具有f期望的最优停车：不规则情况

定义8.2（Ef supermarting ale族）一个可容许的平方可积族U：=（U（S），S∈ T0，T）被认为是Ef supermartingale家族∈ T0，Tsuch thatS≤ S’a.S.、EfS、S’（U（S’））≤ U（S）a.S.definition 8.3（右上半连续族）容许族U：=（U（S），S∈T0，T）被称为右上半连续（沿停止时间）族，如果对于T0中的任何（τn）非递增序列，和T0中的任何τ，tuchτ=lim↓ τn，我们有u（τ）≥ 林尚→∞U（τn）a.s。引理8。3设U：=（U（S），S∈ T0，T）成为Ef supermartingale家族。然后，（U（S），S∈T0，T）是右上半连续（沿停止时间）族。证明：Letτ∈ T0，Tand let（τn）∈ TIN0，Tbe停止时间的非递增序列→+∞τn=τa.s.，对于所有n∈ 在{τ<T}上，τn>τa.s，以及类似的limn→+∞U（τn）存在a.s.因为U是Ef超鞅族，并且序列（τn）是非递增的，所以我们有Efτ，τn（U（τn））≤ Efτ，τn+1（U（τn+1））≤ U（τ）a.s.因此，序列（Efτ，τn（U（τn）））为非减量和U（τ）≥ lim公司↑ Efτ，τn（U（τn））。该不等式，结合BSDE关于终端时间和终端条件的连续性性质（参考文献[38，A.6]在一般过滤的情况下仍然成立），给出了su（τ）≥ 画→+∞Efτ，τn（U（τn））=Efτ，τ（limn→+∞U（τn））=limn→+∞U（τn）a.s.22 M.GRIGOROVA等人根据Dellacherie和Lenglart的引理5[6]，族（U（s））因此是右上半连续的（沿停止时间）。定理8.1值族V=（V（S），S∈ （5.1）中定义的T0，T）是Ef Supermartingalfamily。特别是，V=（V（S），S∈ T0，T）是定义8.3意义上的右上半圆形（沿停止时间）族。证明：我们从Lemma8.1知道V=（V（S），S∈ T0，T）是一个平方可积容许族。让我们∈ T0，接地S′端∈ TS，T。

我们将证明EfS，S′（V（S′））≤ V（S）a.S.，这将证明V是Ef supermartingale族。根据引理8.2，存在一个序列（τn）n∈Nof停止时间，使得τn≥ S′a.S.和V（S′）=limn→∞↑ EfS′，τn（ξτn）a.s.利用这个等式、BSDE的连续性和条件F期望的一致性，我们得到了EfS，s′（V（s′）=EfS，s′（limn→∞↑ EfS′，τn（ξτn））=limn→∞EfS，S′（EfS′，τn（ξτn））=limn→∞EfS，τn（ξτn）≤ 五（S）。因此，V是Ef supermartingale族。这个性质，加上Lemma8.3，使得V是一个右上半连续（沿停止时间）族。8.2。聚集和斯奈尔特性。对值familyV=（V（S），S）使用上述结果∈ T0，T），我们证明了以下定理，它将经典最优停止理论的一些结果（更准确地说，引理3.4中的断言（i））推广到具有f-期望的最优停止问题的情况。定理8.2（聚合和斯奈尔表征）存在一个唯一的RightUpper半连续可选过程，用（Vt）t表示∈[0，T]，它聚合了值族V=（V（S），S∈ T0，T）。此外，（Vt）t∈[0，T]是支付过程ξ的Ef-Snell包络，即大于或等于ξ的最小强Ef超鞅。证明：根据定理8.1，值族V=（V（S），S∈ T0，T）是右上半连续族（或Dellacherie Lenglart[6]词汇表中的右上半连续T0，T-系统）。应用Dellacherie-Lenglart（[6]）的定理4，给出了一个唯一的（直到可识别的）右上半连续可选过程（Vt）t的存在性∈[0，T]聚合了价值族（V（S），S∈ T0，T）。从该聚合属性，即属性vs=V（S）a.S。

