可加Wiener场非交叉概率的渐近性

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英文标题：
《Asymptotic of Non-Crossings probability of Additive Wiener Fields》
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作者：
Pingjin Deng
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Let $W_i=\\{W_i(t_i), t_i\\in \\R_+\\}, i=1,2,\\ldots,d$ are independent Wiener processes. $W=\\{W(\\mathbf{t}),t\\in \\R_+^d\\}$ be the additive Wiener field define as the sum of $W_i$. For any trend $f$ in $\\kHC$ (the reproducing kernel Hilbert Space of $W$), we derive upper and lower bounds for the boundary non-crossing probability $$P_f=P\\{\\sum_{i=1}^{d}W_i(t_i) +f(\\mathbf{t})\\leq u(\\mathbf{t}), \\mathbf{t}\\in\\R_+^d\\},$$ where $u: \\R_+^d\\rightarrow \\R_+$ is a measurable function. Furthermore, for large trend functions $\\gamma f>0$, we show that the asymptotically relation $\\ln P_{\\gamma f}\\sim \\ln P_{\\gamma \\underline{f}}$ as $\\gamma \\to \\IF$, where $\\underline{f}$ is the projection of $f$ on some closed convex subset of $\\kHC$.
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中文摘要：
设$W\\u i=\\{W\\u i（t\\u i），t\\u i\\in\\R\\u+\\}，i=1,2，\\ldots，d$是独立的维纳进程$W={W（\\mathbf{t}），t\\in\\R\\u+^d \\}$是加法维纳字段，定义为$W\\u i$的和。对于$\\kHC$（再生核希尔伯特空间$\\W$）中的任何趋势$$f$，我们推导出边界不交叉概率$$P\\u f=P{\\sum\\u{i=1}^{d}W\\u i（t\\i）+f（\\mathbf{t}）\\leq u（\\mathbf{t}），\\mathbf{t}in\\R\\u+^ d}，其中$$u:\\R\\u+^ d\\rightarrow\\R\\u+$是可测的功能。此外，对于大趋势函数$\\ gamma f>0$，我们证明了渐近关系$\\ ln P{\\ gamma f}\\ sim \\ ln P{\\ gamma \\ underline{f}}$为$\\ gamma \\ to \\ IF$，其中$\\ underline{f}$是$\\ kHC$的某个闭凸子集上$\\ f$的投影。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
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关键词：wiener Wie Applications Differential Quantitative

加法维纳场的非交叉概率的渐近性Spingjin DengOctober 20，2018摘要：设Wi={Wi（ti），ti∈ R+}，i=1，2，d是独立的维纳过程。W={W（t），t∈ Rd+}是相加的维纳场定义，作为Wi的总和。对于H（W的再生核HilbertSpace）中的任意趋势f，我们导出了边界非交叉概率f=P{dXi=1Wi（ti）+f（t）的上界和下界≤ u（t），t∈ Rd+}，其中u:Rd+→ R+是一个可测量的函数。此外，对于大趋势函数γf>0，我们证明了Pγf中的交感关系~ lnpγfasγ→ ∞, 其中f是f在H的一些闭凸子集上的投影。关键词：边界不相交概率；再生核希尔伯特空间；加法维纳场；渐近概率。AMS分类：初级60G70；次要60G101引入d为正整数，设Xi={Xi（t），t∈ R+}，i=1，2，d是在相同概率速度上独立的实值随机过程(Ohm, F、 P）。定义d参数实值一个可加字段（加法过程）X（t）=X（t，t，…，td）=dXi=1Xi（ti），t=（t，t，…，td）∈ Rd+。加法过程在一般多参数过程、多参数势理论、分形几何、谱渐近理论的研究中起着关键作用，近年来得到了积极的研究。为了对这些结果有一个粗略的了解，我们参考了文献[1、2、3、4、5、6、7]以及其中的参考文献。另一方面，计算高斯过程的边界不交叉概率是理论概率和应用概率的一个关键主题，例如[8、9、10、11、12、13、14]。边界不交叉概率评估的众多应用涉及数学金融、风险理论、问答理论、统计学、物理学以及许多其他领域。

