论局部风险最小化与delta套期保值的区别

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英文标题：
《On the difference between locally risk-minimizing and delta hedging
  strategies for exponential L\\\'evy models》
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作者：
Takuji Arai and Yuto Imai
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We discuss the difference between locally risk-minimizing and delta hedging strategies for exponential L\\\'evy models, where delta hedging strategies in this paper are defined under the minimal martingale measure. We give firstly model-independent upper estimations for the difference. In addition we show numerical examples for two typical exponential L\\\'evy models: Merton models and variance gamma models.
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中文摘要：
我们讨论了指数Levy模型的局部风险最小化和delta对冲策略之间的差异，本文中的delta对冲策略是在最小鞅测度下定义的。我们首先给出了与模型无关的差分上估计。此外，我们还展示了两种典型的指数L拞evy模型的数值示例：Merton模型和方差gamma模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> On_the_difference_between_locally_risk-minimizing_and_delta_hedging_strategies_f.pdf (384.42 KB)

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关键词：Delta 套期保值 ELT del Quantitative

指数L'evy模型的局部风险最小化和Deltaheding策略之间的差异Stakuji Arai*和Yuto Imai+2018年9月18日摘要我们讨论了指数L'evy模型的局部风险最小化和增量对冲策略之间的差异，本文中的增量对冲策略是在最小鞅测度下定义的。我们对差异给出了与模型无关的上估计。此外，我们给出了两个典型指数L'evy模型的数值例子：Merton模型和方差gamma模型。1简介局部风险最小化的概念广泛用于不完整市场框架中的或有情况。局部风险最小化与一个等价鞅测度密切相关，该测度被称为最小鞅测度（MMM）。有关局部风险最小化的更多详细信息，请参见[1]和[2]。Delta套期保值也是一种众所周知的套期保值方法，经常被从业人员使用，它是通过区分特定鞅测度下的期权价格与基础资产价格得出的。由于局部风险最小化和MMM之间的关系，我们考虑MMM下的Deltaheding。其精确定义将在第2节中介绍。[2] 通过使用基于规范L'evy空间的L'evy过程的Malliavin演算，给出了看涨期权局部风险最小化（LRM）策略的显式表示。另一方面，Carr和Madan在[3]中介绍了一种基于快速傅立叶变换（FFT）的期权估值数值方法。[1]中使用了Carr和Madan的方法来计算指数所有evy模型的看涨期权的LRM策略。

特别是，Merton模型和方差gamma（VG）模型作为指数L'evy模型的典型示例进行了讨论。本文的主要目的是研究我们是否可以使用delta对冲策略来替代LRM策略，因为我们可以比一般的LRM策略更容易地计算delta对冲策略。为此，我们从数学和数值两方面分析了这两种策略之间的差异。首先，使用[1]，我们将获得不同指数L'evy模型之间的模型独立估计。其次，为了研究这两种策略“在金钱上”的接近程度，我们对两种典型的指数L'evy模型：Merton模型和VG模型进行了数值实验。默顿模型由布朗运动和具有正态分布跳跃大小的复合泊松跳跃组成。第二个例子是VG模型，它是一个指数L'evy过程，在任何有限的时间间隔内都有许多跳跃，并且没有布朗成分。本文概述如下：在第2节给出了符号和预备知识之后，我们在第3节给出了两个模型独立的估计。第四节是数值实验。结论见第5节。请注意，尽管[5]中得到的所有结果都与模型相关，但[5]处理的问题与我们的问题相同。

