具有交易费用的多资产投资与消费问题

稍后，我们将概述一个验证参数，即该候选值函数与相应的最优投资/消费问题的解决方案一致，由此推导出V和G的必要光滑性。基于康斯坦丁尼德斯（Constantinides）和马吉尔（Magill）[9]以及戴维斯（Davis）和诺曼（Norman）[11]开发的直觉，我们预计代理人的最佳策略是，只有当Ptfalls超过一定区间时，才交易非流动资产[p*, p*] 由于偿付能力限制，我们必须-λ6 Ptγ和[p*, p*]  [-λ、 γ]。当Pt<p时*, 代理人购买非流动资产以备不时之需*. 因此对于初始位置（x，θ），p=yθx+yθ<p*, 待购买的非流动资产单位数由φ=xp给出*-（1）-p*)yθy（1+λp*)y（θ+φ）x+y（θ+φ）-y（1+λ）φ=p*. value函数在此事务上没有更改，因此我们推断-λ6 p<p*,（x+yθ）1-RG（p）=[x+y（θ+φ）- y（1+λ）φ]1-RG（p*)反过来（p）=1+λp1+λp*1.-RG（p*) = A.*（1+λp）1-R（3）一个交易成本为7的多资产投资和消费问题，其中*:= G（p*)（1+λp*)R-1、类似的思考得出结论G（p）=1.- γp1- γp*1.-RG（p*) = A.*（1）- γp）1-R（4）表示p*< p 6γ，其中A*:= （1）- γp*)R-1G（p*).考虑M=（Mt）t>0定义的viaMt：=中兴通讯-δsC1-Rs1- Rds+e-δtV（Xt，Yt，Θt）。我们期望M一般是一个超鞅，并且是最优策略下的鞅。假设V为C2×2×1。然后应用伊藤引理，我们确定δtdMt=C1-Rt1- Rdt+VxdXt+VXD[X]t+VydYt+Vyyd[Y]t+VθdΘt+Vxyd[X，Y]t- δV dt=C1-Rt1- R- VxCt+σVxx∏t+（（u- r） Vx+σηρVxyYt）∏t+rVxXt+αVyYt+ηVyyYt- δV！dt+（Vθ- （1+λ）VxYt）dΦt+（VxYt（1- γ）- Vθ）dψt+σVx∏tdBt+ηVyYtdWt。此外，质量V在x中严格递增和凹陷。

然后，在最大化关于Ctand和∏tand的漂移项并将结果最大值设置为零的情况下，我们得到了无交易区域R1上的HJB方程- RV1-1/Rx+rxVx+αyVy+ηyVyy-（βVx+ηρyVxy）2Vxx- δV=0。（5） 3.2。简化为一阶自由边值问题。确定辅助参数b，b，频带basb=hδ-r（1- R）-β（1-R） 2Riη（1）- ρ） ，b=β- 2Rηρβ+ηRηR（1- ρ） ，b=2（ν- βρ）η（1- ρ） ，b=η（1- ρ） 。结果表明，最优投资和消费问题取决于原始参数，仅通过这些辅助参数和风险规避水平R。在此，B发挥了“标准化贴现因子”的作用，该因子调整贴现因子，以允许无交易成本风险资产中的基准增长效应和投资机会。bis非流动资产的“特殊波动率”的简单函数。参数bis非流动资产的“每单位特殊波动率的有效夏普比率”。这个参数需要解释：本质上，它是一个非线性因素，它源于问题的多维结构。请注意，b=1+1-ρβηR- ρ> 在s等式中，我们将使用以下假设。长期假设1。在本文中，我们假设b>0、b>1和b>0。交易费用为8的多资产投资和消费问题施加b>0的理由是，在没有非流动资产的情况下，b>0是必要的，以确保默顿问题的适定性。（如果R<1且b6 0，则该值函数对于默顿问题是有限的。相反，如果R>1且b6 0，则对于每种可容许的策略，消费e的预期损失效用等于-∞. 如果在没有流动资产的情况下默顿问题是不适定的，那么我们的问题必然是不适定的。）相反，假设b>0不是必需的。

