通过风险因素分解有效计算风险敞口

我们考虑案例B中有三个不同货币和到期日的CCY。三种外汇掉期投资组合的二维分解近似现在有一个额外的期限来校正欧元兑美元基础风险因素的随机波动性：V1,1=V（F）+Xj=2,3V（F，Fj）+V（F，Rd）+Xj=1,2,3V（F，Rf，j）+V（F，Y），其中使用方程式（40）中的简写符号。对于三维校正，在这种情况下，原则上有= 36个额外条款，因为除了X，我们从d中选择了2个- 1=9个剩余系数。然而，在这个初步测试中，我们只在Black-Scholes案例中贡献最大的四个2D修正中添加了一个随机波动率因子。其中包括对波动性的修正。在修正估计的正不确定性全相关矩阵后，这些相关性可能略微偏于零。本试验中使用的完整相关矩阵可在附录A.1中的方程式（45）中找到。见附录D中的表14。两种额外的外汇汇率（欧元英镑和欧元日元）：V1,2=V1,1+V（F，F，F）+V（F，F，Rd）+V（F，F，Rd）（43）+Xj=1,2V（F，F，Rf，j）+Xj=1,3V（F，F，Rf，j）+V（F，Rd，Rf，1），+Xj=1,2V（F、Fj、Yj）+V（F，Y，Rd）+V（F，Y，Rf），其中使用方程式（41）中的简写符号。请注意，所有无随机波动率的修正均将所有汇率视为随机的，但具有与时间相关的波动率函数，该函数等于对未来波动率的预期，可通过以下方式进行分析计算：Yit | Yi= v0，ie-κit+(R)vi（1- E-κit）。（44）图4（a）和4（b）显示了包括随机波动性在内的风险敞口的一到三维分解近似值，以及全尺寸蒙特卡罗近似值VMC。

同样，这些数据反映了不同的到期日，我们发现二维近似显著优于一维近似，而对于EPE，三维近似显著优于二维近似。0 0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5-14-12-10-8-6-4-2024（a）赫斯顿的EE，案例B 0.5 1 1.5 2 2 2.5 3 3.5 4 4.5 52345678910（B）赫斯顿的EPE，案例B。图4：赫斯顿的三个CCY的EE（左）和EPE（右）。欧元兑美元汇率作为基本风险因素，所有汇率均采用随机波动率进行模拟。这在表4中也可以清楚地看到，在表4中，我们显示了不同近似值的各种误差度量。在预期暴露的情况下，二维分解近似值似乎已经接近全尺度蒙特卡罗解。这与Simaitis等人（2016）的观点一致，他们发现，对于预期敞口，可以使用时间依赖性波动函数，而仅对于非线性敞口（如预期正或负敞口），应使用完全随机波动模型。5.6方差减少我们现在通过应用第3.2节的方法纠正前几节结果中的偏差，与标准估计值相比，方差大大减少。为简单起见，我们仅限于对衍生品进行分析定价的情况，因此不需要回归。获得的方差减少量，计算为有无控制变量的两个方差的比率，如图5所示，用于不同的分解近似值和表4：使用Heston模型建模的情况B的暴露近似值误差。用m=80个网格点和500个时间步计算差异近似值。

误差以百分比表示，并与4·10路径和1000个时间步的蒙特卡罗基准的标准误差一起表示。SE在（35）中定义为随时间变化的标准误差的平方根，相对于取样EE或EPE的平方根。eL（%）eL∞（%）MD（bp）SE（%）1D 2D 3D 1D 2D 3D 1D 2D 3DEE 23.40 0.62 0.68 28.03 0.87 0.75 42.79 1.09 1.35 0.18EPE 31.84 8.55 0.96 41.70 12.00 1.08 368.01 15.59 2.13 0.076第5.1节至第5.3节的测试案例。需要明确的是，值为0.5%意味着方差减少了200倍，而值为100%意味着根本没有实现方差减少。在图5（a）和图5（b）中，对于单一CCYS，EE和EPE的方差折减系数在100到1000之间。对于二维控制变量，较短到期日的减少幅度更大，并且随着时间的推移而增加。对于三维控制变量，由于控制变量的精确性，方差减少是恒定的。控制变量和蒙特卡罗估计量之间的唯一区别是（时间）离散化误差，这也解释了为什么方差不等于零。图5（c）和5（d）显示了三个CCY情况下的方差减少。这里，三维分解近似不再精确，因此，在三维情况下，方差也会随时间增加。T=2和T=3的大幅下降是由于欧元日元和欧元英镑CCYS到期。时间3和5之间的差异减少最大，因为在此期间，只有欧元-美元CCYS未终止。当我们使用二维校正时，EE和EPE的减少量分别约为200和50。

