具有f期望的最优停车：不规则情况

备注4。2注意，在ξ为非负的情况下，上述结果也适用于随机区间[S，τλS]，其中λ∈ （0，1）和τλS：=inf{t≥ S：λYt≤ ξt}。注意，在非负障碍的情况下，我们还有Y≥ 0（作为Y≥ ξ≥ 0）；因此，λYT≤ YT=ξTa。s、 和τλSis fin ite a.s.5。具有非线性f-期望的最优停止：问题的形式。Let（ξt）t∈[0，T]是S中的一个进程。让f是Lipschitz驱动程序。对于每个S∈ T0，T，weWe注意到，[17]中引理4.1（陈述（ii））的p屋顶不需要ξ的r.u.s.c.假设。14 M.GRIGOROVA等人用（5.1）V（S）定义时间S的值：=ess supτ∈TS，TEfS，τ（ξτ）。我们对驱动程序进行以下评估（参见，例如，【38】中的定理4.2）。假设5.1假设dP 每个（y、z、k、k）的dt-a.e∈ R×（Lν），f（t，y，z，k）- f（t，y，z，k）≥ hθy，z，k，kt，k- kiν，其中θ：[0，T]×Ohm ×R×（Lν）→ Lν；（ω，t，y，z，k，k）7→ θy，z，k，kt（ω，·）是P B（R）B（（Lν））-可测映射，满足kθy，z，k，kt（·）kν≤ C f或全部（y、z、k、k）∈ R×（Lν），dP dt-a.e.，其中C是一个正常数，θy，z，k，kt（e）≥ -1，适用于所有（y、z、k、k）∈ R×（Lν），dP dt公司 dν（e）- a、 e.例如，如果f是关于k的CW类，则满足上述假设kf有界（在Lν中），且kf公司≥ -1（参见[9]中的命题A.2）。我们记得，在驱动器f上的假设5.1下，函数EfSτ（·）是不递减的（参见[38，Thm.4.2]和R emark 12.1）。如引言中所述，上述最优停车问题已被大量研究：【14】和【3】中，在连续支付过程ξ的情况下；在【39】和【1】中，如果是权利连续支付；最近在【17】中，关于RightUpper半连续支付过程ξ。在本节中，我们不对ξ（cf。

另请注意2.2）。如果我们将ξ理解为一个财务头寸过程-Ef（·）作为一种动态风险度量（参见[36]、[40]），那么（直到负号）V（S）可以被视为最小风险时间。正如引言中所述，缺乏规律性允许建模更加灵活。例如，如果我们考虑一种情况，其中泊松随机度量模型的跳跃时间为违约时间（完全无法访问，无法预见），那么，完全缺乏规律性允许考虑违约发生后对ξ的中间非平稳、正或负影响。如果我们将ξ解释为支付过程，将Ef（·）解释为非线性定价规则，那么最优停止问题（5.1）与具有支付ξ的美式期权的（非线性）定价问题有关。由于缺乏规律性，我们可以处理支付不规则的美式期权的情况，例如美式数字期权（详情参见第11.1节）。另一方面，过滤不一定是与W和N相关的自然过滤，这一事实允许在建模中加入一些额外的信息（例如，违约风险或其他经济因素）。我们首先讨论了一个更简单的情况，即假设美国的支付是正确的。c、 这一带有f-期望的最佳停止：不规则案例15对正确的美国加州案例的初步研究将允许我们建立关于一般过滤的强Ef超鞅的Ef Mertens分解（扩展文献中的现有结果；参见[4]和[17]）。这将是在完全不规则支付情况下处理非线性最优停止问题的一个重要结果。无n-线性f-期望的最优停止：正确的u.s.c.情况。Letf是满足假设5.1的Lipschitz驱动程序。