然而，使用非流动资产的正效应夏普比率（b>0）工作的优势在于，（x，yθ）平面的前两个变量中包含无交易楔子。假设b>0减少了我们分析中要考虑的案例数量，并有助于说明的清晰性，但本文提出的方法和结果可以很容易地扩展到具有负效应夏普比率的非流动资产的情况。ca-se b=1相当特殊，我们将其从分析中排除。一个自然发现b=1的sc enario是如果β=0=ρ。在这种情况下，既没有对冲动机，也没有持有流动风险资产的投资动机。从本质上来说，投资者可以忽略流动风险资产的存在，从而降低问题的维度。这个问题是[15]的主题。如果b=1，则我们在下一段中定义的解n可能通过奇点。参见Choi et al【7】或Hobson et al【15】，以讨论一些is问题。我们采用与[15]相同的变换来降低HJB方程的阶数。回想一下（2）中V和G之间的关系以及定义p=yθx+yθ。远离p=1，设置h（p）=sgn（1-p） | 1-p | R-1G（p），w（h）=p（1-p） dhdp，W（h）=W（h）（1-R） h，设N=W-1be反函数toW和set n（q）=n（q）|-1/R | 1-q | 1-1/R.对于n，我们在附录A中显示，（5）可以转换为一阶微分方程n′（q）=O（q，n（q））（6），其中O（q，n）=（1- R） nR（1- q）-2（1- R） qn/R2（1- R） （1）- q） [（1）- R） q+R]-^1（q，n）- sgn（1- R） 如果b=0，代理人选择从不投资非流动资产。

在这种情况下，代理人在一日零时结束任何初始头寸，然后问题归结为具有单一风险资产和非交易成本的标准默顿问题。更一般而言，流动资产S中的头寸是利用S中的预期超额回报的投资头寸和设置非流动资产Y中头寸风险的对冲头寸的组合。如果βηr=ρ，那么当X=0时，这些项正好抵消。特别是，如果半行X=0在无交易区域内，那么由于消费是从现金账户进行的，如果X=0，那么财富只能为负。然后是子空间X≤ 0正在吸收，并且没有进一步购买液化资产。交易成本为9且φ（q，n）：=b（n）的多资产投资和消费问题- 1） +（1- R） （b）- 2R）q+（2- b） R（1- R） ，E（q）：=4R（1- R） （b）- 1） （1）- q） 。定义平方m（q）：=R（1- R） bq公司-b（1- R） bq+1（8）与代数函数l（q） ：=m（q）+1- Rbq（1- q） +（b- 1） R（1- R） bq（1- R） q+R.（9）注意，m有一个转折点（R<1时最小，R>1时最大），在b2r：=qM和setmM：=m（qM）=1-b（1-R） 4bR。以下是函数O的关键性质。它们是引理2中给出的更完整性质集的特例。引理1。（1） O（q，n）可以通过（1）上的连续性扩展到q=1- R） n<（1- R）l（1） ；（2） O（q，n）=0当且仅当n=m（q）；（3） 对于给定的R和q，O（q，n）的符号仅取决于n的符号- m（q）和l（q）- n、 现在，我们将（5）到（6）相同的转换应用于采购和销售制度的价值函数。对于-λ6 p<p*, G（p）=A*（1+λp）1-Ras由（3）给出。Thenw（h）=p（1- p） dhdp=p（1- p） （1）- R） h类λ1+λp+1- p= （1）- R） h类p（1+λ）1+λp和| 1- W（h）|=| 1-p | 1+λp=A.*|h类|1/（1）-R） 。因此，n（q）=（A*)-1/R。

