显式Heston解与随机逼近

我们的显式加权Heston模拟方法在期权定价方面优于Euler和Milstein方法，因此我们将重点放在比较SA和LSM算法，以及使用不同数量和类型的函数{ek}Jk=1。在本小节中，我们将使用模型参数：u=0.0319，ρ=-0.7， = 6.21，κ=0.61，K=100，S=100，V=0.0102，T=50，ν=κ/2，因此显式算法适用。在10000的情况下，我们分别使用γ=2.115、0.195、0.0095表示J=2、3、4，在100000的情况下，我们分别使用γ=1.068、0.762、0.0082表示J=2、3、4，因为这些都是合理的选择。所有价格均采用100个独立实验的平均值计算。首先，我们证明了当添加更多权重的拉盖尔函数以达到更高的价格精度时，LSM算法在数值上可能会失败。表12、13显示了这一点以及性能。24 M.KOURITZINSA Price SA Time LSM Price LSM TimeJ=28.44858 0.11298 8.40775 0.124679J=48.49936 0.14411 8.38028 0.258755J=88.41892 0.2566856 5.58625 2.13897表12。使用SA和LSM获得的美国看跌期权价格，N=10000份。增加基函数J的数量可以更好地估计8.59美元的公平价格，但LSM的数值不稳定。SA价格SA时间LSM价格LSM时间J=28.4213 1.24712 8.39404 1.51143J=48.50788 1.79924 8.51376 2.7524J=88.51644 2.64996 7.18587 20.1488表13。使用SA和LSM获得的美国认沽价格，n=100000个粒子。增加基本函数的数量J应该可以更好地估计8.59美元的公平价格，但LSM的数字不稳定。我们可以从表12和表13中得出几个结论。

首先，与流行的LSM算法相比，我们的SA算法在执行时间上有很大优势，尤其是当J增大且矩阵反演变得困难时。对于少量的基函数，SA比LSM快约10%。然而，当基函数数增加时，SA时间性能变得更加优越。例如，当J=8时，SA算法的速度快了近十倍，但精度更高。接下来，给定零个粒子（例如，这里的N=100000），随着我们添加更多的基函数，价格和定价精度都应该增加，因为我们将获得最佳停止时间的更好估计。表13表明，当J从2增加到8时，SA期权价格会增加，SA算法不会中断。事实上，它不应该中断，因为它避免了矩阵反转的数值问题。由于最小二乘估计中的病态矩阵反演，表12和表13中的价格下降和时间尖峰都会导致LSM算法中断。由于不同的原因，SA算法hm的价格在表12中有所下降：当N很小时，投影参数估计值往往很高，尤其是当有很多参数需要估计时，即使J很大，也很容易错过最佳停止值。更坏（低N）的参数估计值和更大的J并不一定是一种优势，价格可以在两个方向上变化，即在小N固定的情况下增加J。为了在N足够大的情况下提供J预期价格改善的进一步证据，并找到定价的基本事实，我们还可以使用N=1000000和J=12的随机近似方法。如表15所示，美国看跌期权价格上升至8.58712。新模拟和定价25GroundTruthn 1，000，000J 12γ0.99294SA期权价格8.58712表14。美国看跌期权公平价格的最佳估计。

该冰由SA方法获得，不再随N orJ的增加而变化。表12和表13中的SA价格正朝着正确的方向发展。SAalgorithm的性能优于LSM，尤其是在所需精度增加的情况下。4.4。亚洲通话中SA和LSM的比较。我们继续比较SA和LSM算法，但现在是亚洲看涨期权，并且必须使用加权Heston。首先是观察：由于我们是亚洲期权平均现货价格的定价期权，随着时间的推移，其变化越来越小，定价问题应该很容易解决。假设我们对最佳停车时间略有影响，并且最佳停车时间不在周期的开始处。那么，最优停站时间和我们的估计值（由于平均值）之间的平均价格和支付不会有太大差别，因此我们的价格估计值和最优期权价格也不会有太大差别。在本节中，我们将使用模型参数：ν=8.1κ/4，u=0.0319，ρ=-0.7， = 6.21，κ=0.2和T=50，因此n=8.1和νκ=2κ用于ClosestExplicit Heston。该实验的基本事实是：基本事实1，000，000J 12γ0.962SA期权价格31.3455表15。亚洲看涨期权价格的最佳估计。该价格通过SA方法获得，不再通过增加N orJ来改变。同样，由于大J的矩阵求逆问题，使用LSM方法在标准当代计算机上无法获得准确的结果。此外，Euler和Milstein不会在两周的时间内完成该值N和足够多的步骤M。所有价格都是通过取100个独立实验的平均值来计算的。按照与美国看跌期权定价相同的程序，我们首先考虑不同数量的基函数的性能，并在表16:26 M中显示。

