随机自动伴随微分与金融

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英文标题：
《Remarks on stochastic automatic adjoint differentiation and financial
  models calibration》
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作者：
Dmitri Goloubentsev, Evgeny Lakshtanov
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this work, we discuss the Automatic Adjoint Differentiation (AAD) for functions of the form $G=\\frac{1}{2}\\sum_1^m (Ey_i-C_i)^2$, which often appear in the calibration of stochastic models. { We demonstrate that it allows a perfect SIMD\\footnote{Single Input Multiple Data} parallelization and provide its relative computational cost. In addition we demonstrate that this theoretical result is in concordance with numeric experiments.}
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中文摘要：
在这项工作中，我们讨论了形式为$G=\\ frac{1}{2}\\ sum\\u 1 ^ m（Ey\\u i-C\\u i）^ 2$的函数的自动伴随微分（AAD），这通常出现在随机模型的校准中。{我们证明它允许完美的SIMD脚注{单输入多数据}并行化，并提供其相对计算成本。此外，我们还证明了这个理论结果与数值实验是一致的
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Remarks_on_stochastic_automatic_adjoint_differentiation_and_financial_models_cal.pdf (105.15 KB)

2022-6-11 10:05:10 上传

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关键词：Quantitative Applications Computation calibration concordance

关于梯度下降和模型校准的自动伴随微分的备注Dmitri Goloubentsev*, Evgeny Lakshtanov+在这项工作中，我们讨论了G=Pm（Eyi）形式函数的自动伴随微分（AAD- Ci），这通常出现在随机模型的校准中。我们证明了它允许一个完美的SIMDparallelization，并提供了它的相对计算成本。此外，我们还证明了这一理论结果与数值实验是一致的。关键词：自动伴随差分、自动矢量化、单指令多数据、AAD编译器自动伴随差分（AAD）是一个快速增长的领域，有着广泛的应用，包括图像恢复[5]、计算机视觉[9]和机器学习，参见例[2]、[10]。在AutoDiff社区的网站上可以找到一长串的AD应用程序，请参见[1]。对于额外阅读，可以提及安托万·萨文（Antoine Savine）[12]的专著、卡普里奥蒂（L.Capriotti）[4]的文章以及其他作者（如[13]、[14]）。由于以下特性，AAD已成为应用中广泛使用的工具：如果有一个函数f的algor it hm:Rnx→ Rmy，thenAAD映射每个λ∈ Rmto的线性组合如果λ ·f（x）xi，i=1。n(1)*英国伦敦MathLogic有限公司。，dmitri@matlogica.com+CIDMA，阿维罗大学数学系，阿维罗3810-193，英国伦敦Portugaland MathLogic有限公司。，lakshtanov@ma特洛吉卡。comSingle Input Multiple Data计算成本不超过f，f通常在2到10之间（取决于使用的特定AAD工具）。并行计算的使用自然出现在期望值的计算中，因为它假设了一个整数的大量独立计算。

假设需要计算Dxy，首先确定Dxy的算法，然后使用并行计算确定平均值。从这个角度来看，广告应该避免不同的期望。然而，在伴随AD的情况下，这种方法是强制性的。重点是伴随微分算法不是局部的（例如[4]），也就是说，它需要分析f的整个算法，因此期望的微分比求导数的期望需要更多的内存。一些重要的问题涉及将期望作为中间操作的计算。如何使用和避免期望的差异，这不是一个无关紧要的问题。在最近的一篇文章[7]中，Friess提出了解决这个问题的一般方法（见附录）。然而，Fries并没有对所提出的算法的计算成本进行准确的分析。这项工作对以下简单但重要的例子进行了逐步计算。考虑G=mX（Eyi）类型的函数- Ci），（2）其中yi是过滤概率空间上的随机变量(Ohm, Q、 {Ft}）和C是一些给定的目标条件，i=1。n、 假设我们有一个正向算法：RM+n→ Rmy，它在随机过程的时间离散化框架内，为给定的一组M参数和N个独立的M变量计算Yi。我们假设AAD工具提供算法R（所谓的“反向”算法，例如[4]），该算法计算导数的完整集合（1）。我们还假设AAD工具生成并行版本FvandRv。这意味着Fv（或Rv）为cit提供F（或R）的执行，只有在取消F后才能应用。独立的输入数据集。例如，对于安装到Intel AVX512体系结构的AAD工具，c的自然值为isc=8×个内核。