以下结果在很大程度上依赖于ξ的右上半连续性假设。引理6。1设ξ为S中的一个过程，假设为正确的u.S.c。设（Y，Z，k，h，a，c）为反射BSDE的解，参数为（f，ξ），如定义2.3所示。让我们∈ T0，Tandletε>0。设τεSbe为（4.1）定义的停止时间，即τεS:=inf{t≥ S，Yt≤ ξt+ε}。我们有（6.1）YτεS≤ ξτεS+εa.S.证明：在一般过滤的情况下，该结果的证明与[17，引理4.1（i）]在布朗泊松过滤的情况下的证明相同。我们再次给出论证，以强调右上半连续假设对ξ的重要作用。通过矛盾的方式，我们假设P（YτεS>ξτεS+ε）>0。根据C的Skorokhod条件，我们有CτεS=CτεS- C（τεS）-= 集合{YτεS>ξτεS+ε}上的0。另一方面，由于R emark2.3，CτεS=YτεS- Y（τεS）+。因此，在集合{YτεS>ξτεS+ε}上，YτεS=Y（τεS）+。因此，在集合{YτεS>ξτεS+ε}上，（6.2）λY（τεS）+>ξτε。我们将得出与这一说法相矛盾的结论。让我们xω∈ Ohm. 通过定义τεS（ω），存在一个非递增序列（tn）=（tn（ω））↓ τεS（ω），使得Ytn（ω）≤ ξtn（ω）+ε，对于所有n∈ 在中。因此，lim s upn→∞Ytn（ω）≤ 林尚→∞ξtn（ω）+ε。由于ξ的过程是右上半连续的，因此我们有lim supn→∞ξtn（ω）≤ ξτεS（ω）。另一方面，as（tn（ω））↓ τεS（ω），我们有lim supn→∞Ytn（ω）=Y（τεS）+（ω）。因此，Y（τεS）+（ω）≤ ξτεS（ω）+ε，与（6.2）相矛盾。我们得出结论，YτεS≤ ξτεS+εa.S。借助前面的引理和引理4.1，我们得到以下结果。定理6.1（r.u.s.c.情况下的特征化定理）Let（ξt）t∈[0，T]是S中的一个过程，应该是正确的u.S.c.让（Y，Z，k，h，a，c）是反射BSDE的解，参数（f，ξ）如定义2.3.16 M所示。

GRIGOROVA等人o每次停车时间S∈ T、 我们有（6.3）YS=ess supτ∈TS，TEfS，τ（ξτ）a.s.o此外，由（4.1）定义的停止时间τεs，即τεs=in f{t≥ S、 年初至今≤ ξt+ε}，满足（6.4）YS≤ EfS，τεS（ξτεS）+Lεa.S.，其中L是一个仅依赖于t和f的Lipschitz常数K的常数。换句话说，τε是问题（6.3）的Lε-最优停止时间。证明：这些参数是类ical。让我们展示一下不等式（6.4）。由于引理4.1中的过程（Yt）是[S，τεS]上的Ef鞅，我们得到YS=EfS，τεS（YτεS）a.S。因为ξ是右u。s、 我们可以应用Lemma6.1。利用这一点、条件期望的单调性和BSDE的先验估计（参考文献[38]，在我们的一般过滤情况下，它仍然有效），我们推导出YS=EfS，τεs（Yτεs）≤ EfS，τεS（ξτεS+ε）≤ EfS，τεS（ξτεS）+Lεa.S.，其中L是一个正常数，仅取决于T和驱动器f的Lipschitz常数K；这就得到了所需的不等式（6.4）。此外，由于ε是一个任意的非负数，我们得到了YS≤ ess supτ∈TS，TEfS，τ（ξτ）a.s。它仍然显示逆不等式。Letτ∈ 根据Lemma12.2，在附录中，过程（Yt）是一个强大的Ef超级鞅。因此，对于每个τ∈ TS，T，我们有YS≥EfS，τ（Yτ）≥ EfS，τ（ξτ）a.s.，其中第二个不等式来自不等式Y≥ ξ和Ef（·）的单调性（关于终端条件）。通过取τ上的supremum∈ TS，T，我们有YS≥ ess supτ∈TS，TEfS，τ（ξτ）a.s.因此，我们导出了desiredequality（6.3），从而完成了证明。我们现在研究最优停止问题（6.3）的最优停止时间的存在性问题。我们首先提供一个最优性标准。引理6。2（最优性准则）Let（ξt，0≤ t型≤ T）成为一个过程，让fbe成为一个可预测的Lipschitz驱动程序，满足假设5.1。