此表达式适用于-λ6 p<p*其中q=W（h）=（1+λ）p1+λp。因此q中的等效范围为q<q*:=（1+λ）p*1+λp*. 同样，在销售区域，我们有n（q）=（A*)-1/Rfor q>q*:=（1）-γ） p*1.-γp*.原始值函数V的C2×2×1×1光滑度现在转化为转换后的值函数n的C光滑度。因此，我们正在寻找一个连续可微函数和边界点（q*, q*) 在q上求解（6）∈ （q）*, q*) n（q）=（A*)-1/询价单≤ q*n（q）=（A*)-1/询价单≥ q*. n在边界点力n′（q）处的一阶光滑性*) = n′（q*) = 通过引理1，n′（q）=O（q，n（q））=0当且仅当n（q）=m（q）。因此，自由边界点必须由q坐标给出，其中n与二次m相交。自由边界值问题现在变成在q上求解n′（q）=O（q，n（q））∈ （q）*, q*) 以n（q）为准*) = m（q*) 和n（q*) = m（q*).例如，假设R<1，mM>0。修复u∈ （0，qM）。然后，从（u，m（u））开始的（6）的解是递减的；我们感兴趣的是这个解何时再次穿过m；将该点称为ζ（u）。交易成本为10的多资产投资和消费问题那么我们有一系列解决方案（nu（q））u≤q≤ζ（u）至（6），其中n（u）=m（u），n（ζ（u））=m（ζ（u））。我们想要的解决方案是与给定的交易成本一致的解决方案。我们的方法基于与[15]相同的思想。设ξ=λ+γ1-γ> 0为往返交易成本。现在假设1/∈ [p*, p*] 反过来，1/∈ 【q】*, q*].

利用q*=（1+λ）p*1+λp*和q*=（1）-γ） p*1.-γp*,我们有ln（1+ξ）=ln（1+λ）- ln（1- γ） =Zp*p*dpp（1- p）-Zq公司*q*dqq（1- q） 。然后，使用w、N和O的定义，ln（1+ξ）=Zh*h类*dhw（小时）-Zq公司*q*dqq（1- q） =Zq*q*N′（q）dq（1）- R） qN（q）-Zq公司*q*dqq（1- q） =Zq*q*Rq（1- R）N′（q）RN（q）-1.- RR（1- q）dq=Zq*q*-Rq（1- R） O（q，n（q））n（q）dq（10）在哪里得到最后一行，我们使用o（q，n（q））n（q）=n′（q）n（q）=1的事实-RR（1-q）-RN′（q）N（q）。因此，自由边值问题所需的解是ln（1+ξ）=Zq*q*-Rq（1- R） O（q，n（q））n（q）dq（11）保持不变。如果1∈ [p*, p*] 或相当于1∈ 【q】*, q*], 积分SRP*p*dpp（1-p） andRq公司*q*dqq（1-q） 没有很好的定义。但可以证明（11）仍然适用于使用极限参数，见附录G。总结一下，我们想解决以下问题：（自由边值问题）找到一个正函数n（·）和一对boun darypoints（q*, q*) 解n′（q）=O（q，n（q）），q∈ 【q】*, q*]n（q*) = m（q*), n（q*) = m（q*) （12） 和（11）。在第5节中，我们区分了几种不同的情况，并讨论了如何构造解（n（·），q*, q*) 在每种情况下。从（12）中可以清楚地看到二次m所起的中心作用。功能l 作为n′=O（n，q）的可行解，至少对于0<q≤ 例如，假设R<1。然后针对交易成本为11q的多资产投资和消费问题∈ 【q】*, q*] 我们有n（q）≥ m（q）按构造，但也包括n（q）≤ l（q） 对于q*≤ q≤ q*∧ 1、此外l（1） 在确定问题何时不适定时至关重要。4、主要结果在第三节中，我们将原HJB方程转化为自由边界值问题（12）。

