具有f期望的最优停车：不规则情况

GRIGOROVA等人几乎可以肯定地说∈ [0，T]，（12.1）eβTYt+Z]T，T]eβsZsds+Z]T，T]eβsdhhcis=-Z] t，t]βeβs（▄Ys）ds+2Z]t，t]eβs▄Ys▄f（s）ds+2Z]t，t]eβs▄-dAs- （公吨）-公吨）-Xt<s≤Teβs(Ys）+2Z[t，t[eβsYsdCs-Xt公司≤s<Teβs（▄Ys+-Ys）。式中（12.2）~Mt：=2Z]0，t]eβsYs-ZsdWs+2Z]0，t]eβsZE▄Ys-~ks（e）~N（ds，de）+2Z]0，t]eβs ~Ys-dhs。根据与[17]中相同的论点（详见[17]中引理3.2的证明），自β≥ε、 我们对等式r.h.s（12.1）的第一项和第二项之和进行了以下估计：-R] t，t]βeβs（▄Ys）ds+2R]t，t]eβs▄Ys▄f（s）ds≤ εR]t，t]eβsf（s）ds。我们还有r[t，t[eβsYsdCs≤ 0 andR]t，t]eβsYs-dAs≤ 我们给出了第二个不等式的详细参数（第一个不等式的参数相似）。我们有r]t，t]eβs~Ys-d▄As=R]t，t]eβs▄Ys-dAs公司-R] t，t]eβsYs-dAs。对于第一学期，我们编写了]t，t]eβsYs-dAs=R]t，t]eβs（Ys--Ys公司-)dAs=R]t，t]eβs（Ys--ξs）dAs+R]t，t]eβs（ξs-Ys公司-)dAs。第二个和与Ys一样是非正的-≥ξs（由Ys引起≥ ξs，对于所有s）。由于A的Skorokhod条件，FirstCommand等于0。因此，R]t，t]eβs▄Ys-dAs公司≤ 通过类似的论证，我们可以看到-R] t，t]eβsYs-dAs公司≤ 因此，R]t，t]eβsYs-dAs≤ 上述观察结果以及方程式（12.1）得出，对于所有t∈ [0，T]，（12.3）eβTYt+Z]T，T]eβsZsds+Z]T，T]eβsdhhcis≤ εZ]t，t]eβsf（s）ds- （公吨）-公吨）-Xt<s≤Teβs(Ys），我们从中得出kZkβ，kkkν，β，khkβ，M的估计值，然后得出| | | Y | | |β的估计值。估算k▄Zkβ、k▄kkν、β和k▄hkβ、M。首先注意，我们有：Xt<s≤Teβs(hs）+Z]t，t]eβs | | ks | |νds-Xt<s≤Teβs(Ys）=-Xt<s≤Teβs(As）-Z] t，t]eβsZE~ks（e）~N（ds，de）- 2Xt<s≤TeβsAshs- 2Xt<s≤Teβsks（ps）hs，其中，我们使用了过程A和N（·，de）“没有公共跳跃”，因为A（resp.N（·，de））只在可预测（resp。

完全无法访问）停止时间。具有f-期望的最优停止：不规则情况37，通过添加termR]t，t]eβs | | ks |νds+Pt<s≤Teβs(在不等式（12.3）的两侧，通过使用上述计算和众所周知的等式[~h]t=h▄hcit+P(~h）s，weget（12.4）eβt~Yt+Z]t，t]eβs~Zsds+Z]t，t]eβs | | | ks | |νds+Z]t，t]eβsd[~h]s≤ εZ]t，t]eβsf（s）ds- （M′T- M′t）- 2Xt<s≤TeβsAshs- 2ZTtd【】h，Z·ZEeβs▄ks（e）▄N（ds，de）】s，其中M′t=▄Mt+R]t，t]eβsRE▄ks（e）▄N（ds，de）（其中▄M由（12.2）给出）。通过使用Burkholder-Davis-Gundy不等式的经典变元，我们可以证明局部鞅M′是鞅。此外，由于▄h∈ M2，⊥, 通过Remark2.1，我们证明上述不等式（12.4）最后一项的期望值等于0。此外，由于▄h是鞅，对于每个可预测的停止时间τ，我们有[hτ/Fτ-] = 0（参见，例如，第一章，引理（1.21）（见[24]）。除此之外，由于▄A是可预测的，Aτ是Fτ--可测量（参见[24]中的第一章（1.40）-（1.42），这意味着[~Aτhτ/Fτ-] = AτE[hτ/Fτ-] = 因此，我们得到E[P0<s≤TeβsAshs]=0。通过应用t=0的（12.4），并在结果不等式的两侧取期望值，我们得到了▄Y+k▄Zkβ+k▄kkν，β+k▄hkβ，M≤ εkfkβ。我们推断kZkβ≤εk▄fkβ，k▄kkν，β≤ εkfkβ和khkβ，M≤ εkfkβ，这是期望的估计值（3.7）。| | | | | Y | | |β的估计值。从不等式（12.3）我们得出，对于所有τ∈ T0，T，a.s.，eβτYτ≤ εR]τ，T]eβsf（s）ds- （公吨）-Mτ），其中▄M由（12.2）给出。使用第一个Chasles关系f或s到Hastinc积分，然后取本质上的上确界τ∈ T0，与ab-ove不等式两边的期望值相比，我们得到（12.5）E[ess supτ∈T0，TeβτИYτ]≤ εkfkβ+2E[ess supτ∈T0，T | ZτeβsYs-ZsdWs |]+2E[ess supτ∈T0，T | ZτeβsYs-d▄hs |]+2E[ess supτ∈T0，T | Z]0，τ]eβsZE▄Ys-ks（e）~N（ds，de）|]。让我们考虑一下r.h.s.的第三项。

