通过风险因素分解有效计算风险敞口

该选项的概念设置为∧Opt=100。表1：CCYS和IRS的参数。欧元兑美元EURGBP EURJPYMONEYNEYSS M 100%95%105%T 5Y 3Y 2Y国际∧d100 100 50息票数量NC100 100 100IR swapM 100%T 5Y∧150NC4。3市场和校准由于第3节中近似方法的行为和准确性可能在很大程度上取决于模型参数，我们在进行数值测试之前对市场数据进行了仔细校准。我们使用2014年12月2日的数据集。当时，利率很低，导致所有市场的收益率都很低。图1（b）所示为最长5年的收益率，根据（32）通过市场远期曲线f（t）的多项式插值进行计算。它们用于通过（31）进行债券定价并校准Θ∈ {Θd（t），Θif（t），1≤ 我≤ m} in（29）xΘ（t）=λdf（t）dt+f（t）+η2λ（1- E-2λt）（33），其中f（t）来自（32），这为债券价格提供了一个精确的fit（见Filipovic（2009））。0 1 2 3 4 5 6%7%8%9%10%11%12%13%14%15%16%16%时间波动性欧元USDEURGBPEURJPY（a）不同FXrates的时间依赖波动性，自举至未来ATM隐含VOL。0 0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 500.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.018TimeYield EURUSDGBPJPY（b）根据方程式（32）确定的不同利率的长期收益率。图1:2014年12月2日的波动率和收益率。对于（29a）中的外汇波动率，我们假设一个分段常数波动率函数，它随时间跟踪ATM波动率，σ（t）=PNMi=1σi{Ti-1<t≤Ti}，其中0=T<…<TNM=Tmax是区间[0，Tmax]的一个分区，用于某些最大化Tmax。使得σi是对应于时间段（Ti）的波动率-1，Ti]。

对于隐含性，此分区对应于可用报价期权的到期日，因此n表示不同到期日的数量。该校准与σito European在货币（ATM）期权的波动率假设不变的情况下进行匹配。表示到期时间为Ti的ATM期权的隐含波动率，那么这种逐步校准是CCR建模中的行业实践。σi可通过方程组（|σTi）Ti=iXj=1σj（Tj）归纳确定- Tj公司-1） ，i=1，纳米。由此产生的不同波动水平如图1（a）所示。赫尔-怀特（Hull-White）参数通过解析表达式进行校准，以拟合现行收益率曲线和掉期期权数据，即通过（33）和η以及λ对10年后终止的共同终端掉期期权进行校准（1×9、2×8、3×7、4×6、5×5、6×4、7×3、8×2和9×1），因为这些掉期期权也可用于复制10年后到期的掉期的CVA，如Sorensen和Bollier（1994）所示。可观察因素（汇率和利率）之间的相关性是根据前三年的每周历史时间序列数据估计的。通过将奇异值分解中的任何负特征值设置为零，将估计的相关矩阵正则化为正半定义（Rebonato，1999）。产生的全相关矩阵与其他参数一起显示在附录A中。de Graaf et al.（2016）在电子表格中提供了收益率曲线数据。5结果在本节中，我们分析了第3节中的数值近似值的准确性，这些数值近似值适用于第4节中描述的市场。我们将我们的结果与用蛮力蒙特卡罗方法计算的精确近似值进行了比较。

