隐含偏斜的稳健交易

也就是说，为了执行上述标准化，需要对各到期日的市场隐含波动率进行插值，不同的插值选择可能会导致不同的结果。我们选择κ的方法*和κ*更容易实现，结果表明，产生的支配曲面在经验上运行良好（尽管这不是先验的保证），如图5所示。图7-8显示了使用偏态参数κ构建的两个RTI投资组合的价格*, κ*,以及'κ，即{κ（t，τ）=σ（t，τ）/σ（t，τ）}的平均值。在构建RTIS投资组合时，始终将卖出期权选择为Ki=0.95St（更准确地说，使用最接近的可用履约价值），屏障为U=St。此外，我们对投资组合进行了标准化，以便投资于卖出期权的美元金额等于1。图7的左侧显示了第一个RTI投资组合的实际市场价值，givenby（29），其中赎回权行使计算为Kjσ*（i） ，带σ*2/σ*1=κ*（回想一下，jσ仅取决于κ=σ/σ）。样本中的每个可用（t，τ）都构建了投资组合，我们可以看到，正如命题3所预测的那样，它们的价格基本上都是正的。另一方面，这些价格通常接近零，这表明拟议的RTI投资组合是交易隐含偏斜的“有效”方式。图7的右侧还显示了第一个RTI投资组合的价值，但赎回权行使计算为Kj'σ（i），其中'σ/'σ='κ是{κ（t，τ）=σ（t，τ）/σ（t，τ）}的平均值，σ（t，τ）是在成熟时间τ与市场隐含微笑相适应的PCLVG参数对。由于与任何此类∑相对应的PCLVG隐含波动性通常不是较低的支配面（即，它不满足（36）），因此后一个投资组合的价值不会保持正值。

图8显示了secondRTIS投资组合的类似分析结果，如（33）所示。值得一提的是，图8中的两个图都比图7中的图更远离零。事实上，这种现象是（21）中的第一个不等式对于小τ不是渐近紧的，这与第二个不等式不同。备注4对这一事实进行了讨论，特别是，这意味着第二个RTI投资组合的效率不如第一个RTI投资组合的效率。还请注意，第二个RTIS投资组合的分析样本量略小于第一个投资组合的分析样本量。这是因为，对于某些（t，τ），Kjσ*（i） 大于最大可用罢工，在这种情况下，我们不构建RTIS投资组合。严格地说，为了证明比率具有均值回复行为，必须考虑每天一次到期的校正偏态参数的子样本，该样本可以从总样本中提取，如图6所示。尽管我们没有在此绘制，但我们已经证实，这样的子样本也表现出均值回复行为。在这种情况下，RTIS投资组合正式成为看跌期权中一股的多头头寸，这显然是非负的。RTIS投资组合中使用的罢工如图9所示。很容易看出，在大多数情况下，呼叫罢工发生在离现场几%以内。8总结在本文中，我们提出了一种构建金融资产组合（即交易策略）的方法，无论特定模型的有效性如何，都能实现给定的目标，即稳健的方法。

该策略是明确给出的，仅取决于一个人对可观察市场指标未来价值的信念。因此，它允许人们使用现有的统计工具来制定信念，为更抽象的数学环境提供一种实用的解释，在这种数学环境中，信念被理解为一系列概率度量。更具体地说，我们选择隐含偏度作为相关的市场指标，并展示如何构建欧洲期权的静态组合，只要隐含偏度保持在给定范围内（即信念满足），其价格就是正的。为了构建所需的投资组合，我们使用了两个重要的构建块。首先，我们确定了一类金融市场模型（即PCLVG模型），该模型足够丰富，可以生成所谓的主导隐含波动率面，并且可以轻松计算期权价格和隐含波动率。其次，我们证明了该模型中看跌期权（或看跌期权）收益的弱反射可以明确计算，并且可以通过双方的对流函数有效估计。从这个意义上讲，模型特定的结果被用作开发Arobast方法的构建块。我们提出了结果投资组合的两个潜在应用。首先，它们可以用来将人们对隐含偏斜未来价值的信念货币化：即交易隐含偏斜。这类似于众所周知的通过欧洲期权组合交易短期ATM（或整体水平）隐含波动率的方法，例如用于构建VIX指数。请注意，到目前为止，还没有一种类似的交易隐含偏斜的方法——目前的工作就是朝着这个方向迈出的一步。