不平等（12.5）。通过Burkholder-DavisGundy不等式，我们得到了E[ess supτ∈T0，T | RτeβsYs-d▄hs▄]≤ cE【qRTe2βsYs-d【】h【】s】。这个不等式和平凡不等式ab≤a+blead to 2e[ess supτ∈T0，T | ZτeβsYs-d▄hs▄]≤ Esess s向上τ∈T0，TeβτИYτs8cZTeβsd[￠h]s≤|||~Y | | |β+4ck | hkβ，M.38 M.GRIGOROVA等。通过使用类似的参数，我们得到2E[ess supτ∈T0，TRτeβsYs-ZsdWs]≤|||Y | |β+4ckZkβ，以及（12.5）中最后一项的类似估计值f。通过（12.5），我们得到了| | | | Y | | |β≤εk▄fkβ+4c（k▄Zkβ+k▄kkν，β+k▄hkβ，M）。利用kZkβ，kkkν，β和khkβ，M的估计值（参见（3.7）），我们得到了| | | | Y | | |β≤ 4ε（1+12c）kfkβ，这是期望的结果。备注1 2。1我们注意到，该证明表明（3.7）和（3.8）的估计值也适用于无反射BSDE的简单情况。从这个结果，再加上引理2.1，并使用与定理4.1证明中相同的参数，我们很容易推导出无反射BSDE解的存在性和唯一性，并从定义2.2进行一般过滤。同样，我们可以在假设5.1下显示无反射BSDE与一般过滤的比较结果。引理1 2。2设f是满足假设5.1的Lipschitz驱动。设A为A=0时的非减量右连续可预测过程，C为C0时的非减量右连续适应纯非连续过程-= 0、Let（Y，Z，k，h）∈ S×H×Hν×M2，⊥满足-dYt=f（t，Yt，Zt，kt）dt+dAt+dCt-- ZtdWt公司-ZEkt（e）~N（dt，de）- dht，0≤ t型≤ T、 那么这个过程（Yt）就是一个强Ef超鞅。由于在过滤与W和N相关的特殊情况下，该证明依赖于与[17]中所示相同结果证明中使用的参数相同的参数，因此省略了该证明（参见。

【17】中的命题A.5，以及一些特定论点，由于一般过滤，这与之前引理的证明中使用的相似。补充：严格值。在这一节中，我们对一个密切相关的（非线性）最优停止问题给出了一些补充。设S为T0，T中的停止时间。我们用TS+停止时间τ的集合表示∈ T0，Twithτ>S a.S.，在{S<T}上，τ=T a.S.，在{S=T}上。非线性最优停止问题的严格值V+（S）（在时间S）由V+（S）：=ess supτ定义∈TS+EfS，τ（ξτ）。（13.1）我们注意到V+（S）=ξTa。s、 在{s=T}上。使用与值族（V（S））相同的参数∈T0，T，我们证明命题13.1严格值族（V+（S））S∈T0，这是一个强大的Ef Supermartingalfamily。存在一个唯一的右上半连续可选过程，用（V+t）t表示∈[0，T]，它聚集了族（V+（S））S∈T0，T.过程（V+T）T∈[0，T]是一个强Ef超鞅。带f-期望的最优停止：不规则情况39以下定理连接了Above严格值过程（V+t）t∈[0，T]带右极限处理（Vt+）T∈[0，T]，其中（Vt）与前面一样表示非线性问题（5.1）的值过程。定理13.1（i）严格值过程（V+t）是右连续的。（ii）对于所有S∈ T0，T，V+S=VS+a.S.（iii）对于所有S∈ T0，T，VS=V+S∨ ξSa。s、 定理的证明使用了以下初步结果，即严格值过程（V+t）在Ef条件期望中沿停止时间是右连续的。引理1 3。