特别是，我们研究了以百分比表示的相对差异，eL=100qPNTi=1（Vr，s（ti）- VMC（ti））qPNTi=1VMC（ti），eL∞= 100maxNTi=1（| Vr，s（ti）- VMC（ti）|）maxNTi=1（| VMC（ti）|），（34），其中r=1，s=1或s=2表示二维或三维校正（见（23））。在计算中，TIA选择与掉期支付日期一致，因此NT=NCI息票支付的总数。此外，我们还研究了相对于投资组合中所有概念总和（Ntotal）随时间的平均差异（MD），以基点表示，MD=NttotalNtxi=1 | Vr，s（ti）- VMC（ti）|。同样，EE的标准化误差定义为asSE=100vuutNTXi=1SE（ti），vuutNTXi=1EE（ti），SE（ti）=Std（EE（ti））√Nω，（35），其中Std（EE（ti））是EE（ti）估计值的标准偏差，是EPE的类似定义。附录B.3中报告了用于数值方法的设置（域和网格尺寸、时间步长等）。在下文中，假设分段波动率，我们最多使用七个风险因素，d=7，其中（见（1）和（29））Xt，Xt公司=Ft、Rd、Rf、1t、Ft、Rf、2t、Ft、Rf、3t（36）是欧元兑美元、欧元兑英镑、欧元兑日元汇率（Fi）和欧元兑美元、英镑、日元短期汇率（分别为RDR和Rf，i）。为了简化符号（28），我们将使用，例如shorthandV（Rd，F，Rf，3）≡ V{2,4,7}（Rd，F，Rf，3；Rd，F，Rf，3，t）=V{2,4,7}（X，X，X；X，X，X，X，t），其中我们抑制了对锚点a=X和时间t的依赖，并且隐式地理解为参数标识所使用的函数。另请注意，由于我们对当前状态F.5.1案例A：单一欧元兑美元CCYSA的风险敞口感兴趣，因此该函数在X时进行评估。作为第一个测试案例，我们重点关注单一欧元兑美元CCY掉期交易的BS2HW模型（第4.1节）。

在这种情况下，仅使用三个相关风险因素F、Rd和Rf，1（欧元兑美元汇率、欧元和美元短期汇率），因此有效的d=3。在这种情况下，V1,1=V（F）+V（F，Rd）- V（F）+V（F，Rf，1）- V（F）（37）V1,2=V1,1+V（F、Rd、Rf、1）- V（F，Rd）- V（F，Rf，1）+V（F）（38）=V（F，Rd，Rf，1）。（39）（37）中的第一项是一个一维近似值，只有欧元-美元利率是随机的，接下来的两个括号分别对随机国内（欧元）和随机国外（美元）利率进行校正。请注意，在这种特殊情况下，方程（38）和三维修正如何简化为精确解（39）。在图2（a）和2（b）中，将一维、二维和三维分解近似V1,0、V1,1和V1,2与全尺寸蒙特卡罗近似VMC一起绘制。风险敞口随着时间的推移而减少，这意味着汇率推动了这种掉期交易的预期价值。EPE在定义上是积极的，并随着时间的推移而增加。分解后的二维和三维近似值都相当接近完全蒙特卡罗估计值，但表2中情况A的结果表明，二维情况下的最大误差超过5%，而三维近似值约为0.5%。请注意，后一个结果应该是准确的，因此任何差异都是有限的差异误差。这些可能看起来很大，但我们注意到，在行业标准为10条路径的情况下，蒙特卡罗的标准误差约为0.1%p4·10/10=2%（见表2）。虽然我们当然可以通过细网格提高有限差分精度，但我们目前不进行进一步研究。表2：案例A、B和C的暴露近似误差。使用m=60个网格点和500个时间步计算有限差近似值。

误差以百分比和蒙特卡罗基准的标准误差（4·10路径和1000个时间步）表示。在（35）中，SE定义为标准误差随时间变化的平方根，相对于采样EE或EPE的平方根。eL（%）eL∞（%）MD（bp）SE（%）1D 2D 3D 1D 2D 3D 1D 2D 3DCase AEE 2.07 1.20 0.038 2.16 1.50 0.049 8.58 4.43 0.17 0.13EPE 6.11 2.83 0.14 9.27 5.66 0.55 18.29 7.35 0.40 0.085 CASE BEE 19.54 1.41 0.20 21.67 1.50 0.34 32 2.52 0.25 0.17EPE 36.51 2.29 0.26 49.44 3.09 0.54 359.1 4.93 0.46 0.075案例CEE 22.23 1.48 0.18 22.19 1.44 0.30 33.26 2.36 0.22 0.19EPE 29.83 5.63 1.17 41.87 6.85 1.57 324.7 13.24 2.32 0.073参见附录D用于分析所用有限差分方案的准确性。0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-12-10-8.-6.-4.-20TimeExposure 1D base2D approx3D approxMC（a）EE，案例a.0 1 2 3 4 500.511.522.533.544.5TimePositive Exposure 1D base2D approx3D approxMC（b）EPE，案例a.0 0 0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4 4 4 4 5-12-10-8.-6.-4.-2024TimeExposure 1D base2D approx3D approxMC（c）EE，案例B.0 1 2 3 4 523456789 TimePositive Exposure 1D base2D approx3D approxMC（d）EPE，案例B.0 0 0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4 4 4.5 5 5-12-10-8.-6.-4.-2024时间曝光1D base2D approx3D approxMC（e）EE，案例C.0 1 2 3 4 52345678910时间正曝光1D base2D approx3D approxMC（f）EPE，案例C。图2：单个ATM CCY（2（a）和2（b））、三个CCY（2（C）和2（d））、三个CCY和一个IR掉期（2（e）和2（f）的EE（左）和EPE（右）。风险因素由BS2HW驱动，并以欧元兑美元汇率为基础。5.2案例B：三个CCY（欧元兑美元、欧元兑英镑和欧元兑日元）在三个CCY的情况下，有d=7个风险因素，因此添加三维更正将不再产生精确的解决方案。