此外，所提出的半静态欧式期权组合可用于获得障碍期权的稳健超复制策略。这些策略改进了文献[10]中提出的策略，只要对隐含偏斜的信念得到满足，它们就会成功。最后，我们对提出的方法进行了实证测试，展示了如何从隐含波动率的历史时间序列构建信念，并计算目标投资组合的价格。特别是，我们表明，构建现实的信念并不困难，并且当信念得到满足时（正如理论结果所预测的那样），所产生的投资组合确实有积极的迹象。我们的实证分析证实，所提出的方法是交易隐含偏差的有效方法。此外，我们还证明了所提出的两个参数辅助PCLVG模型族能够以令人惊讶的高精度匹配经验观察到的隐含波动率。引理1的技术证明。文献[18]表明，χ=Cσ（U，·，τ）是连续可微的，具有绝对连续导数，满足σ（K）χ（K）-τχ（K）=-τ（U- K） +，以及边界条件：χ（0+）=U和χ(∞) = 这是一个独特的函数。由于σ的分段常数结构，我们以以下形式搜索χ：χ（K）=（U- K） ++c（exp（K/（στ））- 经验值(-K/（στ）））1[0，U）（K）+cexp(-K/（στ））1[U，∞)（K） ，其中必须选择常数cim，以便χ（K）在K=U时连续可微。

让我们分析U:c（exp（U/∑τ））下的正则性- 经验值(-U/（στ））=cexp(-U/（στ）），cσ（exp（U/（στ））+exp(-U/（στ））=-cσexp(-U/（στ））求解上述方程，我们得到：c=στ1+σexp（U/（στ））-1.-σσ经验值(-U/（στ）），c=στexp（U/（στ））1个+1.-σσexp（U/（στ））-1+σ经验值(-U/（στ））1+σexp（U/（στ））-1.-σσ经验值(-U/（στ））,这就得到了引理的陈述。在我们给出下一个证明之前，我们需要一个关于标准正态分布的累积分布函数的渐近行为的技术结果。原则上，这种行为是众所周知的，然而，我们为残差项提供的具体估计似乎在现有文献中不可用，它对后续结果很重要。引理2。设N表示标准正态的累积分布函数。那么，对于任何ε∈ （0，1），如x→ ∞, 我们有：N（x）=√2πxe-x个1+Ox个-2.-ε引理2的证明。对于任意x>0和任意ε∈ （0，1），我们有：√2πxe-x个- N（x）=√2πZ∞x个yx公司- 1.e-y/2dy=x√2πZ∞（z）- 1） e类-xz/2dz，Z1+x-3月2日-ε/2（z- 1） e类-xz/2dz≤x个-3.-εe-x/2，Z∞1+x-3月2日-ε/2（z- 1） e类-xz/2dz≤Z∞1+x-3月2日-ε/2ze-xz/2dz=-xZ公司∞1+x-3月2日-ε/2e-xz/2dz=xe-x（1+x-3月2日-ε/2）/2=xe-x/2-x1/2-ε/2-x个-1.-ε/2=e-x/2米x个-3.-ε.命题1的证明。我们将只考虑K>U的情况——另一个情况也会得到类似的处理。整个证明过程中的所有共形表达式都理解为τ↓ 0、表示比亚迪（U，K，τ）=对数U/K+τ（σ（U，K，τ））∑（U，K，τ）√τ。我们通常用∑代替∑∑（U，K，τ），用din代替d（U，K，τ）。使用（12），很容易看出Cσ（U，K，τ）→ 0，作为τ↓ 0。因此，∑√τ→ 0和d→ -∞, asτ↓ 0