1（Ef条件期望中沿停止时间的右连续性）严格值过程（V+t）沿Ef期望中的停止时间是右连续的，即对于每个θ∈ T0、T和每个停止时间序列（θn）n∈Nbelongingto T0，Tsch thatθn↓ θ、 我们有（13.2）limn→∞↑ Efθ，θn（V+θn）=V+θa.s.为了证明，我们回顾了下面的阶级声明：备注1 3。1让(Ohm, F、 P）为概率s速度。让A∈ F、 设（Xn）为实值随机变量序列。假设（Xn）将a上的a.s.收敛到一个随机变量x。然后，对于每个ε>0，limn→+∞P（{| X- Xn |<ε}∩ A） =P（A）。从这个性质可以看出，对于每个ε>0，都存在n∈ N因此，对于所有N≥ n、 P（{| X- Xn |<ε}∩ （A）≥P（A）。引理13.1的证明：Let n∈ N、 根据Ef的一致性性质，我们得到（13.3）Efθ，θN（V+θN）=Efθ，θN+1Efθn+1，θn（V+θn）a、 现在，由于过程（V+t）是一个强Ef-上鞅，我们有Efθn+1，θn（V+θn）≤ V+θn+1a。s、 使用这个不等式，再加上等式（13.3）和Efθ，θn+1，weobtaineefθ，θn（V+θn）的单调性≤ Efθ，θn+1（V+θn+1）a.s.因为这个不等式适用于每个n∈ N、 我们推导出随机变量序列Efθ，θn（V+θn）n∈Nis不减损。此外，由于过程（V+t）是一个强Ef-上鞅，我们有Efθ，θn（V+θn）≤ 每n的V+θa.s∈ N、 将极限取为N+∞, 我们就这样得到了→∞↑ Efθ，θn（V+θn）≤ V+θa.s.40 M.GRIGOROVA等。它仍然显示了逆不等式：（13.4）limn→∞↑ Efθ，θn（V+θn）≥ V+θa.s.通过矛盾的方式补充了这个不等式不成立的事实。然后，存在一个常数α>0，使得事件A由A定义：={limn→∞↑ Efθ，θn（V+θn）≤ V+θ- α} 满意度P（A）>0。根据A的定义，我们有（13.5）个极限→∞↑ Efθ，θn（V+θn）+α≤ V+θa.s。

对于值函数，存在一个优化序列（τp）p∈对于严格的值函数V+θ，也就是说，对于每个p∈ N、 τp∈ Tθ+，并且V+θ=跛行→∞↑ Efθ，τp（ξτp）a.s.通过Remark13.1（应用ε=α），我们得出存在p∈ N使得事件B由B定义：={V+θ≤ Efθ，τp（ξτp）+α}∩ Asatis fies P（B）≥P（A）。表示τpbyθ′，我们有v+θ≤ Efθ，θ′（ξθ′）+αa.s.通过不等式（13.5），我们得出（13.6）limn→∞↑ Efθ，θn（V+θn）+α≤ Efθ，θ′（ξθ′）a.s.关于B.让我们首先考虑一个更简单的情况，其中θ<T a.s.在这种情况下，由于θ′∈ Tθ+，我们有θ′>θa.s。因此，我们有Ohm = ∪n∈N↑ {θ′>θn}a.s.确定停止时间θn：=θ′{θ′>θn}+T 1{θ′≤θn}。我们注意到θn∈ Tθ+对于每个n∈ N、 此外，limn→∞θn=θ′a.s.和limn→∞ξθn=ξθ′a.s.根据ef关于终端条件和终端时间的连续性，我们得到了limn→∞Efθ，θn（ξθn）=Efθ，θ′（ξθ′）a.s。通过Remark13.1，我们推导出存在n∈ N使得事件C由C定义：={| Efθ，θ′（ξθ′）- Efθ，θn（ξθn）|≤α}∩ b具有f-期望的最佳停止：不规则情况41满足P（C）>0。通过不等式（13.6），我们得出（13.7）limn→∞↑ Efθ，θn（V+θn）+α≤ Efθ，θn（ξθn）a.s.在C上。现在，通过Ef的一致性，我们得到Efθ，θn（ξθn）=Efθ，θnEfθn，θn（ξθn）≤ Efθ，θn（V+θn）a.s.，其中最后一个不等式来自θn∈ Tθ+与，根据v+θn的定义。通过（13.7），我们由此导出thatlimn→∞↑ Efθ，θn（V+θn）+α≤ Efθ，θn（V+θn）a.s.在C上，这给出了一个矛盾。因此，理想的不等式（13.4）成立。现在让我们考虑一个广义θ∈ 在集合{θ=T}上，对于所有n，我们有θn=θa.s。因此，在{θ=T}上，我们有limn→∞Efθ，θn（V+θn）=集合{θ<T}上的V+θa.s，使用与上述相同的参数，θn=θ′{θ′>θn}∩{T>θ}+T 1{θ′≤θn}∪{T=θ}，我们给出了不等式（13.4）。证据是完整的。

