显式Heston解与随机逼近

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英文标题：
《Explicit Heston Solutions and Stochastic Approximation for
  Path-dependent Option Pricing》
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作者：
Michael A. Kouritzin
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  New simulation approaches to evaluating path-dependent options without matrix inversion issues nor Euler bias are evaluated. They employ three main contributions: Stochastic approximation replaces regression in the LSM algorithm; Explicit weak solutions to stochastic differential equations are developed and applied to Heston model simulation; and Importance sampling expands these explicit solutions. The approach complements Heston (1993) and Broadie and Kaya (2006) by handling the case of path-dependence in the option\'s execution strategy. Numeric comparison against standard Monte Carlo methods demonstrate up to two orders of magnitude speed improvement. The general ideas will extend beyond the important Heston setting.
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中文摘要：
评估了评估路径相关选项的新模拟方法，无需矩阵反演问题，也无需Euler偏差。他们采用了三个主要贡献：在LSM算法中，随机近似代替了回归；建立了随机微分方程的显式弱解，并将其应用于Heston模型仿真；重要性抽样扩展了这些显式解。该方法通过处理期权执行策略中的路径依赖情况，补充了Heston（1993）和Broadie and Kaya（2006）。与标准蒙特卡罗方法的数值比较表明，速度提高了两个数量级。总体思路将超越重要的赫斯顿背景。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Explicit_Heston_Solutions_and_Stochastic_Approximation_for_Path-dependent_Option.pdf (457.52 KB)

2022-5-25 12:56:19 上传

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关键词：随机逼近 Est sto Quantitative Differential

阿尔伯塔省迈克尔·A·库里茨大学路径依赖期权定价的显式赫斯顿解和随机逼近。评估了无矩阵反演问题和欧拉偏差的路径相关期权的新模拟方法。它们有三个主要贡献：（1）在最小二乘法中，随机近似代替回归；（2） 发展了随机微分方程的显式弱解，并将其应用于Heston模型的模拟；（3）重要性抽样扩展了这些显式解。该方法通过处理期权执行策略中的路径依赖情况，补充了Heston（1993）和Broadie&Kaya（2006）。与标准蒙特卡罗方法的数值比较表明，速度提高了两个数量级。一般理念将超越重要的赫斯顿背景。1、导言多因子模型的美式和其他路径相关选项的最优定价仍然存在问题。传统上，使用有限差分方法（如Schwartz 1977、Wilmott et al.1995）求解相应的偏微分方程。然而，当模型有多个因素时，它们的计算成本很高，当模型有跳跃时，它们的适应也很复杂。这导致了基于蒙特卡罗的pricingmethods的开发和使用（参见Boyle 1977、Duffee&Glynn 1995、Boyle et al.1997、Carriere1996），需要对其进行模拟。Longstaff&Schwar tz（2001）开发的LSM算法是Monte Carlo多因素路径依赖期权定价最成功的模拟方法，Cl'ement等人（2002）对此进行了进一步分析。像往常一样，他们离散地近似美国（以及其他持续可执行的）选项，实施并分析由此产生的百慕大风格选项。然而，也存在一些问题。1.1。

动机问题。假设我们想根据赫斯顿模型（见下文（1.8））对美国（reallyBermudan）看跌期权定价，赫斯顿和期权参数：ν=8.1κ/4，u=0.0319，ρ=-0.7， = 6.21，κ=0.2，期权期限T=50，初始价格S=100，初始波动率V=0.102，履约价格K=100。该选项的公平价格将是2010年数学学科分类。一次91G60、65C05；次级91G20，60H10。关键词和短语。美式期权、LSM算法、随机微分方程、显式解、蒙特卡罗模拟、赫斯顿模型、随机近似。支持这项工作的部分资金由NSERC发现拨款20308920万科里津79426美元提供。然而，如果我们使用LSM算法和Mont e Carlo模拟与Euler或Kahl&J¨ackel（2006）的隐式Milstein近似，那么我们在廉价的当代计算机上能得到的最好价格是7.371美元，因为我们试图超越算法在数值上的缺陷，产生较小的值，同时需要更长的计算时间。（在本文中，对Milsteinmethod的引用始终意味着Kahl和J¨ackelas提出的隐式Milstein方法，而正常的Milstein方法表现不佳。）我们在此的目标是绕过LSM算法hm的数值最小二乘回归问题，以及Euler和Milstein模拟方法的缓慢、有偏差性质。我们通过显式弱解和随机逼近来实现这一点。结果将是模拟中三个数量级的速度提高，路径相关期权定价中两个数量级的速度提高。1.2。LSM/模拟设置。

