隐含偏斜的稳健交易

事实上，为了方便起见，我们通过隐含波动率面来表达时间t的欧式期权价格：∑mktt={∑mktt（Kj，·）：（0，∞) → （0，∞)}Nj=1。（5） 为简单起见，我们假设账面成本为零（或者，等价地，所有价格均以阿努美雷尔为单位）。然后，通过隐含波动率确定t时的买入和卖出价格，如下所示：Cmktt（Kj，τ）=Cbs（St，Kj，τ，∑mktt（Kj，τ）），Pmktt（Kj，τ）=Pbs（St，Kj，τ，∑mktt（Kj，τ）），对于所有j=1，N和τ≥ 0，其中Cbs（S，K，τ，σ）和Cbs（S，K，τ，σ）分别是欧洲看涨期权和看跌期权的Black-Scholes价格，标的S、行使K、到期时间τ、波动率σ以及零利率和股息率的当前水平。请注意，上述定义尤其意味着满足输出调用奇偶性：Cmktt（Kj，τ）- Pmktt（Kj，τ）=St- 千焦。显然，上述代表远期合约的时间t价格，它只取决于持仓量，而不取决于∑mkt。我们说，如果K<St，行使K的看涨期权在t时在货币内（ITM），如果K=St，则在货币内（ATM），如果K>St，则在货币外（OTM）。看跌期权的术语类似，只是不等式相反。我们现在对每个市场价值（St，∑mktt）施加条件，以确保其不允许任何静态套利。定义1。如果以下条件成立，市场价值（St，∑mktt）是允许的，其中STI是一个非负数，∑MKTI如（5）所示对于任何j=1，N，存在严格的正极限∑mktt（Kj，0+）=limτ↓0∑mktt（Kj，τ）。o对于任何j=1，N- 1，我们有：Cmktt（Kj，τ）≥ Cmktt（Kj+1，τ），对于所有τ>0对于任何0<τ≤ τ和任何j=1，N，我们有：Cmktt（Kj，τ）≤ Cmktt（Kj，τ）。o对于任何j=1。

N- 1，我们有：Cmktt（Kj+1，τ）- Cmktt（Kj，τ）Kj+1- 千焦≥Cmktt（Kj，τ）- Cmktt（千焦-1，τ）Kj- 千焦-1.τ>0，其中K=0。（S，∑mkt）的容许路径是t的函数∈ [0，∞) 进入所有允许的市场价值集合，{（St，∑mktt）}。备注1（关于静态套利）。定义1的条件排除了使用期权的静态套利机会，但并不意味着期权价格与某些经典概率模型兼容，因为期权价格可能仍然包括一些较弱的套利机会，请参见【22，20】。备注2（关于动态套利）。请注意，通过上述（S，∑mkt）的容许路径的定义，我们允许允许动态套利机会的路径。我们可以进一步将允许路径集限制为基本上由某些鞅测度（对于S和选项）支持的路径集，并满足本文进一步介绍的其他约束，例如路径信念。第5节和第6节中的所有陈述都将符合这种修改后的可采性定义。在一些抽象的设置中，这种方法对于具有定价-对冲双重性是必要的，参见例如[12]。然而，在我们的设置中，类似于[28]，这是没有必要的，因为我们没有从经典概率意义上分析拟议交易策略的最优性。我们研究了（S，∑mkt）的容许路径集，并且在许多情况下，在t 7上引入了额外的连续性消耗→ （S，∑mkt）的每条路径都是对市场未来状态的认识：它决定了所有交易工具的未来价格。关键的是，稍后我们进一步限制可能的市场价值集，以便它们是可接受的，并满足通过对隐含可用性的信念所陈述的一些附加约束。

