显式Heston解与随机逼近

特别是，赫斯顿模型考虑了看跌期权、赎回期权和跨座期权的定价，新模拟和SA算法的组合效应表明，与标准LSM/Euleror LSM/Milstein方法相比，此类期权的定价有两个数量级的改进。我们的结论在第5节，我们的证明被归入附录，即第6节。使用It^o公式，可以快速、无动机、猜测和检查我们定理的证明。然而，我们的证明是我们为金融模型找到显式（弱）解的真实方法。因此，如果他们能为其他金融模型提供一种弱解决方案的方法，那么他们将成为这项工作中最重要的部分，因为人们相信他们会这样做。2、算法和结果2。1、随机近似定价算法。随机逼近（SA）算法解决了随机优化问题，如均方优化问题（1.4）。我们的应用程序类似于Kouritzin（1996）和Kouritzin&Sadeghi（2015）的SA框架。假设{（Lj，Sj，Vj，Zj）}Nj=1是（L，S，V，Z）的i.i.d.副本，其中S，V，Z与引言中一样，L是一些似然，即非负鞅，满足所有t的e[Lt]=1。新的模拟和定价7L的目的是重新加权（S，V，Z），使其具有正确的联合过程分布，并在不低于P时响应新的概率度量ebp。这有助于高效的模拟，这将在续集中得到明确。（读者可以在一读时取Lj=L=1，因此我们回到了2001年Longstaff&Schwartz所考虑的情况。）现在，我们推广ANtand bNttoANt=NNXj=1Aj，其中Aj=LjteJ（Sjt，Vjt）eJ（Sjt，Vjt）′Zjt>0NPNi=1Zit>0，（2.1）bNt=NNXj=1bj，其中bj=LjtZjτJ，jt+1eJ（Sjt，Vjt）1Zjt>0NPNi=1Zit>0。（2.2）标准i.i.d。

强定律不适用，因为通过投影估计，τJ，jt+1对其他粒子的依赖性较弱。尽管如此，这种依赖性很快就消失了→ ∞ 一般强定律确实适用。特别是，它遵循Ln-A:limN的（可交换的）强大数定律→∞ANt=E[LteJ（St，Vt）eJ（St，Vt）′Zt>0]P（Zt>0）=bE[eJ（St，Vt）eJ（St，Vt）′Zt>0]P（Zt>0）SLLN-b：limN→∞bNt=E【LtZτJt+1eJ（St，Vt）1Zt>0】P（Zt>0）=bE【ZτJt+1eJ（St，Vt）1Zt>0】P（Zt>0），其中dbpdpFt=LtandbE表示对新概率度量的期望bp。在类似条件下，K-ouritzin（1996）建立了该界限→∞αJ，Nt=αJta。s、 对于任何γ>0，其中αJ，jt递归定义为：αJ，0t=0，k=1，然后对于J=1，2。。。，N： （αJ，jt，k）=（（αJ，J-1t，k）Zjt=0（αJ，J-1t+γLjtk（ZjτJ，jt+1-eJ（Sjt，Vjt）′αJ，J-1t）eJ（Sjt，Vjt），k+1）Zjt>0。（2.3）在此回顾，（S，V，Z）具有所需的分布Unbpp而不是P soαJt=bE[eJ（St，Vt）eJ（St，Vt）′Zt>0]-1bE【ZτJt+1eJ（St，Vt）1Zt>0】。（2.4）（本研究未考虑三角形性质（通过αJ，jt依赖于bNt中求和项的粒子数N）。然而，在这种情况下，证据仍然有效。）因此，我们获得了与最小二乘回归法相同的解的收敛性，但没有数值上令人讨厌的矩阵反演。替代limN→∞αJ，Nt=αJta。s、 Cl'ement et al.（2002）的研究得出（经过少量工作后）该期权定价程序的概率收敛（至少）。此外，Kouritzin&Sadeghi（2015）和Kouritzin（19 94）可用于获得a.s.收敛速度和rth平均收敛速度8 M。