假设存在一个完整的过滤（风险中性）概率空间(Ohm, F、 {Ft}Tt=0，P）支持马尔可夫链{（St，Vt）}Tt=0，状态空间D=DS×DV，表示资产状态的可观察和隐藏成分（如价格和波动性），以及（贴现）适应的支付≥ 接收到0，用于在时间t执行选项∈ [0，T]。（在许多情况下，有多种风险中性措施，其中一种是通过校准模型市场数据来选择的。在赫斯顿的情况下，波动性成分会导致非唯一性，应使用实物期权价格等进行校准。我们自始至终都假设这已经完成。）然后，期权定价的目标是计算supτ∈T0，TE[Zτ]，其中，Tt，tde表示停止时间的集合，其值为{t，t+1，…，t}。使用动态规划和Cl'ement et al.（2002），我们可以找到一个最佳τ∈ T0，t根据τT=TτT=t1{Zt≥E[Zτt+1 | Ft]}∩{Zt>0}+τt+1{Zt<E[Zτt+1 | Ft]}∪{Zt=0} t<t.（1.1）通常，E[Zτt+1 | Ft]>0 so∩{Zt>0}和∪{Zt=0}不影响递归。现在，假设：Total：有可测量的r真值函数（ft）Tt=0和（ek）∞k=1，对于所有t=0，…，E[Zτt | Ft]=Ft（St，Vt）。。。，T和{ek（St，Vt）}∞对于所有t=1，…，k=1是总的L（σ（St，Vt），1{Zt>0}dP）。。。，T- 如果Hilbert空间的跨度是整个空间，则其子集是总的。继Longstaff&Schwartz（2001）创建（ek）∞k=1，我们通常从基函数（eSk）开始∞k=1，（eVk）∞k=1分别为L（DS），L（DV）和let（ek（s，v））∞k=1be{eSk（s）eVk（v）}的某种排序∞k、 k=1。LSM算法的关键思想是利用投影Pjt到{ek（St，Vt）}Jk=1的闭合线性范围和最小二乘回归，从横截面数据中首先估计E[Zτt+1 | Ft]，从而估计条件期望SE[Zτt | Ft]。事实上，（Cl'ement et al。

，2002，定理3.1）表明Limj→∞E[ZτJt | Ft]=E[Zτt | Ft]（1.2）新模拟和定价3英寸LF∈ {0，…，T}，其中（τJT=TτJT=t1{Zt≥PJt[ZτJt+1]}∩{Zt>0}+τJt+1{Zt<PJt[ZτJt+1]}∪{Zt=0} t<t.（1.3）然后，让eJ=（e，…，eJ）′（其中a′表示向量或矩阵a的转置）并假设为单数：e[eJ（St，Vt）（eJ（St，Vt））\'{Zt>0}]是正定义，Longsta off&Schwartz（2001）认识到αJtin PJt[ZτJt+1]=αJt·eJ（St，Vt）是αJt=e[eJ（St，Vt）（eJ（St，Vt））{Zt>0}]-1E[ZτJt+1eJ（St，Vt）1{Zt>0}]即溶液中的原子αJE[| ZτJt+1-αJ·eJ（St，Vt）{Zt>0}]，（1.4），通过蒙特卡罗模拟和线性回归求解：设{（Sj，Vj，Zj）}Nj=1be（S，V，Z）的i.i.d.副本，τJ，jt+1满足τJ，jT=TτJ，jT=t1{Zjt≥PJt【ZjτJ，jt+1】}∩{Zjt>0}+τJ，jt+1{Zjt<PJt[ZjτJ，jt+1]}∪{Zjt=0} t<t.（1.5）那么，他们的最小二乘估计是αJ，Nt=（ANt）-1BNWITHANT=NNXj=1eJ（Sjt，Vjt）eJ（Sjt，Vjt）′Zjt>0，bNt=NNXj=1ZjτJ，jt+1eJ（Sjt，Vjt）1Zjt>0。（1.6）请注意，τJ，jt取决于PJt[ZjτJ，jt+1]，其中dep以αJ结尾，ntn反过来又取决于τJ，jt+1，这意味着我们必须在反向时间构造这些对象，并且每次都在τJ，jt之前计算αJ，ntn。1.3。当前方法的缺点。LSM算法有一个弱点：回归需要（通常）用rando mcoe系数反演稠密的J×J矩阵，随着模型中因子的数量或所需精度（以及所需的基函数J的数量）的增加，该矩阵会变得病态。Longsta off&Schwartz（2001）中给出的许多例子都具有允许基函数数量较少的特点：较短的持续时间有利于较小的ERJ，因为在百慕大近似中可以选择的执行时间较少。