在文献中，大多数贡献仅集中于具有一个参数的高斯过程的边界非交叉性质（如布朗运动、布朗桥和分数布朗运动），该领域的一些重要结果见[15、16、17、18、19、20、21、22]。对于多参数高斯过程，在中国天津市南开大学金融学院（300350）和瑞士洛桑大学（1015）精算学系（邮编：Pingjin）之外，已知的情况很少。Deng@unil.chprobabilities（例如，[2、3、24、25]）。在本文中，我们专注于计算加性维纳场W的边界不交叉概率，其定义为byW（t）=W（t）+W（t）+…+Wd（td），t∈ Rd+，（1）其中Wi={Wi（t），t∈ R+}，i=1，2，d是在相同概率空间上定义的独立维纳过程(Ohm, F、 P）。可以很容易地检查W是一个高斯函数，其协变函数为{W（s）W（t）}=dXi=1si∧ ti，s=（s，s，…，sd），t=（t，t，…，td）。（2） 对于两个可测函数f，u:Rd+→ R我们将研究pf=P的上界和下界W（t）+f（t）≤ u（t），t∈ 研发部+在下文中，我们认为u是一个一般的可测函数，f 6=0属于W的再生核希尔伯特空间（RKHS），该空间由H表示。在第2节中给出了H的预描述，其中内积hf，gi和f，g的相应范数kf k∈ H也被定义。与[20]一样，直接应用[26]中的定理1\'表明，对于任何f∈ 我们有Pf公司- P≤√2πkf k.（3）进一步，对于任何g∈ H使得g≥ f，我们得到Φ（α- kgk）≤ Pg公司≤ Pf公司≤ Φ（α+kfk），（4），其中Φ是N（0，1）随机变量的分布，α=Φ-1（P）是一个有限常数。

当f≤ 0，那么我们可以始终取g=0，如果kf k很大，这使得（4）的下界很有用。当kf kis很小时，方程（3）为Pfby P的近似率提供了一个很好的界。由于计算Pf的显式公式似乎是不可能的，因此趋势函数γf与γ的界的渐近性能→ ∞ 和γ→ 因此，0值得考虑。本文将考虑前一种情况，得到如下结果：如果f（t）>0，则对于某些两个非负分量，则对于任何g≥ f、 g级∈ 我们有Pγf≥ lnΦ（α- γf）≥ -（1+o（1））γkgk，γ→ ∞, （5） 亨赛尔Pγf≥ -（1+o（1））γkfk，γ→ ∞, （6） 其中f（唯一且存在）解决了以下最小化问题，f∈H，g≥fkgk=kfk>0。（7） 在第二节中，我们将证明f是f在H的闭凸集上的投影，并且我们还将证明lnpγf~ ln Pγf~ -γkfk，γ→ ∞. （8） 本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们简要讨论了加法维纳场的RKH，并构造了最小化问题的解（7）。我们在第3节中介绍了我们的主要结果。第4节显示了本文结果的七个方面，我们通过附录对本文进行了总结。2预备阶段本节回顾了再生核希尔伯特空间（RKHS）的基本结果，我们将给出加性维纳场W的RKHS的表示。我们还将V构造为H的闭凸集，这最终使我们能够证明（7）中的f是f在V上的投影。构造V的想法来自于一个参数情况下的相似结果（参见[19、14、23、18]）。在这篇文章的下面，加粗的字母被用来表示向量，所以我们将写出例如t=（t，t。

，td）∈Rd+和λ表示R+上的Lebesgue测度，而ds表示与该测度相关的积分。2.1相加维纳场的RKH表明，Wis是一个单参数维纳过程。众所周知（参见[27]）维纳过程ss W的RKH，用H表示，其特征为以下H=nh:R+→ Rh（t）=Z[0，t]h′（s）ds，h′∈ L（R+，λ）o，内积hh，gi=RR+h′（s）g′（s）ds和相应的范数khk=hh，hi。Wi的KHS描述，i=2，3，d显然是相同的。我们现在开始构造加法维纳场W的RKH，对于anyh（t）=f（t）+f（t）+…+fd（td），h（t）=g（t）+g（t）+…+gd（td），其中fi（ti），gi（ti）∈ H、 i=1，2，d、 定义内部产品hh，hi=dXi=1ZR+f′i（s）g′i（s）ds。（9） 备注2.1。根据附录中的引理5.1，我们得到了表达式h（t）=h（t）+h（t）+…+hd（td）是唯一的，因此上述内部产品定义良好。接下来，鉴于App endix中的引理5.2，我们有以下引理2。1、加法维纳场W的RKH由H=nh：Rd给出+→ Rh（t）=dXi=1hi（ti），其中hi∈ H、 i=1，2，do（10）配备标准khk=hh，hi。为了便于符号化，我们将使用相同的符号h·、·i和k·k分别表示内积和范数，在空间方面h.2.2极小化问题的解在本小节中，我们将求解方程（7）。对于任何h∈ H、 已经证明（见[18]），H溶剂的最小凹主剂，f∈H、 g级≥ fkgk=kf k>0。此外，如[14]所示，我们用h表示的h的最小凹主，可以解析地写为h在闭共凸集V={h上的唯一投影∈ Hh′（s）是一个非递增函数，即h=P rVh。这里我们为h在某个闭集A上的投影写P rAh，也为下面考虑的其他Hilbert空间写P rAh。

