隐含偏斜的稳健交易

在上面，ε>0是一个任意的、足够大的常数，ψi是以下ODE的两个基本解，在x=U时归一化为值1：σ（x）ψxx（x，z）- zψ（x，z）=0。很容易验证，在本例中，我们有：ψ（x，z）=+σ2σ1+e-2Uz/σ1- e-2Uz/σe（x-U） z/σ+-σ2σ1+e-2Uz/σ1- e-2Uz/σe-（十）-U） z/σ，x>U，ψx（U，z）=zσ1.- e-2Uz/σ- 1., ψx（U，z）=-zσ，ψx（U，z）- ψx（U，z）=zσ1+e-2Uz/σ1- e-2Uz/σ+σ=2zσc。静态套期保值性质意味着，X表示上述时间齐次扩散，我们有：E（K）- XT）+{支持∈[0，T]Xt<U}| Ft∧胡= E（K）- XT）+- 克（XT）+英尺∧胡, t型∈ （0，T），其中HU=inf{T≥ 0:Xt≥ U}和（Ft）是过滤w.r.t.，其中X是定义的。上面的左边是UOP的价格，右边是共同到期的欧洲期权的价格，在基础触及障碍时或之前进行评估（如果未触及障碍，则两个期权的收益一致）。上述结果也适用于作为时间均匀扩散的独立连续时间变化获得的过程X，例如PCLVG过程。然而，严格来说，PCLVG过程并不满足[17]中的假设。事实上，系数σ是不连续的：它是分段常数，取x的σ值∈ （0，U）和σ，对于x≥ U、 尽管如此，我们仍然可以使用（15）来计算candidateg，这预计会在PCLVG模型中产生静态对冲。假设K≤ U和x>U，我们得到ψ（x，z）ψ（K，z）ψx（U，z）- ψx（U，z）=σ2ze（x-U） z/σ+（1/c- 1） e类-（十）-U） z/σeKz/σ- e-Kz/σeUz/σ- e-Uz/σ,反过来，g（x）=σ2πiZε+∞iε-∞ie（x-U） z/σeKz/σ- e-Kz/σeUz/σ- e-Uz/σdzz+σ2πiZε+∞iε-∞i（1/c- 1） e类-（十）-U） z/σeKz/σ- e-Kz/σeUz/σ- e-Uz/σdzzb通过闭合右边的积分轮廓，我们得出结论，上述表现主义中的第二个积分为零。

因此，g（x）=σ2πiZε+∞iε-∞ie（x-U） z/σeKz/σ- e-Kz/σeUz/σ- e-Uz/σdzz=∞Xn=0σ2πiZε+∞iε-∞ie（x-U） z/σ-Uz/σeKz/σ- e-Kz/σe-2Unz/σdzz=∞Xn=0σ2πiZε+∞iε-∞ie（x-U） z/σ-（U（2n+1）-K） z/σdzz-∞Xn=0σ2πiZε+∞iε-∞ie（x-U） z/σ-（U（2n+1）+K）z/σdzz。通过闭合右侧的积分轮廓，我们得出结论，当x≤ U+（（2n+1）U- K） σ/σ。对于x的其他值，我们闭合左侧的积分轮廓，并通过留数演算计算积分。同样，我们继续进行第二次求和。因此，我们得到（x）=∞Xn=0（x- U- （U（2n+1）-K） σ/σ）+- （十）- U- （U（2n+1）+K）σ/σ）+。（16） 图1给出了g图。有了一个明确的候选函数，我们可以使用（11）–（12）中的马尔可夫性质和显式价格来证明这确实是正确的函数。后者在以下命题中得到了精确的阐述，其证明见附录A命题2。假设X遵循PCLVG模型，0<X≤ U、 σ（x）=σ[0，U）（x）+σ[U，∞)（x） ，σ，σ>0。然后，对于任何0<K≤ U，任意T>0，以及所有T∈ [0，T]，我们有：E（K）- XT）+{支持∈[0，T]Xt<U}| Ft∧胡= E（K）- XT）+- 克（XT）+英尺∧胡, （17） 其中g由（16）给出，且HU=inf{t≥ 0:Xt≥ U} 。假设X=U，取（17）中的期望值并使用（16），我们得到以下公式，该公式适用于所有τ≥ 0，任意K<U，任意σ=（σ，σ>0）：Pσ（U，K，τ）=∞Xn=0CσU、 U+（U（2n+1）- K） σσ，τ- CσU、 U+（U（2n+1）+K）σσ，τ. （18） 上述公式与（4）类似，但在一个基础不是对称的w.r.t.障碍（因此，隐含波动率可能有偏差）的模型中，它适用。请注意，g（x）≤ g（x）≤ g（x），x个∈ R、 （19）式中，g（x）=KUx个- Kσ，U（K）+, g（x）=x个- Kσ，U（K）+, Kσ，U（K）=U+（U- K） σ/σ。（20） 函数g是从下方控制g的最大凸函数。