单因素模型使投影为一维，这通常有助于用更少的函数与更高维的投影进行更好的近似。执行价为K的美国看跌期权有效地将S限制在[0，K]或更低，这也使得预测“更容易”。对较低精度的需求降低了所需的J，因为可以接受错误地获得更多的最佳停止可能性。并非所有问题都具有这些特征。然而，Longstaff&Schwartz（2001）中使用的基函数最多为26个。在下面的一些例子中，J需要大得多，这使得矩阵求逆有问题。幸运的是，有4个M.KOURITZINa随机近似备选方案，它也比回归快。这是本文的第一个主要贡献。路径相关期权定价的模拟方法的其他主要问题是计算时间和偏差。经典Black-Scholes期权定价公式（见Black&Scholes 1973，Merton 1973）中使用的著名几何布朗运动（GBM）模型具有恒定的波动性，并遵循线性托卡斯特微分方程（SDE）dSt=uStdt+κStdBt，（1.7），其中B是标准布朗运动a，u，κ是漂移和波动参数。众所周知，GBM模型过于简单化，导致了非自然现象，如市场期权价格中常见的波动微笑（参见Jackwerth&Rubinstein（1996）的详细调查），应该用随机波动率（SV）模型代替，该模型有两个组成部分：价格S和随机方差V（或波动率V）t，以取代GBM模型中的常数κ。Heston（1993）引入了一个随机波动率模型，该模型具有股票、债券和外币现货价格的闭式欧式看涨期权价格。设B，β为（标量）独立的标准布朗运动。

那么，赫斯顿模型是：dStVt公司=uStν- Vt公司dt+p1- ρStVtρStVt0κVt！dBtdβt, （1.8）参数u∈ R、 ρ∈ [-1，1]和ν，, κ>0。波动性成分只是Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型。当ν<κ/2时，波动率可以达到0，当Feller条件ν时，波动率仍然可以接近0≥ κ/2保持不变。从财务角度来看，达到零意味着价格会出现随机性，这并不常见，因此我们通常有大于κ/2的ν。t heHeston模型的一个重要特征是它允许ar比特相关ρ∈ [-1，1]波动性与现货资产回报之间的关系。实际上，在金融市场中ρ通常为负值（参见例如Fouque et al.2000 p.41，Yu 2005）。赫斯顿模型可用于解释和纠正偏斜和执行价格偏差，并在实际数据上优于其他大众SVM模型（见Kouritzin 2015）。Broadie&K aya（2006）为赫斯顿模型开发了一种精确（无偏差）的模拟方法，以对路径依赖性最弱的期权进行定价。本文讨论了路径依赖型Heston期权（包括美式和亚式期权）的定价问题。在此，赫斯顿模型随机微分方程（SDE）以弱形式显式求解，这些解用于定价期权并进行蒙特卡罗模拟。Euler Maruyama和Milstein模拟方法对于Heston模型存在明显的问题：1）虽然过程本身是非负的，但离散化可能会产生负值，从而在平方根时导致评估问题。2） 收敛到实际差异的速度很慢。

