy（Ft，T；T，T）=Cd（T，T，T）- M FtCf（t，t，t），其中fti是时间t的汇率，Cd（t，t，t）和Cf（t，t，t）是国内和国外的即期票据，M是货币占（未来）汇率的百分比，例如100%指货币（ATM），105%指货币（ITM），95%指货币外（OTM）。

浮率注释值为cd/f（Ft，t；t，t）=Pd/f（t，t）∧d/f+NCXi=1Pd/f（t，Ti-（1）- Pd/f（t，Ti）∧d/f=Pd/f（t，t）∧d/f，其中∧d/f是本币或外币的名义利率，∧f=∧d/f。在这里，我们考虑浮动对固定利率掉期，其中所执行的债券被定义为固定息票债券，因此，名义∧等于virs（t）=KTNCXi=1P（t，Ti）+P（t，t）- P（t，t）！∧，其中K为固定利率，且T=Ti- Ti公司-1付款日期间隔（见Filipovic（2009））。外汇期权最后，我们考虑一种基于欧元兑美元汇率的外汇看涨期权，行使K，名义∧期权，到期日T，付息φ（FT）=最大（0，FT- K） ∧选项。在第4.1节中的BS2HW模型下，时间t<t时的期权值等于Vopt（Ft，Rdt，Rft，t）=E[经验(-RTtRdsds）φ（FT）| Xt]，其中Xt=（FT，Rdt，Rft）跟在（29）后面。有关这些选项的更多详细信息，请参阅Filipovic（2009）和Brigo and Mercurio（2013）。我们只注意到期权价值函数是相应三维后向偏微分方程的解；另见备注2。合同参数CCYS由外汇汇率和国内外利率过程驱动。合同具体参数如表1所示。请注意，这些交易具有不同的到期日、名义和货币性。利率掉期以欧元ATM利率进行交易，其中掉期利率为初始交易价值（t=0）等于零。具体参数见表1。期权行权设定为K=0.95F，到期日设定为T=4。