具有f期望的最优停车：不规则情况

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英文标题：
《Optimal stopping with f -expectations: the irregular case》
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作者：
Miryana Grigorova, Peter Imkeller, Youssef Ouknine, Marie-Claire
  Quenez (LPMA)
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We consider the optimal stopping problem with non-linear $f$-expectation (induced by a BSDE) without making any regularity assumptions on the reward process $\\xi$. and with general filtration. We show that the value family can be aggregated by an optional process $Y$. We characterize the process $Y$ as the $\\mathcal{E}^f$-Snell envelope of $\\xi$. We also establish an infinitesimal characterization of the value process $Y$ in terms of a Reflected BSDE with $\\xi$ as the obstacle. To do this, we first establish a comparison theorem for irregular RBSDEs. We give an application to the pricing of American options with irregular pay-off in an imperfect market model.
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中文摘要：
我们考虑了具有非线性$f$-期望（由BSDE诱导）的最优停止问题，没有对奖励过程$\\ xi$作任何正则性假设。和一般过滤。我们证明了价值族可以通过可选的进程$Y$聚合。我们将过程$Y$描述为$\\ xi$的$\\数学{E}^f$-斯内尔包络。我们还建立了以$\\ xi$为障碍的反射BSDE的价值过程$\\ Y$的无穷小特征。为此，我们首先建立了不规则RBSDE的比较定理。在不完全市场模型下，我们给出了不规则支付美式期权定价的一个应用。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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关键词：不规则 Applications Optimization Differential Quantitative

提交至《应用概率年鉴》（Applied ProbabilityOPTIMAL STOPPING WITH f-Expections）：Miryana Grigorova撰写的《不规则案例》*, Peter Imkeller+，Youssef Oukinen，和Marie Claire Quenez§Bielefeld大学*, 柏林洪堡大学（Humboldt Un University Berlin+）、卡迪大学（UniversitéCadi Ayyad）和巴黎大学（UniversitéParis Diderot）§摘要我们考虑具有非线性f-期望（由BSDE诱导）的最优停止问题，而无需对支付过程ξ进行任何正则性假设，并且在一般过滤的情况下。我们证明了这个值族可以通过一个可选的进程聚合。我们将过程Y表示为ξ的EfSnell包络。我们还根据以ξ为障碍的反映BSDE，建立了价值过程Y的基本特征。为此，我们首先建立了不规则RBSDE的一些有用性质，特别是一个存在唯一性结果和一个比较定理。1、介绍。经典的线性期望最优停止问题已经得到了广泛的研究。在El Karoui（1981）（[12]）中可以找到关于该主题的一般结果，其中没有对奖励过程ξ进行规律性假设。在本文中，我们感兴趣的是经典最优停止问题的一个推广，其中线性期望被一个可能的非线性泛函所取代，即所谓的DF期望（f-评估），由带有Lipschitz驱动f的BSDE所诱导。对于停止时间S，0≤ S≤ T a.s.（其中T>0是固定的终端地平线），我们定义（1.1）V（s）：=ess supτ∈TS，TEfS，τ（ξτ），其中，TS，Tdenotes为值为a.s的停止时间集。

在[S，T]和EfS中，τ（·）表示当终端时间为τ时，在时间S处的条件f-期望/评估。在布朗过滤和连续财务头寸/支付过程ξ的情况下，上述非线性问题已在【14】中引入，并应用于美式期权的（非线性）定价。然后，它吸引了相当大的兴趣，尤其是关键词和短语：反向随机微分方程、最优停止、f-期望、非线性期望、聚合、动态风险度量、美式期权、强Ef超鞅、Snellenvelope、反射反向随机微分方程、比较定理、Tanaka型公式、，general filtration2 M.GRIGOROVA ET AL.由于其与动态风险度量的联系（参见，例如，[3]）。在金融头寸/支付过程ξ的情况下，仅假设是右连续的，在[39]（布朗-泊松过滤的情况）和[1]中研究了这一非线性最优停止问题，其中非线性期望假设是凸的。

