具有f期望的最优停车：不规则情况

因此，Reff[ξ]=Y加入了分解（7.1），根据定理7.1，这意味着Reff[ξ]=Y是一个强ef超鞅。此外，根据定义，Reff[ξ]=Y大于或等于阻力ξ。借助上述命题，我们证明了过程Reff[ξ]，即具有（不规则）障碍ξ的RBSDE解的第一个分量，在大于或等于ξ的最小强Ef超鞅项下具有特征。定理9.2（算子Reffand和Ef-Snell包络算子）设ξbea过程为满足假设5.1的Lipschitz驱动。第一个分量Y=反射BSDE的解的Reff[ξ]，参数（ξ，f）与ξ的Ef-Snell包络线一致，即，最小的强Ef超鞅大于或等于ξ。证明：根据命题9.1的第三个断言，过程Y=Reff[ξ]是一个满足Y的强ef超鞅≥ ξ。它仍然显示最小属性。设Y′是一个强Ef超鞅，使得Y′≥ ξ。我们有Reff[Y′]≥ Reff[ξ]，由于运算符Reff的非增量s（参见命题9.1，第一断言）。另一方面，Reff[Y′）=Y′（由于命题9.1，第二断言）和Reff[ξ]=Y。因此，Y′≥ Y，这是期望的结论。在右连续左受限障碍物ξ的情况下，上述特征已在【39】中建立；在[17，Prop.4.4]中，它被推广到右上半连续障碍物的情况。然而，让我们注意到，在[39]和[17]中给出的证明的论点不能适应我们的一般框架。10、在完全不规则的情况下，根据RBSDE对价值过程的微小描述。以下定理是30 M.GRIGOROVA等人定理9.2和定理8.2的直接结果。

它给出了valueprocess（Vt）t的“微小特征”∈非线性问题（5.1）的[0，T]。定理10.1（RBSDE的特征化）Let（ξt）t∈[0，T]是砂中的过程，让f是满足假设5.1的Lipschitz干燥器。价值过程（Vt）t∈[0，T]聚合族V=（V（S），S∈ （5.1）定义的T0，T）与第一组分（Yt）T一致∈具有驱动因子f和障碍ξ的RBSDE解的[0，T]。换句话说，我们有∈ T0，T，（10.1）YS=VS=ess supτ∈TS，TEfS，τ（ξτ）a.s。利用这个定理，我们得到了以下推论，它将经典最优停止理论的一些结果（更准确地说，Lemma3.4中的断言（ii）和（iii））推广到了具有（非线性）f-期望的最优停止问题的情况。备注10。1在ξ完全不规则的情况下，让我们总结一下我们对非线性最优停止问题（5.1）的两部分方法：首先，我们对问题（5.1）应用了直接方法，它表明值族（V（s））∈T0，t可通过可选进程（Vt）t聚合∈[0，T]，然后，将（Vt）描述为（完全不规则的）支付过程（ξT）的f-Snell包络。另一方面，我们应用了RBSDE方法，该方法包括在RBSDE上建立一些结果，这些结果具有完全不规则的障碍（特别是存在性、唯一性和比较结果）和运算符Reff的一些有用属性，然后利用这些性质证明RBSDE的唯一解（Yt）等于完全不规则障碍物的Ef-Snell包络。

然后，我们从这两部分（直接部分和RBSDE部分）推断出（Yt）和（Vt）重合，这为价值过程（Vt）提供了一个极小的特征。最后，让我们把非线性最优停止问题（5.1）的一些结果放在一起：i）o对于任何奖励过程ξ∈ S、 对于所有t，a.S.（定理10.1），我们有最小特征vt=Yt=Refft[ξ]。o同时，（Vt）t∈[0，T]是支付过程ξ的Ef-Snell包络线（定理8.2）。ii）此外，如果ξ为右-u.s.c.，则对于任何s∈ T0，T，对于任何ε>0的问题，在时间S存在一个Lε最优停止时间。（定理6.1）。iii）此外，如果ξ沿停车时间也是左u.s.c.，则对于任何s∈ T0，T，在时间S存在问题的最佳停止时间（定理6.2）。我们强调，这些性质的证明（参见命题9.1）在很大程度上依赖于强Ef超鞅的Ef Mertens分解（参见定理7.1），这是在r.u.s.c.案例中建立的初步结果（定理6.1）的直接结果。具有f-期望的最佳停车：不规则情况3111。理论10.1.11.1的应用。适用于支付完全不规则的美式期权。在下面的示例中，我们设置E：=R，ν（de）：=λδ（de），其中λ是一个正常数，其中δ表示1处的狄拉克测度。