另一方面，我们在本文中得到了模型独立估计。*庆应义塾大学经济系，2-15-45 Mita，Minato ku，Tokyo，108-8345，Japan电子邮箱：arai@econ.keio.ac.jp+早稻田大学数学系，3-4-1 Okubo，Shinjyuku，Tokyo，169-8555，Japanemail:y。imai@aoni.waseda.jpIn此外，我们将计算“在货币上”两种策略之间差异的数值上限估计2标记和初步情况我们认为，金融市场由一项无风险资产和一项到期日不超过0的风险资产组成。为简单起见，我们假设市场利率为零，即无风险资产的价格始终为1。假设风险资产的波动由完全概率空间上的指数L'evy过程给出(Ohm, F、 P），由t描述：=Sexput+σWt+ZRxeN（[0，t]，dx）对于任何t∈ [0，T]，其中S>0，u∈ R、 σ>0，且R：=R \\{0}。这里W是一维标准布朗运动，而en是泊松随机测度N的补偿版本。用ν表示N的L′evymeasure，我们haven（[0，t]，a）=N（[0，t]，a）- tν（A）对于任何t∈ [0，T]和A∈ B（R）。现在(Ohm, F、 P）取一维维纳空间与N的正则L'evy空间的乘积。此外，我们取F={Ft}t∈[0，T]作为P的完整规范过滤。有关规范L'evy空间的更多详细信息，请参见[6]和[2]。此外，S也是随机微分方程DST=St的解-uSdt+σdWt+ZR（ex- 1） eN（dt，dx）,式中，uS：=u+σ+RR（ex- 1.- x） ν（dx）。现在，定义Lt：=所有t的日志（St/S）∈ [0，T]，我们知道L是一个L'evy过程。我们的重点是比较LRM策略与看涨期权的delta对冲策略（ST- K） +当价格K>0时。现在，我们给出一些准备和假设。

确定MMM P*作为与S的鞅部分正交的任意平方可积P-鞅的等价鞅测度。其密度由DP给出*dP=exp- ξ重量-ξT+ZRlog（1- θx）N（[0，T]，dx）+TZRθxν（dx）,式中ξ：=uSσ+RR（ey-1） ν（dy）和θx：=uS（ex-1） σ+RR（ey-1） ν（dy）表示x∈ R、 请注意，我们的讨论很大程度上取决于[1]中的结果。因此，我们需要[1]中规定的假设如下：假设2.1 1。RR（| x |∨ x） ν（dx）<∞, andRR（ex- 1） nν（dx）<∞ 对于n=2，4.2。0≥ uS>-σ-RR（ex- 1） ν（dx）。第一个条件确保（i）uS、ξ和θxare定义良好，（ii）L是平方可积的，以及（iii）RR（ex- 1） nν（dx）<∞ 对于n=1，3。第二个条件保证任何x的θx<1∈ R、 现在我们考虑*[1{ST>K}ST | Ft-] , （2.1）和ZREP*[（STex- K）+- （ST- K） +|英尺-]（例如- 1） ν（dx）。（2.2）注意到（2.1）和（2.2）是St的功能-和K，我们用I（St-, K） 和I（St-, K） ，分别为。LRM策略作为可预测的过程LRM（St-, K） ，表示投资者在时间t时持有的风险资产的单位数。这里，它明确表示买入期权（ST- K） +给出如下：对于任何K>0和t，命题2.2（命题4.6 of[2]）∈ [0，T]，LRM（St-, K） =σI（St-, K） +I（St-, K） St公司-σ+C. （2.3）式中C：=RR（ex- 1） ν（dx）。此外，我们还介绍了文献[1]中给出的I（St）的积分表示-, K） 和I（St-, K） 为了证明卡尔和马丹的方法是可行的。LT的特征函数-tunder P公司*用φT表示-t（z）：=EP*[埃兹尔特-t] 对于z∈ C、 我们导出了I（St）的积分表示-, K） 带φT-具体如下：I（St-, K） =EP*[1{ST>K}·ST | Ft-]=πZ∞K-α+1-ivα- 1+ivφT-t（v- iα）Sα+ivt-dv=ekπZ∞e-i（v）-iα）kψ（v- iα）dv，其中k：=对数k，ψ（z）：=φT-t（z）尺寸--1+izandα∈ （1，2）。请注意，右侧与α的选择无关。我们转到I（St）旁边-, K） 。

