具有f期望的最优停车：不规则情况

对于所有可预测τ∈ T0，T，（2.4）C是一个具有C0的非减量右连续自适应纯间断过程-= 0且（Yτ- ξτ）（Cτ- Cτ-) = 所有τ均为0 a.s∈ T0，T.（2.5）此处Ac表示过程A的连续部分和施工支洞的不连续部分。方程式（2.4）和（2.5）被称为最小条件或斯科罗霍德条件。对于实值随机变量X和Xn，n∈ 在中，符号“Xn↑ X“代表”序列（Xn）是非减量的且收敛到X a.s.。对于拉德拉格过程φ，我们用φt+和φt表示-φatAs的左右极限通常为公式（2.3），表示a.s.，对于所有t∈ [0，T]，我们有：Yt=Yt+ZTtf（s，Ys，Zs，ks）ds-ZTtZsdWs-ZTtZEks（e）~N（ds，de）- hT+hT+AT- At+CT-- Ct-.具有f-期望的最佳停车：不规则情况7t。我们表示为+φt：=φt+-φt在t处φ的右跳跃的大小，以及φt：=φt-φt-t处φ左跳跃的大小。备注2。2在ξ有左极限的特殊情况下，我们可以用左极限过程（ξt）代替过程（ξt-) 在S korokhod条件下（2.4）。备注2。3如果（Y、Z、k、h、A、C）是上述RBSDE的解决方案，则由（2.3）得出Ct=Yt- Yt+，这意味着Yt≥ Yt+，对于所有t∈ [0，T）。因此，Y是r.u.s.c。此外，从cτ- Cτ-= -（Yτ）+- Yτ），结合Skorokhod条件（2.5），我们得出（Yτ- ξτ）（Yτ+- Yτ）=0，对于所有τ∈ T0，T.这与Yτ一起≥ ξτandYτ≥ Yτ+a.s.，导致Yτ=Yτ+∨ ξτa.s.所有τ∈ T0，T.定义2.4 Letτ∈ T、 如果对于所有停止时间τ，则称可选过程（φT）沿停止时间为右上半连续（分别为左上半连续）∈ tand对于停止时间（τn）的所有非递增（或非递减）序列，使得τn↓ τ（分别为τn↑ τ）a.s.，φτ≥ 林尚→∞φτna。s3、经典的最优停车问题。

在本节中，我们将重新讨论具有不规则支付过程和一般过滤的经典（线性）最优停止问题。3.1。重新讨论了经典线性最优排序问题。Let（ξt）t∈[0，T]是属于S的流程，称为奖励流程或支付流程。对于每个S∈ T0，T，we确定时间S处的值v（S）by v（S）：=ess supτ∈TS，TE[ξτ| FS]。（3.1）引理3。1（i）存在ladlag可选流程（vt）t∈[0，T]集合了族（v（S））S∈T0，T（即vS=v（S）a.S.对于所有S∈ T0，T）。此外，过程（vt）t∈[0，T]是大于或等于（ξT）T的最小强上鞅∈[0，T]。（ii）我们有vS=ξS∨ vS+a.s.适用于所有s∈ T0，T.（iii）对于每个S∈ T0，每个λ的Tand∈]0，1[，进程（vt）t∈[0，T]是[S，τλS]上的鞅，其中τλS：=inf{T≥ S，λvt（ω）≤ ξt}。的Pro。这些结果是由于最优停止理论的经典结果。对于前两个断言的证明，读者可以参考命题证明。注意，在不一定是非负支付过程ξ的情况下，该结果可以通过鞅XS进行转换：=E[ess supτ∈T0，Tξ-τ| FS]（参见[30]中的附录A）。更准确地说，该性质适用于▄v：=v+X和▄ξ=ξ+X.8 M.GRIGOROVA等人A.5，见附录【17】（其仍然适用于一般过程ξ∈ S） 。最后一个断言对应于最优停止理论的结果（参见[33]、[12]或引理2.7in[28]）。其证明基于Maingueneau（1978）引入的惩罚方法（用于凸分析）（参见[33]中定理2的证明），该方法不需要对奖励过程ξ进行任何正则性分析。