KOURITZINSA Price SA Time LSM Price LSM TimeN 100000 100000 J=231.3411.2404 25.2365 12.511J=431.3411 36.2066 20.3398 92.432表16。亚洲买入价使用SA和LSM计算，N=100000个粒子。增加基函数J的数量可以更好地估计31.345美元的公平价格，但LSM具有数字稳定性。为了完整性，我们分别使用γ=1、0.824表示J=2、4。我们可以清楚地看到，当J=2时，LSM已经失效。主要原因仍然在于matr ix反转部分：由于亚洲调用是一个三因素模型，我们必须反转一个8×8矩阵。事实上，当你同时拥有价格和平均价格时，这个矩阵有几乎线性相关的行的可能性更大，因此反转的病态性更高。SA算法即使对于大量的基函数也不会失败。由于上述第一幅图中提到的平均值，J=2和4的价格保持不变。事实上，表1、表5和表16之间的比较表明，J=2、4和N=100000的SA算法已经给出了一个与Ground truth相当接近的结果。4.5。美国看跌期权加权SA和Euler LSM的比较。我们的最终结果是全面的，显示了本文提出的方法相对于传统Euler LSM方法的总体收益。本节中使用的模型参数为：ν=8.1κ/4，u=0.031 9，ρ=-0.7， = 6.21，κ=0.2，T=50，son=8.1/∈ N和条件（C）不成立。因此，我们将在最接近的显式Heston模型中使用全加权Heston算法，其中νκ=2κ。初始状态S=100，V=0.102，执行价格K=100。使用带精细网格的加权Heston-in-SA算法计算地面真实价格。结果见表17。接地电阻5N 1，0 00，000J 12γ0.00628SA选项价格7.9426表17。美国看跌期权公平价格的最佳估计。

该价格由SA方法获得，不再随M、N或J的增加而变化。我们通过改变M、N、J t来运行实际实验，以获得固定执行时间的期权价格。新模拟和定价27E-LSM W-SA E-LSM W-SAM 100 5 100 5N 10，000 65，000 10，000 90，000J 4价格7.371 7.932 6.944 7.9347误差0.572 0.01 03 0.9986 0.00788时间19.662 19.433 22.702 22.528性能增益1 55.534 1 126.726表18。针对固定执行时间的美国Putsfor合并RMS定价比较。由于Euler最小二乘法的数值不稳定，随着精度要求的提高，性能增益可能会变得任意大。在所有情况下，均采用接近最优的M、N、J。（为清楚起见，在N=65000和90000的情况下，γ分别取0.0009 6和0.013。）定义性能增益（与前一节中的时间因素类似）以表示给定计算时间的每个方法的相对精度。如第一列所示，传统的Euler LSM方法在J=4情况下不会失败。在这种情况下，通过切换到加权SA方法，精度将提高55倍。最后两列表示Euler LSM开始失效的情况。由于我们不知道基本事实，如果LSM在实践中失败了，那么在这种情况下进行比较仍然是合理的。我们发现，使用新算法后，相对准确度已提高到126倍以上，这对实际市场中的期权定价是一个令人印象深刻的两个数量级的改进。在未来的工作中，我们会提到如何进一步提高这一点。5、结论我们可以得出以下结论：（1）Heston模型具有明显的弱随机微分方程解。当条件（C）成立时，可以很容易地构造这些解决方案。