表示ψ（z）：=φT-t（z）尺寸-(-1+iz）iz，我们有-, K） =ZREP*[（STex- K）+- （ST- K） +|英尺-]（例如- 1） ν（dx）=πZ∞K-α+1-ivZR（e（α+Ⅳ）x- 1） （例如- 1） ν（dx）ψ（v- iα）dv。关于LRM（St-, K） ，I（St-, K） ，而我-, K） 作为St的功能-K，我们有Ij（St-, K） /圣-=Ij（1，K/St-) 对于j=1、2和LRM（St-, K） =σI（1，K/St-) + I（1，K/St-)σ+Cfrom（2.3）。因此，LRM（St-, K） 作为χt的函数给出-:= K/St公司-, 其中χt-被称为moneyness。因此，我们表示LRM（St-, K） 通过LRM（χt-).接下来，我们定义了三角洲对冲策略。定义2.3对于任何K>0和s>0，增量对冲策略（St-, K） P以下*对于具有执行价格的认购期权，K定义为（St-, K） :=EP公司*[（ST- K） +| St-= s]s、 请注意，上述delta对冲策略的定义与Black-Scholes模型中通常的delta hedging策略的定义一致。下一个定理来自直接计算。定理2.4我们有（St-, K） =I（St-, K） St公司-.请注意（St-, K） 作为χt的函数给出-而且因此，我们表示（St-, K） 根据（χt-).备注2.5【4】研究了与本文类似的问题。他们比较了方差最优对冲、Black-Scholes对冲和delta对冲之间的一些对冲错误。3主要结果我们对差异| LRM（χt-)-（χt-)| 作为本文的主要结果。请注意，本节中给出的估计独立于任何指数L'evy模型。在本节中，我们将∈ [0，T]任意。我们表示χ：=χt-简而言之，考虑到LRM和 作为χ的函数∈ R+。让p*是LT的分布-tunder P公司*, 也就是p*（A） ：=P*（LT-t型∈ A） 对于任何A∈ B（R）。首先我们给出了| LRM（χ）的估计- （χ） |，这在χ>0很小时很有用。定理3.1对于任何χ∈ R+，我们有以下不等式估计：| LRM（χ）- （χ） |≤χC-σ+C+χp*((-∞, logχ]）σ+C（C+- C-) , （3.4）式中C+：=Z∞（例如- 1） ν（dx）和C-:=Z-∞（例如- 1） ν（dx）。因此，我们有| LRM（χ）- （χ） |≤ O（χ）为χ→ 0.证明。