（3） 值得注意的是，（3）中的第一个因子等于美国所有已知的C++AAD工具中的1。我们认为操作F→ FV和F→ RVA是一种简单的并行计算方法，我们有兴趣检查是否有有效使用此工具的方法。修正系数s KFand kr通过以下表达式定义：成本（Fv）=KFcCost（F），成本（Rv）=KRcCost（F）（4），它们反映了AAD工具的质量。理想情况下，KF=1，但在实践中，不同的软件优化和不同的硬件规格永远无法使其完美。一个原因是，F的可执行版本是在所有编译器的优化功能都已打开的情况下生成的，包括abilitySIMD矢量化。关于蒙特卡罗模拟的一些评论。我们有一个大概的预测~Pathsnumberof PathsXk=1y（ωk），其中集合{ωi}包含给定随机过程的蒙特卡罗模拟，每个ω是随机变量序列的模拟样本路径。假设图纸重新Q统一。特别是，集合{Eyi，i=1，…，m}的独立评估成本是成本（{Ey}）=KFc×路径数×成本（F）。（5） G梯度的计算（在（2）中介绍）。对于任何参数xjj，我们都可以得到Gxj=EmXi=1（Eyi- Ci）易xj！，j=1，M、 它导致以下算法：1。计算Eyiusing Fv。此计算的成本由（5）给出。2、固定路径ω。对于分量为λi=Eyi的向量λ，使用公式（1）- Ciwe获得集合（mXi=1（Eyi- Ci）yi（ω）xj，j=1。M） 对于c路径，它的成本为（KF+KR）成本（F），因为对于每个路径ω，反向算法只能在前向算法启动后执行，除非第一步的执行结果可以存储在内存F或每个ω中。如果内存使用不受限制，则成本为KRCost（F）3。路径ω上的求和。

为了计算此操作的成本，我们考虑到整数和应该是路径时间的计算数。综上所述，我们得出总成本（g）=2KF+KRc×路径数×成本（F）。（6） 对于C++，MathLogic LTD生产的AAD编译器可以重写为asCost（G）=2KF+KR8×核数×路径数×成本（F）。其中8反映了AVX512体系结构允许每个向量寄存器8个双倍。赫斯顿随机局部波动率模型校准测试。对于金融机构来说，模型校准是日常例行程序。尽管基于偏微分方程（PDE）的技术非常普遍，例如[6]、[11]，但由于该技术的简单性，实践者更经常使用直接数值模拟。考虑一个过程给出的赫斯顿SLV模型dSt=uStdt+√VtL（t，St）StdWSt，dVt=κ（θ- Vt）dt+ξ√VtdWVt，dWStdWvt=ρd t。我们的实现利用了标准的Euler离散化（如[8]中的3.4）和yi质量的欧洲选项，i=，m、 优化参数集由分段常数杠杆函数{L（ti，Sj）}（其中插值节点集{ti，Sj}是固定的）和五个标准赫斯顿模型参数值组成。我们应用了AADCbyMathLogic LTD，并观察到（4）中定义的系数Kfandkr的以下值。N、 Cores=1 KF/c KR/cCost（G）路径数×成本（F）AVX2 0.39 0.23 1.01AVX512 0.23 0.12 0.58在一个core上执行测试。当时间间隔和优化工具数量增加时，上述系数的值几乎保持不变。如上所述，在评估成本（F）时，所有优化参数（如矢量化）都已打开。结论我们考虑一种情况，即对于formG=Pm（Eyi- Ci）。