如果条件SLLN-A和SLLN-b被稍微强一点的条件所取代（这在我们的设置中仍然适用），则Kouritzin将与我们的参数估计相对应。我们的第一个贡献是Longstaff和Schwartz（2001）的LSM算法的数值稳定替代方案。特别是，当J不是很小时，以下SA算法hm将是abig改进。初始化：修复函数Ek和γ>0；设置ζ=λ=0，所有αJt=0，所有τJ，J=T。模拟：创建独立副本{Lj，Sj，Vj，Zj}Nj=1of（L，S，V，Z）。重复：对于t=t- 1到0：k=0重复：对于j=1到N：随机近似：如果Zjt>0，则k=k+1，αJt=αJt+γLjtk（Zjτj，j-eJ（Sjt，Vjt）′αJt）eJ（Sjt，Vjt）（2.5）重复：对于j=1到N：调整停车时间：如果Zjt>0且Zjt≥ αJt·eJ（Sjt，Vjt），然后τJ，J=t价格选项：重复：对于J=1到N：ζ=ζ+LjτJ，jZjτJ，Jλ=λ+LjτJ，jValue：O=ζλ备注1。对于每个{（Ljt，Sjt，Vjt，Zjt），t=0，1，…，t}，Ljis，一个平均值为1，{（Sjt，Vjt，t=0，1，…，t}的无n-负鞅具有期望的风险中性（过程）分布，{Zjt，t=0，1，…，t}是贴现支付过程，特别是概率BPJ（a）=E[LjTA]。第2小节介绍了为赫斯顿模型和其他具有显式弱解的模型创建这些模拟的首选方法。3、在这种情况下，Ljt=bLjt∧ηε，其中bljandηε在第2.3小节中定义。备注2。本程序是为方便美式选择而设置的。然而，很容易将其调整为亚洲选项。如果需要，那么我们将很好地模拟运行平均价格RJTA（见下面的备注10）。在此过程中，这些平均价格将成为Sj，而现货价格将成为Vj的一部分。例如，在我们的赫斯顿案例中，每个Vj将是整个二维模型，新的Sj将只是备注10中解释的平均价格。备注3。

由于粒子系统的不确定性，SA算法增益γ>0可能会影响性能。我们选择了一个合理的标量γ。然而，更一般的步长γ/kα代替γ/k（参见Kouritzin&Sadeghi 2015的讨论）、矩阵值γ（正定义）或两步算法，如Polyak&Juditsky（1992）中引入的算法，可能会进一步提高性能。备注4。对于仅价格模型和执行价格为K的看跌期权，基于[0，K]的第一个J哈尔基函数可以是（eSk）Jk=1的良好选择。对于新模拟和定价的赫斯顿型模型中的波动性，我们可以将哈尔基调整为[0，∞]. 具体地说，假设hk是[0，1]上的kthHaar函数，我们可以通过让eVk（x）=ps′（x）hk（s（x））重新缩放一些满足s（0）=0和limx的可微尺度函数→∞s（x）=1获得[0]上的新基函数{eVk}Jk=1，∞]. 例如，s（x）=x1+xso eVk（x）=1+xhkx1+x. 当然，还有其他很好的缩放和选择（eVk）。实际上，我们将使用下面的加权拉盖尔函数，因为这是特朗斯塔夫和施瓦茨（2001）使用的函数。备注5。我们将此算法称为SA或SA定价算法。我们的LSM算法版本只需将随机近似部分替换为以下最小二乘回归即可获得：k=0重复：对于j=1到N：最小二乘回归：如果Zjt>0，则k=k+1，且jt=k- 1kAJt+LjtkeJ（Sjt，Vjt）eJ（Sjt，Vjt）′（2.6）bJt=k- 1kbJt+LjtkZjτJ，jeJ（Sjt，Vjt）（2.7）αJt=（AJt）-1bJt。在初始化期间，我们还将所有AJt设置为0（所有零的ma trix）和bJt设置为0。算法的测试结果是相同的。2.2。显式和加权解决方案。有几篇关于赫斯顿模型精确模拟的论文（参见。