过程Nt：=N（[0，t]×{1}）是一个带有参数λ的泊松过程，我们有▄Nt：=▄N（[0，t]×{1}）=Nt- λt。我们假设过滤是与W和N相关的自然过滤。我们考虑一个金融市场，该市场由一个无风险资产（其价格过程为dSt=Strtdt）和两个有价格过程S的风险资产（其价格过程为：dSt=St）组成-【utdt+σtdWt+βtdNt】；dSt=St-[utdt+σtdWt+βtdNt]。我们假设过程σ、σ、β、β、r、u、u是可预测和有界的，其中βit>- 1表示i=1，2。设ut：=（u，u）′，并设∑t：=（σt，βt）为2×2矩阵，其中第一列σt：=（σt，σt）′，第二列βt：=（βt，βt）′。我们假设∑是可逆的，∑的系数-1有界。我们考虑一位可以投资其初始财富x的代理人∈ 三项资产中的R。对于i=1，2，我们用ДIt表示投资于IthRisk ass et的金额。属于H×Hν的过程Д=（Д，Д）′将被称为投资组合策略。在时间t时，相关投资组合（或财富）的价值用Xx，аt（或simplyby Xt）表示。在完美市场的情况下，我们有dxt=（rtXt+Дt（ut- rt）+Дt（ut- rt））dt+（Дtσt+Дtσt）dWt+（Дtβt+Дtβt）d？Nt=（rtXt+Д′t（ut- rt1）dt+Д′tσtdWt+Д′tβtdNt，其中1=（1，1）′。更一般地说，我们将假设市场可能存在一些不完善之处，这是通过财富动态的非线性近似性来考虑的，并包含在满足假设5.1的Lipschitz驱动因素中（参见。

[14] 或【10】中的一些示例）。更准确地说，我们假设财富过程Xx，Дt（也就是Xt）满足前向微分方程：（11.1）- dXt=f（t，Xt，Дt′σt，Дt′βt）dt- νt′σtdWt- ^1t′βtdNt；X=X，或等效设置Zt=Дt′σ和kt=Дt′βt，（11.2）- dXt=f（t，Xt，Zt，kt）dt- ZtdWt公司- ktdNt；X=X。注意（Zt，kt）=Дt′∑t，这相当于Дt′=（Zt，kt）∑-1吨。该模型包括完美市场的情况，其中f是由f（t，y，z，k）=-rty公司- （z，k）∑-1t（ut- rt1）。32 M.GRIGOROVA等人评论1 1。1请注意，财富过程Xx，Д是Ef鞅，因为Xx，Д是BSDE与驱动因素f、终端时间T和终端条件Xx，ДT的解。让我们考虑一个与终端时间T和支付函数相关的美式选项，通过一个过程（ξT）∈ S、 与文献中常见的情况一样，期权在时间0时的超边际价格（用u表示）被定义为使卖方能够在任何时候投资于价值大于或等于期权收益的投资组合的最低初始财富。更准确地说，对于每个初始财富x，我们用A（x）表示所有投资组合策略的集合∈H×Hν使得Xx，νt≥ ξt，对于所有t∈ [0，T]a.s.因此，美国期权的超高价格定义为（11.3）u:=inf{x∈ R^1∈ A（x）}。使用值函数（5.1）的最小特征（参见。

定理10.1），我们展示了超边缘p rice u的以下特征，以及超边缘策略的存在性。命题11.1设（ξt）为可选过程，使得E[ess supτ∈T |ξτ|]<∞.（i） 带payoff（ξT）i的美式期权的超边际价格Uo等于时间0时最优停止问题（1.1）的值函数V（0），即（11.4）u=supτ∈T0，TEf0，τ（ξτ）。（ii）我们有u=Y，其中（Y，Z，k，h，A，C）是反射BSDE（2.3）的溶液（h=0）。（iii）投资组合策略，定义为：t′=（Zt，kt）∑-1t，是一种超边缘策略，即属于a（u）。在完美市场（f为线性）和正常支付的情况下，上述结果是文献中众所周知的结果（参见[20]）。即使在perfectmarket的情况下，我们对完全不规则薪酬的结果也是新的。证明：证明依赖于定理10.1和类似于[10]的论点（在RCLL支付和违约的博弈期权的情况下）。首先注意，根据定理10.1，我们有supτ∈T0，TEf0，τ（ξτ）=Y。为了证明上述定理的三个第一断言，因此有必要证明u=Yand^∈ A（Y）。我们首先表明∈ A（Y）。根据（11.2），与初始财富和战略满意度相关的投资组合的价值XY，^Д：如命题11.1的断言（iii）所示，始终达到（11.3）中的上限。具有f-期望的最佳停车：不规则情况33dXY，^Иt=-f（t，XY，^Дt，Zt，kt）dt+dMt，初始条件为XY，^Д=Y，其中Mt：=RtZsdWs+RtksdNs。此外，由于Y是反射BSDE（2.3）（H=0）的解，因此我们得到dYt=-f（t，Yt，Zt，kt）dt+dMt- dAt公司- dCt公司-. 应用前向微分方程的比较结果，我们得出XY，^Дt≥ Yt，对于所有t∈ 自年初至今每年[0，T]≥ ξt，因此得到XY，^Иt≥ ξt对于所有t∈ [0，T]a.s。