函数g是从上方控制g的最小凸函数之一：即不存在其他从上方控制g且由上方控制g的凸函数。图1给出了g、g和g的图形。我们可以看到，gp为参数的值提供了一个很好的g近似值，该参数的值离障碍U不太远（如果成熟度很小且基础接近U，则它是最重要的值）。此外，图1的右侧显示，如果K接近U（该图使用K=0.95U，这是我们在实证分析中使用的值），则g非常接近于在Kσ，U（K）处进行的调用的收益，特别是，在这种情况下，g和g都提供了g的非常好的近似值。因此，在PCLVG模型中，以基础水平为条件，我们可以通过各自静态投资组合的价格，从上到下统一约束OTM的价格，包括单个OTMcall：KUCσ（U，Kσ，U（K），τ）<Pσ（U，K，τ）<Cσ（U，Kσ，U（K），τ），τ>0，0<K≤ U、 （21）注意，上述不等式适用于所有τ（不仅是渐近的，对于τ→ 0），因此，在到期之前的任何时候，只要标的是U。考虑到静态套期保值的对称问题，我们可以推导出以下等价系统：Pσ（U，（Kσ，U）-1（K），τ）<Cσ（U，K，τ）<U（Kσ，U）-1（K）Pσ（U，（Kσ，U）-1（K），τ），τ>0，0<K≤ U、 （22）备注4。从引理1很容易推断出pσ（U，K，τ）~ Cσ（U，Kσ，U（K），τ），τ→ 特别是，对于小τ，（21）中的第二个不等式比第一个不等式“严格得多”。原则上，上述等效性在一般扩散模型中是众所周知的（参见[26]），并且可以在不建立精确静态对冲的情况下获得：只需注意K和Kσ，U（K）是对称的w.r.t。dx/σ（x）给出的测地距离。

然而，这种等价性本身并不能产生（21）中的第二个不等式，即使它被限制为较小的τ，这就解释了命题2的必要性。此外，命题2得出（21）中的第一个不等式，并表明它们都适用于所有τ≥ 0.5交易隐含偏斜的偏差让我们展示（21）如何用于构建隐含偏斜稳健交易的投资组合–进一步称为RTI。每当隐含偏度偏离其典型价值范围时，购买这样一个投资组合，当隐含偏度回到正常范围时出售，应该会产生积极的回报。更准确地说，对于一个给定的障碍和一组给定的信念，B*或B*, 在隐含偏度上，theRTIS投资组合是一个静态的香草期权组合，它满足以下两个属性：1。如果隐含偏度满足了信念，并且基础在障碍的适当一侧，则投资组合具有正价格；2、如果隐含偏度与信念的偏差足够大，且基础离障碍不太远，则投资组合的价格为负值。请注意，只要标的资产处于障碍的适当一边，RTIS投资组合的价格就保证有一个正的符号，这取决于隐含偏差的水平，但不考虑隐含波动的总体水平，也不依赖于标的资产的确切价值。当然，RTISportfolio的确切价格可能取决于隐含波动率的整体形状和潜在价值。RTIS投资组合的两个属性的精确含义如下，见命题3和命题4。然而，上述公式足以看出RTI的实际益处。例如，假设在时间t，相对于当前基础水平（即。