在这种情况下，我们会事先选择基本风险因素，即欧元兑美元汇率。三种外汇掉期投资组合的二维分解近似值现在有两个额外的项用于校正其他外汇利率，还有两个额外的项用于校正外国利率：V1,1=V（F）+V（F，F）- V（F）+V（F，F）- V（F）+V（F，Rd）- V（F）+V（F，Rf，1）- V（F）+V（F，Rf，2）- V（F）+V（F，Rf，3）- V（F）= V（F）+Xj=2,3V（F，Fj）+V（F，Rd）+Xj=1,2,3V（F，Rf，j），（40），其中V（X，Xj）≡ V（X，Xj）- V（X）用于最后一行。对于三维校正，原则上有= 15个额外条款，因为除了X，我们从d中选择了2个-1=6个剩余系数。然而，其中只有8个非零，如下所示：V1,2=V1,1+V（F，F，F）+V（F，F，Rd）+V（F，F，Rd）（41）+Xj=1,2V（F，F，Rf，j）+Xj=1,3V（F，F，Rf，j）+V（F，Rd，Rf，1），其中V（X，Xi，Xj）≡ V（X，Xi，Xj）- V（X，Xi）- 使用V（X，Xj）+V（X）。这些更正可按以下方式解释。例如，在（41）的第一项中，V（F，F，F）将所有汇率视为随机的，但利率具有确定性（simpleBlack-Scholes模型）；在最后一项中，V（F，Rd，Rf，1）来自欧元兑美元汇率的完整BS2HW模型，其中所有其他过程都近似于其预期（见第3.1节）。其他更正条款也有类似的解释。相比之下，我们有V（F，Rd，Rf，3）=V（F，Rd，Rf，3）- V（F，Rd）{z}=0-V（F，Rf，3）+V（F）{z}=0=0，因为在此近似值中，（欧元兑日元汇率）为确定性，（日元）短期汇率Rf，3对掉期风险敞口没有影响。

类似的论点也适用于其他6个消失的修正。图2（c）和2（d）再次显示了暴露的一到三维分解近似值以及全尺寸蒙特卡罗近似值VMC。不同掉期的不同到期日在文件中有明确反映。当T=2时，欧元兑日元掉期到期，导致EE和EPE总额上升，而当T=3时，欧元兑英镑掉期到期，风险敞口下降。二维尤其是三维近似都接近于完全MonteCarlo估计；特别参见表2中与案例B相关的行。平均差异现在与投资组合中所有概念的总和有关。由于没有任何修正项同时解释欧元兑日元汇率、欧元和日元短期汇率，因此，在这种情况下，即使是三维近似的分解也不精确，因此所有误差都是由展开的截断误差和PDE解的离散误差（以及基准的蒙特卡罗误差略小）的组合引起的。我们在附录D中分别给出了所有修正条款的表格。表14显示，虽然一些条款占主导地位，如涉及欧元兑美元和欧元兑英镑汇率的二维修正条款，以及涉及欧元兑美元和相关短期汇率的三维修正条款，但其他条款当然不能忽略不计。有关备选方案的评估，请参见第5.7节。这表明该问题是真正的高维问题，没有较低的超维（见Wang和Sloan（2005）），粗略地说，我们的意思是解决方案不能精确地表示为低维问题解决方案的线性组合。