由此得出∈ A（Y）。现在，我们显示Y=u。自∈ A（Y），通过定义u（参见（11.3）），我们得出Y≥ u、 现在让我们展示一下≥ Y、 让x∈ R应确保存在一种策略∈ A（x）。我们显示x≥ Y、 自^1起∈ A（x），我们有Xx，νt≥ ξt，对于所有t∈ 每个τ的[0，T]a.s∈ 我们由此得到等式Xx，ντ≥ ξτa.s.通过Ef的非递减性质以及Xx，Д的Ef鞅性质（参见R emark11.1），wethus得到x=Ef0，τ（Xx，Дτ）≥ Ef0，τ（ξτ）。通过取τ的上确界∈ T0，T，我们导出thatx≥ supτ∈T0，TEf0，τ（ξτ）=Y，其中等式符合定理10.1。通过对uas的定义（参见（11.3）），我们得到了≥ Y、 从Y开始≥ u、 产生u=Y。现在，我们给出一些薪酬完全不规则的美国期权的例子。例11.1我们考虑一个形式为ξt：=h（St）的支付过程（ξt），对于t∈ [0，T]，其中h:R→ R是一个（可能是不规则的）Borel函数，因此过程（h（St））是等规的，d（h（St））是等规的∈ S、 一般来说，薪酬（ξt）是一个完全不规则的过程。根据命题11.1的前两个陈述，美式期权的超边际价格等于最优止损问题（11.4）的价值函数，并且也被描述为障碍ξt=h（St）的反射BSDE（2.3）的解。如果h是R上的上半连续函数，则过程（h（St））是可选的，因为美国函数可以写为连续函数（非递增）序列的极限。此外，过程（h（St））沿stoppingtimes为right-u.s.c.，也为left-u.s.c。（ξt）的右上半连续性源于过程是右连续的；沿（ξt）停止时间的左上半连续性来自于sjump仅在完全不可接近的停止时间发生的事实。

根据命题11.1，laststatement，在这种情况下，美式期权的最佳行使时间为payoffξt=h（St）。美式数字看涨期权给出了一个特殊的例子（当K>0时），其中h（x）：=1[K+∞[（x）.函数h是R上的u.s.c.对应的支付过程ξt：=1≥因此，在这种情况下，Kis r.u.s.c和left-u.s.c.沿着停车时间，这意味着存在最佳运动时间。在美国数字看跌期权（行使K>0）的情况下，相应的payoffξt：=1St<Kis不是r.u.s.c。我们注意到，美国数字看跌期权的支付效果通常既不受左限制，也不受右限制。34 M.GRIGOROVA等人，11.2。RBSDEs的应用程序。特征化（Theorem10.1）本身也适用于RBSDE理论：它允许我们获得具有完全不规则障碍物的R BSDE的泛常数先验估计。命题11.2（具有普适常数的先验估计）设ξ和ξ′是S中的两个过程。设f和f′是满足假设5.1的两个Lipschitz驱动，其中com mon Lipschitz constan t K>0。设（Y，Z，k）（分别（Y′，Z′，k′）为与驾驶员f（分别f′）和障碍物ξ（分别ξ′）相关的反射BSDE解的三个第一分量。LetY：=Y- Y′，ξ：=ξ- ξ′，δfs：=f′（s，Y′，Z′，k′）- f（s，Y′，Z′，k′）。设η，β>0，β≥η+2K和η≤K、 对于每个S∈ T0，T，我们有（11.5）YS≤ eβ（T-S） E[ess supτ∈TS，Tξτ| FS）+ηE[ZTSeβ（s-S） （δfs）ds | fs]a.S.Proof：证明分为两步。步骤1：对于每个τ∈ T0，T，let（Xτ，πτ，lτ）（resp.（X′τ，π′τ，l′τ））是与驱动器f（resp.f′）、终端时间τ和终端条件ξτ（resp.ξ′τ）相关的BSDE的解。SetXτ：=Xτ- X′τ。通过对BSDE的估计（参见。

