巨灾债券和其他长期债券的加载定价，

F¨ollmer和Sondermann（1986）（在F¨ollmer和Schweizer（1989）、Schweizer（1991、2000）和M¨oller（2001）中进一步发展）的经典风险最小化方法，通过在假设的最小等效鞅测度下使用二次准则最小化贴现损益过程的影响。在这种假设的风险中性概率度量下，产生的贴现损益过程形成了一个与贴现交易财富正交的局部鞅。这种定价和套期保值方法要求respectiveRadon Nikodym衍生品，即基准储蓄账户，是真正的鞅。这是一个强有力的假设，被质疑为不现实；参见Baldeauxet等人（2015）、Platen和Heath（2006）以及Fergusson和Platen（2014）。此外，它需要二阶矩特性，不容易实现；见Heath等人（2001年）。为了克服这些缺点，Du和Platen（2016）提出了基准风险最小化的概念，这为不完全可复制的索赔产生了理论上可能的最低价格，其中，在现实世界的概率度量下，基准盈亏是一个局部鞅，与基准交易财富正交。当满足经典的风险中性消费时，它恢复了在最小等价可分配测度下获得的风险中性价格；见Schweizer（2000）。然而，与经典的风险最小化不同；参见M¨oller（2001），由此产生的对冲策略考虑了基准或有权益中不可对冲部分的不断变化的信息。现实世界的定价也可以通过效用差异定价获得，如Platen和Heath（2006）第12章所示。正如Du和Platen（2016）所述，真实世界的价格为可能的价格提供了一个下限。

一旦确定并建模了NP和基准未定权益，即可对其进行评估。保险公司需要控制破产概率，并且必须满足监管资本要求。市场价格中包含的风险溢价在文献中被称为安全、安保或应急负荷；参见例如B¨uhlmann（1970）、B¨uhlmann（19841985）、Christensen和Schmidli（2000）、Lane（2000）、B¨uhlmann和Gisler（2005）以及Buchwalder等人（2007）。这些是保险人管理破产风险的必要负担。很难提出一个理论上一致的定价概念，该概念将有助于以系统的方式累积储量，而不会对特定产品定价过高。此外，已经存在广泛的价格，可用于对冲部分保险类型合同或为类似类型合同定价的工具。最后，提出“市场一致性”估值概念是一个挑战，它需要从理论上可能的最低价格的角度考虑负载程度，以避免发行人破产。本论文对文献做出了以下贡献：它指出，对于不完全可复制的未定权益，理论上可以有广泛的定价规则，而不会产生任何有经济意义的套利。使用基准法，确定理论上可能的最低价格（以下简称“最低价格”）以及正式获得的风险中性价格（以下简称“风险中性价格”）。使用负荷度的新概念，它以与NP和其他市场价格一致的方式将这两种价格结合起来。

然后，市场可以通过选择各自的加载程度过程自由形成一个加载价格。我们将表明，加载程度过程需要具有某些属性，但可以反映出应对最近灾难或市场低迷的行为效应。当在基准风险最小化的情况下进行定价和套期保值时，对于给定的未定权益，负荷程度必须随时间保持不变。从建模角度来看，这是一个重要的见解，暗示理想情况下负载度只有轻微变化，而随机负载度会在市场中引入额外的不确定性。它还提供了对拟议装载定价概念分支的直观理解。虽然我们在长期CAT债券定价和对冲的背景下激励和说明了拟议的加载定价，但我们强调，这种市场一致性估值方法适用于保险、养老基金、财务规划和金融领域的许多其他意外事件。基准方法简介我们在过滤概率空间上建立了一个半鞅市场模型(Ohm, F、 F，P），过滤系数F=（Ft）t≥0，满足通常条件。我们经常使用的一个中心概念是局部鞅；见Protter（2005）。直觉上，可以说在一个极小的时间段内，局部鞅的当前值是对其瞬时未来值的最佳预测。局部鞅的一个特例是鞅，其中其当前值是其所有未来值的最佳预测值。显然，局部鞅和鞅过程依赖于潜在的概率测度P和通过Ft，t建模的时间t的可用信息∈ [0，∞).

我们对基准法作出以下关键假设：；参见Platen和Heath（2006）以及Du和Platen（2016）：假设1：存在一个自我融资的严格正投资组合，称为num'eraireportfolio（NP），其特点是，它使所有交易证券的自我融资投资组合，包括红利股、储蓄账户和衍生品、当地鞅，当这些都是基准时，即。，以NP为单位。这使我们进入了基准法的一般建模世界，我们将NPA称为基准，并将以基准单位计价的价格称为基准价格。假设1是一个非常弱的条件。在假设NP存在的一般半鞅市场环境中，Christensen和Larsen（2007）表明，所有基准、自我融资投资组合都是局部鞅。在假设1中，我们还假设NP的存在，这意味着它在任何时间都有一定的值，并且不会爆炸。这种爆炸性增长必须被解释为存在一些具有经济意义的套利行为。如Platen和Heath（2006）所示，NP是严格正投资组合，从长期来看，其表现几乎肯定优于所有其他严格正投资组合。在经典的风险中性、无套利定价假设和完整的市场环境下，Long（1990）首次发现，通过使用NP作为数字，基准证券和基准风险中性衍生产品价格成为现实世界概率测度P下的鞅。在我们更广阔的建模世界中，我们允许基准价格形成局部鞅。因此，我们可以对可能不是真鞅的基准价格和证券进行建模。这为风险管理策略利用新现象提供了可能性。