备注3。1从上述引理的（ii）中可以得出：+vS=1{vS=ξS}+vSa。s、 备注3。2让我们注意到，为了进一步参考，Maingueneau的惩罚方法显示了[s，τλs]上的鞅性质（上述引理中的性质（iii）），严重依赖于问题的凸性。引理3。2（i）Lemma3.1的值过程V属于Sand，允许以下（Mertens）装饰位置：（3.2）vt=V+Mt- 在- Ct-, 对于所有t∈ [0，T]a.s.，其中M∈ M、 A是一个非减量右连续可预测过程，使得A=0，E（AT）<∞, C是一个非减量右连续自适应纯不连续过程，使得C0-= 0，E（CT）<∞.（ii）对于每个τ∈ T0，T，我们有Cτ=1{vτ=ξτ}Cτa.s.（iii）对于每个可预测τ∈ T0，T，我们有Aτ=1{vτ-=ξτ}的AτA.s.Pro。根据引理3.1（i），过程（vt）t∈[0，T]是一个强超鞅。此外，利用鞅不等式，可以证明E[ess-supS∈T0，T | VS |]≤ c | | |ξ| | | S。因此，过程（vt）t∈[0，T]在S中（更确切地说，属于（D）类）。对类（D）的强超鞅应用梅腾斯分解（参见，例如，[8，附录1，Thm.20，等式（20.2）]）给出了分解（3.2），其中M是一个cadlag一致可积鞅，a是一个非递增右连续可预测过程，使得a=0，e（AT）<∞, C是一个非减量右连续适应的纯间断过程，使得C0-= 0，E（CT）<∞. 基于Dellacherie Meyer[8]的一些结果（参见[17]中的定理A.2和推论A.1），我们得出∈ 砂C∈ S、 这给出了断言（i）。Letτ∈ T0，T。通过Remark3.1和Mertens分解（3.2），我们得到Cτ=-+vτa.s.如下所示Cτ=1{vτ=ξτ}Cτa.s.，对应于（ii）。断言（iii）（关于A的跳跃）是由于El-Karoui（[12，命题2.34]）注意，El-Karoui[12]中的证明是针对非负p ay-o ffξ给出的。

为了从这一点转移到ξ也可能取负值的更一般的情况，我们应用El Karoui[12]的结果，其中ξ：=ξ+X（非负）和v：=v+X，其中过程X=（Xt）由Xt：=E[ess supτ]定义∈T0，Tξ-τ| Ft]。然后我们注意到，Mertens分解的Mertens过程（A，C）以f-期望最优停止：不规则情况9其证明基于等式AS=AτλSa。s、 ，对于每个s∈ T0，每个λ的Tand∈]0，1[（源自引理3.1（iii）和梅尔滕斯分解（3.2））。在“更规则”的情况下（例如，右上半连续的情况，参见[29]），连续部分的以下最小属性是众所周知的。在完全不规则ξ的情况下，此最小值属性不明确可用。直到最近，它才被布朗框架中的[27]（参见命题3.7）所证明。在这里，我们通过使用不同的分析论据将[27]的结果推广到一般过滤的情况。引理3。3 A的连续部分A满足等式T{vt->ξt}dAct=0 a.s.Pro of。

