通过风险因素分解有效计算风险敞口

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Efficient exposure computation by risk factor decomposition》
---
作者：
Cornelis S.L. de Graaf and Drona Kandhai and Christoph Reisinger
---
最新提交年份：
2018
---
英文摘要：
  The focus of this paper is the efficient computation of counterparty credit risk exposure on portfolio level. Here, the large number of risk factors rules out traditional PDE-based techniques and allows only a relatively small number of paths for nested Monte Carlo simulations, resulting in large variances of estimators in practice. We propose a novel approach based on Kolmogorov forward and backward PDEs, where we counter the high dimensionality by a generalisation of anchored-ANOVA decompositions. By computing only the most significant terms in the decomposition, the dimensionality is reduced effectively, such that a significant computational speed-up arises from the high accuracy of PDE schemes in low dimensions compared to Monte Carlo estimation. Moreover, we show how this truncated decomposition can be used as control variate for the full high-dimensional model, such that any approximation errors can be corrected while a substantial variance reduction is achieved compared to the standard simulation approach. We investigate the accuracy for a realistic portfolio of exchange options, interest rate and cross-currency swaps under a fully calibrated ten-factor model.
---
中文摘要：
本文的重点是在投资组合层面上有效计算交易对手信用风险敞口。在这里，大量的风险因素排除了传统的基于偏微分方程的技术，只允许相对较少的路径用于嵌套蒙特卡罗模拟，从而导致实际中估计量的巨大差异。我们提出了一种基于Kolmogorov前向和后向偏微分方程的新方法，通过推广锚定方差分析分解来对抗高维性。通过仅计算分解中最重要的项，有效地降低了维数，因此与蒙特卡罗估计相比，低维PDE方案的高精度导致了显著的计算速度。此外，我们还展示了如何将这种截断分解用作全高维模型的控制变量，这样，与标准模拟方法相比，任何近似误差都可以得到纠正，同时方差显著减少。我们在一个完全校准的十因素模型下研究了外汇期权、利率和跨货币掉期的现实投资组合的准确性。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
--

---
PDF下载：
--> Efficient_exposure_computation_by_risk_factor_decomposition.pdf (893.54 KB)

2022-5-25 12:22:07 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Applications counterparty Quantitative Computation composition

通过风险因素分解有效计算风险敞口。S、 L.德格拉夫1,2*, D、 Kandhai1,3和C.Reisinger计算科学实验室，阿姆斯特丹大学，1098 XH阿姆斯特丹，荷兰数学研究所和牛津大学定量金融研究所，牛津大学，OX2 6GG | 6ED，联合KingdomQuantitative Analytics，ING Bank，1102 BD阿姆斯特丹，荷兰，2018年摘要本文的重点是在投资组合层面有效计算交易对手信用风险敞口。在这里，大量的风险因素排除了传统的基于偏微分方程的技术，只允许相对较少的路径用于嵌套蒙特卡罗模拟，从而导致实际中估计量的巨大差异。我们提出了一种基于Kolmogorov前向和后向偏微分方程的新方法，通过锚定ANOVA分解的泛化来对抗高维性。通过仅计算分解中最重要的项，有效地降低了维数，因此与蒙特卡罗估计相比，低维PDE方案的高精度导致了显著的计算速度提高。此外，我们还展示了如何将这种截断分解用作全高维模型的控制变量，这样，与标准模拟方法相比，任何近似误差都可以得到纠正，同时方差显著减少。我们在一个完全校准的十因子模型下研究了一个真实的外汇期权、利率和交叉货币掉期组合的准确性。1简介自2008年信贷危机以来，管理交易对手信用风险（CCR）已成为金融机构的核心活动之一。