正如我们稍后将解释的那样，这可能会使长期金融合同（如CAT债券）的价格低于目前经典假设下的价格。请注意，市场参与者可以在其投资组合中持有多头或空头证券。由于交易证券的基准值是局部鞅，因此市场参与者的基准总投资组合值也是局部鞅。这意味着所有这些值过程通过其基准值的局部鞅性质与NP一致。这也意味着，从长远来看，不存在任何允许构建一个优于NP的严格正投资组合的策略。特别是，它自动排除了具有经济意义的套利，因为可能存在一个严格正的投资组合，在有限的时间内爆炸式增长。这将我们引向第二个假设：假设2：如果向市场添加一个新的价格过程，那么这必须与现有的NP一致，因此其基准值是局部鞅。因此，扩展市场的NP与之前相同，新的价格过程与现有NP保持一致。我们将看到，假设2中新基准价格所需的上述局部鞅性质是一个自然条件。它还允许我们建立潜在新定价规则的属性。由法头引理；参见Protter（2005），非负局部鞅是超鞅。非负超鞅的当前值大于或等于其预期的未来值。

由于这是基准非负证券的一个基本属性，我们将其概括如下：推论1：基准非负价格过程是超级马丁格尔。对于有界停止时间τ∈ [0，∞), 我们称之为Fτ-可测量的非负支付bHτ时间τ基准或有权益ifE（bHτ）<∞.通过推论1，我们知道基准非负价格过程bRbHτ={bRbHτ（t），t∈ [0，τ]}评估基准或有类别τ时，必须是一个超鞅。这意味着brbhτ（t）≥ E（bRbHτ（s）| Ft）（1）表示0≤ t型≤ s≤ τ<∞. 在到期日τ的任何合理定价规则下，基准持续索赔是可观察的，并且等于其基准价格。根据Du和Platen（2016）中的Lemma11.1，在适当的时间τ与给定的非负Fτ重合的最小非负上鞅-可测随机变量bhτ是鞅bVbHτ={bVbHτ（t），t∈ [0，τ]}bvbhτ（τ）=bHτa.s。这导致我们得出以下结果：推论2：对于基准或有类别τ，在时间τ交付∈ [0，∞), 基准最低价格过程bvbhτ由实际定价公式bvbhτ（t）=E确定bHτ| Ft（2） 对于0≤ t型≤ τ<∞.最小价格为我们提供了与NP一致的价格过程的下界。Du和Platen（2016）表明，这是在竞争激烈的市场中出现的价格，金融机构消除了所有可对冲的不确定性，并在交易账簿中完全分散了所有不可对冲的风险，而不收取任何费用。上述下限的存在并不会迫使市场同意这一最低价格。为了避免发行公司破产，市场需要商定更高的价格。

稍后，我们将提出加载定价的新概念，在这一点上可以始终如一地做到。为了使我们能够系统地考虑定价和套期保值，我们在市场中引入了d∈ {2，3，…}具有非负值St、St、…、，Sdtat时间t∈ [0，∞), 以本国货币单位计价。这些可能包括流动股票和股息股票、给定货币的储蓄账户、衍生产品价格过程以及各种合同的交易价格过程。为方便起见，我们用本国货币的储蓄账户的时间t值表示，实际上，这近似于一个展期的短期债券账户。我们市场的核心组成部分是NP，我们用Ntat时间t表示∈ [0，∞) 并用作num'eraireor基准。然后，第j个主要安全帐户Sjt的基准值（即以Nt为单位的值）用BSJT=SJTNTF表示∈ [0，∞) 和j∈ {1，2，…，d}。因此，进程bs={bSt=（bSt，…，bSdt）>，t∈ [0，∞)}根据假设1，形成一个向量局部鞅。基准值Bδtat timet∈ [0，∞) 持有第j个主要证券账户δjtunits的投资组合，j∈ {1，2，…，d}，时间t由bsδt=dXj=1δjtbSjt=δ>tbSt给出。A策略δ={δt=（δt，δt，…，δdt）>，t∈ [0，∞)} 如果过程δ是可预测的，且其中一个过程δt=bSδ+Ztδ>sdbSs（3）表示t，则称为自融资∈ [0，∞). 假设（3）中的随机积分为向量It^o积分；参见Duand Platen（2016）。根据假设1和2，所有基准自我融资投资组合都是局部鞅。其价值的变化只是由于主要证券账户价值的变化，而不是战略的变化。让我们强调一下，在我们的基准框架中，我们的限制性假设比经典金融中的假设要少。

