巨灾债券和其他长期债券的加载定价，

我们稍后将看到，恒定的负荷程度与风险最小化方面的某种最佳选择相一致，因为它避免了通过市场负荷程度引入额外的不确定性来源。一般来说，LbHτt不必是常数，根据推论5，它是一个局部鞅，其影响（由于正交性）与RbHτ（t）非常不同- VbHτ（t）。这意味着这种流动性负荷程度为市场增加了一个新的不确定性来源，这可以解释为通过供需或行为特征等发现市场价格而产生的不确定性。我们注意到，使用加载定价的概念对长期或有权益进行定价有很大的自由度。这种灵活性在经典方法下是不可用的，而经典方法的效果将加载程度设置为1。稍后，我们将看到，可以将加载程度设置为值小于1的过程，从而形成一种与市场一致的估价形式，允许较低的合同价格。当然，加载度过程也可以大于1，但不能小于零。5、正式获得的风险中性价格在我们的基准方法建模框架中，我们涵盖了一系列没有形成真正鞅的基准储蓄账户流程的模型。在这种情况下，当我们有一个完整的市场时，氡-尼科德姆导数∧Qt=bStbS=dQdP假定的风险中性概率测度Q的Ftof形成了严格的局部鞅，不存在等价的风险中性概率测度。

在这种情况下，人们无法应用经典理论为给定或有权益形成理论风险中性价格，因为违反了其关键假设，该假设允许从真实世界概率测度P变为等价的K中性概率测度Q。在缺乏等效的风险中性概率测度的情况下，人们仍然可以正式形成风险中性价格，这似乎在现实中得到了广泛的应用。现在，我们将描述在满足假设1和2的一般不完全市场中，我们如何在基准方法下正常获得风险中性价格。首先，在给定的P下的真实市场模型中，将可变风险中性测度的Radon-Nikodym导数设置为∧Qt=BStbs，用于t∈ [0，∞). 这提供了一个度量Q下的模型。其次，将Q解释为概率度量，即使它很可能不是给定现实模型下的概率度量。当写下风险中性模型动力学并假设其风险中性度量是等效的概率度量时，这一步骤被广泛采用，而没有在真实世界概率度量下制定相应的模型。这意味着模型的Radon-Nikodym导数被正式假定为真正的鞅，尽管情况很可能并非如此，因为现实的市场模型可能会使基准储蓄账户的鞅属性失效，如Baldeaux et al.（2015）所示。第三，在不检查∧qf是否构成鞅的情况下，我们在q所描述的风险中性模型下正式地取期望值，并用等式（·）表示这些期望值。

这导致我们得出给定非负性基准或有类别τ的风险中性价格，通过风险中性定价公式RBHτ（t）=StEQbHτbSτ英尺！=StEQ公司HτSτ英尺（7） 对于t∈ [0，τ]Hτ=bHτNτ，假设（7）的右侧是有限的。通过应用贝叶斯规则，很容易证明，如果∧qt是一个鞅，那么基准风险中性价格brbhτ（t）=RbHτ（t）/nt将形成一个真正的鞅，并且将与（2）中给出的基准现实世界价格bvbhτ（t）一致。然而，一般来说，bRbHτ（t）只形成一个局部鞅；参见假设2，因此，通过Fatou引理，它形成了一个满足（1）的Permartingale。作为风险中性定价的一个方便例证，考虑一种零息票债券，到期时支付储蓄账户的一个单位∈ （0，∞), i、 e.HT=标准BHT=ST/NT=bST。然后，通过（7），该债券的风险中性价格等于RbST（t）=ST，即储蓄账户的一个单位。显然，这种风险中性价格的非负基准值是BRBST（t）=bSt，（8），这形成了一个局部鞅，因此是一个超鞅，其中不等式（1）是满足的。根据推论3，我们知道各自（理论上可能）的最小零息票债券价格VbST（t）满足（2）和不等式VbST（t）≤ RbST（t）=t的St（9）∈ [0，T]。由于（2），其基准值bvbst（t）=VbST（t）/ntf形成了一个真正的鞅，而bRbST（t）形成了一个具有相同支付bHT=bsat到期t的超级鞅。为了将我们的讨论与CAT债券的定价联系起来，现在让我们考虑固定到期日T的风格化CAT债券的支付，其中（储蓄账户）贴现支付额HT=HT/ST=bHT/BST被假设为独立于基准储蓄账户价值BST，这可以被解释为独立于金融市场。