我们用Iand Ifor short表示I（1，χ）和I（1，χ）。首先，我们分解IintoI=J+J+J+J。这里：=ZDi{（ey+x- χ）+- （安永- χ） +}（例如- 1） p*（dy）ν（dx），i=1，···，4，其中：={（x，y）| x+y≥ 对数χ，y≥ logχ}，D：={（x，y）| x+y≥ logχ，y<logχ}，D：={（x，y）| x+y<logχ，y≥ logχ}，D：={（x，y）| x+y<logχ，y<logχ}。因此，我们有| LRM（χ）- （χ） |=我-σI+Iσ+C=σ+C | CI- J- J- J- J |。（3.5）注意J=0，Ci=ZD∪Dey（ex- 1） p*（dy）ν（dx），我们得到Ci- J- J- J=ZDey（ex- 1） +（ey- χ） （例如- （1）p*（dy）ν（dx）=ZD（ey+x- χ） （例如- 1） p*（dy）ν（dx）=Z-∞Zlogχ-xlogχ（ey+x- χ） （例如- 1） p*（dy）ν（dx）≤Z-∞Zlogχ-xlogχ（ex- 1） p*（dy）ν（dx）≤ χp*（[对数χ，∞))C-. （3.6）同样，我们得到j=Z∞Zlogχlogχ-x（ey+x- χ） （例如- 1） p*（dy）ν（dx）≤Z∞Zlogχlogχ-xχ（ex- 1） p*（dy）ν（dx）（3.7）≤ χp*((-∞, logχ]）C+。（3.8）从（3.5）、（3.6）和（3.8）中，我们可以得出| LRM（χ）- （χ） |≤σ+C{|χp*（[对数χ，∞))C-| + |J |}（3.9）≤χσ+Cp*（[对数χ，∞))C-+ p*((-∞, logχ]）C+=χC-σ+C+χp*((-∞, logχ]）σ+C（C+- C-) .这就完成了定理3.1的证明。接下来，我们给出| LRM（χ）的第二个估计- （χ） |对于大χ。定理3.2假设∞|φT-t（v- 2i）| 1+vdv<∞. （3.10）则存在一个常数C>0，使得| LRM（χ）- （χ） |≤Cχ（3.11）表示任何χ∈ R+。因此，|LRM（χ）- （χ） |≤ O（χ）为χ→ ∞.证据我们使用（3.9）显示（3.11）。为此，我们估计p*（[对数χ，∞)) 和J分开。为了估算p*（[对数χ，∞)), 我们定义了一个函数bgasbg（z）：=ZReizx[对数χ，∞)（x） dx=-eiz logχiz代表z∈ C、 这意味着P*（[对数χ，∞)) =Z∞-∞[对数χ，∞)（x） p*（dx）=πZ∞bg公司(-v+iα）φT-t（v- iα）dv=πZ∞χ-α-ivα+ivφT-t（v- iα）dv，（3.12），其中α∈ （1，2），（3.12）的值与α的选择无关。请注意，（3.12）的第二个等式来自于[1]中的（2.17）。我们可以选择α=2而不丧失一般性。

因此我们有*（[对数χ，∞)) =πZ∞χ-2.-iv2+ivφT-t（v- 2i）dv≤πχZ∞|χ-iv | |φT-t（v- 2i）| | 2+iv | dv=πχZ∞|φT-t（v- 2i）| 1+v1+v2+ivdv。表示f（v）：=1+v2+iv=1+v√4+v电压≥ 0，我们可以看到1+v√4+v≤√对于任何v≥ 0.从（3.10），wehavep*（[对数χ，∞)) ≤√2πχZ∞|φT-t（v- 2i）| 1+vdv<∞. （3.13）接下来我们检查Jpart。（3.7）暗示≤Z∞Zlogχlogχ-xχ（ex- 1） p*（dy）ν（dx）≤ χZ∞p*（[对数χ- x，∞))（例如- 1） ν（dx）。以与上述p估算相同的方式*（[对数χ，∞)), 我们估计p*（[对数χ- x，∞)) 使用（3.12）。用logχ替换logχ- 用2代替α，我们得到*（[对数χ- x，∞)) =πZ∞χ-2.-ive（2+iv）x2+ivφT-t（v- 2i）dv。因此我们有J≤ χZ∞p*（[对数χ- x，∞))（例如- 1） ν（dx）=χπZ∞Z∞χ-2.-ive（2+iv）x2+ivφT-t（v- 2i）（ex- 1） dvν（dx）≤πχZ∞Z∞χ-IVIVX2+ivφT-t（v- 2i）e2x（ex- 1） dvν（dx）≤√2πχZ∞|φT-t（v- 2i）| 1+vdvZ∞e2x（ex- 1） ν（dx）。（3.14）注意到（3.10），andR∞e2x（ex- 1） ν（dx）<∞ 根据假设2.1，我们得到| J |<∞.从（3.9）、（3.13）和（3.14）中，我们得到| LRM（χ）- （χ） |≤√2π（σ+C）χZ∞|φT-t（v- 2i）| 1+vdv×C-+Z∞e2x（ex- 1） ν（dx）.备注3.3对于σ=0的情况，条件（3.10）不一定满足，尽管σ>0时，条件（3.10）仍然成立。因此，[1]中命题2.1的证明包含一个错误。另一方面，[1]只处理Merton和VG模型，我们可以看到这两种模型的（3.10），因为对于Merton模型σ>0，而对于VG模型，[1]中的命题4.7。4数值结果在本节中，我们对两种典型的指数L'evy模型，即已知的asMerton模型和VG模型进行了数值实验。我们在第3节中获得了两个差异| LRM（χ）的估计值-（χ） |，当χ趋于0或∞. 另一方面，从实践的角度来看，我们对围绕“金钱”的差异行为感兴趣。

