多做市商环境下的最优成交费

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英文标题：
《Optimal make take fees in a multi market maker environment》
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作者：
Bastien Baldacci, Dylan Possama\\\"i, Mathieu Rosenbaum
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  Following the recent literature on make take fees policies, we consider an exchange wishing to set a suitable contract with several market makers in order to improve trading quality on its platform. To do so, we use a principal-agent approach, where the agents (the market makers) optimise their quotes in a Nash equilibrium fashion, providing best response to the contract proposed by the principal (the exchange). This contract aims at attracting liquidity on the platform. This is because the wealth of the exchange depends on the arrival of market orders, which is driven by the spread of market makers. We compute the optimal contract in quasi explicit form and also derive the optimal spread policies for the market makers. Several new phenomena appears in this multi market maker setting. In particular we show that it is not necessarily optimal to have a large number of market makers in the presence of a contracting scheme.
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中文摘要：
根据最近有关“做市商收取费用”政策的文献，我们考虑一家交易所希望与多家做市商订立合适的合同，以提高其平台上的交易质量。为此，我们采用委托代理法，即代理人（做市商）以纳什均衡方式优化报价，对委托人（交易所）提出的合同做出最佳响应。该合同旨在吸引平台上的流动性。这是因为交易所的财富取决于市场订单的到来，而市场订单的到来是由做市商的扩张驱动的。我们以准显式形式计算了最优合约，并推导了做市商的最优利差策略。在这种多做市商的背景下，出现了一些新现象。特别是，我们表明，在存在承包方案的情况下，拥有大量做市商并不一定是最优的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Optimal_make_take_fees_in_a_multi_market_maker_environment.pdf (987.56 KB)

2022-6-24 11:34:19 上传

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关键词：做市商 Mathematical Quantitative mathematica QUANTITATIV

多做市商环境下的最优成交费*Bastien Baldacci+Dylan PossamaiMathieu Rosenbaum§2021年3月9日摘要根据最近有关“买入价”政策的文献，我们考虑一家交易所希望与多家做市商签订合适的合同，以提高其平台上的交易质量。为此，我们采用委托代理法，代理人（做市商）以纳什均衡方式优化报价，对委托人（交易所）提出的合同做出最佳回应。该合同旨在吸引平台上的流动性。这是因为交易所的财富取决于市场订单的达成，而市场订单的达成是由做市商的扩张推动的。我们以准显式的形式计算了最优合约，并给出了做市商的最优利差策略。在这种多做市商的背景下，出现了一些新现象。特别是，我们表明，在存在承包方案的情况下，拥有大量做市商并不一定是最优的。关键词：做市商收取费用、做市商、高频交易、契约理论、金融监管、委托代理问题、多代理问题、随机控制。1简介自开创性工作以来，最优做市一直是数学金融领域的一个热门话题。做市商是流动性提供者，他们在交易所提供的标的资产订单簿上发布限额订单，并询问双方。他们同时买卖，赚取报价和中间价之间的价差，并且必须动态管理库存，从而根据自己的仓位调整报价。第一个简单的做市商问题在[1；9]中讨论，作者使用了随机控制方法。在【8】的后面部分，通过为做市商设定库存阈值，提供了一个明确的解决方案。

这些文章中出现了大量文献，并对各种扩展进行了研究，例如参见[2；7]。所有这些模型都处理了交易所没有创收商费用政策的做市活动的情况。*这项工作得益于监管、金融风险、金融和可持续发展的主席分析和模型的财政支持。Bastien Baldacci和Mathieu Rosenbaum感谢ERC赠款679836 Staqamof的财政支持。Dylan Possama"i感谢ANR项目Pacman ANR-16-CE05-0027的支持。作者感谢Thibaut Mastrolia、Nizar Touzi、Steve Shreve和BenWeber在早期版本的论文中指出了一些不准确之处。+法国巴斯蒂安Cedex Palaiseau Cedex 91128号萨克莱路CMAP埃科尔理工学院。baldacci@polytechnique.edu.ETH Zürich，数学系，R"amistrasse 101，8092 Zürich，瑞士，dylan。possamai@math.ethz.ch.§法国马蒂厄塞德克斯帕莱索91128号萨克莱路CMAP埃科尔理工学院。rosenbaum@polytechnique.eduDue金融市场、交易所（纳斯达克、泛欧交易所等）的分裂正处于竞争中，因此需要找到创新的方式来吸引其平台上的流动性。其中一种方法是使用创收商收费系统：交易所通常将费用回扣与已执行的限额订单相关联，同时对市场订单收取交易成本。这使其能够补贴流动性准备金和对流动性消费征税。因此，相关的收费政策问题是市场流动性质量和相应交易平台收入的关键。