现在我们认为，给定一个解（n（·），q*, q*) 对于（12），我们可以反转变换并构造候选值函数。假设存在一个解（n（·），q*, q*) 到（12），n严格为正。定义p*=q*1+λ（1-q*)和p*=q*1.-γ（1-q*). 设N（q）=sgn（1- q） n（q）-R | 1- q | R-1，W=N-1和w（h）=（1-R） hW（h）。我们想从G（p）=sgn（1）构造候选值函数-p） | 1-第1页-Rh（p），其中h solvesdhdp=w（h）p（1-p） 。主要的微妙之处是tha tw（h）p（1-p） 在p=1时没有很好的定义。尽管如此，p=1时G的定义可以在有限的意义上理解。为此，我们根据是否（q*-1） 和（q*-1） 是否具有相同的符号，或者等效地，在（x，yθ）空间中绘制的无事务楔形是否包括垂直轴x=0（对应的顶部=1）。提案1。（i） 假设1/∈ [p*, p*]. 定义h（p）viaZh（p）N（q*)duw（u）=Zpp*duu（1- u） （13）在p上*6页6页*. 那么（13）等于Zn（q*)h（p）duw（u）=Zp*pduu（1- u） （14）和（14）是h（p）的另一种定义。LetGC（p）=n（q*)-R（1+λp）1-R、 p∈ [-λ、 p*);sgn（1- p） | 1- 第1页-右侧（p），p∈ [p*, p*];n（q*)-R（1- γp）1-R、 p∈ （p*,γ] 。然后GCis a C功能开启(-λ、 γ）。此外，（x+yθ）1-R1级-RGC（yθx+yθ）严格递增且严格与x相关。（ii）假设1∈ [p*, p*]. 定义h（p）通过Rh（p）N（q*)duw（u）=Rpp*duu（1-u） ，p*< p＜1；RN（q*)h（p）duw（u）=Rp*pduu（1-u） ，1<p<p*.交易费用为12LetGC（p）的多资产投资与消费问题=n（q*)-R（1+λp）1-R、 p∈ [-λ、 p*);sgn（1- p） | 1- 第1页-右侧（p），p∈ [p*, p*] \\ {1} ；n（1）-Re公司-（1）-R） a，p=1；n（q*)-R（1- γp）1-R、 p∈ （p*,γ] 带：=-Rq公司*Rq（1-R） O（q，n（q））n（q）dq公司- ln（1+λ）。然后| a | 6 ln（1+ξ），GCis是一个C函数(-λ、 γ）。

此外，（x+yθ）1-R1级-RGC（yθx+yθ）在x中严格递增且严格凹。命题1在附录B中得到证明。本文的第一对主要结果总结在以下两个定理中。对于一组风险规避参数R、贴现因子δ和市场参数R、u、σ、α、η、ρ，如果交易成本λ的所有值的值函数在求解区域的内部是有限的，则该问题（无条件）适定≥ 0和γ∈ [0，1）λ+γ>0。如果值函数对所有λ和γ都是有限的，我们说问题是不适定的。如果问题对往返运输成本的大值是适定的，但对小值是不适定的，我们说表m是有条件适定的。附录D中证明了定理1和2。定理1。投资/消费问题是：（1）在下列任一情况下适定：（a）R>1，（b）R<1和mM≥ 0；（2） 如果R<1，mM<0和l（1） 6 0；（3） 如果R<1，mM<0和l（1） >0。在这种情况下，只有当ξ>ξ，其中ξ在下面的（18）中定义时，问题才是正确的。注意，如果R<1，则mM>0是必要的，并且对于事务成本设置为零的问题是有效的。此外，如果R<1，mM=0，λ=0=γ（我们排除了这种情况），则pr问题对于零交易成本是不适定的，但对于非z ero交易成本是适定的。以下结果源自不适定情况下定理1的证明，并依赖于这样一个事实，即在这种情况下，存在一个可接受的策略，该策略在不授予流动风险资产的情况下产生有限的预期效用。一个具有交易成本的多资产投资和消费问题13推论1。