此外，如果我们认为∈ Hhh，fi≤ 0表示任何f∈ 五} 是V的极锥，然后是下面的保持引理2。2、【24】根据上述符号和定义，我们有（i）如果h∈ 五、 然后h≥ 0.（ii）如果h∈eV，然后是h≤ 0。（iii）我们有hP rVh，P reVhi=0，进一步的H=P rVh+P reVh。（11） （iv）如果h=h+h，h∈ 五、 h类∈eVand hh，hi=0，然后h=P rVh和h=P reVh。（v） 极小化问题的唯一解≥h、 g级∈Hkgk是h=P rVh。由于我们要处理H中的函数f，我们需要考虑这种f在特定闭凸集上的投影。下面我们将写f=f+f+…+FD表示f（t）=f（t）+f（t）+…+fd（td），其中f，f，fd公司∈ H、 顺便注意，此分解对于任何f都是唯一的∈ H、 定义闭凸集V={H=H+H+…+hd∈ Hh、 h，高清∈ 五} 设fv为V的极锥，由fv={h∈ Hhh，vi≤ 任何v为0∈ 五} ，具有（9）的内积。类似于引理2.2，我们有引理2。3、对于任何h=h+h+…+高清∈ H、 我们有（i）如果H∈ 五、 那么嗨≥ 0，i=1，2，d、 （ii）如果h∈eV，然后hi≤ 0，i=1，2，d、 （iii）我们有hP rVh，P reVhi=0，进一步的H=P rVh+P reVh。（12） （iv）如果h=h+h，h∈ 五、 h类∈eVand hh，hi=0，然后h=P rVh和h=P reVh。（v） 极小化问题的唯一解≥h、 g级∈Hkgk ish=P rVh=P rVh+P rVh+…+P rVhd。（13） 3主要结果考虑了两个可测量的d参数函数f，u:Rd+→ R、 假设t f（0）=0和f∈ H、 因此，我们可以写ef（t）=dXi=1fi（ti），fi（ti）∈ H、 i=1，2，dwe还支持fi（0）=0，i=1，2，d在上述分解中。回想一下他们的陈述fi（ti）=R[0，ti]f′i（s）ds，f′i∈ L（R+，λ），i=1，2，d、 我们将估计边界不交叉概率f=PW（t）+f（t）≤ u（t），t∈ 研发部+.在以下情况下，我们将t fi=P rVfi，i=1，2，d和f=P rVf。