据我们所知，[17]是第一篇在非右连续过程ξ（具有布朗泊松滤波）的情况下解决s topping问题（1.1）的论文；在[17]中，先前文献中ξ的右连续性假设被较弱的右上半连续性假设（r.u.s.c.）所取代。在本论文中，我们研究了一般过滤情况下的问题（1.1），没有对ξ进行任何规律性假设，这使得建模具有f或更大的灵活性（相比于更规则的支付和/或特定过滤的情况）。解决经典最优停止问题的常用方法（即案例f≡ 0in（1.1））是一种直接方法，基于对价值族（V（S））的直接研究∈T0，T。该方法中的一个重要步骤是通过optionalprocess聚合价值族。文献中用于解决非线性情况（其中f不一定等于0）的方法是RBSDE方法，基于对相关反射BSDE的研究，并将反射BSDE的解与值族（V（S），S）直接联系起来∈ T0，T）（从而特别避免了更多的技术聚合问题）。这种方法（参见，例如，[17]、[39]）至少需要报酬过程ξ的上半连续性，而我们在这里没有（参见，也有Remark10.1）。这两种方法都不适用于本文件的总体框架，我们采用了一种结合了这两种方法某些方面的新方法。我们的组合方法如下：首先，借助过程一般理论的一些结果，我们证明了价值家族（V（S），S∈ T0，T）可以通过唯一的右上半连续可选过程（Vt）T聚合∈[0，T]。

我们描述了价值过程（Vt）t∈[0，T]作为ξ的Ef-Snell包络，即大于或等于ξ的最小强Efsupermartingale。然后，我们转向建立价值过程（Vt）的内部特征∈[0，T]就反射BSDE而言，其中（1.1）中的扩散过程ξ起到了较低障碍的作用。我们强调，我们的方法中的RBSDE部分远远没有模仿r.u.s.c.案例；由于过程ξ的完全不规则性，我们不得不依赖非常不同的论点。让我们回顾一下，El Karoui等人在最后的论文【13】中，在布朗过滤和连续障碍的情况下引入了反射BSDE，然后在【21】、【5】、【22】、【15】、【23】、【39】中，将其推广到右连续障碍和/或比布朗基础更大的随机基础的情况。在[17]中，我们提出了在障碍物仅为右上半连续（但可能不是右连续）且过滤为布朗泊松过滤具有f-期望最优停止的情况下的反射BSDE的概念：不规则情况3显示解的存在性和唯一性。在本文中，我们证明了在完全不规则障碍和一般过滤的情况下，从[17]得到的存在性和唯一性结果仍然成立。在最近的预印本【27】中，通过使用不同的方法，即惩罚方法，证明了解决方案（在布朗框架中）的存在性和唯一性。我们还建立了具有不规则障碍和一般过滤的RBSDE的比较结果。由于障碍物完全不规则且存在跳跃，我们采用了一种不同于RBSDE比较文献中现有方法的方法（参见R emark9.2）；特别是，我们首先证明了Gal\'chouk-Lenglart公式的推广（参见。

[16] 和[32]），然后我们巧妙地将其应用到我们的框架中，以建立比较定理。我们还展示了强Ef超鞅的Ef-Mertens分解，它概括了文献中提供的框架（参见[17]或[4]）。该结果与我们的比较定理一起，有助于研究非线性算子Reff，该算子将给定（完全不规则）障碍映射到具有驱动力f的RBSDE的解。通过利用算子Reff的性质，我们证明了Reff[ξ]，即具有不规则障碍ξ和驱动力f的反射BSDE的解的（第一个组成部分），等于ξ的Ef-Snell包络，由此我们得出它与valueprocess（Vt）t一致∈问题（1.1）的[0，T]。最后，我们给出了在不完善市场模型下，不规则支付的美式期权定价问题的一个金融应用。特别是，我们证明了具有不规则支付函数ξ的美式期权的s超hedgingPrice是关联RBSDE的解（其中ξ是较低的障碍）。数字美国选项的一些例子作为特例给出。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们给出了一些初步定义和一些符号。在第3节中，我们重新讨论了具有不规则支付过程ξ和一般过滤的经典最优停止问题。我们首先给出了一些一般结果，如聚合、价值过程的Mertens分解、相关非递减过程满足的Skorokhod条件；然后，我们将经典问题的值过程描述为与一般过滤、完全不规则障碍和不依赖于解的驱动因素f相关的反射BSDE的解。