这意味着其在Q下的预期贴现值被假定为等于P下的预期贴现值，即EQ（HT | Ft）=e（HT | Ft）。最重要的是，尽管∧q可能不是真鞅，但在获得形式风险中性价格时，∧q被视为真鞅，即∧QT∧QT英尺被视为等于1。然后通过方程（7），并将∧Qas处理为真鞅，我们得出相应的风险中性价格为rbhτ（t）=StEQ（HT | Ft）=StE∧QT∧qttt英尺！=StE∧QT∧QT英尺！E（HT | Ft）=StE（HT | Ft）。另一方面，最小价格由公式（2）得出，asVbHτ（t）=NtE（HTbST | Ft）=NtE（bST | Ft）E（HT | Ft）=VbST（t）E（HT | Ft）。这导致我们得出以下结果：推论6：对于（储蓄账户）贴现或有债权，HT=HT/ST=bHT/bST，在固定到期日T交付，独立于基准储蓄账户价值bST，风险中性价格和最低价格的比率等于（储蓄账户）贴现的倒数，零息债券的最低价格，到期时支付一个单位的储蓄账户，即RbHT（t）VbHT（t）=VbST（t）St！-1=t的VbST（t）（10）∈ [0，T]。那么，无论风险中性CAT债券具有何种独立的贴现收益，其风险中性价格与最低价格的比率始终由（10）决定，而不取决于贴现收益的具体情况。在这种情况下，我们在风险中性和最低价格之间具有特定的比例。6、最小市场模型下的真实世界和风险中性价格为了证明等式（10）中风险中性价格与最小价格的潜在比率，并说明负荷敏感定价的工作原理，我们引入了Platen（2001）的最小市场模型（MMM）；另见Platen and Heath（2006）第13章。

MMM使我们能够对NP的现实、长期动态进行建模，其中基准储蓄账户变成了严格的超级鞅，而不是真正的鞅。在MMM下，用Nt=Nt/St=1/bSt表示的贴现NP满足t的随机微分方程（SDE）dNt=αtdt+pαtNtdWt（11∈ [0，∞), 初始值N>0，其中W={Wt，t∈ [0，∞)} 是标准的布朗运动。这里，αt表示t的时间αt=αexp{ηt}（12）的指数函数∈ [0，∞), 初始值α>0，净增长率η>0。根据SDE（11）和It^o公式，我们可以推断基准储蓄账户BST=1/NTS满足SDEdbSt=-√αt英国夏令时t的DWT≥ 该SDE是无漂移的，根据假设1的要求，确认基准储蓄账户是本地鞅。因为我们可以证明NTI是一个经过时间变换的四维平方贝塞尔过程；参见Revuz和Yor（1999），它是一个严格的局部鞅，我们得到了期望的ebstbst英尺！=ENtNT英尺= 1.- 经验值-Nt（ρT- ρt）, （13） 式中，ρt=α4η（exp{ηt}- 1） （14）对于t∈ [0，∞); 有关推导（13），请参见Platen and Heath（2006）中的第8.7节。由于（13）的右端小于t<t的右端，基准储蓄账户显然不是真正的鞅，而只是严格的局部鞅。根据Fatou引理，这使得非负的基准储蓄账户过程成为严格的超级过程。因此，假定的风险中性度量Q的拉东-尼科德姆导数∧Qt=bSt/bSt也是一个严格的超鞅，因此，经典的风险中性定价理论不适用。然而，如第5节所述，我们仍然可以正式计算给定基准未定权益（2）的风险中性价格。此外，我们有最低的价格，以及装载价格原谅装载程度。