对于每个S∈ T0，T，从定理8.1中，我们推断出我们在这里使用的过程，年表（在[6]的词汇和符号中）是所有停止时间的年表，也就是说，Θ=T0，T；因此[Θ]=Θ=T0，T。具有f-期望的最优停止：不规则情况23（Vt）T∈[0，T]是一个强Ef超鞅。此外，我们有VS=V（S）≥ ξSa。s、 对于每个人∈ T0，T，这意味着Vt≥ ξt，对于所有t∈ [0，T]，a.s.现在让我们证明过程（Vt）T∈[0，T]是大于或等于ξ的最小强Ef supermartingalege。Let（V′t）t∈[0，T]是一个强Ef超鞅，使得V′T≥ ξt，对于所有t∈ [0，T]，a.s.让我们∈ T0，T。我们有V′τ≥ ξτa.s.所有τ∈ TS，T。因此，EfS，τ（V′τ）≥EfS，τ（ξτ）a.s.，其中我们使用了条件f-期望的单调性。另一方面，利用过程（V′t）的强Ef超鞅性质∈[0，T]，我们有V\'S≥ EfS，所有τ的τ（V′τ）a.s∈ TS，T。因此，V′S≥ EfS，τ（ξτ）a.s.对于所有τ∈ 通过取τ上的本质上确界∈ 在不等式中，我们得到V′≥ ess supτ∈TS，TEfS，τ（ξτ）=V（S）=VSa。s、 因此，对于所有s∈ T0，T，我们有V′≥ VSa。s、 ，这就产生了V′t≥ Vt，对于所有t∈ [0，T]，a.s.因此证明是完整的。具有完全不规则障碍物和一般过滤的非线性反射BSDE：有用特性。我们现在的目标是根据非线性RBSDE的解，为非线性问题（5.1）建立一个最小的特征（从而将理论3.1从经典线性情况推广到非线性情况）。为此，我们需要首先建立一些关于具有完全不规则障碍的非线性RBSDE的结果，尤其是此类RBSDE的比较结果。本节致力于这些结果（这是我们解决问题方法（5.1）的RBSDE部分）。

这一节的结果扩展并完成了我们从[17]开始的工作，其中假设了障碍物上的RightUpperSemiconductinuity。让我们注意到，来自【17】的comparisontheorem证明不能适用于这里考虑的完全不规则的框架；相反，我们依赖于田中式的强（不规则）半鞅公式。备注9。1（直接法的“瓶颈”）人们可能想知道，通过对问题（5.1）的价值过程（Vt）进行直接研究，是否可以获得非线性最优停止问题（5.1）的最小特征，类似于第3.1小节中经典线性情况下所做的。在经典情况下，我们对（Vt）应用了dmertens分解；然后，我们通过使用Lemma3.1（iii）中区间[S，τλS]上的鞅性质，直接展示了过程Ada和Ac（参见Lemma3.2和3.3）的极小性质，其elf依赖于Maingueneau的惩罚方法（参见Remark3.3和d 3.2）。在非线性情况下，Mertens分解由Ef Mertens分解推广（参见定理7.1）。然而，由于函数Ef的凸性不足，无法通过Maingueneau的方法获得Lemma3.4[（iii）]（nam ely，Ef鞅性质）在非线性情况下的相似性（即使在非负ξ的情况下，也不能得到），并且在额外假设f（t，0，0，0）=0的情况下，这确保了Ef的非负性24 M.GRIGOROVA ET AL。9.1。田中型配方奶粉。下面的引理将用于证明具有不规则障碍物的RBSDE的比较定理。

这个引理可以看作是[37，第四章]定理66从右连续半鞅的情形到强可选半鞅的更一般情形的推广。引理9。1（田中型公式）设X是分解X=X+M+a+B的（实值）强可选半鞅，其中M是局部（cadlag）鞅，a是有限变化的右连续适应过程，因此a=0，B是有限变化的左连续适应纯不连续过程，因此B=0。让f：R-→ Rbe是一个凸函数。然后，f（X）是强可选半鞅。此外，通过f′表示凸函数f的左导数，我们得到f（Xt）=f（X）+Z]0，t]f′（Xs-)d（As+Ms）+Z[0，t[f′（Xs）dBs++Kt，其中K是一个非减量适应过程（通常不为左连续或右连续），包括Kt=f（Xt）- f（Xt-) - f′（Xt-)Xtand公司+Kt=f（Xt+）- f（Xt）- f′（Xt）+Xt。证明：我们的证明遵循了[37，第四章]定理66的证明，并做了适当的修改。第1步。我们认为X是有界的；更准确地说，我们假设存在N∈ 因为| X |≤ N我们知道（参见[37]）存在一个两次连续可微凸函数序列（fn），使得（fn）收敛于f，（f′n）从下面收敛到f′。通过将Gal\'chouk-Lenglart公式（参见，例如，[17]中的定理A.3]）应用于fn（Xt），我们得到了所有τ∈ T0，T（9.1）fn（Xτ）=fn（X）+Z]0，τ]f′n（Xs-)d（As+Ms）+Z[0，τ[f′n（Xs）dBs）+Knτ，a.s.，其中（9.2）Knτ：=X0<s≤τfn（Xs）- fn（Xs-) - f′n（Xs-)Xs型+X0≤s<τfn（Xs+）- fn（Xs）- f′n（Xs）+Xs型+Z] 0，τ]f′n（Xs-)dhMc、Mcisa。s、 通过证明方程（9.1）中的其他项收敛，我们证明了（Knτ）是一个收敛序列。