事实上，Broadie&Kaya（2006）很好地证明了这些方法的偏差问题，即使计算在Duffee&Glynn（1995）的意义上是适当的。新的模拟和定价53）计算时间很长，对于成交量更大、交易速度更快的股票，实时应用更加困难。例如，Euler-Maruyama和Milstein方法的使用使得Kouritzin（2015）中不可能进行实时应用（对比反向数据研究）。因此，需要Broadie&Kaya（2006）中的精确模拟，其中Heston模型规范用于避免偏差和提高速度。不幸的是，这种类型的精确性（在分布变换方面）对于评估美国、亚洲和其他严重依赖路径的选项是不可忽视的。在此，我们为赫斯顿SDE引入了显式弱解，这是我们最重要的贡献，这使得模拟和蒙特卡罗路径相关期权定价相对容易。我们引入了新的定价算法，给出了显式解的新定理，开发了寻找显式解的新方法，并提供了美国和亚洲期权定价示例。1.4。主要贡献。第一个也是最著名的随机近似（SA）算法是分别在Robbins&Monro（1951）和Kiefer&Wolfowitz（1952）中介绍的Robbins-Monro和Kiefer-Wolfowitz算法。SA算法最初用于查找根据期望值定义的函数的根和最大值。自那时以来，它们已成为统计和工程中的重要方法，用于时间序列中的参数估计和通信中的信道均衡。十国的工程师认为SA算法是自适应滤波的一部分，但许多SA算法，如所谓的符号算法，都不是线性的。

Eweda（1994）对通信信道问题的三种常用算法进行了比较，而Kouritzin和Sa deghi（2015）在线性观测器设计中使用了Sa算法。据作者所知，本文是SA在期权定价中的首次应用，它不同于其他应用，因为随机逼近应用于粒子而非时间。CIR模型的显式解构成了t heHeston模型的波动性部分，这一模型的显式解已有二十年的历史，一般可追溯到（至少）Maghsoodi（1996）和Kouritzin（2000），其形式与此处使用的形式类似。此外，很明显，鉴于波动性，赫斯顿价格是一个随机指数，但该随机指数仍将涉及一个与β和V相关的Tvsdβ函数，因此似乎需要随机积分近似。Broadie&Kaya（2006）分别给出了Heston模型的精确（边际）分布描述，并使用该描述在固定时间进行模拟。（Jeanblanc et al.（2009）第6章）lso提供了CIRand-Heston模型的非常好的概述，包括CIR模型的显式解和Heston模型的一次性边际分布精确性。）然而，这些工作都没有为我们提供赫斯顿模型（价格和波动性成分）的明确解决方案，并且这些工作也没有为路径模拟提供一种替代方法。本文的第二个主要贡献是证明存在这样一个显式解决方案。在以下条件（C）下，该解决方案的价格部分的形式为φtRtVsdBs、RtVsds、Vt对于一些已知的φ，其中B独立于V。这意味着TVSDBS是条件高斯分布，不需要f或近似6 M.Kouritzintzochastic积分。波动性部分主要来自Maghsoodi（1996）的sobservation。

它们共同产生了一种有效的方法来模拟Heston模型，下面给出了明确的Heston方法。当条件（C）未完全填充时，使用似然权重将其转换为一组新的参数。在这种情况下，下面的加权赫斯顿算法仍然给出了明确的解决方案。此转换是我们的第三个贡献，基本上是方差的重要抽样。虽然重要性抽样在许多统计领域都有应用，但我们的第三个贡献是使用它来维护显式解并生成期权定价的加权粒子方法。我们在路径空间期权定价中使用了顺序蒙特卡罗方法。加权粒子序贯蒙特卡罗方法保持了路径空间估计，这是与路径相关的期权定价所需的。1.5。布局本文的其余部分如下：我们的新算法和理论结果在第2节中给出。第一种算法是LSM算法的随机近似变化。第二种算法用于模拟Eston SDE。当使用Heston模型并基于我们的主要定理时，它适用于第一个算法。第一个定理给出了在Heston模型参数限制下的基本显式解。第二个结果提供了当这个限制不成立时的弱解。第3节将我们新的赫斯顿模拟算法hms与Euler Maruyama和Milstein模拟方法进行了比较，并显示了相同精度的三个数量级速度改进。第四节比较了我们新的Heston模拟和SA算法与LSM算法以及Euler Maruyama和Milstein模拟方法在美亚期权定价问题上的异同。