让我们∈ T0，Tandτ*∈ 换句话说，过程（Yt）聚合了价值族（V（S），S∈ T） 由（5.1）定义，即YS=所有S的V（S）a.S∈ T0，T。让我们强调，在没有过程ξ的右上角连续性假设的情况下，这个最优性标准是成立的。具有f-期望的最优停止：不规则情形17If Y是[S，τ]上的强Ef鞅*] 带Yτ*= ξτ*a、 s.，则停止时间τ*时间S的等时性（即YS=EfS，τ*（ξτ）*) a、 （美国）。如果假设5.1中的不等式是严格的（即θy，z，k，kt>- 1） 。证明：在布朗泊松滤波的情况下，这个结果的证明可以在[17，命题4.1]中找到。一般过滤的证明是相同的，因此省略。我们现在证明，如果ξ沿停止时间被假定为r.u.s.c.和l.u.s.c.，则存在一个最佳停止时间。让我们∈ T、 让我们回顾一下τεS之前的定义：τεS：=inf{T≥ S，Yt≤ ξt+ε}。我们注意到τε在ε中没有增加。设（εn）为收敛于0的非递增正序列。我们设置^τS：=limn→∞↑ τεnS。随机时间^τ是TS中的停止时间。我们还设置τS：=inf{t≥ S，Yt=ξt}。我们注意到τεnS≤ τSa。s、 对于所有n。因此，通过传递到极限，我们得到^τs≤ τSa。s、 在下面的定理中，我们证明了，在附加假设ξ沿停止时间为l.u.s.c.的情况下，s顶部时间^τ是时间s的最佳停止时间。我们还表明停止时间^τ和τs包括。定理6.2（最优停止时间的存在性）Let（ξt，0≤ t型≤ T）成为沙中的r.u.s.c.过程，让f成为满足假设5.1的可预测Lipschitz驱动因素。此外，我们假设（ξt）是沿停车时间的l.u.s.c。然后，停止时间^τS S-最优，即达到（6.3）中的最大值。

此外，^τS=τSa。s、 证明：由于（ξt）是l.u.s.c.沿停止时间，我们有（6.5）lim supn→∞ξτεnS≤ ξ^τSa。s、 通过对（无反射的）BSDE应用Fatou引理（参见[11]中的引理A.5），我们得到（6.6）lim supn→∞EfS，τεnSξτεnS≤ EfS，^τS林尚→∞ξτεnS≤ EfS，^τSξ^τSa、 请注意，在布朗泊松过滤的情况下，图[11]所示的（无反射的）BSDE的Fatou引理在我们的一般过滤框架中仍然成立。18 M.GRIGOROVA等人，其中最后一个不等式来自（6.5）和EfS的单调性，^τS（·）。另一方面，根据定理6.1中的等式（6.4），我们得到了YS≤ 林尚→∞EfS，τεnSξτεnSa、 从这个，再加上（6.6），我们得到了YS≤ EfS，^τSξ^τSa、 这表明^τ是一个最佳停止时间。现在我们来证明等式^τS=τSa。s、 我们已经注意到^τs≤ τSa。s、 它可以显示逆不等式。请注意，对于每个S∈ T0，T，YSis等于与支付过程（ξT）和瞬时奖励过程（ft）相关的线性最优停止问题在时间s的值，由ft（ω，T）定义：=f（ω，T，Yt-（ω） ，Zt（ω），kt（ω）），即ys=ess supτ∈TS，TE[ξτ+ZτS'fudu'FS]a.S。。（6.7）不难看出^τ对于该线性最优停止问题也是最优的。现在，根据线性最优停止的经典结果，τ是问题的最小最优停止时间（6.7）；因此，我们有^τS≥ τSa。s、 ，这就完成了证明。命题6.1 Let（ξt，0≤ t型≤ T）成为沙中的r.u.s.c.流程，让f成为可预测的Lipschitz驱动因素。此外，我们假设（ξt）沿停车时间为l.u.s.c。设（Y，Z，k，h，A，C）为反射BSDE的解，参数（f，ξ）如定义2.3所示。