在[4]中，根据市场制造商产生的交易流量，推导出了最佳的成交费政策。然而，无论是否有交易所的干预，都没有最优的做市商框架来解决多个做市商相互竞争的问题。出于几个原因，这种考虑至关重要。单一做市商的情况意味着他没有竞争对手，因此只需要管理他的库存风险。然而，对于许多金融资产，做市商活动由多个做市商提供（通常为三到十个），参见示例【15】。因此，拥有多代理模型更适合绝大多数市场。单一代理人模型可能会对做市商在交易期间处理的订单流量进行过度估计。此外，金融市场的几个重要特征与做市商之间的竞争有关，如价差形成和订单簿形状，参见[3；6；11；13]。从交易所的角度来看，考虑到几个做市商可能是相关的，因为它在实践中可以获得与每笔交易中涉及的代理身份相关的信息。出于这些原因，本着[4]的精神，我们将做市商收取费用问题的框架扩展到一个交易所（或监管机构）希望吸引市场流动性的情况，即多个做市商在单一基础资产上进行交易。从建模的角度来看，我们的论文遵循了与上述文献相同的灵感。在这里，我们旨在研究一个交易所和几个做市商在单一标的资产上交易的合约问题。我们将自己置于类似于[10]的委托代理框架中。委托人希望为代理人订立一份合同，使其能够制定一项最佳的收取费用政策，以实现收入最大化。

市场接受者发送买卖指令，数量恒定等于1，而做市商控制其对资产的报价（此处不考虑限制指令数量的概念）。我们的合同以交易流量和资产价格为基础。请注意，如[4]中所述，药剂的扩散不是可收缩变量。建议只考虑实际交易中涉及的变量。此外，个别价差的定义很不明确，因为实际上做市商在限额订单簿中操作，他们发布多个不同数量的订单。市场订单由做市商以最佳报价执行。然而，其他市场参与者根据其报价与最佳出价或要价之间的距离获得补偿。通过这样做，我们旨在对影响订单的队列位置进行建模，请参见[6；11；14]。由于我们假设数量不变，这表示订单可能会根据代理在订单簿中的位置在代理之间拆分。此外，这种补偿反映了做市商出于商业原因获得足够紧的报价的重要性，详情见第3节。因此，每个做市商的PnL流程取决于其他做市商的报价。最后，在[4]的单一做市商框架中，到达指令的强度是代理价差的递减函数。在我们的案例中，强度随着市场总流动性的增加而增加。

为此，我们根据价差与有效价格之间的距离，使用价差的加权和来表示订单簿的整个流动性。正如[4]中所述，我们的问题是通过解决交易所和做市商之间的斯塔克伯格博弈来解决的：（i）按照[5]中的方法，每个做市商计算其最佳反应函数，给出其他代理的读数，这提供了纳什均衡。（ii）在这种均衡条件下，交易所通过求解适当的Hamilton–Jacobi–Bellman方程来计算其最优响应（最优合约）。（iii）这种反应被重新注入代理的最佳报价中，从而给出双方的最佳答案。可以通过偏微分方程以半显式形式检索最佳报价。此外，最优收缩表示为关于市场秩序和有效价格过程的随机积分之和。我们强调，此类承包方案易于实施，易于解释，见第3.3节。一个重要的发现是，做市商数量的增加并不一定会降低平均价差。这意味着，对于给定的一组市场参数，在平台PnL最大化的意义上，存在“最佳”的市场制造商数量。因此，对于交易所而言，它提供了一个框架来决定他们希望吸引多少市场参与者来提高他们的收益。我们还提供了一个简单的公式来选择“买方成本”，其精神与[4]中的相同。第4.4节对此进行了讨论。

我们强调，据我们所知，我们利用阿维拉内达（la Avellaneda）和斯托伊科夫（Sto"ikov）处理多做市商问题的框架为投资者提供服务。本文的主要贡献之一在于分析市场中增加做市商对交易成本、总订单流量和平台PnL等利益数量的影响。我们还发现，增加具有较高风险厌恶参数的市场参与者将降低平均利差，反之亦然。此外，当市场制造商数量增加时，降低接受者成本会导致平台在某一点上的PnL更高（见第4.4节）。我们将论文组织如下：在第二节中，我们介绍了模型主要对象的随机计算的一些预备知识。然后，我们介绍了我们对多做市商案例建模的方法，以及与[4]的主要差异。我们还描述了做市商和交易所的优化问题。在第3节中，我们给出了每个做市商对给定合同的最佳反应函数，并定义了可接受合同的形式。在第4节中，我们明确解决了交易所的问题，并为每个做市商提供了激励形式。最后，在第5节中，我们讨论了几个做市商的存在对平台的市场流动性和PnL的影响。符号：Let N？是所有正整数的集合。对于任何（`，c）∈ N×N？，M`，c（R）将表示`×c矩阵的空间和实数项。矩阵M的元素∈ M`，表示的注意（Mi，j）1≤我≤`,1.≤j≤c M的转置表示为M>。我们将M`，1标识为R`。当`=c时，我们让M`（R）：=M`，`（R）。对于任何x∈ M`，c（R），对于任何1≤ 我≤ ` 和1≤ j≤ c、 xi：∈ M1，c（R）和x：，j∈ R`分别表示i-第th行和第j行-M的第th列。