这些信念预计来自对隐含波动率的统计观察，例如，可以采取置信区间的形式。以下小节将详细讨论这些问题。交易工具可用于构建投资组合，投资组合是欧洲期权和基础期权的线性组合，具有时变（调整）权重。静态投资组合具有恒定的权重，我们将自己限制为多次交易的投资组合。这既现实又允许通过随机积分的路径定义来规避问题，如[29，23]所示。我们假设定价算子是线性的：任何投资组合在时间t的价格都是其要素市场价格的相关线性组合。定义1和备注1意味着，任何终端收益函数（即其要素收益的相关线性组合）为非负的共同终端看涨期权、看跌期权和标的静态投资组合的价格在到期前的任何时候都具有非负价格。我们将在第5节和第6.3.2节关于隐含偏斜的信念的证明中隐式地使用这一观察结果。我们现在转向本文要研究的特定类型的信念。为了确定信念，我们考虑一系列函数：aj，bj：（0，∞) → （0，∞), s、 t。 aj（0+）=limτ↓0aj（τ），bj（0+）=limτ↓0bj（τ）∈ （0，∞), j=1，N、 （6）确定市场隐含波动率偏度的界限。通常，我们有aj≤ bj，但没有必要强制执行这种不平等。定义2。给定一组函数{aj，bj}，如（6）所示，以及一个障碍U>0，我们定义了信念B*（T），对于任何T>0，作为所有隐含波动率曲面∑的集合，其允许常数c>0（取决于∑），满足∑（Ki，τ）≤ cbi（cτ），∑（Kj，τ）≥ caj（cτ）Ki<U<Kj，τ∈ （0，T）。

（7） 请注意，与罢工变量K相比，对货币性变量K/St中隐含波动率的值抱有信念是很自然的。这就是为什么信念是由w.r.t.一个给定的障碍U表示的。通常可以方便地假设，当St=U时，这些信念是可以满足的。尽管简单地假设Sti接近U，因此上述不等式具有正确的解释，但在某些情况下，我们需要考虑St6=U的上述信念。论文的主要结果中明确说明了后者。还要注意，对于∑∈ B*（T），我们可以从下面估计隐含偏度：∑（Kj，τ）∑（Ki，τ）≥aj（cτ）bi（cτ）Ki<U<Kj，τ∈ （0，T）。（8）此外，对于任何c>0的情况，{caj（c·），cbj（c·）}生成的信念与{aj，bj}生成的信念相同。换句话说，信念B*（T）通过输入函数的偏度限制成员隐含波动率w.r.T.thebarrier U（定义为（8）的左侧）的偏度。然而，这些信念是输入函数不变的w.r.t.缩放。信念B*提供隐含偏度的下界。同样，我们引入了信念B*,它提供了隐含倾斜的上界。定义3。

给定一组函数{aj，bj}，如（6）所示，以及一个障碍U>0，我们定义了信念B*（T），对于任何T>0，作为所有隐含波动率曲面∑的集合，其允许常数c>0（取决于∑），满足∑（Ki，τ）≥ cai（cτ），∑（Kj，τ）≤ cbj（cτ）Ki<U<Kj，τ∈ （0，T）.很明显，任何∑∈ B*（T），满足其偏度上界：∑（Kj，τ）∑（Ki，τ）≤bj（cτ）ai（cτ）Ki<U<Kj，τ∈ （0，T）。请注意，信念B*（T）和B*（T）可以用一组函数定义{aj}或{bj}。我们引入这两个集合的原因是，如果aj≤ bj，区间[caj（cτ），~cbj（~cτ）]可解释为∑（Kj，τ）值的置信区间。然后，当{aj}接近零且{bj}增长到完整时，信念B*（T）和B*（T）包含越来越多的曲面，以任意偏度收敛到所有可容许隐含有用性的集合。另一方面，当aj=bj时，对于所有j，集合B*（T）∩B*（T）为空或包含具有相同短期偏度的隐含波动率（即τ和0）。从这个意义上说，我们在此开发的方法是在特定的市场环境（其中短期隐含倾斜度是唯一确定的）和模型独立的环境（其中隐含倾斜度可以取任意值）之间插值。每当B*（T）或B*（T）被调用，我们假设它是用一些屏障U>0和一些输入函数{aj，bj}创建的，如（6）所示。如果后一种功能没有引起歧义，则可以不指定。我们认为市场隐含波动率满足了B的信念*（T）或B*（T）在时间T，如果∑mktt∈ B*（T）或∑mktt∈ B*（T），分别为。备注3。对于比市场上实际可用的打击集更小的打击集，通常可以方便地指定隐含偏度的信念。