至于A的不连续部分，证明基于Lemma3.1（iii），并且还使用了一些类似于Karatzasand Shreve（1998）（[26]）中定理D13证明中使用的分析参数。我们必须证明RT（vt-- ξt）dAct=0 a.s.Lemma3.1（iii）得出每个s∈ T0，每个λ的Tand∈]0，1[，我们有AS=AτλSa.s。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设对于每个ω，映射t 7→ Act（ω）是连续的，映射t 7→ vt（ω）是左极限的，对于所有λ∈]0，1[∩Q和t∈ [0，T[∩Q、 我们有At（ω）=Aτλt（ω）。让我们用J（ω）表示非减量函数t 7的集合→ Act（ω）是“flat”：J（ω）：={t∈]0，T[，δ>0，有Act-δ（ω）=Act+δ（ω）}集合J（ω）是开放的，因此可以写成不相交数的可数并：J（ω）=∪i] αi（ω），βi（ω）[我们考虑（3.3）^J（ω）：=∪i] αi（ω），βi（ω）]={t∈]0，T]，δ>0，有Act-δ（ω）=Act（ω）}。我们有t^J（ω）dAct（ω）=Pi（Acβi（ω）（ω）- Acαi（ω）（ω））=0。因此，非减量函数t 7→ Act（ω）是^J（ω）上的“fl”。现在我们引入k（ω）：={t∈]0，T]s.T.vt-（ω） >ξt（ω）}我们接下来证明，对于几乎每个ω，K（ω）^J（ω），它清楚地提供了所需的结果。让t∈ K（ω）。让我们证明t∈^J（ω）。因此，通过（3.3），我们必须证明v的分解与v的Mertens分解的Mertens过程（A，~C）相同（实际上，只有两个d生态成分的可分割部分与X不同）。此外，我们看到集合{vτ-= ξτ}与v被▄v替换，ξ被▄ξ替换的集合相同（这是因为X是鞅，因此具有左极限；soXt=Xt-).10 M.GRIGOROVA ET AL.存在δ>0，因此Act-δ（ω）=Act（ω）。自t起∈ K（ω），我们有vt-（ω） >ξt（ω）。因此，存在δ>0和λ∈]0, 1[∩Q使t- δ∈ [0，T[∩Q和每个r∈[t- δ、 t[，λvr（ω）>ξr（ω）。通过定义τλt-δ（ω），可以得出τλt-δ（ω）≥ t。

现在，我们有acτλt-δ（ω）=Act-δ（ω）。从地图s 7开始→ Acs（ω）是非减量的，我们得到Act（ω）=Act-δ（ω），这意味着t∈^J（ω）。因此我们有K（ω）^J（ω），完成了证明。备注3。3我们注意到，引理3.1的断言（iii）中的鞅性质对于过程A的最小条件的证明（即，对于引理3.2的断言（iii）和引理3.3的证明）是至关重要的。3.2。具有附加瞬时报酬的经典线性最优停止问题。在本小节中，我们将前面的结果推广到这样的情况，即除了正向过程ξ之外，还有一个额外的运行（或瞬时）奖励过程f∈ IH。更精确地说，let（ξt）t∈[0，T]是属于S的流程，称为奖励流程或支付流程。设f=（ft）t∈[0，T]是一个可预测的过程，具有E[RTftdt]<+∞, 称为即时奖励过程。对于每个S∈ T0，T，我们确定时间S的值V（S）by V（S）：=ess supτ∈TS，TE[ξτ+ZτSfudu | FS]。（3.4）这相当于v（S）+ZSfudu：=ess supτ∈TS，TE[ξτ+Zτfudu | FS]。（3.5）因此，前一小节的结果可以用ξ·替换为ξ·R·fudua，用v（S）+RSfudu替换v（S）。这里是一个简短的总结。引理3。4（i）存在ladlag可选流程（Vt）t∈[0，T]集合了族（V（S））S∈T0，T（即VS=V（S）a.S.对于所有S∈ T0，T）。此外，工艺（Vt+Rtfudu）t∈[0，T]是大于或等于（ξT+Rtfudu）T的最小强超鞅∈[0，T]。（ii）我们有VS=ξS∨ VS+a.s。