然后，过程A是连续的。证明：给出带参数（f，ξ）的反射BSDE的解（Y，Z，k，h，A，C），我们用f（ω，t）：=f（ω，t，Yt）定义过程f-（ω） ，Zt（ω），kt（ω））。流程f在IH中是一个可预测的流程。从“f”的定义和定义2.3中，我们可以看出（Y、Z、k、h、A、C）是RBSDE的解决方案，其中驱动过程“f”和障碍ξ。根据定理3.1（在具有给定驱动程序过程和线性最优停止的RBSDEs上），对于所有∈ T、 YS=ess supτ∈TS，TE[ξτ+ZτS'fudu'FS]a.S.，（6.8），相当于YS+RS'fudu=ess supτ∈TS，TE[ξτ+Rτ'fudu | FS]a.s.根据经典线性期望最优停止的结果，我们推断a是连续的，因为（ξt）是R.u.s.c.和l.u.s.c.沿停止时间的（参见，例如，命题B.10带有f-期望的非最佳停止：不规则情况19[28]）。7、Ef Mertens分解强Ef Super-Marting ales与一般过滤。通过使用上述以r.u.s.c.障碍作为非线性最优停止问题（5.1）值函数的RBSDE解的特征（参见定理6.1），我们导出了强Efsupermartingales的EFMertens分解，它将[17]中提供的分解（参见[17]中的定理5.2]）推广到了一般过滤的情况。如前所述，这是目前工作中的一个重要性质，它将允许我们解决完全不规则情况下的非线性最优停止问题（参见第9.3节，更准确地说是命题9.1的证明，以及定理10.1）。定理7.1（Ef Mertens d ecocomposition）设（Yt）为S中的一个过程。设f为满足假设5.1的有效chitz驱动程序。

该过程（Yt）是一个强Ef超马氏过程，且仅当SwithA=0中存在一个非减量右连续可预测过程a，Swith C0中存在一个非减量右连续自适应纯间断过程C-= 0，以及三个进程Z∈ IH，k∈ Hν和H∈ M2，⊥, 这样a.s.forall t∈ [0，T]，（7.1）-dYt=f（t，Yt，Zt，kt）dt+dAt+dCt--ZtdWt公司-ZEkt（e）~N（dt，de）-dht，0≤ t型≤ T、 这种分解是独特的。此外，强Ef超鞅必然是r.u.s.c.证明：假设（Yt）是强Ef超鞅。通过与[17]中相同的参数（参见[17]中的引理5.1），可以证明过程（Yt）是r.u.s.c.让s∈ T、 由于（Yt）是一个强Ef超鞅，我们推导出所有τ∈ TS，我们有YS≥ EfS，τ（Yτ）a.s.我们得到YS≥ ess supτ∈TSEfS，τ（Yτ）a.s.现在，通过定义本质上确界YS≤ ess supτ∈TSEfS，τ（Yτ）a.s.因为s∈ 因此，YS=ess supτ∈TSEfS，τ（Yτ）a.s.根据定理6.1，过程（Yt）与与（r.u.s.c.）障碍物（Yt）相关的反射BSDE的解一致，因此允许分解（7.1）。相反的则来自于附录中的引理12.2。8、完全不规则情况下具有非线性f-期望的最优停车：进近的直接部分。我们现在转向非线性的研究，注意到[28]中的命题B.10也适用于奖励过程不一定是非负相关的情况。对于不依赖于k的driverf（t，y，z），通过使用不同的方法，Ef-Mertens分解也显示在【4】（与【17】中相同）。20 M.GRIGOROVA ET AL.在（ξt）完全不规则的更困难的情况下的最优停车问题（5.1）。由于过程（ξt）不是r.u.s.c.，不等式Yτεs≤ ξτεS+ε（即。