例如，第5节和第6节中的结果是针对固定罢工Ki<U制定的，它们描述了从未包含任何其他罢工低于壁垒的期权的交易策略。在这种情况下，输入函数{aj，bj}（因此，信念）可以为包含所有Kj>U和仅一个Ki<U的罢工集构造。通常可以方便地扩展集B*或B*, 为了让它更容易处理。这是通过支配隐含波动率曲面（简称支配曲面）实现的。如果只有两个可用的打击，屏障每侧一个，如果{aj，bj}为FL，B*（T）通过指定b/a来唯一定义，而不是单独指定a和b。然而，如果违反了这些假设中的任何一个，（8）不能暗示（7），即使这两个假设旨在估计隐含波动率的相同特征。定义4。隐含波动率∑是信念B的下支配面*（T），如果（U，∑）是一个可接受的市场价值，∑（Ki，τ）≥ bi（τ），∑（Kj，τ）≤ aj（τ），Ki<U<Kj，τ∈ （0，T）。类似地，隐含波动率∑是信念B的上支配面*（T），如果（U，∑）是可容许市场值且∑（Ki，τ）≤ ai（τ），∑（Kj，τ）≥ bj（τ），Ki<U<Kj，τ∈ （0，T）。特别是，较低的支配面比任何隐含波动率都具有较低的短期隐含偏斜*（T）。类似地，上支配曲面的短期隐含倾斜度高于B中的任何隐含倾斜度*（T）。下面的推论1表明，如果U/∈ {Kj}和T>0足够小。通常，A主控面不属于B*（T）或B*（T）。然而，如果它对任意大的T>0这样做，我们说它生成了信念B*= {B*（T）}T>0orB*（T）={B*（T）}T>0。定义5。

下支配面∑生成信念B*如果∑（Ki，τ）=bi（τ），∑（Kj，τ）=aj（τ），Ki<U<Kj，τ>0。类似地，上支配曲面∑生成信念B*如果∑（Ki，τ）=ai（τ），∑（Kj，τ）=bj（τ），Ki<U<Kj，τ>0。事实证明，分析支配曲面生成的信念非常方便。这是因为支配面可以通过特定的鞅模型构建，这使得我们可以在当前稳健（路径）分析中使用金融数学的经典概率工具。我们在下面的第4.1节中实现了这一点，在此节中，我们构建了一个方便的支配曲面参数族，由一类特定的鞅模型生成。然后，主要结果是针对这些支配面产生的信念，制定了第5和第6类。4分段常数局部方差Gamma（PCLVG）模型在本节中，我们介绍并分析了相关的时变局部波动率模型家族，这些模型具有三个重要特征。首先，它们允许明确计算欧洲期权的价格和短期隐含波动率。其次，这些模型考虑了它们产生的隐含波动率的偏差，这足以限制市场隐含偏差。第三，这个家族的任何模型都有一个明确的静态对冲公式，符合（4）的精神。我们认为，这是一组引人注目的属性，模型家族具有独立的利益。本节中的结果证明是技术性的，并且都被归入附录A，以便于更简洁的呈现。本文提出的模型与[18]中介绍的局部方差伽马（LVG）模型密切相关。

让进程D取[0]中的值，∞), 定义为t≥ 0作为唯一的弱解todDt=√2σ（Dt）dWt，t≤ ζ=inf{t≥ 0：Dt=0}，D=x，（9）在零处吸收。在上面，W是布朗运动，函数σ：[0，∞) → （0，∞) 是分段常数，形式为σ（x）=σ[0，U）（x）+σ[U，∞)（x） ，一些常数σ，σ>0。[18]讨论了（9）解的存在性和唯一性。最后，我们将随机过程X定义为D的时间变化。考虑随机变量ξ，使得ξ与X无关，并且具有平均值为1的指数分布。然后，我们设置xt=Dtξ，t≥ 很明显，X是一个连续的非负鞅。方程（10）由σ=（σ，σ>0）参数化，描述了基础资产的合理风险中性演变（回想一下，假设账面成本（包括利息和股息率）为零）。我们将（10）给出的模型参数族称为PCLVG（分段常数局部方差Gamma）模型。该名称是基于上述结构与[18]中介绍的LVG模型的相似性。事实上，两者之间的主要区别在于时间变化的不同选择：在[18]中，后者被假定为伽马过程。然而，文献[18]也指出，只要时间变化的边际分布是指数分布，任何其他独立的时间变化都会产生具有类似特征的模型。在此，我们选择（tξ）作为所需的时变过程，使其在任何时间t>0时都具有指数分布。