在第4节中，我们证明了一般Lipschitz驱动f、不规则障碍ξ和一般滤波解的存在唯一性。在第5节中，我们给出了非线性最优停止问题（1.1）的公式。在第6节中，我们提供了Payoffξ为右上半连续（r.u.s.c）的特殊情况下的一些结果，由此，我们在一般过滤的（一般）框架中导出了Ef强超鞅的Ef Mertens分解（参见第7节）。然后，我们转向M.GRIGOROVA等人对ξ完全不规则情况的研究。第8节专门讨论我们解决这个问题的方法的直接部分；特别地，我们给出了聚合结果和Snell特征。第9节致力于确定具有完全不规则障碍的反射BSD的一些属性，这将用于确定完全不规则情况下问题（1.1）的价值过程的基本特征；更准确地说，我们首先提供了一个比较定理（第9.2小节）；然后，利用这一结果和Ef Mertens分解，我们建立了非线性算子Reff的有用性质（第9.3小节）。在第10节中，利用前面几节中所示的结果，我们根据第4节中我们的一般RBSDE的解，推导出了具有完全不规则payoffξ的非线性最优停止问题（1.1）值的最小特征。在第11节中，我们给出了在一个有跳跃的不完美市场模型中，不规则支付的美式期权定价的财务应用；我们还提供了一个有用的微元特征推论，即具有不规则障碍物和一般过滤的RBSDE通用常数的先验估计。2、前期工作。设T>0为固定的正实数。

设E=Rn \\{0}，E=B（Rn \\{0}），我们为其配备σ-有限正测度ν。让(Ohm, F、 P）是具有右连续完全过滤的概率空间，如果{Ft:t∈ [0，T]}。设W为一维IF-Brownian运动W，N（dt，de）为带补偿器dt的IF-Poisson随机测度 ν（de），支持独立于W。我们用N（dt，de）表示补偿过程，即N（dt，de）：=N（dt，de）- dt公司 ν（de）。我们用p（resp.O）表示上的可预测（resp.optional）σ-代数Ohm ×[0，T]。符号L（FT）表示FT可测且s平方可积的随机变量空间。对于t∈ [0，T]，我们用Tt，T表示停止时间τ的集合，使得P（T≤ τ≤ T）=1。更一般地，对于给定的停止时间S∈ T0，T，我们用TS，T表示停止时间τ的集合，使得P（S≤ τ≤ T）=1。我们还使用以下符号：oLν是（E，B（R））-可测函数集l : E→ R使得klkν：=RE|l（e） |ν（de）<∞. 对于l ∈ Lν，k∈ Lν，我们定义hl, k iν：=REl（e） k（e）ν（de）。oih是kφkIH的R值可预测过程集φ：=EhRT |φt | dti<∞.o IHν是R值过程l的集合：（ω，t，e）∈ (Ohm ×[0，T]×E）7→ lt（ω，e）是可预测的，也就是（PE，B（R））-可测量，且klkIHν：=EhRTkltkνdti<∞.o 如[17]中所述，我们用R值可选（不一定是cadlag）过程φ的向量空间表示，使得| | | |φ| | S：=E[ess supτ∈T |φτ|]<∞. 根据[17]中的命题2.1，映射| | | |·| | | | | | |是S上的一个范数，与此范数一起发送的是一个Banach空间设Mbe为平方可积鞅集M=（Mt）t∈[0，T]，M=0。具有f-期望的最优停止：不规则情况5这是一个具有s标度积（M，M′）M的希尔伯特空间：=E[MTM′T]（=E[hM，M′）=E（[M，M′）T）），对于M，M′∈ M（参见，例如，【37】IV.3）。