Andersen 2007，van Haastrecht&Pelsser 2010）。这些贡献中的大多数都是基于Br oadie&Kaya（2006）和/或依赖于变量的变化以及Feller对平方根差异过渡函数的描述。这些方法的一般困难在于：（a）算法复杂性-通常涉及数值收敛，（b）适应所有可能的期望漂移，（c）允许依赖于基础资产的多个时间点的衍生收益，（d）承认现货价格方差的时间依赖性，以及（e）处理接近或达到0的波动性。或者，应考虑将赫斯顿SDE显式表示为时间相关函数φ的可能性RtsUudWu，t一个简单的高斯随机积分。我们的同伴论文Kouritzin&Remillard（2 016）的定理1中发现，SDEdXt=b（Xt）dt+σ（Xt）dWt（2.8）有一个必要且有效的条件，即在局部（对于某些漂移系数b）有这样一个显式r表示的强解是扩散系数列σj满足Lie括号条件：(σi）σj=(σj）σii、 j.（2.9）（Kouritzin&Remillard 2016的这一定理部分是由Doss 1977、Sussmann 1978、Yamato 1979、Kunita 1984、Kouritzin&Li 2000和10 M.KOURITZINKouritzin 2000的工作推动的，这些工作也表达了驱动布朗运动的SDE解。）不幸的是，赫斯顿模型不满足（2.9），因为(σ） σ=svρp1-ρ+sκ√1.-ρ！6=svρp1- ρ= (σ） σ=（σσσ）时σ（2.10）=p1级- ρsvρsv0κv, （2.11）其中s和v代表价格和方差的状态变量（波动率的平方）。因此，我们必须考虑弱解，以获得Heston SDE的显式r表示。

虽然我们在这里的重点主要是解决SDE和在期权定价模拟中使用解决方案，但这些解决方案也可以用于其他方式。明确的解决方案是脆弱的。例如，Kouritzin（2000）指出，标量SDE只有特定漂移系数的显式解。因此，有理由期望在赫斯顿模型参数上有一个条件来进行显式解决（如果可能的话）。这个条件是：C：ν=nκ，对于一些n=1，2，3。。。。幸运的是，这就是所需要的一切。定理1。假设n∈ {1，2，3，4，…}，条件（C）适用于此n和W。。。，Wn，B是独立的标准布朗运动。n，Heston（价格和波动率）模型（1.8）有明确的w弱解：St=Sexpp1级-ρZtVsdBs+hu-νρκit+ρκ-ZtVsds+ρκ（Vt-五）,（2.12）Vt=nXi=1（Yit），（2.13），其中{Yit=κRte-（t-u） dWiu+e-tYi}ni=1是Ornstein-Uhlenbeck过程，βt=nXi=1ZtYiuqPnj=1（Yju）dWiu（2.14）是（1.8）中出现的另一个布朗运动。虽然漂移和扩散系数不满足强解的经典条件，但从Bass&Perkins（2002）和Rogers&Williams（1987）的备注1.1可以看出，它确实有弱解。定理1也建立了弱解，但最重要的是，也以可计算的方式显式给出了它们。证据见附录。新模拟和定价11备注6。该解适用于任何{Yi}ni=1，例如pni=1（Yi）=V。通过展开平方，Vt可以写成Vt=Vχt+VGt+VDt，一个χ随机变量加上一个高斯变量加上一个确定性片段的和。特别是前两部分的矩母函数为：MVχt（θ）=1.-κ21.- E-Tθ-nand MVGt（θ）=expVκ2ET1.- E-Tθ（2.15）（对于0邻域中的θ），而确定性块为justVDt=exp(-t） 第五条。