f或所有S∈ T0，T.备注3。4根据上述引理中的（ii）可知+VS=1{VS=ξS}+VSa。s、 引理3。5（i）Lemma3.4的值过程V属于Sand，它承认以下（Mertens）装饰位置：（3.6）Vt=V-Ztfudu+Mt- 在- Ct-, 对于所有t∈ [0，T]a.s.，f-期望最优停车：不规则情况11m∈ M、 A是一个非减量右连续可预测过程，使得A=0，E（AT）<∞, C是一个非减量右连续自适应纯不连续过程，使得C0-= 0，E（CT）<∞.（ii）对于每个τ∈ T0，T，我们有Cτ=1{Vτ=ξτ}Cτa.s.（iii）对于每个可预测τ∈ T0，T，我们有Aτ=1{Vτ-=ξτ}AτA.s.引理3。6 A的连续部分A满足等式T{Vt->ξt}dAct=0 a.s。3.3。作为RBSDE解的值函数的特征。在本小节中，我们使用上述引理证明，经典最优停车问题（3.4）的值过程V通过参数驱动过程（ft）和障碍物（ξt）从定义2.3中求解RBSDE。我们还证明了该RBSDE解的唯一性。为此，我们首先在总体框架中提供RBSDE的先验估计。引理3。7（先验估计）Let（Y，Z，k，h，A，C）（分别为（Y，Z，k，h，A，C））∈ S×IH×IHν×M2，⊥×S×Sbe与驱动器f（ω，t）（分别为f（ω，t））和障碍物ξ相关的RBSDE的解。We s et▄Y：=Y- Y、 Z：=Z- Z、 A：=A- A、 C：=C- C、 k：=k- k、 h：=h- h、 和▄f（ω，t）：=f（ω，t）- f（ω，t）。存在SC>0，因此对于所有ε>0，对于所有β≥εwe havekZkβ≤ εk▄fkβ，k▄kkν，β≤ εkfkβ和khkβ，M≤ εkfkβ。（3.7）| | | Y | | |β≤ 4ε（1+12c）kfkβ。（3.8）Pro of。附录中给出了证明。

利用这些先验估计、前一小节中的引理和正交鞅分解（引理2.1），我们得出了值过程V的以下“细节特征”。定理3.1设V为最优停止问题（3.4）的值过程。设A和C是与V的Mertens分解（3.6）相关的非递减过程。存在唯一的三重态（Z，k，h）∈ IH×IHν×M2，⊥因此，过程（V，Z，k，h，A，C）是定义2.3中RBSDE的解，与驱动过程f（ω，t，y，Z，k）=ft（ω）和障碍物（ξt）相关。此外，这种RBSDE的解决方案是独特的。的Pro。根据引理3.4（ii），对应于最优停止问题（3.4）的值过程V满足VT=V（T）=ξTa。s、 和Vt≥ ξt，0≤ t型≤ 根据引理3.5（ii），V（3.6）的Mertens分解过程C满足最小条件（2.5）。此外，根据引理3.5（iii）和引理3.6，该过程满足最小条件12 M.GRIGOROVA等人的条件（2.4）。根据引理2.1，存在唯一的三重态（Z，k，h）∈ IH×IHν×M2，⊥这样，dMt=ZtdWt+REkt（e）~N（dt，de）+dht。因此，过程（V、Z、k、h、A、C）是与驱动过程（ft）和障碍物ξ相关的RBSDE（2.3）的解决方案。它仍然需要显示解决方案的唯一性。使用引理3.7中的先验估计，以及经典参数（参见[17]中引理3.3证明的步骤5），我们得到了期望的结果。我们有兴趣将此结果推广到具有非线性f-期望（与非线性驱动因子f（ω，t，y，z，k）的最优停止问题（1.1）的情况。为此，在一般（非线性）Lipschitz驱动因子f（ω，t，y，z，k）的情况下，我们首先从定义2.3建立RBSDE的存在性和唯一性结果。4.

