隐含偏斜的稳健交易

然后（21）和引理1暗示存在T>0，s.T.Pσ*（U，Ki，τ）≥KiUCσ*（U，Kσ*,U（Ki），τ）≥ αCσ*（U，Kj，τ），τ∈ （0，T），这与（31）相矛盾。假设Kj=Kjσ*（i） =Kσ*,U（Ki）。然后，（18）和引理1屈服：Pσ*（U，K，τ）=Cσ*（U，Kj，τ）（1+o（1）），τ→ 0，从（31）来看，这意味着α≥ 1、假设Kj<Kjσ*（i） =Kσ*,U（Ki）并考虑任何σ*正如在命题陈述中一样。注意∑σ*∈ B*（T）（对于任何T>0）。还要注意，我们可以选择σ*接近σ*, 所以thatKj<Kσ*,U（Ki）<Kσ*,U（Ki）。那么，（21）和引理1意味着存在T>0，s.T.Pσ*（U，Ki，τ）≤ Cσ*（U，Kσ*,U（Ki），τ）≤ αCσ*（U，Kj，τ），τ∈ （0，T），这与（32）相矛盾。命题3和命题4暗示j=jσ*（i） 和任意α=-β>0满足位置5中所述的三个属性，因此，产生了一个可接受的RTIS投资组合，由（29）给出。对于给定数量的认沽股份（即β），该投资组合包含最少数量的认购股份（即α）。由于|β|可以被视为一个简单化常数，因此我们可以将其值设置为1，并获得建议的RTIS投资组合，如（29）所示。这一观察结果证明了拟议投资组合的最低限度，因此，我们的选择是合理的。备注8。（29）给出的投资组合的构造方式是，优先选择看跌期权的行使，并通过支配模型计算看涨期权的适当行使。显然，我们也可以从规定看涨期权的行使开始，并通过命题3之前的导数，使用（22）而不是（21）获得看跌期权的相应行使。这可能会导致不同的投资组合，尽管随着可用罢工的网格变得足够丰富，这种差异应该可以忽略不计。为新的投资组合制定命题3、4、5的类似物是一种很好的方法。备注9。

命题3和命题4所描述的策略基于这样一种预期，即隐含偏斜将始终返回到所选的较低阈值以上（在基础下降到屏障以下之前）。这种策略旨在从隐含偏差低于其典型值的异常偏差中获益。粗略地说，当倾斜下降到临界水平以下时，仓位打开，当倾斜回到临界水平以上时，仓位关闭。类似地，我们可以设计一种策略，使其受益于隐含偏差高于其典型值的偏差。也就是说，表述命题3和命题4的类似物很简单，这表明portfolioPmkt（Ki，τ）-KiUCmkt（Kjσ*（i） ，τ）（33）在隐含波动率满足B时具有正价格*, 生成人∑∑*（且基础保持在屏障以下），当隐含偏差足够大时，其价格变为负值（且基础处于屏障处）。6具有隐含偏斜信念的UOP期权稳健对冲第二个RTIS投资组合，由（33）给出，也可用于构建aUOP期权的稳健超级复制策略，给定隐含偏斜信念。第2小节给出了此类策略的一个简单示例，作为我们的激励案例研究。我们现在扩展了这种推理，以允许更普遍的信念。假设我们需要对冲罢工K>0的UOP期权（这可能不属于欧洲期权可用罢工的网格），屏障U≥ K∨ S、 成熟度T＞0。该期权在时间T的收益在（1）中给出。下面，我们回顾一下[10]中提出的算法，该算法为UOP期权提供了一种稳健的半静态超级复制策略，同时考虑到基础期权具有连续路径，该策略具有可用的共同到期欧洲期权（和远期期权）。我们将此策略称为BHR，以其作者的名字命名。1.