当考虑到三维校正时，我们得到Ee减少10倍，EPE减少200倍。图5（e）和5（f）显示了三个CCY和一个IRS情况下的方差减少。EE结果类似于仅三个CCY的结果，因为IRS due toRdis的随机性完全由修正建模，如第5.3节末尾所述。对于EPE，对于二维校正，方差减少约30倍，对于三维校正，方差减少约50倍。选择设置时，应确保最终差异精度与蒙特卡罗精度相当。由于有限差分近似比蒙特卡罗采样收敛的阶数更高（对于低维，通常高达3或4），如果需要更高的精度，蒙特卡罗分量的计算效果将占主导地位。作为补充说明，我们在此指出，不同的偏微分方程和积分问题可以通过完全不同的方法来解决，例如，傅立叶方法可以用于一些低维问题，而拟蒙特卡罗方法可以用于一些中维问题。分解中的不同解也可以完全并行计算，并与蒙特卡罗运行并行。我们在此报告连续运行时间。从表5所示的情况B的运行时间中，我们可以看到，使用2D近似作为控制变量，我们的计算速度提高了50倍，因为有限差2D校正的计算时间可以忽略不计。

使用3D校正为我们提供了一个加速系数12；尽管方差减少幅度更大，但PDE解决方案所用时间的增加会吞噬2D校正带来的任何好处。从后面的图6中可以更清楚地看到EE和3D的极端方差减少，其中数据绘制在对数刻度上。类似地，准蒙特卡罗可用于基准方法，并为模拟中的模拟提供从o（n）到o（n）的潜在简化模拟路径（这很少见），或为回归方法提供从o（n）到o（n）的潜在简化模拟路径。0 0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 500.0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.0450.05时间%2D approx3D近似值（a）EE方差减少，单个CCYS0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 500.511.522.5时间%2D approx3D近似值（b）EPE方差减少，单个CCYS0 0.5 1 1.5 2 2 3.5 4 4 4.5 500.10.30.50.60.7EE的时间%2D approx3D近似值（c）方差减少，三个CCYS0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 500.511.522.5时间%2D approx3D近似（d）EPE方差减少，三个CCYS0 0.5 1 1.5 2 2 2.5 3 3.5 4 4 4.5 500.10.20.30.40.50.60.7时间%2D approx3D近似（e）EE方差减少，三个CCYS和IRS0 0.5 1 1 1.5 2.5 3 3 3 3.5 4 4 500.511.522.533.54时间%2D approx3D近似（f）EPE的方差减少，三个CCYS和IRS图5：使用2D和3D校正减少不同测试用例的方差。比较有无控制变量的方差。对于该计算，使用了10条路径。表5：单个解算器的计算时间（秒）。对于有限差分（FD）解算器，我们使用m=60个网格点和100或500个（括号内）时间步长（另请参见附录B.3）。完整的蒙特卡罗（MC）结果是通过4·10路径和100或1000（括号内）时间步获得的。对于控制变量（CV MC）结果，我们减少了与方差减少相关的路径数。

从图5案例B中可以看出，2D情况下方差折减系数为50，3D校正为200。因此，我们在2D校正的情况下选择8·10路径，在3D校正的情况下选择2·10路径。求解时间1D FD 1.53（3.65）2D FD 2.35（10.67）3D FD 344（601.34）Full MC 4251（7738）2D CV MC 81.5（258.4）3D CV MC 30.1（107.6）5.7其他基本风险因素在前面的章节中，基于此汇率驱动的衍生品具有最高到期日的事实，事先选择欧元兑美元汇率作为基本风险因素。然而，不能保证这种选择作为基础在任何意义上都是最优的。通常，人们可能事先知道主要驱动因素是什么。如果做不到这一点，那么在试运行中通过相对较少的样本数来估计不同因素所实现的方差减少，然后用表现最好的基本因子进行实际的大规模估计，实际上是可行的。在图6（a）和6（b）中，当我们选择欧元-英镑或欧元-日元汇率作为基础时，与选择欧元-美元汇率相比，案例b的不同EE和EPE文件显示出来。表6显示，欧元兑美元汇率的误差确实最小。表6：基本风险因素不同选择情况B的风险敞口误差。误差以百分比表示，并与蒙特卡罗基准路径的标准误差一起表示。