在一般驾驶员的情况下，具有不规则障碍和一般扰动的RBSDE解的存在性和唯一性。在理论3.1中，我们已经证明，在驱动程序不依赖于y、z和k的情况下，定义2.3中的RBSDE允许一个唯一的解决方案。利用这个结果以及引理3.7中的上述先验估计，我们在一般Lipschitz驱动f（t，y，z，k）的情况下得出了以下存在性和唯一性结果。定理4.1（存在唯一性）设ξ为沙中的一个过程，设f为Lipschitz驱动。定义2.3中带有参数（f，ξ）的RBSDE允许唯一解（Y，Z，k，h，a，C）∈ S×IH×IHν×M2，⊥×S×S.Pro的。对于每个β>0，我们用Bβ表示Banach空间S×IH×IHν，该空间与由k（Y，Z，k）kBβ定义的范数k（·，·，·）kBβ相乘：=| | | Y | | |β+kZkβ+kkkν，β，表示（Y，Z，k）∈ S×IH×IHν。我们将Φ从Bβ到自身的映射定义如下：f或给定（y，z，l）∈ Bβ，我们设置Φ（y，z，l）：=（y，z，k），其中y，z，k是与驱动过程f（s）：=f（s，ys，zs，ls）和障碍ξ相关的RBSDE的解（y，z，k，h，A，C）的前三个分量。映射Φ由定理3.1很好地定义。利用引理3.7中的a先验估计以及与文献[17]中定理3.4的证明类似的计算，我们得出Φ是范数k·kBβ的收缩。根据Banach空间Bβ中的不动点定理，映射Φ因此允许一个唯一的不动点，该不动点对应于具有参数（f，ξ）的R BSDE的唯一解。备注4。1在[27]中，上述存在唯一性结果用惩罚方法在布朗框架中给出。

我们的方法提供了这个结果的另一种证明。带f-期望的最优停止：不规则情况13我们现在提供RBSDE解决方案的usef-ul属性，该属性将在续集中使用。引理4。1（Y的Ef鞅性质）设ξ为沙中的一个过程，设f为aLipschitz驱动。设（Y，Z，k，h，A，C）为反射BSDE的解，参数（f，ξ）如定义2.3所示。对于每个S∈ T0，Tand对于每个ε>0，我们设置（4.1）τεS：=inf{t≥ S，Yt≤ ξt+ε}。过程（Yt）是[s，τεs]上的Ef鞅。证明：一般过滤的证明与[17]中引理4.1（陈述（ii））的证明相同，此处给出的证明是为了方便读者。通过定义τεS，我们得到：对于a.e.ω∈ Ohm, 对于所有t∈ [S（ω），τεS（ω）[，Yt（ω）>ξt（ω）+ε。因此，根据A的Skorokhod条件，我们得到了A.e.ω的条件∈ Ohm, 功能t 7→ Act（ω）在[S（ω），τεS（ω）[上是常数；通过过程Ac的几乎每个轨迹的连续性，Ac·（ω）在闭合区间[S（ω），τεS（ω）]上是常数，对于a.e.ω。此外，（同样是A的Skotok hod条件），对于A.e.ω∈ Ohm, 功能t 7→ Adt（ω）在[S（ω），τεS（ω）[上是常数。此外，Y（τεS）- ≥ ξ（τεS）- + εa.s.，这意味着AdτεS=0 a.S.最后，对于a.e.ω∈ Ohm, 对于所有t∈ [S（ω），τεS（ω）[，Ct（ω）=Ct（ω）- Ct-（ω） =0；因此，对于a.e.ω∈ Ohm, 对于所有t∈ [S（ω），τεS（ω）[，+Ct-（ω） =Ct（ω）- Ct-（ω） =0，这意味着，对于a.e.ω∈ Ohm, 功能t 7→ Ct-（ω） 在[S（ω），τεS（ω）[上是常数。通过过程的几乎每个轨迹的左连续性（Ct-), 我们得到了a.e.ω∈ Ohm, 功能T 7→ Ct-（ω） 在闭区间[S（ω），τεS（ω）]上为常数。因此，对于a.e.ω∈ Ohm, mapt 7→ At（ω）+Ct-（ω） 在[S（ω），τεS（ω）]上为常数。因此，Y是与驱动器f、终端时间τε和终端条件YτεS相关的BSDE的[S，τεS]上的解。结果如下。