（2.16）然后，接着是Burkholder-Davis-Gundy不等式、Jensen不等式、Fubini定理和χ和高斯随机变量的运动边界f，即存在Cr，t>0，使得ZtVsdBsR≤ 铬、碲Zt | Vs | rds< ∞ （2.17）对于任何r≥ 2，t＞0，且rtvsdbs是任意r＞0的Lr鞅。备注7。可以将It^o公式应用于（2.12）和（2.13），以验证它们是否满足（1.8）的指标。因此，人们可以猜测这个解决方案，然后检查它。然而，从来没有一个机构提出过这个解决方案，这是作者在附录中提出的。注意到数学模型只是真实性的近似值，人们有时可以证明选择赫斯顿模型是合理的，这样条件（C）才是真的。我们将在下一节中演示这种情况下的模拟。然而，我们还需要其他参数的解，而不仅仅是那些满足条件（C）的参数。考虑到这一点，我们首先定义了最接近的显式Heston案例：dbStbVt公司=uκbStνκ- bVt公司dt+p1- ρbStbVtρbStbVt0κbVt！dBtdbβt, （2.18）其中n=4νκ+∨ 1，νκ=nκ，uκ=u+ρκ（νκ- ν） ，（2.19），其中条件（C）有效（ν=νκ）。然后，我们将最接近的显式Heston解的结果重新定义为一般Heston解。备注8。寻找最接近的显式Heston解a有助于选择n。无条件（C）的一般Heston模型（1.8）也有显式弱解，特别是一些新概率，直到概率降得太低。定理2。Letε∈ （0，1），T>0(Ohm, F、 {F}t∈[0，T]，P）是一个过滤概率空间，V，Sbe给出了V>ε，{W，…，Wn，B}独立的随机变量12 M。

关于的KOURITZINstandard布朗运动(Ohm, F、 {F}t∈[0，T]，P），bSt=Sexpp1级-ρZtbVsdBs+hu-νρκit+ρκ-ZtbVsds+ρκ（bVt-bV）（2.20）bVt=nXi=1（Yit），ηε=影响：bVt≤ εoand（2.21）bLt=expν- νκln（bVt）-ln（bV）+Ztκ- νκ- νbVs+ ds公司, （2.22）其中Yit=κRte-（t-u） dWiu+e-如果i=1，2。。。，n、 定义βt=nXi=1ZtYiuqPnj=1（Yju）dWiu+Zt∧ηεν- νκbVsds和（2.23）bP（A）=E[1AbLT∧ηε]A.∈ FT.（2.24）那么，ηε是停车时间和blt∧ηε是关于P的Lr鞅，任其大于0。此外，（B，β）a再独立的标准布朗运动和dbStbVt公司=ubStν- bVt公司dt+p1- ρbStbVtρbStbVt0κbVt！dBtdβt, T≤ ηεuκbStνκ-bVt公司dt+p1- ρbStbVtρbStbVt0κbVt！dBtdβt, t>ηε（2.25），关于tobP，在[0，t]上。证据见附录。注：我们使用BS，bV来求解最接近的显式Heston模型，保留S，V用于一般情况。此后，我们将使用bβt=nXi=1ZtYiuqPnj=1（Yju）dwiu和βt=bβt+Zt∧ηεν- νκbVsds。（2.26）备注9。对于制造的测量值，在停止时间ηε之前，（bSt，bVt）满足一般赫斯顿模型（1.8），然后满足最接近的显式赫斯顿模型（2.18）。相反，由于u- νρ/κ=uκ- νκρ/κ，我们发现（bS，bV）满足（2.18）所有t∈ [0，T]关于P，由（2.20）和定理1。我们对定理2的第一个担忧是：在ηε之前，这里的期望解是好的，也就是说，直到波动率降得太低（或者我们达到了最终的“模拟时间”。从财务角度来看，人们可以问：“我的资产波动率以任何方式降至零是否现实？”。通常，这种无法通过本质上确定的价格变化进行模拟的约束并不是一个实际问题，即使发生这种情况，我们也只能回到最接近的显式替代方案。