我们接下来陈述我们的主要结果：定理3.1。保持以下条件：limti→∞u（0，…，ti，0，…，0）f′i（ti）=0，i=1，2，d、 （14）那么我们有PF≤ Pf公司-fexp-dXi=1ZR+u（0，…，ti，0，…，0）df′i（ti）-kfk公司.备注3.1。注意，f从零开始，因此f不能是常数，除非f≡ 0，但这种情况微不足道。备注3.2。定理的条件（14）意味着，与函数u相比，位移及其导数的分量可以忽略不计。利用定理3.1，我们可以得到Pγf的一个渐近性质，在fac t中，如果u（t）在上面有界，则我们得到以下结果，如图3.1所示。如果f∈ H是这样的，对于某些t，f（t），然后ln Pγf~ ln Pγf~ -γkfk，γ→ ∞.引理的证明2.2：对于h∈ 五、 我们知道h′是非递增的，因此h′是非负的。因为h（0）=0，所以h（u）≥ 0表示所有u。语句（ii）到（v）的pr oo f可以在[24]中看到，我们在这里不重复证明。引理2.3的证明：（i）如果h∈ 五、 从V的定义中，我们得到h，h，高清∈ 五、 所以你好≥ 0，i=1，2，如果h（t）=h（t）+h（t）+…+hd（td）∈eV，然后hi（ti）∈ H、 对于任何fi（ti）∈ 五、 letv（t）=fi（ti）∈ 五、 根据EV的定义，我们得到hh，vi=hhi，fii≤ 0.因此，您好∈eV，其结果来自lemma2.2中的（ii）。陈述的证明（iii）和（iv）与引理2.2中的（iii）和（iv）相似，可以直接从[14]获得。（v） 对于任何h（t）∈ H、 let g（t）∈ H使得g≥ h、 然后我们有了gi≥ 嗨，i=1，2，d、 其中h=h+h+…+hd，g=g+g+…+gd。最小化程序≥h、 g级∈Hkgk=明≥h、 g级∈H（kgk+kgk+…+kgdk）=dXi=1mingi≥嗨，gi∈Hkgik=khk+khk+…+khdk。当且仅当H=P rVh=P rVh+P rVh+…+P rVhd。（15） 完成证明。

定理证明3.1：用EP表示通过其Radon-Nikodym导数Pdep=dYi=1exp定义的概率度量-kfik+ZR+f′i（ti）dWi（ti）.根据Cameron-Martin-Girsanov定理，Wi（t）=Wi（t）+R[0，t]f′i（s）ds，i=1，2，d是独立的维纳过程。表示1u{X}=1{X（t）≤ u（t），t∈ Rd+}和W（t）=W（t）+W（t）+…+Wd（td）。请注意，kf k=kfk+kfk+…+kfdk，因此使用进一步的（12）和（13），我们得到pf=E（udXi=1（Wi（ti）+fi（ti））)= EePdPdePuW（t）!= 经验值-kf kE（经验值）dXi=1ZR+f′i（ti）dWi（ti）uW（t）)= 经验值-kfk公司×E（dYi=1exp-kP reVfik+ZR+P reVf′i（ti）dWi（ti）×经验值dXi=1ZR+fi′（ti）dWi（ti）uW（t）).为了重写r+f′（t）dW（t），我们提到，在这个积分中，dW（t）=d（W（t，0，…，0）），因此在定理的条件下，在指标1u{Pdi=1Wi（ti）}=1u{W（t）}上，使用附录中的引理5.3，我们得到了r+f′（t）dW（t）=limn→∞Z[0，n]f′（t）dW（t）=limn→∞f′（n）W（n，0，…，0）+Z[0，n]W（t，0，…，0）d(-f′（t）.（16） 类似地，对于任何i=2，3，d我们有Zr+fi′（ti）dWi（ti）=limn→∞fi′（n）W（0，…，n，0，…，0）+Z[0，n]W（0，…，ti，0，…，0）d(-fi′（ti）. （17） 结合（16）–（17）和使用条件（14），我们得到了在相同的指标xi=1ZR+fi′（ti）dWi（ti）上≤ 画→∞dXi=1fi′（n）W（0，…，n，0，…，0）+dXi=1Z[0，n]W（0，…，ti，0，…，0）d(-fi′（ti）≤ -dXi=1ZR+u（0，…，ti，0，…，0）df′i（ti）。（18） 另一方面，我们有-f=E（dYi=1exp-kf公司- fk+ZR+（f- f） ′dWi（t）uW（t）)（19） =E（dYi=1exp-kP reVfik+ZR+P reVf′i（t）dWi（t）uW（t）).从（18）和（19）中，我们得出结论，PF≤ Pf公司-fexp-dXi=1ZR+u（0，…，ti，0，…，0）df′i（ti）-kfk公司.推论3.1的证明：从（5）我们得到了Pγf≥ -（1+o（1））infg≥fγkgk=-（1+o（1））γkfk，γ→ ∞.另一方面，从定理3.1我们得到了γf≤ Pγ（f-f） 经验值(-（1+o（1））γkfk）。因为f（t）>0，那么limγ→∞Pγ（f-f） =常数>0。