事实上，虽然近似值V0,3和V1,3对于EE来说是精确的，因为它是线性的，但V1,2不是。对于EPE，通常只有涉及所有风险因素的分解才是准确的，例如V0,7或任何Vr，r+s=7。然而，结果表明，r和s小得多的近似值，因此计算成本低得多，可以获得足够的精度。在第5.6节中，我们将展示通过使用上述近似值作为控制变量，在案例B中实现的方差减少。5.3案例C：案例B采用欧元的额外IRS通过向投资组合中添加IRS掉期，风险因素不会改变，因为在第5.2节中，欧元利率已被建模为驱动汇率的因素。在图2（e）和图2（f）中，人们观察到，由于利率互换，风险敞口水平增加了。同样，随着时间的推移，差异也会紧密匹配。在表2中，我们可以更清楚地看到，对于所有误差测量，当我们包括三维校正时，预期EE和EPE误差都会显著改善。需要注意的一点是，EE的错误与案例B几乎完全相同，因为所有具有RDI的模型都对IR掉期风险进行了精确的估值，例如V（F，Rd）。5.4案例D：案例C附加了欧元兑美元外汇看涨期权，我们现在在欧元兑美元汇率上添加了一个外汇期权，如第4.2节所述。暴露水平首先增加，但在t=4时下降，如图3（a）和3（b）所示。0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5-12-10-8.-6.-4.-2024TimeExposure 1D base2D approx3D approxMC（a）EE，案例D.0 1 2 3 4 5345678910TimePositive Exposure 1D base2D approx3D approxMC（b）EPE，案例D。图3：CCY投资组合的EE（左）和EPE（右），欧元-美元汇率看涨期权和浮动对固定利率掉期。

这些因素由BS2HW驱动，并以欧元汇率作为基本因素。在前面的示例（第5.1–5.3节）中，分析定价公式可用于投资组合中的SWAP，这使得蒙特卡罗风险敞口估计变得简单明了。增加外汇期权后，我们使用基于回归的MC方法，类似于美国期权常用的Longstaff-Schwartz算法（Longstaff和Schwartz，2001）。附录C中给出了所用算法的概要。由于这种回归，需要存储所有路径，并且可以使用较少的路径，这会导致更高的标准误差。我们还注意到，由于基函数的跨度有限，这种情况下的基准并不完美。表3中给出的SE未考虑由此产生的偏差。尽管如此，PDE结果和蒙特卡罗结果之间的差异表现出了预期的结果-见表3-随着修正的加入，有了显著的改善。表3：具有三个CCY、一个IRS和一个外汇看涨期权的投资组合的风险敞口误差。误差以百分比表示，并与2·10路径的蒙特卡罗基准的标准误差一起表示。

SE在（35）中定义为相对于采样EE或EPE的平方根的标准误差超时的平方根。eL（%）eL∞（%）MD（bp）SE（%）- Rf，it）Fitdt+PYITFITDF，it，1≤ 我≤ m、 （42a）dYit=κi(R)六- Yit公司dt+γipYitdWY，it，1≤ 我≤ m、 （42b）dRdt=λd（Θd（t）- Rdt）dt+ηddWdt，（42c）dRf，它=hλif（Θif（t）- 射频、it）- η如果ρI（I），J（I）pYitidt+ηifdWf，it，1≤ 我≤ m、 （42d），其中Yi=v0，igiven和前面的其他符号。从2014年12月2日起，对三组赫斯顿参数进行了波动率微笑校准，并在附录A.1中给出了校准系数。目前尚不清楚如何估计随机方差与其他风险因素（除了其自身的汇率）之间的相关性。在本测试中，假设它们为零。对局部随机波动率模型的扩展不会导致任何计算困难，预计近似值的精度将相似。在这种情况下，有d=10个风险因素，我们再次优先选择欧元兑美元汇率作为基本风险因素。