不等式（6.1））不一定成立（即使在线性期望的最简单情况下也不成立；参见，例如，[12]）。这妨碍了我们在此采用r.u.s.c.案例中使用的方法，以证明非线性最优停止问题的值在RBSDE解方面的最小特征。因此，当ξ完全不规则时，我们必须进行不同的处理。我们使用一种组合方法，包括直接部分和anRBSDE部分。本节专门讨论我们对非线性动力停止问题（5.1）的方法的直接部分。8.1。关于值族的初步结果。让我们首先介绍通过T0，T（或Dellacherie和Lenglart[6]词汇表中的T0，T系统）中的停止时间索引的容许随机变量族的定义。定义8.1我们说族U=（U（τ），τ∈ T0，T）如果满足以下条件1，则可接受。对于所有τ∈ T0，T，U（τ）i是实值Fτ-可测随机变量。2、对于所有τ，τ′∈ T0，T，U（τ）=U（τ′）a.s。关于{τ=τ′}。此外，我们还说，对于所有τ，可容许f族U是平方可积的∈ T0，T，U（τ）是平方可积的。引理8。1（家族的可受理性V）家族V=（V（S），S∈ T0，T）definedin（5.1）是一个平方可积容许族。证明：该证明使用了与linearexpectations（参见，例如，[31]）“经典”案例中使用的参数类似的参数，并结合了f期望的一些属性。对于每个S∈ T0，T，V（S）是一个FS可测平方可积随机变量，这是由于条件f期望和本质上确界的定义（参见[34]）。让我们证明可采性定义的属性2。设S和S′是T0，T中的两个停止时间。我们设置A：={S=S′}，并且我们证明了对于每个τ，V（S）=V（S′），P-A.S.在A上∈ 我们设置τA：=τ1A+T 1Ac。我们有τA≥ S’a.S。

通过使用a上的S=S′a.S.这一事实、a上的τa=τa.S.这一事实以及条件f-期望的标准性质（参见，如[19]中的命题a.3，它可以在不困难的情况下扩展到一般过滤的框架），我们得到了AEF，τ[ξτ]=1AEfS′，τ[ξτ]=EfτAS′，T[ξτa]=EfτAAS′，T[ξAA]=1AEfS′，τa[ξτττττa]≤ 1AV（S′），其中fτ（t，y，z，k）：=f（t，y，z，k）1{t≤τ} 。通过对两侧进行ess支持，我们获得1AV≤ 1AV（S′）。通过交换Sand S′的角色，我们得到了逆不等式。f-期望最优停车：不规则情况21引理8。2个（优化顺序）∈ T0，T，存在一个序列（τn）n∈不停止TS中的时间，t序列（EfS，τn（ξτn））n∈Nis非减损andV（S）=limn→∞↑ EfS，τn（ξτn）a.s。证明：由于本质上至上的一个经典结果（参见[34]），有足够的证据表明∈ T0，T，族（ES，τ（ξτ），τ∈ T）在成对最大化下是稳定的。让我们来看看∈ T0，T.Letτ∈ TS，Tandτ′∈ 我们定义A：={EfS，τ′（ξτ′）≤ EfS，τ（ξτ）}和ν：=τ1A+τ′Ac。我们有∈ FSandν∈ 我们计算1AEfS，ν（ξν）=EfνAS，T（ξνA）=EfτAS，T（ξτA）=1AEfS，τ（ξτ）A.s。类似地，我们计算1AcEfS，ν（ξν）=1AcEfS，τ′（ξτ′）。因此，EfS，ν（ξν）=EfS，τ（ξτ）1A+EfS，τ′（ξτ′）1Ac=EfS，τ（ξτ）∨ EfS，τ′（ξτ′），证明了成对最大化下的稳定性，并给出了证明。