使用Stas ABARIER）与信念（构建w.r.t.St）相差甚远。然后，可以选择一个新的障碍U并构建相应的信念w.r.t.U。新的障碍需要接近St，因此相对于U测量的隐含倾斜度也充分远离信念，反过来，关联RTIS投资组合的价格在时间t为负值。另一方面，障碍U不应太接近St，因此，底层可能会在一段时间内保持在U的同一侧（选择最佳U是成功实施此类策略的“艺术”）。然后，可以在t时在RTIS投资组合中打开多头头寸。如果在未来某个时间，偏度恢复到与信念一致的水平（必须假设这最终会发生，因为这是构建信念的原则），并且基础仍在障碍的适当一侧，RTIS投资组合的价格将变为正，产生正回报的。只要这一战略能够实施，就会产生积极的回报。它的可实现性inturn取决于隐含偏斜和底层的行为，而不取决于隐含波动性的任何其他变化。通过在St签订的远期合约中开立额外的静态头寸（初始价格为零，且对隐含波动率的变化不敏感），可以缓解策略对基础变化的敏感性，从而使投资组合的初始Black-Scholes delta为零。让我们展示如何构建满足上述两个定义属性的RTIS投资组合。投资组合的选择取决于我们是否有信念B*或B*. 在此，我们考虑B的情况*,另一个案例在备注9中讨论。

考虑障碍U和信念B*, 生成人∑∑*, 有一些σ*= （σ*1，σ*2> 0）（参见定义4）。考虑任意时间t，s.t.（St，∑mktt）可容许，∑mktt∈ B*（T），一些T>0，且St=U。注意，缩放σ*使用正常数c，缩放∑σ*在自然道路上：∑cσ*（U，K，τ）=c∑σ*（U，K，cτ）。然后乘以σ*通过一个正常数，我们得到▄σ=（▄σ，▄σ），这样▄σ/▄σ=σ*2/σ*1和∑Оσ（U，Ki，τ）≥ ∑mktt（Ki，τ），∑Оσ（U，Kj，τ）≤ ∑mktt（Kj，τ），Ki<U<Kj，τ∈ （0，T），（23）备注5。在下文中，我们确定了任意指数i，s.t.Ki<U，并避免使用其他低于门槛的期权。特别是，如果我们替换集合B，则后续语句成立*（T）通过其扩展，通过要求（7）仅对固定Ki<U（以及所有Kj>U）保持来获得。很容易看出，（23）意味着，对于所有Ki<U<Kjand所有τ∈ （0，T），Cσ（U，Kj，τ）=Cbs（U，Kj，τ，∑σ（U，Kj，τ））≤ Cbs（U，Kj，τ，∑mktt（Kj，τ））=Cmktt（Kj，τ），（24）Pσ（U，Ki，τ）=Pbs（U，Ki，τ，∑σ（U，Ki，τ））≥ Pbs（U，Ki，τ，∑mktt（Ki，τ））=Pmktt（Ki，τ）。（25）让我们介绍指数jσ*（i） 和jσ*（i） ：jσ*（i） =最小{j∈ {1，…，N}：Kj≥ Kσ*,U（Ki）}，（26）jσ*（i） =最大{j∈ {1，…，N}：U<Kj≤ Kσ*,U（Ki）}。（27）我们假设上述集合是非空的，因此j（i）和j（i）定义良好。那么，我们有：C▄σ（U，K▄，U（Ki），τ）=C▄（U，Kσ*,U（Ki），τ）≤ C￠σ（U，Kjσ*（i） ，τ）。收集上述不等式并利用（21），我们得到：Pmktt（Ki，τ）<Cmktt（Kjσ*（i） ，τ），τ∈ （0，T）。（28）只需注意，如果我们fix∑mktt，增加St的值将减少（28）的左侧，并增加其左侧。因此，我们证明了以下命题，该命题展示了如何构建RTI投资组合，并将RTI的首次定义属性形式化。提案3。