Delbaen和Schachermayer（1998）对后者进行了概括，以允许通过度量转换应用风险中性定价规则。在假设1和2中，我们只要求所有交易的和潜在的新证券都存在NP。在Karatzas和Kardaras（2007）中，半鞅市场得到了确保NP存在的必要和充分条件。NP在有限时间内所需的完整性是一个非常明确且具有经济意义的无套利条件。由于我们的工作超越了经典假设，这也意味着我们可以在我们的一般环境中对各种经典套利现象和形式进行建模，这些现象和形式迄今为止在经典方法中被排除在外。4、如Du和Platen（2016）所示，实际定价公式（2）引入了给定、潜在不完全可复制、基准或有类别τ的最低价格。我们已经强调，理论上可以选择范围广泛的价格过程，以使Claimbhτ的价格与NP一致。此外，我们需要预计，为了建立和维持资本储备，不完全可复制索赔的发行人将需要一些加载。这些准备金用于减少和管理发行人破产的可能性；见。g、 B¨uhlmann（1970）、B¨uhlmann（1984、1985）、Christensen和Schmidli（2000）、Lane（2000）和Buchwalder等人（2007）。对于某些合并负载的保险合同，其定价方法差异很大，通常不透明。我们的目标是至少推广正式应用的风险中性定价规则和上述现实世界定价规则。

风险中性定价在市场上得到广泛应用，而现实世界的定价提供了一个客观的最低价格。根据假设2，我们假设我们有一个非负的基准连续claimbHτ的定价规则，该规则在时间t产生一个价格RbHτ（t），当基准和表示为RbHτ（t）=RbHτ（t）/Nt时，形成一个局部鞅。理论上，对于时间t时高于最低价格VbHτ（t）的给定未定权益，一系列价格是可能的。根据推论2，BVbhτ（t）=VbHτ（t）/ntf这一事实形成了提供基准未定权益的最小可能上鞅，从而得出以下结果：推论3：对于非负，满足假设2的基准或有类别τ及其最小价格VbHτ（t）和价格RbHτ（t）由不等式VbHτ（t）关联≤ 所有t的RbHτ（t）∈ [0，τ]。这种不平等表明，如果两个价格不相等，那么就有可能形成一个从最小价格VbHτ（t）到更昂贵价格RbHτ（t）的装载价格族。目前，市场上许多短期可对冲债权的价格很可能是通过使用经典的风险中性定价确定的。为了承认这一事实，我们将RbHτ（t）设置为风险中性价格，这将在下一节中具体说明。现在，对于一个非负的、基准化的偶然事件，我们引入一个非负的、可预测的加载程度过程LbHτ={LbHτt，t∈ [0，τ]}这是一个半鞅，左连续右极限。我们形成时间t的装货价格BbHτ（t）∈ [0，τ]通过方程式bbhτ（t）=LbHτtRbHτ（t）+（1- LbHτt）VbHτ（t）。（4） 通过推论3，我们直接得出以下结论：推论4：对于非负、基准或有类别τ和加载程度过程lbhτ，加载价格BbHτ（t）满足不等式vbhτ（t）≤ t的BbHτ（t）∈ [0，τ]。回想一下，VbHτ（t）是最低价格。

从（4）中，我们通过公式lbhτt=BbHτ（t）从（潜在交易的）装载价格、最小价格和风险中性价格中获得装载程度- VbHτ（t）RbHτ（t）- t的VbHτ（t）（5）∈ [0，τ]，只要RbHτ（t）>VbHτ（t）。假设我们有一个提供最小风险中性价格的模型，这使得负荷程度可以观察到。当RbHτ（t）=VbHτ（t）时，我们在（5）中设置LbHτt=1。我们可以在（4）asbBbHτ（t）=LbHτtbRbHτ（t）+（1）中重写基准装载价格- LbHτt）bVbHτ（t）=bVbHτ（t）+LbHτt（bRbHτ（t）-bVbHτ（t））。（6） 为了满足假设2，仅注意brbhτ和bvbhτ是局部鞅是不够的。我们还需要bbbhτ来形成局部鞅。为了促进这一点，以下正交性概念；参见Du和Platen（2016），Will be important：如果两个局部鞅的乘积形成局部鞅，则称其为正交。由于（6）中的bvbhτ是局部鞅，且局部鞅之和本身就是局部鞅，因此这里我们要求乘积LbHτt（bRbHτ（t））-bVbHτ（t））形成一个局部鞅。通过使用上述正交性的概念，我们直接得到以下结果：推论5：对于给定的基准或有claimbHτ，如果相应的负荷度LbHτt形成一个局部鞅，则基准负荷价格过程bbbhτ是一个局部鞅，正交tobRbHτ（t）-bVbHτ（t）。请注意，这一结果相当普遍，使得装载定价的概念非常容易理解。只需检查局部鞅条件，即给定模型下相应随机微分方程中的零漂移。最简单的加载度过程应该是一个常数过程。