巴塞尔协议III规则引入了信用价值调整（CVA），增加了交易对手风险资本要求（Gregory，2015），并对衍生品的估值产生了重大影响。CVA是指无违约风险的投资组合的价值与包括缔约方违约风险的真实投资组合价值之间的差异（Pykhtin和Zhu，2007）。通过加入CVA，理论上可以对冲awaycredit风险。最近，定义了债务价值调整（DVA）、融资价值调整（FVA）和资本价值调整（KVA）（Green等人，2014），该价值调整集合现称为XVA。对于所有这些调整，预期风险敞口（EE）和预期正风险敞口（EPE）是必须根据基础投资组合的未来分布计算的主要因素。在本文中，我们发展了一种在投资组合层面上对这些风险敞口的近似方法。许多交易投资组合由多个基础资产和这些资产上的衍生品组成；这些由具有多个风险驱动因素的模型进行估价，如随机利率、汇率和随机波动率。计算未来值分布是一个具有挑战性的高维计算问题，而对于未来值分布，通常无法获得封闭形式的解。针对高维问题的方法的一个典型基准是篮子期权，其中的支付取决于资产组合，如股票、股票指数或货币。这些选项*通讯作者。电子邮件地址：C.S.L。deGraaf@UvA.nl.serve多元化的目的，因此受到投资者的欢迎（Bouzoubaa和Osseiran，2010）。

对于这些期权的估价，Jainand Oosterlee（2012）为早期行使下的蒙特卡罗估计做出了贡献，Reisinger和Wissmann（2012）为PDE近似做出了贡献。在CVA的背景下，需要考虑净额结算，并考虑风险分布的可能消极或积极部分。这使得简单普通工具的CVA估计与一系列不同到期日的一揽子期权的估值类似，但如果工具本身更复杂，即没有封闭式或半封闭式定价公式，则CVA估计更为复杂。这种情况下的计算问题可以被公式化为嵌套条件预期的估计，其中内部预期是以潜在风险因素为条件的未来衍生产品价格，而接管风险因素的外部预期是衍生产品组合的预期敞口。为了计算这些风险度量，通常使用蒙特卡罗方法通过离散化和模拟对潜在风险因素的未来状态进行采样。所有这些状态的投资组合值可以通过多种方式计算，包括：完全嵌套蒙特卡罗模拟（Gordy和Juneja，2010；Broadie等人，2011），其中沿这些状态的衍生值通过“内部”蒙特卡罗模拟进行估计；基于回归的方法，在Longstaff和Schwartz（2001）中介绍了美式期权，并在exposurein Karlsson et al.（2014）中应用；Joshi和Kang（2016）；或者使用基于网格或傅立叶的方法进行内部期望和外部期望的蒙特卡罗采样（de Graaf et al.，2014）。所有这些不同的方法都有各自的优缺点。

naive nestedMonte Carlo方法具有普遍适用性，但计算成本极高，且复杂度为(-4） 均方根误差（RMSE）. 当内部和外部模拟之间的计算预算达到最佳平衡时，这可以得到改善，例如(-3） 当考虑“内部”偏差和“外部”方差时（Gordy和Juneja，2010），以及(-5月2日-δ） 对于某些非均匀估计器的任意δ>0（Broadie et al.，2011）。基于回归的方法在某种意义上具有最佳复杂性(-2） 由于不需要额外的“内部”路径（Broadie et al.，2015），但在剔除高维回归变量集时，会产生额外的偏差。根据我们的经验，回归方法在应用中仍然表现出相对缓慢的收敛性。在实际的投资组合CVA计算中，只有大约10到10条路径是可行的，这两种方法的估计量方差都很高，特别是对于市场因素的敏感性。另一方面，PDE方案对于低维度非常有效，但却受到“维度诅咒”的影响。维度诅咒是一个用来描述计算复杂性的术语，其随着风险因素的数量呈指数增长，这使得蒙特卡罗方法成为用于维度大于2或3的问题的行业标准技术。尽管如此，我们提出了一种基于偏微分方程的方法，不仅适用于内部期望，也适用于外部期望。我们通过将条件期望分解为风险因素组来解决维数灾难，从而将高维问题分解为一系列低维问题，然后将其解组合成截断分解。对于这些低维问题，可以使用数值PDE方法，在可接受的时间内提供高效准确的近似值。