收敛因子]0，τ]f′n（Xs-)d（As+Ms）-→n→∞R] 0，τ]f′（Xs-)d（As+Ms）带f-期望的最优停止：不规则情况25通过使用与[37，Thorem 66，Ch.IV]证明中相同的参数来显示。通过使用支配收敛来显示特定于非右连续情形的r[0，τ[f′n（Xs）dBs+）项的收敛性。我们得出结论，（Knτ）收敛，weset Kτ：=limn→∞Knτ。将过程（Kt）调整为调整过程的极限。此外，我们从公式（9.2）和fn的凸性中得出，对于每个n，t中的knitsnondecreating。因此，极限kt是不减的。第2步。我们处理一般情况，其中X不一定是有界的，使用类似于[37，Th.66，Ch.IV]中使用的局部化参数。9.2。比较定理。定理9.1（比较）Letξ∈ S、 ξ′∈ Sbe两个过程。设f和d f′为满足假设5.1的Lipschitz驱动。设（Y，Z，k，h，A，C）（分别为（Y′，Z′，k′，h′，A′，C′）是与障碍物ξ（分别为ξ′）和驱动器f（分别为f′）相关的RBSDE的解。如果ξt≤ ξ′t，0≤ t型≤ T a.s.和f（T，Y′T，Z′T，k′T）≤ f′（t，Y′t，Z′t，k′t），0≤ t型≤ T dP dt-a.s.，然后，Yt≤ Y′t，0≤ t型≤ T a.s.证明：我们设置“Yt=Yt”- Y′t，’Zt=Zt- Z′t，’kt=kt- k′t，’At=At- A′t，\'Ct=Ct- C′t，’ht=ht- h′t和'ft=f（t，Yt-, Zt，kt）- f′（t，Y′t-, Z′t，k′t）。然后-d’Yt=’ftdt+d’At+d’Ct--(R)ZtdWt-ZE'kt（e）'N（dt，de）- d'ht，其中'YT=0。将引理9.1应用于‘Yt’的正部分，我们得到（9.3）’Y+t=-Z] t，t]{Ys->0}ZsdWs-Z] t，t]ZE{Ys->0}ks（e）~N（ds，de）-Z] t，t]{Ys->0}d'hs+Z]t，t]{Ys->0}个fsds+Z]t，t]{个->0}d'As+Z[t，t[{Ys>0}d'Cs+（Kt- KT）。我们设置δt：=f（t，Yt-,Zt，kt）-f（t，Y′t-,Zt，kt）Yt--是的-{年初至今-6=0}和βt：=f（t，Y′t-,Zt，kt）-f（t，Y′t-,Z′t，kt）Zt-Z′t{Zt6=0}。由于f的Lipschitz连续性，过程δ和β是有界的。