选择任意Ki≤ K从可用罢工的网格中，考虑由o（Ki）组成的投资组合- K） /（U- Ki）在U签订并在T到期的远期合约股份，o和（U）- K） /（U- Ki）共同到期的欧洲看跌期权的股票在Ki签订。2、根据当前市场价格，在步骤1中对所有可接受指数i进行迭代构建，以找到最便宜的投资组合。3、如果不存在Ki≤ K在可用击数网格中，跳过步骤1和2，用最小的可用击数购买一份AEEUROPEAN put。4、在HU时清算该投资组合∧ T，其中hu=inf{T∈ [0，T]：St≥ U} ，（34）带inf = ∞.BHR策略的回报函数如图2所示。很容易看出，如果胡≥ 那么，上述投资组合在T的流动价格就是初始投资组合的回报，它支配着UOP期权的支付，由（K）给出-ST）+。如果HU<T，则UOP期权的收益为零，而BHR投资组合在HU时的市场价格等于1- （K）- Ki）/（U- Ki）对于任何可接受的隐含波动率面，非负的看跌期权份额。因此，该投资组合的回报永远不会小于UOP期权的回报。[10]还表明，标的证券存在阿马丁格尔模型，该模型与当前观察到的欧式期权市场价格一致，其中BHR投资组合的收益等于UOP期权的收益。后者表明，如果不在市场上增加更多的假设，就无法以更低的价格超级复制这种障碍选项。同时，文献[10]中使用的“极值”鞅模型是非常不规则的，可能与标的期权的典型行为和欧式期权的价格不一致。

这使人们相信，在市场上引入进一步的假设（即信念）是很自然的，这将使人们能够构建更有效的超级复制策略，并降低超级复制价格。在此，我们构建了BHR策略的改进，该策略超级复制了UOP期权的收益，前提是满足对隐含偏度的信念。该策略的价格永远不会超过BHR的价格，并且，如果屏障上方的可用罢工网格足够丰富，则我们策略的价格严格低于BHR的价格。考虑任何信念B*关于∑σ生成的隐含偏度*, 有一些σ*= （σ*, σ*> 0）。下面，我们给出了UOP期权与可用的共同到期欧洲期权（和远期期权）的鲁棒静态超级复制算法，前提是基础期权具有连续路径，且信念B*当St=U.1时进行统计。选择任意Ki≤ K从可用罢工的网格中，考虑由o（Ki）组成的投资组合- K） /（U- Ki）在U签订并在T到期的远期合约股份，o（U- K） /（U- Ki）共同到期的欧洲认沽期权的股份在Ki签订，o和(-（U）- K） /（U- Ki））共同到期的欧洲看涨期权的KiUshares在Kjσ敲定*（i） ，提供Jσ*（i） 通过（26）明确定义（否则，跳过此部分）。2、如果不存在Ki≤ K在可用期权的网格中，跳过第1步，并o在期权Ki<U；o的情况下购买一份欧洲看跌期权做空罢工Kjσ的共同到期欧洲看涨期权的Ki/U股*（i） ，如果jσ*（i） 通过（26）明确定义（否则，跳过此部分）。3、根据当前市场价格，在所有可接受指数i上重复步骤1和步骤2的构建，以找到最便宜的投资组合。4、在HU时清算该投资组合∧ T所提出的超级复制策略的回报函数如图3所示。

上述策略与银行控股公司不同，在投资组合中增加看涨期权的额外空头头寸。很容易看出，上述策略超级复制了UOP期权的回报。事实上，如果障碍从未触及，上述策略的支付将主导相关看跌期权的支付。如果遇到障碍，则在HU时，远期价格为零，剩余投资组合的价格由（33）给出，按正恒量缩放。由于（21），后一个投资组合的价格为正，因为信念B*满足提议6。假设成熟度T>0，障碍U≥ S> 0，a罢工K∈ （0，U），以及信念B*,生成人∑∑*, 有一些σ*= （σ*, σ*> 0）。假设存在索引i，s.t.Ki≤ K和jσ*（i） 通过（26）明确定义。对于（S，∑mkt）的任何容许路径，进一步满足：ot 7→ STI连续，o且在任何时间t∈ [0，T），其中St=U，我们有∑mktt∈ B*（T- t） ，建议的超级复制策略的回报至少与UOP选项的回报一样大，即Ki- KU公司- Ki（SHU∧T-U）+1.-K- 桥- Ki公司PmktHU公司∧T（Ki，T- 胡∧ T）-克姆克图∧T（Kjσ*（i） ，T- 胡∧ T）≥ （K）- 舒∧T） +{HU>T}，（35）其中hui定义于（34）。备注10。如果不存在索引i，s.t.Ki≤ K、 但存在i，s.t.Ki<U和jσ*（i） 然后，超级复制策略的第2步变得相关，不平等（35）改变为Mkthu∧T（Ki，T- 胡∧ T）-克姆克图∧T（Kjσ*（i） ，T- 胡∧ T）≥ （K）- 舒∧T） +{HU>T}。上述不等式也在命题6中定义的路径集上得到满足，这很容易形成命题的前提。证据如果HU≥ T，然后（35）变成ki- KU公司- Ki（ST- U）+1.-K- 桥- Ki公司（千- ST）+≥ （K）- ST）+，这显然适用于任何ST∈ [0，U]。假设HU<T。