SE在（35）中定义为随时间变化的标准误差的平方根，相对于采样EE或EPE的平方根。eLeL公司∞MD（bp）SE2D 3D 2D 3D 3D 3D EURUSDEE 2.02%0.69%1.83%0.59%2.43 0.86 0.23%EPE 1.97%0.36%2.74%0.51%2.64 0.51 0.15%EURBPEE 2.32%1.39%2.26%1.60%2.47 1.26 0.23%EPE 4.01%1.89%4.77%3.05%5.45 2.02 0.15%EURJPYEE 2.44%1.43%2.26%2.60%2.72 1.39 0.23%EPE 7.91%2.03%19.35%3.05%8.95 2.46 0.15%，我们展示了相应控制变量的方差减少。很明显，欧元兑日元汇率作为基准并不会减少T=2后的方差，因为基准风险因素不会影响投资组合中的任何未终止衍生工具。欧元兑美元汇率表现最好，尤其是在时间T>3之后，当欧元兑美元汇率影响到投资组合中唯一的未终止衍生工具时。

请注意，我们使用对数刻度来实现更好的服务标准化。0 1 2 3 4 5-12-10-8.-6.-4.-2024三种不同的三维风险因素组合近似值的时间正敞口EU baseEG baseEJ baseMC（a）EE。0 1 2 3 4 523456789三种不同的三维风险因素组合近似值的时间正暴露EU baseEG baseEJ baseMC（b）EPE。0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 510-410-310-210-1100101102三种不同二维近似值EE的时间%EU baseEG baseEJ base（c）方差减少。0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 510-1100101102三种不同二维近似的EPE的时间百分比EU baseEG baseEJ base（d）方差减少。0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 510-610-510-410-310-210-1100101102对于三种不同的三维近似，EE的时间%EU baseEG baseEJ base（e）方差减少。0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 510-510-410-310-210-1100101102对于三种不同的三维近似，EPE的时间百分比EU baseEG baseEJ base（f）方差减少。图6：案例B的曝光率（EE和EPE）以及不同基本因子和2D和3D校正的方差减少。对于方差计算，使用了10条路径。6结论本文的动机是根据大量风险因素计算投资组合的风险敞口比例。对于这个问题，行业标准技术是采用前向蒙特卡罗抽样来计算未来场景。这在维度（风险因素）和产品数量上都呈线性扩展。

然而，在所有场景中评估整本书仍然是一个巨大的计算挑战，鉴于样本路径的可行数量相对较低，必须考虑相对较大的标准误差。因此，我们提出了另一种方法，利用PDE近似模式对低维估计问题的准确性，通过锚定ANOVA方式将高维问题分解为一系列低维问题。由于问题是以嵌套的条件期望的形式陈述的，我们使用向前和向后的组合，通过一次向后和向前扫描生成未来所有时间的风险敞口报告。本文提供了一个概念证明，而不是一个完整的黑盒算法。对一个中等规模、真实且完全校准的测试用例的详细分析表明，通过风险因素分解和数值PDE解决方案，可以实现的效益规模，用作独立近似值，或（如有必要）用作MonteCarlo估计器的控制变量。通过使用二维估计量之和作为控制变量，与标准蒙特卡罗估计相比，一些计算节省了巨大的速度，加速因子为50。进一步的测试（此处未报告）表明，对于更长的到期日（10年），分解中的一些三维项对于准确的独立近似值以及有效的方差减少非常重要。在实践中，仍需研究衍生产品组合中风险因素数量和产品数量的可伸缩性。基于偏微分方程的方法与标准蒙特卡罗抽样一样，在导数数量上呈线性扩展。

就风险因素的数量而言，2D校正项的数量是线性的，3D校正项的数量是二次的。对于较大的投资组合，可以考虑使用形式为V0,2或V0,3的近似值，而不是V1,2，或者实际上是两者的组合，因为只有| u |=2和| u |=3的Vu子集被计算并包含在近似值中，通过估计单个项自适应地选择。我们在表14中找到了这方面的证据，它表明只有一部分修正项是重要的。这也表明，并非所有项都必须以相同的相对精度进行计算，可以遵循Griebel和Holtz（2010）的原则，在所有修正项之间优化分配总计算预算。在此过程中，没有必要对所有项使用相同的数值方法。事实上，我们在测试中使用了闭合形式和数值解的组合，并且该框架足够丰富，可以为给定的子问题使用最佳可用方法（例如，基于傅立叶的方法用于一个函数模型，PDE用于早期练习选项，甚至可以想象，蒙特卡罗方法用于强路径依赖导数）。此外，在计算特定修正项时，只需考虑衍生工具的子集，即受该修正中考虑的风险因素影响的衍生工具。因此，可以想象的是，即使对于大型衍生品投资组合，每个修正期也只需要考虑一小部分衍生品。