考虑障碍U>0和信念B*, 生成人∑∑*, 任意（但固定）σ*= （σ*1，σ*2> 0）。假设存在指数i，s.t.Ki<U和jσ*（i） 通过（27）明确定义。然后，在（St，∑mktt）可容许的任何时间t，St≥ U、 和∑mktt∈ B*（T），当一些T>0时，投资组合由欧洲看涨期权中的一份多头仓位组成，并带有罢工Kjσ*（i） 任何时候到期日都少于T，并且在一份同到期的欧洲看跌期权中有空头头寸，加上strikeKi，价格为正：即Cmktt（Kjσ*（i） ，τ）- Pmktt（Ki，τ）>0，τ∈ （0，T）。（29）提案3通过（29）定义了候选RTI投资组合，并表明其满足RTI的第一定义属性（在提案中所述的意义上）。下面的命题4阐明了RTI的第二个定义属性，并表明（29）给出的投资组合满足了这一属性。也就是说，命题4表明，当隐含偏差足够小（且基础处于屏障）时，拟议投资组合的价格变为负值。提案4。考虑势垒U和任意两对正数σ*= （σ*1，σ*2） 和σ*=（σ*, σ*). 假设存在指数（i，j），s.t.Ki<U和U+（U- Ki）σ*σ*= Kσ*,U（Ki）<千焦≤ Kσ*,U（Ki）=U+（U- Ki）σ*2σ*1.（30）用B表示*∑∑产生的信念*. 然后，在任意时间t，此时（St，∑mktt）是可容许的，St=U，∑mktt∈ B*（T），当一些T>0时，命题3中描述的投资组合具有负价格，前提是其到期日足够小：即Cmktt（Kjσ*（i） ，τ）- Pmktt（Ki，τ）<0，τ∈ （0，T），对于某些T∈ （0，T）.备注6.当jσ*（i） 和jσ*（i） 定义良好，σ*/σ*< σ*2/σ*1，屏障上方的可用罢工网格非常丰富。证据

为了证明命题4，我们注意到它的假设意味着jσ*（i） 和jσ*（i） 定义良好，存在j，s.t.Kσ*,U（Ki）<千焦≤ Kjσ*（i） 。后者，连同（21）和引理1中的第一个不等式，意味着，对于任何|σ=（|σ，|σ>0），其中|σ/|σ=σ*/σ*, 存在T>0，s.T.C∑（U，Kj，τ）≤KiUC￠σ（U，Kσ*,U（Ki），τ）<Pσ（U，Ki，τ），τ∈ （0，T）。此外，Cσ（U，Kjσ*（i） ，τ）≤ Cσ（U，Kj，τ），τ>0。最后，我们可以选择▄σ，s.t.▄σ/▄σ=σ*/σ*andC￠σ（U，Kjσ*（i） ，τ）≥ Cmkt（U，Kjσ*（i） ，τ），Pσ（U，Ki，τ）≤ Pmkt（U，Ki，τ），对于所有τ∈ （0，T）。收集上述不等式，我们得到命题的陈述。让我们澄清拟议RTIS投资组合的行为。请注意，理想情况下，anRTIS投资组合的价格符号应表明隐含偏差是否超出其正常范围。与此论点一致，命题3表明拟议RTIS投资组合的价格为正偏差当信念满足时（且基础处于或高于障碍）。同样，当信念不满足时（且基础处于障碍时），投资组合的价格变为负值也是可取的。然而，这种理想行为似乎很难实现，使用我们目前的方法肯定无法实现（除非市场隐含波动率总是由PCLVG模型精确给出）。因此，我们关注通过所提出的支配曲面族{∑∑}可以检测到的隐含偏斜偏差。特别是，命题4指出，当市场隐含偏度与∑∑产生的信念“分离”时，拟议RTIS投资组合的价格变为负值*, 由上支配曲面∑σ*偏斜度较低的：即。