【38】中的命题A.4，我们有（XτS）≤ eβ（T-S） E[ξ| FS]+ηE[ZTSeβ（S-S） [（f- f′（s，X′τs，π′τs，l′τs）]ds | FS]a.s.我们从中得出（11.6）（Xτs）≤ eβ（T-S） E[ess supτ∈TS，Tξτ| FS）+ηE[ZTSeβ（s-S） （fs）ds | fs]a.S.，其中fs：=supy，z，k | f（S，y，z，k）- f′（s，y，z，k）|。现在，根据定理10.1，我们有ys=ess supτ∈TS，TXτSand Y′S=ess supτ∈TS，TX′τS。因此得到| YS |≤ ess supτ∈TS，T | XτS |。通过（11.6），我们导出了用fs代替δfs的不等式（11.5）。步骤2：注意，（Y′，Z′，k′）是与障碍物ξ′和驱动器f（t，Y，Z，k）+δft相关的RBSDE的解。通过将步骤1的结果应用于驱动器f（t，Y，Z，k）和驱动器f（t，Y，Z，k）+δft（而不是f′），我们得到了期望的结果。12、附录。设M，M′∈ M、 回想一下，MM′- [M，M′]是鞅，而hM，M′i被定义为可积有限变分过程[M，M′]的补偿器。利用这些性质，我们推导出以下等效陈述（例如，【37】IV.3关于f-期望的最优停止：不规则情况35细节）：hM，M′it=0，0≤ t型≤ T a.s。<=> 是鞅<=> M′是鞅。为方便读者，我们声明了以下等效项，据我们所知，这些等效项在文献中并未明确规定。引理1 2。每小时1个∈ M、 下列性质是等价的：（i）对于所有可预测过程l∈ IHν，我们有h h，R·ls（e）~N（dsde），它=0，0≤ t型≤ T a.s.（ii）适用于所有可预测过程l∈ IHν，我们有（h，R·REls（e）~N（dsde））M=0。（iii）MPN(h·| P）=0，其中MPN（.| P）是给定的条件期望| P：=P Eunder the Doleans’s measures Mpn与概率P和随机测度N相关。证明：让我们证明（i）<=> （二）。通过对标量积（·，·）M的定义，我们得到了（h，R·REls（e）~N（dsde））M=e[h，R·REls（e）~N（dsde）iT]。因此，（i）=> （二）。让我们展示一下（ii）=> （i） 。

如果所有l∈ IHν，E【h h，R·ls（E）~N（dsde）iT】=0，然后，对于每个b边界可预测过程∈ IH，我们有e[ZTИtdh h，Z·ZEls（e）~N（dsde）it]=e[h h，Z·ZEИsls（e）~N（dsde）it]=0。自，每M∈ M、 ^1·hh，Mi=hh，^1。Mi（使用[8]或[24]的符号）。根据[8]（第6 II章第64页第141页），这意味着可积变化可预测过程a·：=h h，R·ls（e）~N（dsde）i·等于0，从而得出（II）=> （i） 。因此（i）<=> （二）。有待证明的是（ii）<=> （iii）。首先注意，（h，R·REls（e）~N（dsde））M=e（[h，R·REls（e）~N（dsde）]T）=e（R[0，T]×ehsls（e）N（dsde））=MPN(h·l·）。因此，属性（ii）可以写为MPN(h·l·）=0表示所有l·∈ IHν，这意味着MPN(h·| P）=0。因此，（ii）<=> （iii）。引理3.7的证明：设β>0和ε>0为β≥ε。我们注意到▄YT=ξT-ξT=0；此外，我们有-d▄Yt=▄f（t）dt+d▄At+d▄Ct--ZtdWt-REkt（e）N（dt，de）-dht。因此，我们可以看到，在[16]的词汇表中，Y是一个可选的强半鞅，分解为Y=~Y+M+A+B，其中Mt：=RtZsdWs+RtREks（e）~N（ds，de）+ht，在：=-Rtf（s）ds-Atand Bt：=-Ct-. 将Gal\'chouk-Lenglart公式（在[17]中更精确地使用了Corollary A.2）应用于eβtYt，并使用该Yt=0，以及性质hhc，W i=0，在这种情况下，使用[37]IV.3中的术语，可以说鞅M和M′是强正交的。还要注意，如果M，M′∈ M、 使用[37]IV.3中的术语，如果（M，M′）M=0，即E[MTM′T]=0，则鞅M和M′被称为弱正交。有关MPNand MPN（.|P）的定义，请参见[24]中的第III.1（3.10）和（3.25）章。36米。