我们第二个新的模拟和定价13关注点是：这里理想的解决方案是关于制造概率BP。然而，（1）这种人造概率解决方案是期权定价计算的理想选择，（2）这种人造概率解决方案也非常适合通过蒙特卡罗模拟进行定价衍生。为了说明最后一点，我们假设我们有独立的拷贝{（bSj，bVj，bLj）}Nj=1of（bS，bV，bL）和ηjε=infnt:bVjt≤ εo.然后，使用大数定律（对于弱因变量）和BL的鞅性质ynnxj=1bLjt∧ηjεg（bSj[0，t]，bVj[0，t]，N[0，t]）→ E【bLt∧ηεg（bS[0，t]，bV[0，t]，[0，t]）]（2.27）=bE[g（bS[0，t]，bV[0，t]，[0，t]）]对于任何有界的可测函数g和t≤ T，其中BE表示对tobP的期望，N[0，t]是经验过程npnj=1δbLj[0，t]，bSj[0，t]，bVj[0，t]和[0，t]是（bL[0，t]，bS[0，t]，bV[0，t]）的联合分布。（这里，bL[0，t]，bS[0，t]，bV[0，t]表示t之后保持不变的bL，bS，bV在[0，t]上的路径。）（2.27）是我们需要的（SLLNA，SLLN-b），因此在上一小节的SA定价算法中使用{（bSj，bVj，bLj）}Nj=1。在下一小节中，我们将这些定理简化为可用于模拟或在LSM和SA选项优先级算法中使用的有用算法。示例1。对于行使价格为K的美式看涨期权的定价，我们将使用g（bSj[0，t]，bVj[0，t]，N[0，t]=e-uτJ，J（bSjτJ，J- K）∨ 0，其中，TSM算法中的τJ，jsatis（1.5）或SA算法中的类似公式（略有不同但仍渐近一致的系数αJ，Nt）。由于τJ，jdepends up on the pathsofbS and bv so do g（bSj[0，t]，bVj[0，t]），jdepends up on the pathsofbS and bv so do g（bSj[0，t]，bVj[0，t]），N[0，t]），以美国（和亚洲）期权价格为例。

由于τJ，juses投影估计依赖于其他粒子，因此我们必须包括经验过程N[0，t]，这导致弱交互变量而不是独立变量。为了证明本例中弱相互作用SLLN的合理性，我们从前面的讨论中注意到，投影估计收敛到所需的投影，该投影不再依赖于其他粒子。此外，τJ、jon、其他粒子和路径的精确依赖性并不重要，但可以通过SA算法和加权Heston算法来确定。2.3。加权显式Heston模拟。定义常量A=p1- ρ、 b=u-νρκ，c=ρκ-, d=ρκ，e=ν- νκ，f=eκ-ν- νκ，（2.28）14 M.KOURITZINwe发现（2.20,2.22）可以重写为bSt=bSt-1expaZtt公司-1BVSDB+b+cZtt-1bVsds+d（bVt-bVt公司-（1）（2.29）bLt=bLt-1exp（elnbVtbVt-1！+!+ fZtt公司-1BVSD）。（2.30）（2.29）中的随机积分是条件（给定的）高斯积分，因为bv和b是独立的，所以模拟只是一个中心正态随机变量，方差aRtt-1BVSD。即使权重（2.30）也避免了随机积分。要计算的两个确定性积分有很多选择，如：T:Ztt-1BVSD≈2M（bVt-1+bVt+2M-1Xl=1bVt-lM）S:Ztt-1BVSD≈3米bVt公司-1+bVt+2M-1Xl=1bVt-2lM+4MXl=1bVt-2升-1米S： Ztt公司-1BVSD≈8米bVt公司-1+bVt+2M-1Xl=1bVt-3lM+3MXl=1bVt-3升-2M+3MXl=1bVt-3升-1米（对于梯形，分别为辛普森1/3和辛普森3/8规则）。类似的公式也用于RTT-11/bVsds。当然，所有这些都将收敛到积分M→ ∞. 对于这些数值积分方法的经典误差，V不满足必要的光滑性条件，因此不知道哪种方法的性能更好。事实上，模拟将表明，我们的示例几乎没有什么不同。