我们提出了一种两步算法，该算法可以得到估计值（6），从而提供了完美的SIMD并行化。该算法的数字实现是使用matlo gica的AAD编译器为Heston模型实现的。通用域名格式。给出的结果与（6）非常一致。附录预期后向自动差异算法如下【7】。考虑由一系列运算给出的标量函数y：y：=xN（7）xm：=fm（xτm，…，xτmim），1≤ m<N.（8），其中变量数imis 0，表示xmisan自变量或1≤ im<m。显然对于函数τmwe have1≤ τm<m。我们假设k-th算子是一个期望算子，其他算子为fm，m 6=k，由闭式给出。依次介绍matlogica开发的C++AAD工具。co mi。e、 它可以在一定数量的“知名”操作中进行评估，如维基百科https://en.wikipedia.org/wiki/Closed-formexpression详细定义初始化DN=1和Dm=0，m<N.o对于所有m=N，N- 1.1（向后迭代运算符列表）–对于所有j=τm1。。。，τmim（遍历参数列表）Dj=（Dj+Dmfm公司xj，m 6=k，Dj+EDm，m=k。然后，对于所有1≤ 我≤ 氖yxi=EDi。确认。E、 L.在UID/MAT/0416/2019项目中，部分由葡萄牙基金会通过CIDMA-数学与应用研究与发展中心和葡萄牙科学与技术基金会（“FCT-基金会-ao para a Ci^encia E a Tecnologia”）资助。参考文献【1】http://www.autodiff.org/?module=Applications[2] Baydin，Atilim Gunes，et al.（2018），《机器学习中的自动差异：一项调查》。《中国学习研究杂志》，18,1-43。[3] Bartholomew Biggs，M.、Brown，S.、Christianson，B.、Dixon，L.（2000）。自动区分算法。

《计算与应用数学杂志》，124（1-2），171-190。[4] Capriotti，L.（2011年）。通过算法差异来加快希腊人的速度。《计算金融杂志》，14（3），3。[5] Goossens，B.、Luong，H.、Philips，W.（2017年9月）。GASPACHO：一种使用近似alg算法的通用自动解算器，用于解决凸极大优化问题。《小波与稀疏性XVII》（第10394卷，第1039410页）。国际光学和光子学学会。[6] Cr'epey，S.（2003年）。使用tikhonov正则化对广义Black-scholes模型的局部稳定性进行校准。暹罗数学分析杂志，34（5），1183-1206。[7] Christian P.Fries。随机自动微分：蒙特卡罗模拟的自动微分。摘自：SSRN（2017）。内政部：10.2139/ssrn。2995695【8】Glasserman，P.（2013）。金融工程中的蒙特卡罗方法（第53卷）。施普林格科学与商业媒体。[9] Pock，T.、Pock，M.、Bischof，H.（2007）。算法差异：计算机视觉中变分问题的应用。IEEE模式分析和机器智能交易，29（7），1180-1193。[10] Srajer，F.，Kukelova，Z.，Fitzgibbon，A.（201 8）。计算机视觉和机器学习中一些问题的选定算法差异工具的基准。优化方法和软件，114。[11] Saporito，Y.F.，Yang，X.，Zubelli，J.P.（201 7）。随机局部波动率模型的校正是一个反问题的观点。arXiv预印本arXiv:17 11.03023。[12] Savine，A.（2018）。现代计算金融学：AAD和ParallelSimulations。约翰·威利父子公司。[13] Hans-Jorgen F.、Gig B.、Savine A.衍生风险管理、xva和rwa aad的实际实施。

全球衍生品（201 5）。[14] Savine A.，AAD和机器学习的计算图第一部分：计算图和自动区分介绍。威尔莫特，2019，2019.104:36-61。