根据∑的定义，我们有cσ（U，K，τ）=U N（d（U，K，τ））- 千牛d（U，K，τ）- ∑∑（U，K，τ）√τ.使用（12），我们表示上述asCσ=1/σ+1/στexp的左侧-K- Uστ1+o（1）.接下来，使用引理2，我们发现以下渐近表示：UN（d）- 千牛d- ∑√τ=√2πU | d | e-日期/21+o|d|-2.-K | d- ∑√τ| e-（d）-∑√τ） /2个1+o|d- ∑√τ|-2.=√KU公司√2π| d | exp-（对数U/K）∑τ-∑τ1+o|d|-2.-|d | | d- ∑√τ|1+o|d|-2..注意，DD- ∑√τ=1+τ对数∑U/K-∑τ=1+d-2（对数U/K+∑τ）对数U/K-∑τ=1+d-2日志U/K+o|d|-2..收集上述信息，我们得到：UN（d）- 千牛d- ∑√τ=√KU公司√2π| d | exp-（对数U/K）∑τ-∑τ1+o（1）.将上面的右侧与Cσ相等，我们得到√KU（1/σ+1/σ）√2πτ| d | exp-（对数U/K）∑τ-∑τ+K- Uστ= 1+o（1），-（对数U/K）∑+K- Uσ- 3τlog | d |- τlogτ-∑τ+τ对数√KU（1/σ+1/σ）√2π！=o（τ），-（对数U/K）∑+K- Uσ+3τlog（σ√τ） =o（1），∑=σ（对数U/K）2（K- U）1+o（1）.命题2的证明。用Xs表示具有相同σ和初始条件s的PCLVG过程。如[18]所述，{Xs}是一个马尔可夫族。利用马尔可夫性质，我们得到（K）- XT）+- g（XT）英尺∧胡= EE（K）- XT）+- g（XT）{HU<T}英尺∧胡英尺∧胡+ EE（K）- XT）+- g（XT）{胡≥T}英尺∧胡英尺∧胡（38）=EE（K- Xsτ）+- Eg（Xsτ）τ=T-T∧HU，s=XT∧HU{HU<T}英尺∧胡+E（K）- XT）+{支持∈[0，T]Xt<U}英尺∧胡.注意，在{HU<T}上，XT∧HU=U。因此，为了建立所需的身份，必须验证K- XUτ= Eg公司XUτ, τ>0，相当于toCσ（U，K，τ）-U+K=∞Xn=0CσU、 U+（U（2n+1）- K） σσ，τ-CσU、 U+（U（2n+1）+K）σσ，τ,鉴于（11）–（12），上述等效于τexp(-（U）- K） /（στ）1- 经验值(-2K/（στ））σ+σ-σ-σ经验值(-2U/（στ））=τ（1）- 经验值(-2U/（στ））（exp（K/（στ））- 经验值(-K/（στ）））σ+σ-σ-σ经验值(-2U/（στ））∞Xn=0exp(-U（2n+1）/（στ）），这显然成立。参考文献【1】B.Acciaio、M.Beiglb¨ock、F.Penkner和W.Schachermayer。

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右侧对应的情景是基础货币触及障碍，远期头寸在触及时间清算（零成本）。使用的参数：U=1000，K=0.75U=750，Ki=0.9K=675。基础价值500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300支付价值-150-100-50050100150200250基础价值500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300支付价值-150-100-50050100150200250图3：拟议超级复制战略（蓝色）和UOP选项（红色）的支付功能。左侧对应于底层保持在屏障下方的场景。右侧对应的情景是基础货币触及障碍，远期头寸在触及时间清算（零成本）。使用的参数：U=1000，K=0.75U=750，Ki=0.9K=675，σ/σ=0.6（即Kσ，U（Ki）=1195）。0.88 0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06K/St0.050.10.150.20.250.30.350.4隐含vol0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 1.1 1.2 1.3K/St0.050.10.150.20.250.350.4隐含vol0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1 1.150.20.250.30.350.40.450.5隐含vol0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1 1.2K/St0.10.150.20.250.30.350.40.45隐含波动率图4：不同到期日和时间的隐含波动率：2011年1月3日，4天到期日（左上角），2011年1月3日，47天到期日（右上角），2012年2月10日，8天到期日（左下角），2012年2月10日，49天到期日（右下角）。