那么，我们需要证明1.-K- 桥- Ki公司PmktHU（Ki，T- HU）-KiUCmktHU（Kjσ*（i） ，T- HU）≥ 0、乘以σ*通过一个正常数，我们得到▄σ=（▄σ，▄σ），这样▄σ/▄σ=σ*/σ*和∑σ（U，Ki，T- HU）≤ ∑mktHU（Ki，T- HU），∑Оσ（U，Kj，T- HU）≥ ∑mktHU（Kj，T- HU），Kj>U。那么，我们有：P∑（U，Ki，T- HU）≤ PmktHU（Ki，T- HU），C￠σ（U，Kjσ*（i） ，T- HU）≥ CmktHU（Kjσ*（i） ，T- HU）。此外，C￠σ（U，K￠σ，U（Ki），T- HU）=C￠σ（U，Kσ*,U（Ki），T- HU）≥ C￠σ（U，Kjσ*（i） ，T- HU）。上述不等式，以及（21），yieldPmktHU（Ki，T- HU）-KiUCmktHU（Kjσ*（i） ，T- HU）>0并完成证明。显然，拟议的超级复制战略的初始资本从未超过BHR的初始资本，如果jσ*（i） 定义良好，Cmkt（Kjσ*（i） ，T）>0。备注11。【10】中的提案3.4还为UOP选项提供了一个强大的静态子复制策略。在后一种策略为零的情况下（这可能发生，取决于初始市场隐含的可用性），可以使用本节中介绍的想法，使用信念B构建该策略的类似改进*. 也就是说，改进后的策略将包括卖空（29）中给出的第一个RTI投资组合，以及Ki≤ K<U，并在HU处关闭该位置（如果HU<T）。7 RTIS投资组合的实证研究在本节中，我们计算了RTIS投资组合（29）和（33）的实证观察价格，并证明它们具有预测迹象。为了构建这些投资组合，我们需要选择相关的σ*= （σ*1，σ*2） 和σ*= （σ*, σ*). 事实上，要构建投资组合，我们只需要知道偏态参数κ*= σ*2/σ*1，κ*= σ*/σ*.假设OTM看跌期权的行权Ki是固定的。

然后，根据支配曲面生成的信念定义，偏态参数（κ*, κ*) 应选择，以便在任何时间t存在σ*1（t）和σ*（t） ，因此σ*（t） =（σ*1（t），κ*σ*1（t））和σ*（t） =（σ*（t） ，κ*σ*（t） ）满足：∑σ*（t） （St，Ki，τ）≥ ∑mktt（Ki，τ），∑∑*（t） （St，Kj，τ）≤ ∑mktt（Kj，τ），（36）∑σ*（t） （St，Ki，τ）≤ ∑mktt（Ki，τ），∑∑*（t） （St，Kj，τ）≥ ∑mktt（Kj，τ），Kj>U.（37）在上面，我们使用∑cσ（St，K，τ）=c∑（St，K，cτ）。理论上，上述不等式必须适用于所有τ>0的情况。然而，在我们的实证分析中，我们只要求他们持有市场上最小的三个到期日（在我们的样本中，他们从未超过2个月）。请注意，（36）–（37）写在可直接观察到的市场数量上，即隐含波动率面上，这是拟议信念家族的主要优势之一。然而，由于我们已经将支配面家族限制在PCLVG模型产生的支配面家族中，我们本质上需要校准κ*和κ*对于给定的市场隐含波动率曲面样本（即时间序列），{∑mktt}。最直接的方法是解决两个约束优化问题–变量（κ*, {σ*1（t）}）和（κ*, {σ*（t） }）-其中约束由（36）–（37）给出，σ*2（t）=σ*1（t）κ*和σ*（t） =σ*（t） κ*, 目标可以选择为“maxκ*” 和“minκ*”, 分别地然而，在这里，我们选择了一种稍有不同的方法。即，在任何时间t和任何到期时间τ，我们发现σ（t，τ）=（σ（t，τ），σ（t，τ）），s.t。