我们注意到'ft=δt'Yt+βt'Zt+f（Y′t-, Z′t，kt）- f（Y′t-, Z′t，k′t）+Дt，其中Дt：=f（Y′t-, Z′t，k′t）- f′（Y′t-, Z′t，k′t）。使用该值，再加上假设5.1，我们得到（9.4）英尺≤ δt'Yt+βt'Zt+hγt，'ktiν，+Дt0≤ t型≤ T、 dP dt公司- a、 e.，其中我们设置了γt：=θY′t-,Z′t，k′t，ktt。对于τ∈ T0，T，letΓτ，·是以下正向SDE dΓτ，s=Γτ，s的唯一解-[δsds+βsdWs+REγs（e）~N（ds，de）]，初始条件（初始时间τ）τ，τ=1。为了简化符号，我们将s表示为Γτ，sbyΓsfor s≥ τ。26 M.GRIGOROVA等人通过将Gal\'chouk-Lenglart公式应用于产品（Γt'Y+t），并使用thathhc，W i=0，我们得到（9.5）Γτ'Y+τ=- （Mθ- Mτ）-ZθτΓs（(R)Y+s-δs+(R)Zs{Ys->0}βs-\'fs{\'Ys->0}）ds+ZθτΓs-{Ys->0}d'Acs+Xτ<s≤θΓs-{Ys->0}“”作为-ZθτΓs-dKcs公司-ZθτΓs-dKd，-s+ZθτΓs{Ys>0}d'Cs-ZθτΓsdKd，+s-Xτ<s≤θΓsY+s。其中工艺M由M定义：=MW+MN+Mh，MWt：=RtΓs-（1{年）->0}Zs+？Y+s-βs）dWs和MNt：=RtREΓs-（\'ks（e）1{\'Ys->0}+(R)Y+s-γs（e））~N（ds，de），Mht：=RtΓs-{Ys->0}d个。请注意，通过经典参数（使用Burkholder-Davis-Gundy不等式），Stochastic积分MW、MN和MH是鞅。因此，M是一个鞅（期望值等于零）。根据Γ的定义，我们得到了Γτ=1，它给出了ΓτY+τ=\'Y+τ。此外，我们有RθτΓs{Ys>0}d'Cs=RθτΓs{Ys>0}dc-RθτΓs{Ys>0}dC′。对于第一项，它保持srθτΓs{Ys>0}dC=0。实际上，{Ys>0}={Ys>Y′s} {Ys>ξs}（作为Y′s≥ ξ′s≥ξs）。这与C的Skorokhod条件一起给出了等式。第二个任期-RθτΓs{Ys>0}dC′s≤ 0，asΓ≥ 0和dC′是非负度量。因此，RθτΓs{Ys>0}d'Cs≤ 同样，我们得到θτΓs-{Ys->0}d个Acs≤ 实际上，RθτΓs-{Ys->0}d'Acs=RθτΓs-{Ys->0}个DAC-RθτΓs-{Ys->0}dA′cs。对于第一项，我们有θτΓs-{Ys->0}dAcs=0。

这是由于{Ys-> 0}={Ys-> Y’s-}  {Ys->ξs}（作为Y′s≥ ξ′s≥ ξs，因此Y′s-≥ξs），以及Ac的Skorokhod条件。对于第二项，我们有-RθτΓs-{Ys->0}dA′cs≤ 0、我们还有-RθτΓs-dKcs公司≤ 0和-RθτΓsdKd，+s≤ 因此，（9.6）Y+τ≤ - （Mθ- Mτ）-ZθτΓs（(R)Y+s-δs+(R)Zs{Ys->0}βs-\'fs{\'Ys->0}）ds+Xτ<s≤θΓs-{Ys->0}“”作为-ZθτΓs-dKd，-s-Xτ<s≤θΓsY+s。我们计算最后一个termPτ<s≤θΓsY+s.Let（ps）是与随机测度N上的泊松相关的点过程（参见[8，VIII第2.67节]或[24，第III节§d]）。我们有Γs=Γs-γs（ps）和\'Y+s=具有f-期望的最佳停车：不规则情况27{\'Ys->0}ks（ps）- 1{年->0}“”作为+Kd，-s+1{Ys->0}(R)hs。因此，（9.7）Xτ<s≤θΓs？Y+s==Xτ<s≤θΓs-{Ys->0}γs（ps）(R)ks（ps）-Xτ<s≤θΓs-γs（ps）（1{Ys->0}“”作为- Kd，-s- 1{年->0}\'hs）=ZθτZEΓs-{Ys->0}γs（e）(R)ks（e）N（ds，de）-Xτ<s≤θΓs-γs（ps）（1{Ys->0}“”作为- Kd，-s- 1{年->0}\'hs）=ZθτZEΓs-{Ys->0}γs（e）~ks（e）~N（ds，de）+ZθτΓs-{Ys->0}hγs，\'ksiνds-Xτ<s≤θΓs-{Ys->0}γs（ps）\'As+Xτ<s≤θΓs-γs（ps）Kd，-s+Xτ<s≤θΓs-{Ys->0}γs（ps）(R)hs。通过将该表达式插入方程式（9.6）中，并将“ds”中的术语和“dKd”中的术语放在一起，-s“，以及中的术语”“As”，我们得到（9.8）Y+τ≤ - （Mθ- Mτ）-ZθτΓs-（(R)Y+s-δs+(R)Zs{Ys->0}βs+1{'Ys->0}hγs，\'ksiν-\'fs{\'Ys->0}）ds+Xτ<s≤θΓs-{Ys->0}（1+γs（ps））“”作为-Xτ<s≤θΓs-（1+γs（ps））Kd，-s- （￠Mθ）-Mτ）-Zθτd[(R)h，Z·ZEΓs-{Ys->0}γs（e）~N（ds，de）]s，其中▄Mt：=RtREΓs-{Ys->0}γs（e）(R)ks（e）~N（ds，de）。请注意，根据经典参数（对于上面的M），随机积分M是一个鞅，期望值等于零。我们有-RθτΓs-（(R)Y+s-{Ys->0}δs+(R)Zs{Ys->0}βs+1{'Ys->0}hγs，\'ksiν-\'fs{\'Ys->0}）ds≤RθτΓs-{Ys->0}Дsds，由于不平等（9.4）。术语-Pτ<s≤θΓs-（1+γs（ps））Kd，-sis非正，as 1+γs≥ 假设为0 5.1。