这种特殊选择的动机是希望模型产生非平凡的短期隐含波动率，下一小节的结果对此进行了解释。4.1支配PCLVG表面在本小节中，我们计算了PCLVG模型中的隐含波动率，并表明它可用于生成一般信念的支配表面，前提是屏障与任何走向不一致，且饱和度足够小。重要的是，我们的证明是有建设性的——它提供了一种数值计算支配曲面的方法。表示由参数σ=（σ，σ）乘以cσ（x，K，τ）=E（xτ）的PCLVG模型产生的欧洲看涨期权的时间零价格- K） +，X=X，其中X是基础的初始水平，K表示走向，τ是到期时间。同样，我们确定了欧洲看跌期权的价格，表示为Pσ（x，K，τ）。引理1。对于任何K∈ （0，U）和任何τ≥ 0，我们有：Cσ（U，K，τ）- （U）- K） =τexp(-（U）- K） /（στ）1- 经验值(-2K/（στ））σ+σ-σ-σ经验值(-2U/（στ））。（11） 对于任何K≥ U和任意τ≥ 0，我们有：Cσ（U，K，τ）=τexp(-（K）- U） /（στ）1- 经验值(-2U/（στ））σ+σ-σ-σ经验值(-2U/（στ））。（12） 对于任何K>0和τ>0，用∑σ（U，K，τ）表示Cσ（U，K，τ）的Black-Scholes隐含波动率。使用方程式（11）–（12）可以很容易地检查相关的买入价格始终位于区间（0，U）内，因此，隐含波动率总是很好地定义。此外，检查（11）–（12）给出的买入价格是否满足定义1中的所有静态无套利条件并不困难，但存在隐含波动率短期限制的第一个条件除外。以下命题验证了定义1的第一个条件，因此表明（U，∑∑（U，·，·））是一个可接受的市场价值，并为短期隐含波动率提供了明确的表达。提案1。

对于任何K>U>0和任何σ，σ>0，我们有limτ↓0∑∑（U，K，τ）=√σlog K/Up2（K- U） 。对于任何U>K>0和任何σ，σ>0，我们有limτ↓0∑∑（U，K，τ）=√σlog U/Kp2（U- K） 。图4给出了∑σ（U，·，τ）的几个图，其中τ很小但严格为正。上述命题有一个重要的推论，它表明，如果成熟度足够小，通过选择σ，我们可以为任何信念构造一个支配曲面∑（U，·，·）。推论1。考虑任何U>0，s.t.U/∈ {Kj}，以及（6）中的任何{aj，bj}。然后，存在T>0和σ*= （σ*, σ*> 0），从而∑σ*（U，Ki，τ）≤ ai（τ），∑σ*（U，Kj，τ）≥ bj（τ）τ∈ （0，T）]，Ki<U<Kj。（13） 尤其是∑σ*（U，·，·）是信念B的上支配模型*由U和{aj，bj}生成。同样，存在T>0和σ*= （σ*1，σ*2> 0），从而∑σ*（U，Ki，τ）≥ bi（τ），∑σ*（U，Kj，τ）≤ aj（τ）τ∈ （0，T）]，Ki<U<Kj。（14） 尤其是∑σ*（U，·，·）是信念B的较低支配模型*由U和{aj，bj}生成。证据命题1意味着，通过选择足够小的σ*以及足够大的σ*, 我们可以确保（13）对于τ=0+。同样，我们验证（14）的τ=0+。最后，通过连续性，我们得到了推论的陈述。为简洁起见，当势垒U的水平固定时，我们只将∑σ称为支配面，而不是写∑σ（U，·，·）。4.2 PCLVG模型中的精确静态对冲源自【17】的结果（在【5】中进一步分析和扩展），在系数σ为零且结转成本为零的时间齐次扩散模型中，罢工>0且屏障U>K的UOP的静态对冲由带回报（K）的欧式期权给出- x）+- g（x），其中g（x）=πiZε+∞iε-∞iψ（x，z）ψ（K，z）ψx（U，z）- ψx（U，z）dzz，x>U，（15），g（x）=0，对于x≤ U