此外，对于任何x∈ M`、c（R）和任意1≤ j≤ c、 x：，-j∈ M`，c-1（R）表示矩阵x，不带j-第列。对于任何x∈ M`、c（R）和y∈ R`，我们还定义了i=1，…`，y九∈ M`，c+1（R）作为矩阵，其第一个i- 1列等于第一列i- 1列x，对于j=i+1，c+1，j-第列等于（j- 1)-x的第th列，其i-第th列等于y。对于任何x∈ R`，我们还定义：=迷你∈{1，…，`}xi。我们还定义了RN的向量，每个分量等于1。正如在实践中大多数情况下所做的那样，我们规定每个做市商都收到相同的合同。这意味着它不能依赖于个人风险规避参数。在本文中，我们确定了一个常数δ∞> 0，假设其足够大（稍后将具体说明其大小）。2模型2.1框架2.1.1规范过程如【4】所述，本文所考虑的框架是受开创性著作【1】和【8】的启发，其中没有交易所在市场上发挥作用。让N≥ 1是一个整数，表示市场中做市商的数量。我们还定义了一个正常数δ∞, 这被认为是largeenough，这一声明将在稍后进行精确说明。我们考虑最终地平线时间T>0，以及空间Ohm =: Ohmc×Ohm第二，带OhmC从[0，T]到R的连续函数集，以及Ohmd从[0，T]到N的分段常数cádlág函数集。我们考虑Ohm 作为从[0，T]到R2N+1的cádlág函数的Skorokhod空间D（[0，T]，R2N+1）的子空间，设F为trace Borelσ-代数打开Ohm, 其中，拓扑是与通常的Skorokhod距离D（[0，T]，R2N+1）相关联的拓扑。我们让（Xt）t∈[0，T]：=Wt，N1，at，NN，at，N1，bt，NN，btt型∈[0，T]是上的canonicalprocessOhm, 也就是说wt（ω）：=w（t），Ni，at（ω）：=Ni，a（t），Ni，bt（ω）：=Ni，b（t），对于所有i∈ {1, . . .

，N}，ω：=（w，n1，a，…，nN，a，n1，b，…，nN，b）∈ Ohm. 以下聚合计数过程也将有用nj：=NXi=1Ni，j，j∈ {a，b}。最后，定义i∈ {1，…，N}，j∈ {a，b}映射λi，j:RN×ZN-→ R和λ：RN×ZN-→ Rbyλi，j（x，q）：=A exp-kσc+$NXi=1xi{xi=x}+NXi=1KX`=1H` xi{xi∈K`}{xi6=x}！！{xi=x，qi>-φ（j）q}PN`=1{x`=x，q`>-φ（j）q}，（2.1）λj（x，q）：=NXi=1λi，j（x，q），其中A、k、σ和c是固定的正常数，k是固定的正整数，q∈ N、 $和（H`）`=1，。。。，Kare实值，稍后将确定，{K`:`=1，…，K}是区间[0，δ]的开放覆盖∞]. 此外φ（j）：=1，如果j=a，-1，如果j=b。有关（2.1）的经济和数学解释，请参见第2.1.4节。备注2.1。这里的映射λi，jare定义了点过程Ni，j的强度，而λ对聚合点过程起着这一作用。这是对[4；8]中使用的指数强度的概括，即o所有利差都被考虑在内，并根据其价值进行加权；o当N=1和$=1时，我们恢复了单一做市商案例的强度。2.1.2容许控制、库存过程和规范概率测量确定概率Pon(Ohm, F） 这样，在P、W、Ni、a和Ni下，对于所有i=1，…，都是独立的，N、 W是一维布朗运动，Ni，aand Ni，裸泊松过程，强度分别为λi，a（0，0）和λi，b（0，0）。因此，我们赋予空间(Ohm, F） 使用（P-增强）规范过滤F：=（Ft）t∈[0，T]：=（Fct（Fdt）d） t型∈[0，T]由（Xt）T生成∈[0，T]。众所周知，过滤满足通常条件，而Blumenthal 0-1法律。

除非另有说明，否则流程的所有可测量性概念应理解为与F相关。做市商对（St）t给出的资产的有效价格（应理解为中间价格）有看法∈[0，T]，定义假设：=S+σWt，T∈ [0，T]，（2.2），其中S>0是已知的价格初始值，σ>0是其波动率。备注2.2。将算术布朗运动用于有效价格过程的动机在于其简单性。价格（2.2）只有在足够大的时间范围T内才能以不可忽视的概率达到负值。出于实际目的，我们选择T<1天，以便方程（2.2）精确地近似于几何布朗驱动的有效价格，该价格几乎肯定为正。接下来，我们定义了代理的受控过程的属性。根据他们对有效价格（2.2）的看法，做市商提供标的资产的出价和询价。此类价格由PI确定，bt：=St- δi，bt，Pi，at:=St+δi，at，t∈ [0，T]，i∈ {1，…，N}，其中上标b（分别为a）表示bid（分别为ask）。因此，做市商的可接受控制集定义为：=（δt）t∈[0，T]=（δi，at，δi，bt）i=1，。。。，Nt公司∈[0，T]：R2N-δ约束的有值可预测过程∞. （2.3）差价的可预测性反映了每个代理提前选择报价的事实。这里的有界性假设是技术性的，只是帮助我们确定相关的概率度量。