我们将发现，为了达到足够的精度，近似只需要求解一个一维基近似和多个二维和三维近似，并将其用作校正。或许最相关的是，这些扩展背后的近似投资组合动力学可用于构造蒙特卡罗估计量的控制变量。因此，我们不认为该方法与上述模拟方法相竞争，而是与它们结合使用，因为它提供了一种将低维PDE方案的高精度与高维蒙特卡罗方案的鲁棒性无缝结合的方法。这包括使用准蒙特卡罗抽样（用于回归和嵌套模拟）改进蒙特卡罗方案。注意，我们的方法与基于条件抽样的维度和方差缩减方法明显不同，如Dang等人。

（2015年）；Cozma和Reisinger（2017）；Dang等人（2017年）。这里提出的方法借鉴了各种以前的相关工作，但在当前背景下需要实质性的张力：o在应用和问题结构方面，该方法将Reisinger和Wittum（2005）从Black-Scholes下的篮子期权扩展到了一般模型下的投资组合风险管理；o具体而言，对于以嵌套条件期望形式表述的风险敞口估计问题，我们解决了前向和后向Kolmogorov方程的组合，并对解决方案进行了数值积分；o与Griebel和Holtz（2010）的维度积分方法相比，此处的未来分布未知，因此必须近似计算正向偏微分方程；o与Reisinger和Wittum（2005）相比；Reisinger和Wissmann（2012），我们使用原始变量作为因子，而不是主成分；这使得结果更容易解释；o与Reisinger和Wissmann（2015）相比，Reisinger和Wissmann（2015）提供了恒定效率设置的误差范围，我们处理了非线性SDE和可变系数PDE的情况，这需要对扩展进行广义定义；o我们在一个复杂的现实世界示例上评估该方法，而不是理论误差范围，如下所述。对于数字说明，我们考虑了由多种金融衍生品组成的典型外汇投资组合，即利率掉期（IRS）、跨货币基础掉期（CCYS）和外汇期权。风险因素由多维Black-Scholes-2-Hull-White（BS2HW）模型驱动，该模型捕捉了外汇和利率的随机性。在实际应用中，可能需要考虑外汇和利率微笑，以及应使用随机基模型的阿穆蒂曲线框架。

然而，就后者而言，对于如何在隐含度量中校准基准vol知之甚少，因此在大多数定价模型中，基准被视为确定性的。在CCR的背景下，问题甚至更为复杂，因为有人可以说基础是信贷和流动性的混合体，因此不清楚它是否应建模为纯IR成分，或者它是否是与信贷密切相关的单独风险因素。因此，这个问题与其他建模复杂性（如错误方向风险）有关。这些建模方面超出了本文的范围。但我们强调，这里提供的计算框架足够丰富，可以包含此类扩展。我们通过给出包含随机波动率的扩展结果，即Heston-2-Hull-White模型，证明了该方法的灵活性。对于所选的三种货币对，这导致了一维偏微分方程，其中我们证明，对于预期的正敞口计算，可以达到约1%的相对精度。这些模型根据市场数据进行校准，对于这些不同的投资组合，我们计算EEE和EPE，并将我们的结果与全尺寸蒙特卡罗基准进行比较，显示出更高的计算复杂性。本文概述如下。在下面的第2节中，我们将描述问题设置。在第3节中，我们解释了使用的主要近似技术。（附录B中给出了分解过程中用于偏微分方程的有限差分方案的简要描述。）在第4节中，我们建立了案例研究，然后在第5节中展示了我们的结果。在第6节中，我们提供了一个讨论和结束语。2问题公式我们考虑由d维随机过程X=（Xit）1描述的金融市场的一般框架≤我≤dt公司≥0