我们现在准备证明这个定理。定理证明13.1：（i）的证明基于之前的引理13.1和过程一般理论的结果。让我们∈ T0，Tand让（Sn）是TS+中具有lim的停止时间的非递增序列↓ Sn=S a.S。通过应用引理13.1和Ef期望关于终端条件和终端时间的连续性，我们得到v+S=limn→∞EfS，Sn（V+Sn）=EfS，S（limn→∞V+Sn）=limn→∞V+Sn，我们使用limn的地方→∞V+S存在，因为（V+t）是一个强Ef超鞅，因此有正确的极限。上述等式表明，过程（V+t）沿停止时间是正确的连续过程。通过[6]中的命题2，我们得出结论，（V+t）是右连续的。我们现在展示（ii）。让我们∈ T0，T。设（Sn）为带lim的TS+中停止时间的非递增序列↓ Sn=S a.S.我们知道Vτ≥ V+τa.s.，对于所有τ∈ T0，T。因此，VSn≥ V+Sna。s、 ，对于所有n，我们推导出limn→∞VSn公司≥ 画→∞V+Sna。s、 利用这一点和（i）中建立的V+的右连续性，得出+≥ V+Sa。s、 为了展示逆向质量，我们首先展示了（13.8）EfS、Sn（VSn）≤ V+Sa。s、 对于所有n.42 M.GRIGOROVA等人，我们计算n并取（τp）∈ TSnan针对VSn值问题优化序列f，即VSn=跛行→∞EfSn，τp（ξτp）。我们有（13.9）EfS，Sn（VSn）=EfS，Sn（limp→∞EfSn，τp（ξτp））=跛行→∞EfS，Sn（EfSn，τp（ξτp））a.s.，其中我们使用了EfS，Sn（·）关于终端条件的连续性特性（回忆一下，这里n是固定的）。利用Ef期望的一致性性质，我们得到EfS，Sn（EfSn，τp（ξτp））=EfS，τp（ξτp）≤ V+Sa。s、 （对于不等式，我们使用了τp∈ TS+。由此，结合方程式（13.9），我们推导出所需的不等式（13.8）。

从不等式（13.8），再加上Ef期望相对于终点时间和终点条件的连续性，我们推导出V+S≥ 画→∞EfS，Sn（VSn）=EfS，S（VS+）=VS+a.S。因此，V+S≥ VS+a.s.，它与前面显示的逆不等式一起证明了等式VS+=V+Sa。s、 陈述（iii）是第（ii）部分（我们刚刚展示）与Remark2.3和定理10.1的直接结果。备注1 3。2通过与上述定理13.1中陈述（i）的证明相同的论点，可以显示以下一般陈述：如果强Ef超鞅在Ef条件期望中沿停止时间右连续，则它是右连续的。14、A确认。作者非常感谢Klébert Kentia的有益评论。作者还感谢Sigurd As sing的有益评论，感谢Marek Rutkowski和Tianyang Nie的有益讨论。参考文献[1]Bayraktar E.和S.Yao（2011）：非线性期望的最优停止，随机过程及其应用121（2），185-211和212-264。[2] Barles G.、R.Buckdahn和E.Pardoux（1997）：反向随机微分方程和积分偏微分方程，随机和随机报告，60，57-83。[3] Bayraktar E.、I.Karatzas和S.Yao（2010）：动态凸风险度量的最优停止，伊利诺伊州数学杂志，54（3），1025-1067。[4] Bouchard B.、D.Possama"i和X.Tan（2016）：超级马丁格尔系统的一般Doob-Meyer-Mertens分解，电子概率杂志21，第36号论文，21页。[5] Crépey S.和A.Matoussi（2008）：《带跳跃的反射和双重反射BSD Es：先验估计和比较》，《应用概率年鉴》，18（5），2041-2069。[6] Dellacherie C.和E。

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