∑（St，·，τ）与观察到的市场隐含波动率∑MKT（·，τ）尽可能接近。然后，偏度参数κ*和κ*分别定义为α和（1- α） -样本的分位数{σ（t，τ）/σ（t，τ）}t，τ，带有一些小α∈ [0，1]。这种方法可以显著降低优化变量的维数并加快计算速度。此外，它还让我们看到，对于单一成熟度而言，PCLVG模型能够在多大程度上满足市场隐含的微笑。这种方法的缺点是无法保证*, κ*) 允许（σ*（t） ，σ*（t） ）对于样本中的所有（t，τ），满足（36）–（37）。如果PCLVG隐含波动率的翼∑∑（St，K，τ）不是单调的w.r.t，则可能出现后者。两个变量σ和σ中的每一个都是单调的。也就是说，通常情况下，增加σ会增加K<St时的∑σ（St，K，τ）值，同时保持其他值不变，增加σ会增加K>St时的∑σ（St，K，τ）值，同时保持其他值不变，这似乎不是真的。然而，这种单调性确实适用于τ≈ 0，如命题1所示。这一观察激发了我们的方法，从经验上看，这种方法效果很好。因此，为了测试RTIS投资组合的实证表现，我们需要将PCLVG模型校准为欧洲期权价格的历史样本。我们使用OptionMetrics提供的每日SPX（标准普尔500）欧洲期权价格，OptionMetrics是一个期权数据库，包含2011年1月3日至2012年12月27日期间期权及其基础工具的历史价格。在该期间的每一天，我们只保留其最佳收盘出价和最佳收盘出价均可用的期权，并将这两个价格的平均值作为期权价格。为确保所有价格的有效性，未平仓权益为零的合同除外。

我们的校准还需要分别在OptionMetrics和美国财政部主页上提供股息和利率数据。使用这些股息和利率，我们对市场价格和行使价值进行标准转换（即贴现），以便结果期权的价格与零利率和股息率的假设一致。最后，我们在样本中只保留三个最小到期日的期权，并仅使用OTM期权计算市场隐含波动率（即小罢工的卖出价格和大罢工的买入价格）。对于给定样本中的任何一天t和任何到期时间τ（可用的最小三个时间），我们通过最小化期权市场价格和PCLVG模型产生的价格之间的平方差之和，将PCLVG模型校准为市场化微笑。该校准产生参数σ（t，τ）=（σ（t，τ），σ（t，τ））。校准结果如图4-9所示。特别是，图4提供了市场隐含微笑和校准PCLVG微笑的示例。我们可以看到，该函数相当好（特别是考虑到该模型只有两个参数），但并不完美。然而，重要的是，aPCLVG模型充分捕捉到了市场隐含的偏度，如下所示。校准参数{σ（t，τ），σ（t，τ）}，以及相关的偏态样本{σ（t，τ）/σ（t，τ）}，是一个目标，我们选择最小化欧洲期权市场价格与PCLVG模型产生的市场价格之间的平方差之和。在此，我们选择α=0.01。如图6所示。从图的左侧可以看出，校准参数的大部分变化可以用简单的线性依赖关系来解释。

图的右侧证实了这一观察结果，表明偏度σ（t，τ）/σ（t，τ）的值范围小得多，并表现出一种回复行为。上下偏度参数κ*和κ*, 分别选为α和（1- α） {σ（t，τ）/σ（t，τ）}经验分布的分位数，α=0.01。结果值为：κ*=0.3777和κ*= 0.8949。结果表明，这样的选择（κ*, κ*) 考虑σ*（t） 和σ*（t） 满足（36）–（36），大多数时间为t。图5说明了这一观察结果：它显示了具有规定偏度参数κ的上下主导曲面*和κ*, 分别适用于put strike Ki（t）=0.95St。请注意，原则上，我们可以从直接从市场隐含微笑的时间序列中选择上下主导面（即图5中的红黄线的类似物）开始，选择一组固定的成熟时间，然后对两个面中的每一个面建立PCLVG模型，获得κ*和κ*. 在构建支配面之前，需要对市场隐含微笑进行规范化（即，需要对其价值和到期时间进行适当的重新调整），以便例如，短期ATM隐含可用性始终等于1，以消除整体波动水平的振荡，并突出偏态值。这种方法可能更符合robustmethods的哲学，因为它允许直接从隐含波动率的观察值中制定信念，避免使用模型。然而，由于在实施过程中存在其他困难，我们决定不采用这种方法。