所有这些价格都是可能的，因为它们的基准价格是局部鞅，而长期表现最好的投资组合是NP。该NP在有限时间内仍然是有限的，因此，该模型不允许任何具有经济意义的套利。研究表明，MMM是股票市场NP的一个合理的现实模型；参见例如Fergusson和Platen（2014）。（11）中NP的波动率σt=pαt/nto以一种自然的方式模拟了股票指数的杠杆效应。MMM的一些关键特性支持真实的长期建模；如Baldeaux等人（2015）所述。此外，Platen和Heath（2006年）以及Platen和Rendek（2012年）都表明，股票市场的NP可以通过多样化的股票指数渐近近似。这意味着一个多样化、市值加权的股票指数可以被解释为NP的代理，其动态由MMM建模。作为加载定价的一个方便说明，考虑（8）和（9）中的零息票债券，该债券在到期时支付储蓄账户的一个单位∈ （0，∞), i、 e.HT=bHT/bST=1。真实世界定价公式（2）允许我们计算时间t<t时的（储蓄账户）贴现最小零耦合债券价格VbST（t），即forbHT=ST/NT=bST，viaVbST（t）=EbSTbStFt！。（15） 通过（13）和（15），我们得到表达式Vbst（t）=1- 经验值-Nt（ρT- ρt）. （16） （8）各（储蓄账户）贴现后，风险中性价格如下表RBST（t）=1。则RbST（t）=St表示风险中性的零息票债券价格，而VbST（t）=VbST（t）RbST（t）=VbST（t）St=St1.- 经验值-Nt（ρT- ρt）（17） 最低零息票债券价格。请注意，由于RbSTand VbST中的储蓄账户到期付款，即。

HT=1，无需对利率进行建模，这在本示例中简化了我们的建模和计算。同样，处理更复杂的突发事件没有任何障碍。在MMM下，方程式（16）确定了贴现的最小零息票债券价格VbST（t）比贴现的风险中性价格RbST（t）=1的0小多少≤ t<t<∞.（10）中的比率RbHτ（t）/VbHτ（t）不仅决定了风险中性零息票债券价格相对于最小零息票债券价格的价格，而且还通过图1：贴现标准普尔500指数的对数来确定。推论6，该比率对于所有确定到期日为T且与ST无关的未定权益是相同的。这也涵盖了风格化猫债券的情况，我们稍后将对此进行演示。现在，让我们为MMM设想一下我们在选择标准普尔500指数作为NP代理指数时的一些发现。我们使用的是1926年至2015年期间的月度数据，根据全球金融数据重新构建，并在图1中显示了储蓄账户的对数，即贴现和P500，我们从1926年1月开始计算，其值为10.0。我们按照Platen and Heath（2006）第13章所述的方式确定MMM的参数。为此，我们注意到，根据It^o公式和（11），贴现NP满足度的平方根等于SDEdpNt=αtpNtdt+√αtdWt。因此，通过（12）和（14），由hpn·it=Ztαsds=α4η（exp{ηt}给出的NTI的二次变化- 1） =t的ρt（18）∈ [0，∞). 这意味着我们观察到一个数量ρtvia的估计值，即pn·it的二次变化，其中净增长率η为关键参数，α为一些初始参数。在图2中，我们显示了观测到的二次变量hpn·Itan，通过（18），理论计算的ρt。