否则，它们有一个明确的可能性，既可以用作权重，也可以用来改变概率，从而使所需模型成立。（2） 当应用Explicit-Heston算法时，应考虑对其进行仿真。特别是，它不会产生负的波动率值，并且在性能和执行时间方面与Euler和Milstein方法进行了比较。事实上，我们显示了三个数量级的总体优势。（3）加权（或明确适用时）Heston algor it hm应被考虑用于Mont e Carlooption价格。在本文所考虑的美亚期权定价示例中，该方法优于Euler和Milstein方法。（在路径相关选项上，它的实现也比Broadie-Kaya方法要简单得多。）（4） 应将随机近似（SA）视为LSM算法中28 M.KOURITZINLeast平方回归的有利替代方法。它避免了数值上令人讨厌的矩阵版本，从而允许在项目中使用更多的函数，并更接近未来的支付条件预期。未来可能的工作包括：（1）应进一步探索SA定价算法。是否仍应使用LSM算法？其他随机近似方案会产生更好的性能吗？是否有选择功能（ek）的指南？（2） 需要对显式和加权的Hestonal算法进行更多的探索。什么类型的数值积分最好？算法是否有性能更好的变体？（3） 可以使用重采样来提高加权Heston算法的性能。目前，我们保留所有路径，包括那些重量非常低的路径。将重量较大的部分分开，并以无偏见的方式移除重量较低的部分，这可能是一种更好的策略。

然而，这必须以正确的方式进行，因为美亚期权定价是一个不相关的问题。仅仅了解当前粒子状态是不够的。我们必须考虑整个车辆路径。（4） 对于组合加权Heston SA算法，应找到收敛速度结果和最优速度的精确条件。由于弱交互和路径依赖性，这不一定很简单。（5） 应研究其他财务模型的新明确调整解决方案。作者非常乐观地认为，有明确的三种随机平均数、随机波动率模型可供发现。这将按照附录中列出的路线进行。附录：解决SDEs6。1、背景。通常，弱解（在Rp子域上）todXt=b（Xt）dt+σ（Xt）dWt（6.1）是过滤概率空间的三重态(Ohm, F、 {F}t≥0，P），一个Rd值布朗运动{Wt，t≥ 0}相对于{Ft}t≥0和{Ft}t≥0自适应连续进程{Xt，t≥ 使得（W，X）满足方程（6.1）。更严格地说，（6.1）的astrong解是{FWt}t≥概率空间上的0-适应过程X(Ohm, F、 P）支持布朗运动W，其中FWt σ{Wu，u≤ t} 。弱解通常通过鞅问题来处理：假设D Rpis域，CD[0，∞) 表示[0]上的连续D值函数，∞) 对于紧集上一致收敛的拓扑，（L，D（L））是一个线性算子onC（D），D上的连续R值函数，u是D上的概率测度。然后，对CD[0，∞)-（L，u）的鞅问题是任意概率测度PuonOhm = CD[0，∞) 使得正则过程{ωt，t≥ 0}满意度：Puω-1=u，对于每个f∈ D（L）一个有mt（f）（ω）=f（ωt）-ZtLf（ωu）du，t≥ 0，（6.2）是一个Pu-鞅。

如果CD[0]上有一个这样的概率测度Pu，则鞅问题是适定的，∞).新的模拟和定价29A弱解决方案((Ohm, F、 {Ft}t≥0，P），{Wt，t≥ 0}，{Xt，t≥ 0}）到（6.1），则（参见Karatzas&Shreve 1987第317页）对应于（L，u）的每个鞅问题解pu，其中L定义为f（x）=pXi=1bi（x）xif（x）+pXi=1pXj=1aij（x）xixjf（x），（6.3）通过关系(Ohm, F） =（CD[0，∞), B（CD[0，∞))), Xt=t的ωt≥ 0，Pu=P X-1，其中ωt表示CD[0]上的投影函数，∞). （重量，英尺）t≥0通过鞅表示定理和a=σσT定义，其中σ∈ Rp×d。鞅问题的适定性与给定的算子L（和初始分布u）有关。这为同一运营商拥有不同的SDE提供了可能性，因此（在合适的情况下）拥有相同的法律。我们将在下面的（6.12,6.13）中利用这一事实。赫斯顿模型（1.8）对应于算子f（s，v）=us的鞅问题sf（s，v）+（ν- 五）vf（s，v）+svsf（s，v）（6.4）+ρκsvs心室颤动（s，v）+κvvf（s，v）。然而，b和σ都不是固定的，a=σσ′也不是严格的正定义。因此，这个鞅问题的适定性并不是立竿见影的。然而，从Stroock&Varadhan（1969）和Stroock&Varadhan（1979）的证明可以看出，在波动率首次达到零之前，存在唯一性。这意味着在ν的情况下存在适定性≥ κ/2，因为众所周知，在这种情况下（CIR）波动率不会达到零，我们已经讨论了存在性。至于剩下的案例，我们提到Daskalopoulos&Feehan（2011）和其他人已经认识到Heston模型的退化性质，并考虑了不同类型的存在和唯一性。我们的工作给出了弱解的显式构造，已知弱解在ν的情况下是分布唯一的≥ κ/2。