每M∈ M、 我们设置kMkM：=E（MT）。o让M2，⊥是鞅h的子空间∈ M满足hh，W i·=0，并且对于所有可预测的过程l∈ IHν，（2.1）hh，Z·ZEls（e）~N（dsde）it=0，0≤ t型≤ T a.s.备注2。1注意，条件（2.1）等效于方括号过程[h，R·REls（e）~N（dsde）]是鞅的事实（参见附录中的附加注释条件（2.1））。还记得，条件hh，W i·=0 i相当于h（在标量积（·，·）M的意义上）对于形式r·zsdWs的所有随机积分的正交性，其中z∈ IH（参见[37]IV.3引理2）。类似地，条件（2.1）等价于h关于形式r·REls（e）~N（dsde）的所有s-tochastic积分的正交性，其中l∈ IHν（参见附录中的引理12.1）。我们回顾了M中鞅的以下正交分解性质（参见[25]中的Lemmaii.4.24）。引理2。每米1个∈ M、 存在唯一的三重态（Z、l、h）∈ IH×IHν×M2，⊥使（2.2）Mt=ZtZsdWs+ZtZElt（e）~N（dt，de）+ht， t型∈ [0，T]a.s.definition 2.1（Dr i ver，Lipschitz driver）如果函数f：Ohm ×[0，T]×R×Lν→ R（ω，t，y，z，k）7→ f（ω，t，y，z，k）是P B（R） B（Lν）- 可测量，oE【RTf（t，0，0，0）dt】<+∞.如果存在常数K，则称驱动程序f i为Lipschitz驱动程序≥ 0，这样dp dt-a.e。

，对于每个（y、z、k）∈ R×Lν，（y，z，k）∈ R×Lν，| f（ω，t，y，z，k）- f（ω，t，y，z，k）|≤ K（| y- y |+| z- z |+kk- kkν）。定义2.2（BSD E，条件f-期望）我们有（参见附录中的Remark12.1）如果f是Lipschitz驱动，如果ξ在L（FT）中，则存在唯一解（X，π，L，h）∈ S×IH×IHν×M2，⊥至以下BSDE：-dXt=f（t，Xt，πt，lt）dt- πtdWt-RElt（e）~N（dt，de）- dht；XT=ξ。对于t∈ [0，T]，（非线性）算子Eft，T（·）：L（FT）→ L（Ft），映射给定的6 M.GRIGOROVA ET AL.终端条件ξ∈ L（FT）到上述BSDE解的第一个分量的位置Xt（在时间t处）被称为条件f-时间t处的期望。通常，这个概念可以扩展到（确定性）终止时间t被（更一般的）停止时间τ代替的情况∈ T0，T，T被停止时间S代替，使得S≤ τa.s.，算子的域L（FT）被L（Fτ）代替。现在我们来谈谈反射式BSDE的概念。设T>0为固定终端时间。让fbe成为一名司机。设ξ=（ξt）t∈[0，T]是S中的一个过程。我们定义了过程（ξT）T∈]0，T]byξT：=直线上升↑t、 s<tξs，对于所有t∈]0，T]。我们重申ξ是一个可预测的过程（参见[7，Thm.90，第225页]）。过程ξ是左上半连续的，称为ξ的左上半连续包络。定义2.3（反映BSD E）过程（Y、Z、k、h、A、C）被称为参数（f、ξ）反映BSD的解决方案，其中f是驱动因素，ξ是S中的过程，如果（Y、Z、k、h、A、C）∈ S×IH×IHν×M2，⊥×S×S，- dYt=f（t，Yt，Zt，kt）dt+dAt+dCt-- ZtdWt公司-ZEkt（e）~N（dt，de）- dht，0≤ t型≤ T、 （2.3）YT=ξTa。s、 ，年至今≥ ξt对于所有t∈ [0，T]，a.s.，a是一个非减量右连续可预测过程，a=0，因此zt{Yt->ξt}dAct=0 a.s。和（Yτ-- ξτ）（Adτ- Adτ-) = 0 a.s。