量η和α已通过ρt的最小二乘回归拟合，得出参数估计η=0.052和α=0.18。关键结构参数是净增长率η，它具有明确的经济意义，可以解释为贴现NP的长期平均增长率。在我们的例子中，我们使用标准普尔500指数作为NP的代表，η表示长期估计值，图2：NTP的二次变化与ρt。美国经济的平均净增长率，这意味着其增长率高于美国利率。我们现在有了将MMM应用于标准普尔500指数的可用历史数据集所需的参数。最有趣的是零耦合债券的风险中性价格与各自最低价格的比率，如（10）所述。在图3中，我们将此比率显示为成熟时间的函数（T- t） ，其中，我们将到期日固定为2015年1月时间序列的最终日期。根据推论6，这也是风险中性价格与或有债权各自最低价格的比率，当其贴现价值独立于基准储蓄账户（包括风格化CAT债券）时。有人指出，在大约30年的到期时间内，风险中性价格大约是最低价格的两倍。重要的是要注意，对于最长10年的到期日，各自的最低和风险中性价格之间没有太大差异。这反映了一个事实，即基准储蓄账户作为一个局部鞅，在短期内的行为类似于阿马丁格尔。如果要为NP采用比标准普尔500指数表现更好的代理，例如：。

Platen和Rendek（2012）中所述的净增长率η更高，因此最小和风险中性价格之间的差异更大。为了进一步说明加载定价，现在让我们研究一个程式化的猫债券。Let，HT={ξ∈[0，T]}≥ 如果在toT之前的某个停止时间ξ>0发生了特定灾难，则0是到期时储蓄账户一个单位的约定贴现付款。合同的开始时间为t=0，我们假设灾难发生的时间ξ与基准储蓄账户价值Bst无关。这就产生了基准回报图3：azero息票债券的（正式获得的）风险中性价格与（理论上可能的）最低价格的比率，作为固定到期时间的函数。bHT=HTbST={ξ∈[0，T]}b和相应的条件期望E（bHT | Ft）=E（{ξ∈[0，T]}| Ft）E（bST | Ft）=HtbVbST（T），（19），其中真实世界条件期望（条件概率）Ht=E（{ξ∈[0，T]}Ft）=P（ξ∈ [0，T]| Ft）形成鞅。对于在时间T向储蓄账户支付一个单位的程式化CAT债券，如果被保险的灾难发生在时间T之前的某个时间ξ，或者没有其他情况，则各自的最低价格为，乘以（2）、（16）和（19）的形式Vbht（T）=NtE（bHT | Ft）=HtVbST（T）=HtSt1.- 经验值-Nt（ρT- ρt）. （20） 这意味着程式化CAT债券的最低价格等于灾难发生在T之前的条件概率与最低债券价格的乘积。根据推论6，对于t，相应的风险中性价格的形式为RBHT（t）=HtSt（21∈ [0，T]。

这意味着RbHT（t）等于上述条件概率与储蓄账户价值的乘积，后者代表风险中性债券价格。对于给定的加载度LbHT={LbHTt，t∈ [0，T]}，我们从（4）、（20）和（21）得到各自的装载价格，asBbHT（T）=HtSt1.- （1）- LbHTt）经验-Nt（ρT- ρt）在时间t∈ [0，T）。注意到支付ST{ξ∈[0，T]}由loadingprice流程BbHT在到期日T交付，其价格始终大于或等于最低价格。程式化CAT债券的加载价格的一个简单例子是恒定加载度LbHtt=LbHT。更一般而言，负荷程度可以是，例如，一个局部鞅，独立于事件时间ξ和基准储蓄账户。然后，这个局部鞅可以模拟市场对适当的CAT债券价格的持续搜索。这种搜索很可能是由发行人之间的竞争以及供求关系推动的。非常重要的一点是，合同或衍生品的价格可能涉及一个新的、独立的不确定性来源，即负荷程度的潜在随机性。显然，这种潜在的不确定性甚至可以适用于完全可复制的未定权益。这表明，在基准方法下，可能的价格形成具有很大的灵活性，不会产生任何经济意义上的套利。通过竞争和供需，人们可能会预期类似合同的市场价格具有相似的负荷程度。通过从一系列保险合同的市场价格中提取相应的典型负荷程度，可以使用该估计的典型负荷程度以市场一致的方式对与现有合同相似的新合同进行估价。