它的重要性在于能够模拟这些显式结构。此外，我们的方法很可能为其他金融模型提供明确的解决方案。6.2。定理1的证明。随机微分方程可以在强意义或弱意义下进行解释和显式求解。弱解释通常在数学金融和过滤等应用中很有效，并且允许解出比强解更多的方程。然而，也有可能通过弱解的伪装找到新的显式强解，考虑到Heunis（1986）的结果，这并不奇怪。此外，弱解通常可以转换为高维SDE的强解（边缘），这是我们使用弱解释的第一种方法。我们的方法是在n=2的情况下明确显示所有内容，然后解释n的必要更改∈ {1，3，4，…}。然而，我们首先通过观察价格的“独立驱动”部分可以拆分为30 M.KOURITZIN6来简化任务。2.1。价格分割。补充说明SctVt=uSctν- Vt公司dt+ρSctVtκVt！dbβt，（6.5）Sit=expp1级-ρZtVsdBs-1.- ρZtVsds（6.6）对于独立的布朗运动Bβ，B。那么，根据it^o公式和Bβ，B的独立性，它允许St=SctSitan和Vt满足（1.8）和β=^β。此外，SIS是有条件（给定V）对数正态的，因此模拟起来很简单。因此，我们只需求解（6.5），我们使用弱解释来创建更高维度的SDE，该SDE确实满足（2.9），因此有一个显式stro-ngsolution。6.2.2。n=2时的波动率。为了简化符号，我们将使用Y和Z来代替Y，Yin定理1。我们考虑Cox-Ingersoll-Ross（CIR）型ito方程的解dvt=（ν- Vt）dt+κpVtdbβt，（6.7）对于某些布朗运动bβ。

设W，Wbe独立布朗运动soYt=κZte-（t-u） dWu+e-tY，Zt=κZte-（t-u） dWu+e-tZ（6.8）是独立的Ornstein-Uhlenbech过程。它遵循It^o的公式that，如果条件（C）为真（n=2），则V=Y+zsaties（6.7），bβt=ZtYupYu+ZudWu+ZtYupYu+ZudWu。（6.9）（注（bβ，W）是标准的二维布朗运动，其中wt=ZtZupYu+ZudWu-ZtYupYu+ZudWu（6.10），由Levy描述。）我们称（V，bβ）为弱溶液，因为bβ的定义是溶液的一部分。如果Vtis可相对于Fbβt测量，则V也是强解 σ{bβu，u≤ t} 。由于无法立即验证路径唯一性的条件，例如Revuz&Yor（1999）的定理IX.3.5，因此山田Wata-na-be定理不能立即给出强解。此外，关于onlybβ的显式形式未知。（Ko ur it zin2000的示例3.4表明，它在单个或nstein Uhlenbeck过程中不可表示。）无论如何，V是否是强解对我们来说并不重要。（有一个著名的田中H.Tanaka的简单SDE例子，其解弱但不强。）新模拟和定价316.2.3。n=2时的扩展价格公式。回忆W，Ware独立标准布朗运动，集合σ（y，z，s）=κκρsyρsz（6.11）并定义新的SDE格式：dYtZtSct公司=-年初至今-ZtuSctdt+σ（Yt、Zt、Sct）dWtdWt. （6.12）该方程具有唯一的强解。事实上，前两行立即给出了Y、Z的stro-ong唯一性，然后SCI作为随机Exponential唯一求解（参见Protter 2004）。此解决方案可以重写为：dYtZtSct公司=- 年初至今- ZtuSctdt公司+κZt√Yt+ZtκYt√Yt+Zt-κYt√Yt+ZtκZt√Yt+Zt0ρSctVtdWtdbβt, （6.13）其中dWtdbβt=Zt公司√Yt+Zt-年初至今√Yt+ZtYt√Yt+ZtZt√Yt+ZtdWtdWt.