在我们的应用中，X将由以下形式的随机微分方程给出：dxit=ui（Xt，t）dt+σi（Xt，t）dWit，i=1，d、 t>0，（1）Xi=ai，i=1，d、 （2）其中W是具有给定相关矩阵（ρi，j）1的d维标准布朗运动≤i、 j≤d、 和a∈ Rda给定初始状态，uiS漂移，σiS波动。我们假设流程是在风险中性度量Q下编写的，该度量与衍生品估值以及监管CVA计算相关。我们现在考虑X上的导数。为了简单起见，我们这里重点讨论欧洲的情况。让payoff函数φk确定持有人在时间Tkfor1收到的金额φk（XTk）≤ K≤ ND。此索赔的无套利价值Vkof为0≤ T≤ T是v（x，T）=E[exp(-RTtρ（Xs）ds）φ（XT）| XT=x]，其中ρ是一个贴现因子（为了简单起见，我们去掉了下标k），并满足Kolmogorov向后偏微分方程（参见，例如Musiela和Rutkowski（2005））五、t+dXi=1ui五、xi+dXi，j=1σiσjρi，j五、xixj公司- ρV=0，（3）V（x，T）=φ（x）。对于交易对手信用风险（CCR），不仅时间0值很重要，而且该值在交易完成后的演变也很重要。在这项工作中，我们使用了几种方法来量化CCR。LetNDXk=1wk（t）Vk（Xt，t）是金融机构在t时持有的ND衍生品投资组合的价值，其中wk，1≤ K≤ ND是衍生工具投资组合权重。这里，我们设置wk（t）=0表示t>Tk，即第k阶导数的到期日。首先，继Pykhtin和Zhu（2007）之后，预期风险敞口（EE）定义为t时投资组合的预期价值≥ 0，EE（t）=E“NDXk=1wk（t）Vk（Xt，t）F#，（4）式中，F是时间t=0时的过滤。同样，未来时间t<t：=maxkTkis的预期正暴露（EPE）由EPE（t）=E“max0，NDXk=1wk（t）Vk（Xt，t）！F#。

（5） 请注意，可以通过取最小值而不是方程式（5）中的最大值来计算预期负暴露（ENE），或者从ENE=EE计算- EPE。简言之，EPE（ENE）给出了投资组合买方（卖方）的预期损失，如果买方（卖方）有钱，而对方违约，这使得它们在计算CVA和其他XVA时至关重要。例如，CVA定义为asCVA=（1-R） 中兴通讯“exp(-RTtρ（Xs）ds）max0，NDXk=1wk（t）Vk（Xt，t）！F#dPD（t），（6）=（1- R） ZTD（t）EPE*（t） 在这里，我们不包括抵押。这可以通过在暴露动态之上包括一个附带模型来补充。其中R是回收率，EPE*（t） 是贴现的EPE，PD（t）表示交易对手在时间t的违约概率（Gregory，2010）。请注意，（6）包含了一个有争议但常见的假设，即投资组合价值独立于违约事件（无“错误方式风险”）。在本文中，我们只关注EE和EPE的计算。对于时间0处的曝光计算，我们考虑以下形式的泛函：v（x，0；t）=E“ψNDXk=1wk（t）Vk（Xt，t）！X=X#=E“ψNDXk=1wk（t）Ehφk（XTk）| Xti！X=xi，（7），其中ψ是暴露函数，例如，对于EE，ψ（X）=X，或者对于EPE，ψ（X）=max（X，0）。这可以明显地适应美国或路径依赖型选项。备注1。为了找到V（x，0；t），即从时间0开始观察到的时间t的预期（正）暴露，我们可以求解（t，t）中Vk（·，t）的反向偏微分方程，然后以ψ[PNDk=1wk（t）Vk（·，t）]为终端条件求解（0，t）上的另一个反向偏微分方程。然而，这需要在第二阶段解决不同的后向PDE。