一项风险流动资产和一项非流动风险资产的问题是不适定的（对于所有交易成本值），当且仅当忽略风险流动资产的问题是不适定的（对于所有交易成本值）。定理2。假设这些参数使得问题是适定的。SetVC（x，y，θ）=bRb公司-R（x+yθ）1-R1级- RGC公司yθx+yθ其中GCI的定义与提案1的相关案例相同。然后VC=V，其中V是（1）中定义的投资/消费问题的价值函数。自由边值问题的解 {（q，n）；q>0，n≥ 0}是集S={q=1}∪ {q=RR-1}∪ {n=0}∪ {q<1，（1- R） n个≥（1）- R）l（q） }。打开（0，∞) ×[0，∞) \\ 定义F（q，n）=O（q，n）/n。将F的定义扩展到（0，∞) ×[0，∞) 在可能的情况下，采取适当的限制。本节首先列出关于函数m和l 和运算符O和F。引理2的证明在附录E引理2中给出。（1） （a）对于R<1，l（q） >q上的m（q）∈ （0，1）。此外，在（0，∞), m交叉l在1以上的某个点，从下方正好一次；（b） 对于R>1，m（q）>l（q） 在q上∈ （0，1）。此外，在（0，∞), m或不交叉l atall，或触摸l 在开放区间（1，R/（R））中正好有一次- 1） ）或交叉l 两次开启（1，R/（R- 1） ）。（2） 对于R>1，F（q，n）在q=R/（R）时定义良好- 1） 。（3） 对于n>0和（1- R） n<（1- R）l（1） ，F（1，n）定义良好，F（1，n）：=limq→1F（q，n）=-（1）- R） （n）- m（1））l（1）- n、 （15）同样，对于q≤ 1和R<1，我们有limn↑l（q） F（q，n）=-∞ （和limn↓l（q） F（q，n）=+∞ ifR>1）。对于q>1和R<1（和1<q<RR-对于R>1），我们有f（q，l（q） ）：=limn→l（q） F（q，n）=-1.- RR（1- q）q[（1- R） q+R][（1- R） q+R]+（b- 1） R- 1.. （16） （4）F（q，n）=0当且仅当n=m（q）。

此外，（a）对于R<1：（i）对于0<q<1，对于m（q）<n，F（q，n）<0l（q） 当n<m（q）orn>l（q） ；交易成本为14R<1mM>0的多资产投资和消费问题案例1（W）mM<0l（1） 6案例2（I）l（1） >0案例3（CW）R>1案例4（W）图1。根据参数符号对不同情况进行分类。括号中的BBRevision表示案例的解决方案特征，其中“W”表示所有级别交易成本的无条件适定性，“I”表示所有级别交易成本的条件适定性，“CW”表示条件适定性，即仅适用于高水平交易成本的适定性。（ii）在q=1时，对于m（1）<n，F（1，n）<0l（1） 对于n<m（1），F（1，n）>0。对于n>l（1） ；（iii）当q>1时，对于n>m（q），F（q，n）<0；对于n<m（q），F（q，n）>0；（b） 对于R>1：（i）对于0<q<1，F（q，n）>0l（q） <n<m（q）和F（q，n）<0表示n<l（q） orn>m（q）；（ii）在q=1时，F（1，n）>0l（1） <n<m（1），对于n>m（1），F（1，n）<0。F（1，n）对于n 6没有很好的定义l（1） ；（iii）1<q 6 R/（R）- 1） ，对于n>m（q），F（q，n）<0；对于n<m（q），F（q，n）>0；（iv）q>R/（R）- 1） ，对于m（q）<n，F（q，n）<0l（q） F（q，n）>0表示n>l（q） 或n<m（q）。回忆（qM，mM）是qM=b2R>0时四分之一m的极值点（R<1时最小，R>1时最大）。问题的关键分析性质仅取决于三个参数（1）的信号-R、 嗯，l（1） ）。我们使用图1中的决策树对四种不同的情况进行分类。一个交易成本为15的多资产投资和消费问题，我们通过左边界点将（12）的解族参数化。