因此sγ→ ∞,ln Pγf≤ -（1+o（1））γkfk，权利要求如下。5附录引理5。1、如果函数h:Rd+→ R允许表示h（t）=h（t）+h（t）+…+hd（td），（20），其中hi∈ H、 i=1，d、 那么表示（20）是唯一的。证据如果函数h:Rd+→ R表示h（t）=dXi=1fi（ti）=dXi=1gi（ti），（21），其中fi，gi∈ H、 i=1，2，d、 对于任何i=1，2，d、 我们把tj=0表示为j6=i，注意fj（0）=gj（0）=0，然后我们得到fi=gi，i=1，2，d、 因此，代表（20）是独特的。注意到Wiis si的调节功能∧ti和过程的协变函数W（t）=W（t）+W（t）+…+Wd（td）由r（s，t）给出：=E{W（s）W（t）}=dXi=1si∧ ti，s=（s，s，…，sd），t=（t，t，…，td）。接下来，我们将确定对应于d协方差和的RKH。假设现在Ri，i=1，2，高斯过程的平均协方差，相应的RKHS为Ki，i=1，2，d、 我们还假设RKHS Ki的k·Kitheiner积，i=1，2，d、 下面是一个众所周知的引理，我们请读者参考[28]以获得它的证明。引理5.2。协方差R=R+R+…+的高斯过程的RHKS然后由希尔伯特空间K给出的RDI由所有函数f（（t））=f（t）+f（t）+…+fd（td），带fi（ti）∈ Ki，i=1，2，d、 n形式由kf k=inf（kfk+kfk+…+kfdkdkd）给出，其中所有分解f（t）=f（t）+f（t）+f（t）+f（t）+…+fd（td），g（t）=g（t）+g（t）+…+gd（td）和fi（ti）、gi（ti）∈ Ki，i=1，2，d、 此外，如果对于任何f∈ K、 分解f（t）=f（t）+f（t）+…+fd（td）是唯一的，那么K ishf的内积，gi=hf，gi+hf，gi+…+hfd、gdi。此外，如果我们确定加号⊕ 在Ki中，i=1，2，d由Ki提供⊕ Kj：={f=fi+fj | fi∈ Ki，fj∈ Kj}，那么我们可以重写K asK=K⊕ K⊕ . . .

⊕ Kd。设Wbe为维纳过程ss，h:R+→ R是一个可积函数，我们可以通过以下等式扩展h w.R.tWon R+的积分：Zr+h（s）dW（s）=L- 画→∞Z[0，n]h（s）dW（s）（22），只要存在此限制。此外，对于任何h∈ 五、 导数h′∈ L（R+，λ）不增加，因此为[0，n]h′2（s）ds≤ h′2（0）n，这意味着积分r[0，n]h（s）dW（s）被正确定义为整体。然后，我们可以用部分公式引理5来构造积分。3、让h∈ 五、 Wbe是维纳过程。然后对于任何T<∞, 我们得到如下结果：Z[0，T]h（s）dW（s）=Z[0，T]W（s）d(-h（s））+h（T）W（T），（23），其中（23）右侧的积分是黎曼-斯蒂尔杰斯积分。证据从[29]中，对于区间[0，T]的任何划分π，我们得到积分r[0，T]h（s）dW（s）与积分sumsZ[0，T]h（s）dW（s）=L的概率极限一致- lim |π|→0NXi=1h（si-1） （W（si）- W（si-1） ）=L- lim |π|→0NXi=1W（si）（h（si-（1）- h（si））+W（T）h（T）=Z[0，T]W（s）d(-h（s））+W（T）h（T）。确认：本项工作部分由国家自然科学基金71573143号项目和国家自然科学基金2000 21166274号赠款资助。参考文献[1]D.Khoshnevisan、Y.Xiao和Y.Zhong，“测量n加性l'evy过程的范围”，《可能性年鉴》，第1097-11412003页。[2] X.Chen a和W.V.Li，“某些加性过程的小偏差估计”，载于高维概率III，第225–238页，Springer，2003年。[3] A.Karol、A.Nazarov和Y.Nikitin，“g aussian随机场和紧算子张量积的小球概率”，《美国数学学会学报》，第36卷，第3期，第1443-14742008页。[4] D.Khoshnevisan a和Z.Shi，“布朗表和容量”，《概率年鉴》，第113 5-11591999页。[5] D.Khoshnevisan和Y.Xiao，“加性l'evy过程的水平集”，《概率年鉴》，第62-1002002页。[6] D.Khoshnevisan和Y。