σ*/σ*< σ*2/σ*1（底层位于屏障处）。很容易看出，除了（29）中给出的陈述之外，命题3和命题4的陈述也适用于其他投资组合。例如，如果我们通过增加一份认购期权来修改拟议的投资组合，这些声明适用于所有足够小的到期日。提案3和4的陈述仍适用于新的投资组合。下面的提案5表明，此类修改（即增加更多的看涨期权股份）描述了所有可能的静态投资组合，包括具有两个不同行使权的共同到期OTM期权，提案3和提案4适用。提议的RTISportfolio很特别，因为它是最小的。投资组合中允许的期权是共同到期的，因为投资组合旨在反映隐含偏斜，而隐含偏斜又只取决于罢工期间隐含偏斜的形状。罢工次数仅限于两次，因为此处开发的方法是针对小型到期日设计的，因此，较深OTM期权的价格相对可以忽略不计。此外，我们不包括远期合约，因为其价格对隐含波动率的变化不敏感。提案5。考虑障碍U和信念B*, 生成人∑∑*, 任意（但固定）σ*=（σ*1，σ*2> 0）。假设存在指数i，s.t.Ki<U，jσ*（i） 通过（27）明确定义，此外，Kjσ*（i） =Kσ*,U（Ki）。考虑任何权重α、β∈ R和任何指数j，满足：oKj>U；o在任何时间t，此时（St，∑mktt）是允许的，St=U，∑mktt∈ B*（T），当一些T>0时，我们有αCmktt（Kj，τ）+βPmktt（Ki，τ）>0，τ∈ （0，T）；（31）o在任何时间T，此时（St，∑mktt）是可容许的，St=U，∑mktt∈ B*（T），有些T>0，有些B*生成人∑∑*, 对于某些σ*= （σ*, σ*> 0），s.t。

σ*/σ*< σ*2/σ*1，我们有αCmktt（Kj，τ）+βPmktt（Ki，τ）<0，τ∈ （0，T），（32）带一些T∈ （0，T）.那么，我们必须有：j=jσ*（i） 和α≥ -β>0。备注7。约束Kjσ*（i） =Kσ*,U（Ki）简单地表示Kiandσ*2/σ*1使Kσ*,U（Ki）=U+（U-Ki）σ*2/σ*1延伸到可用罢工的网格。这可以通过限制σ的值来保证*2/σ*1至有限网格。或者，可以将此限制视为对屏障上方可用罢工网格丰富性的假设。证据首先，我们证明α≥ 0和β≤ 假设α<0。那么，命题1意味着我们可以选择σ=（σ，σ），σ=σ*2且σ>0足够小，以确保∑σ（U，Ki，0+）为任意小，而∑σ（U，Kj，0+）=∑σ*（U，Kj，0+）。命题1还暗示，对于足够小的σ>0，存在T>0，s.T∑σ∈ B*（T）。此外，（21）表示pσ（U，Ki，τ）<Cσ（U，Kσ，U（Ki），τ），τ>0，Kσ在（20）中定义。选择σ>0足够小，我们确保Kσ，U（Ki）>Kj。引理1表示cσ（U，Kj，τ）≥βαCσ（U，Kσ，U（Ki），τ）≥βαPσ（U，Ki，τ），τ∈ （0，T），可能不同的T>0，这与（31）相矛盾。同样，如果β>0，我们得到一个矛盾。注意，如果β=0，那么由于（31），α必须大于0，但在这种情况下，（32）不能成立。因此，重新调整投资组合，我们得出结论，设置β=-1并证明Kj=Kjσ*（i） 和α≥ 在实践中，在投资组合中包括在障碍处达成的远期可能有用：例如，这可能会降低RTISportfolio对基础变化的敏感性。在这种情况下，命题3、4和5仍然正确。假设Kj>Kjσ*（i） =Kσ*,U（Ki）。注意∑σ*∈ B*（T）（对于任何T>0）。