termPτ<s≤θΓs-{Ys->0}（1+γs（ps））由于1+γs，Asis不正≥ 0，至Skorokhod条件阿桑托A’s≥ 0（细节与上述推理中d'C的细节相似）。自从∈ M2，⊥, 通过Remark2.1，我们得出上述不等式（9.8）最后一项的期望值等于0。此外，术语θτΓs-{Ys->0}Дsds是非正的，因为Дs=f（Y′s，Z′s，k′s）- f′（Y′，Z′，k′）≤ 0 dP ds-a.s.通过定理的假设。我们得出结论，E[(R)Y+τ]≤ 0，这意味着“Y+τ=0 a.s”。因此证明是完整的。备注9。2注意，由于障碍物的不规则性以及跳跃的存在，我们无法采用文献中迄今为止使用的方法（参见[13]、[5]、[39]和[17]）来显示RBSDE的比较定理。28 M.GRIGOROVA等人，9.3。RBSDE诱导的非线性算子。斯内尔特性。我们引入了非线性算子Reff（与给定的非线性驱动f相关），并提供了一些有用的性质。特别是，我们证明了该非线性算子与Ef-Snell包络算子一致（参见定理9.2）。定义9.1（非线性算子Reff）设f为Lipschitz驱动因素。对于过程（ξt）∈ S、 我们用Reff[ξ]表示反射BSD的解的第一个分量，其具有（较低）势垒ξ和Lipschitz驱动因子f。根据定理4.1，很好地定义了运算符Reff[·]。此外，Reff[·]的值为inS2，rusc，其中S2，rusc：={φ∈ S： φ为r.u.S.c.}（参见备注2.3）。在下面的命题中，我们给出了算子Reff的一些性质。请注意，过程之间的相等（或不相等）应理解为“不可区分”意义。我们回顾了强Ef超鞅的概念。定义9.2设φ为S中的一个过程。设f为Lipschitz驱动因素。该过程φ被认为是一个强大的Ef超级马丁格尔（分别为。

强Ef鞅），如果Efσ，τ（φτ）≤ σ上的φσa.s.（分别为Efσ，τ（φτ）=φσa.s.）≤ τ、 对于所有σ，τ∈ T0，T。在一般过滤的情况下，使用上述比较定理和强（r.u.s.c.）Ef超鞅的Ef Mertens分解（参见定理7.1），我们可以说明运算符reff满足以下性质。命题9.1（算子Reff的性质）设f是满足假设5.1的Lipschitz驱动。运算符引用：S→ S2，定义9.1中定义的rusc具有以下特性：1。运算符Reffis是非减量的，即对于ξ，ξ′∈ S确认ξ≤ ξ′我们有reff[ξ]≤ Reff[ξ′]。2、如果ξ∈ Sis a（r.u.s.c.）强Ef超鞅，则Reff[ξ]=ξ。3、各ξ∈ S、 Reff[ξ]是一个强Ef超鞅，满足Reff[ξ]≥ ξ。证明：第一个结论来自我们对具有不规则障碍物的反射BSDE的比较定理（定理9.1）。让我们来证明第二种说法。设ξ为s中的（r.u.s.c.）强Ef超鞅。通过定义Reff，我们必须证明ξ是与驾驶员f和障碍物ξ相关的反射BSDE的解。在一般过滤的情况下，通过强（r.u.s.c.）Ef超鞅的Ef Mertens分解（定理7.1），以及引理2.1，存在（Z，k，h，a，c）∈ IH×IHν×M2，⊥×S×S具有f-期望的最优停车：不规则情况29-dξt=f（t，ξt，Zt，kt）dt- ZtdWt公司-ZEkt（e）~N（dt，de）- dht+dAt+dCt-, 0≤ t型≤ T、 其中，A是可预测的右连续非减量，A=0，C是自适应的右连续非减量，且完全不连续，C0-= 此外，这里基本满足了索罗霍德条件（RBSDE）。因此，ξ=Reff[ξ]，这是期望的结论。它仍然显示第三个断言。通过定义，过程Reff[ξ]等于Y，其中（Y，Z，k，h，A，C）是我们反映的BSDE的解。