为了研究它，我们计算定理3中（3.4）右侧的值作为上估计，并将其与差值的值进行比较。请注意，本节中开发的数值格式基于[1]的结果。4.1默顿跳跃扩散模型考虑了L=log（S/S）被视为默顿跳跃扩散过程的情况，该过程由波动率σ>0的扩散分量和三个参数m的复合泊松跳跃组成∈ R、 δ>0，γ>0。注意，γ表示跳跃强度，跳跃的大小以平均值m和方差δ正态分布。因此，其L'evy度量ν由ν（dx）=γ给出√2πδexp-（十）- m） 2δdx。请注意，假设2.1的第一个条件满足任何m∈ R、 δ>0，γ>0。因此，我们只考虑满足假设2.1第二个条件的参数集。φT的一种解析形式-【1】第3.1条中给出了TWA。我们用FFT计算定理3中（3.4）的右侧。注意，常数C-如下所示：C-= γe2（δ+m）Φ-2δ+mδ- 2eδ+2mΦ-δ+mδ+ Φ-mδ,其中Φ是标准正态累积分布函数。此外，p*((-∞, logχ）用FFT计算如下：p*((-∞, logχ]=1-πZ∞χ-α-ivφT-t（v- iα）α+ivdv。4.2方差gamma模型下一步，我们考虑L作为方差gamma过程给出的情况，其中三个参数κ>0，m∈ R、 δ>0，定义为具有波动率δ、漂移m和隶属度Gt的时变布朗运动，其中Gt是一个具有参数（1/κ，1/κ）的伽马过程。总之，L代表t=mGt+δbgtf∈ [0，T]，其中B是一维标准布朗运动。

此外，L的L'evy度量由ν（dx）=C（1{x<0}e给出-G | x |+1{x>0}e-M | x |）dx | x |，其中c：=κ>0，G：=δrm+2δκ+Mδ>0，M：=δrm+2δκ-mδ>0。此外，我们假设M>4，这确保了假设2.1的第一个条件。φT的一种解析形式-【1】第4.5条中给出了TWA。为了计算（3.4）的右侧，我们显式地计算常数C+和C+，如下所示：C+=C log（M）- 1） M（M- （2）和C-= C日志（G+1）G（G+2）.与默顿模型相同，p*((-∞, logχ）用FFT计算如下：p*((-∞, logχ]=1-πZ∞χ-α-ivφT-t（v- iα）α+ivdv。4.3数值方法、数据和结果我们根据标准普尔500指数上的一组欧洲看涨期权校准模型的参数集。请注意，模型价格定义为MMM P下的预期值*. 该数据集包括2016年4月20日市场收盘时的81个中间价。当天，标准普尔500指数收于2102.4点。市场价格包括七个到期日，分别为2016年5月20日、2016年6月17日、2016年7月15日、2016年9月16日、2016年12月16日、2017年1月20日和2017年3月17日。我们根据该数据集校准了Mertonand VG模型。我们计算了市场和模型价格之间的均方根误差（RMSE）。该统计数据是对fit质量的衡量。我们通过SQP方法最小化RMSE来估计模型参数集。我们提供了Merton和a VG模型的校准结果。梅顿情况下的估计参数集为u=4.0073，σ=0.0435，γ=0.0054，m=-0.0697，δ=0.0889。在此参数集下，RMSE为3.7809。上述估计参数集满足假设2.1的第二个条件。我们分别设置T=1、T=0.95和St=2102.4。在图1（a）中，LRM（χ）和（χ） 分别绘制K=1900、1950、…、，2500（χ=0.9037，0.9275，···，1.1891）。