具有交易费用的多资产投资与消费问题

固定u并用（nu（q））q表示初值问题的解n′（q）=O（q，n（q）），n（u）=m（u）。设ζ（u）=inf{q>u：（1）-R） nu（q）<（1- R） m（q）}表示第一个与m相交的位置，位于u的右侧。定义∑（u）=expZζ（u）u-Rq（1- R） O（q，nu（q））nu（q）dq！- 引理3。假设mM>0。那么∑是一个三次递减的连续映射∑：（0，qM）→ [0，∞)带∑（0+）=+∞ 和∑（qM）=0。现在假设mM≤ 0、设p-≤ p+是m（q）=0的根。Setξ：=limu↑p-∑（u）=exp-Zp+p-Rq（1- R） F（q，0）dq！- 那么∑是一个严格递减的连续映射∑：（0，p-] → [ξ，∞) 带∑（0+）=+∞ 和∑（p-) = ξ。此外，limu↑p-nu（·）=0和limu↑p-ζ（u）=p+。引理3在附录E.5.1中得到证明。案例。5.1.1。情况1：R<1和mM≥ 0.对于任何初始值u∈ （0，qM），m′（u）<0=O（u，m（u））=O（u，nu（u））=n′u（u）。因此，当q接近u时，nu（q）最初必须大于m（q）。根据引理2的第4部分，O（q，n）在{（q，n）上为负：0<q 6 1，m（q）<n<l（q） }∪ {（q，n）：q>1，n>m（q）}。此外，nu（q）不能在0<q 6 1 sinc e limn上从下面转换l（q↑l（q） O（q，n）=-∞. 通过考虑O（q，n）的符号，我们得出结论，nu必须减小，直到它穿过m。这保证了ζ（u）的元素，三元（nu（·），u，ζ（u））代表了问题（12）的一种可能解决方案。注意，解族（nu（·））0<u<qm不能交叉，因此nu（q）在u中递减。与初始值u=0和u=qm相对应的解可以理解为一系列解的适当极限。虽然O（q，n）具有奇点，但t q=1，n=l（q） 引理2的第3部分表明{（q，n）上存在一个定义良好的极限O（q，n）：q=1，n<l（1）}和{（q，n）：q>1，n=l（q） }。因此，存在O（q，n）的连续修正，并且解Nu实际上可以通过这些奇异曲线。

有关一些示例，请参见图2（a）。根据（11）的分析，u的正确选择应满足ξ=∑（u）。从引理3可以看出，对于给定水平的往返交易成本ξ，存在交易成本为16点的多资产投资与消费问题左边界的唯一选择*= ∑-1（ξ），然后自由边值问题的期望解由（nu）给出*（·），u*, ζ（u*)). 图2（b）给出了∑的曲线图-1（ξ）和ζ（∑）-1（ξ））表示边界（q*, q*) 在不同的交易成本水平下。q0 0.5 1 1.50.51.5n（q）n（q）n（q）m（q）和l（q）（a）具有不同初始值（u，m（u））的溶液nu（q）的示例。ξ0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.20.40.60.81.21.4（b）q*= ∑-1（ξ）和q*= ζ（q*).图2：。案例1中选择的参数为R=0.5、b=0.25、b=1.75和b=0.85。根据图2，我们可以对q的行为进行一系列简单的观察*和q*（在其他情况下也适用）其中一些将在第6节关于问题的比较静力学中得到证明。首先，无交易记录的上下限，用术语q表示*和q*, 分别为单调递减和单调递增。特别是，随着交易成本的增加，无交易区域变得更宽。其次，无交易区域可能包含在第一象限（0<q*< q*< 1） ，或uppe r半平面（0<q*< 1<q*),根据ξ和其他参数值，我们可能会发现无事务区域包含在第二象限（1<q*< q*). 第三，limξ↓0季度*= qM=limξ↓0季度*.

此外，数字是limξ的暗示↑∞q*= 0和limξ↑∞q*=: q*∞< ∞ 因此，有一部分偿付能力空间接近偿付能力极限p=1/γ，即使在交易成本非常大的情况下，也在需要以t=0的价格出售Y的区域内。第四，q*对ξ变化的敏感度低于q*这样，无交易楔块就不会位于默顿线的中心。5.1.2。情况2：R<1，mM<0，l（1）≤ 0、让l是的根l（q） =q时为0∈ （0，1）。因为n′（q）=O（q，n（q））的解必须在0以下和0以上有界l（q） 对于q∈ （0，l), 对于m（u）>0的任何初始值（u，m（u）），相应的解nu（·）必须达到(l, 0）。因此，不存在任何穿过m ag ain至u右侧的正溶液。见图3。在交易成本为17的多资产投资和消费问题中，这种情况下，自由边界价值问题没有解决方案，事实上，对于所有交易成本水平，根本问题都是不适定的，因此无法定义价值函数。q0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-1.5-1-0.50.51.5n（q）n（q）n（q）m（q）和l（q）图3。案例2，其中参数选择a re R=0.5，b=0.25，b=1.75和b=1.5。然后qM=b2R=0.85.5.1.3。情况3：R<1，mM<0，l（1） >0。设p±0<p-< qM<p+是m（q）=0的两个根。除了左边界点现在应限制为u之外，解决方案的参数化与情况1相同∈ （0，p-) 确保初始值为正值。函数∑definedin（17）仍然是一个严格的递减映射，∑（0+）=+∞ 但其域现在限制为（0，p-].与案例1不同，我们现在只考虑∑-范围ξ上的1（ξ）∈ （ξ，∞). 对于如此高水平的往返交易成本，所需的左边界点由u给出*= ∑-1（ξ）andu*= ζ（u*), 见图4。

在这种情况下，问题是有条件适定的，即仅在交易成本非常高的情况下才适定。5.1.4。情况4：R>1。在这种情况下，二次型m在（qM，mM）和m（q）>l（q） 在q上∈ （0，1）。通过使用引理2的第4部分检查O（q，n）的符号，可以验证初始值问题的解对于左边界点u的任何选择总是增加的∈ （0，qM）。在这种情况下，溶液族在u中增加。溶液nu（q）c在ζ（u）=inf（q>u：nu（q）>m（q））处从下方穿过m（q）。使用（17）中相同的定义求解ξ=∑（u）同样是对u的正确选择。与Cas e 1中一样，函数∑从（0，qM）到[0，∞) 和henceu*= ∑-对于任何ξ，1（ξ）总是唯一存在。见图5。事实上，对于R>1，代理的效用函数总是以零为界，因此值函数总是存在且是有限的。交易成本为18q0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1-0.50.51.5n（q）n（q）n（q）m（q）m（q）和l（q）（A）的多资产投资和消费问题具有不同初始值（u，m（u））的解nu（q）的示例。ξ0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.40.60.81.21.41.61.8（b）q*= ∑-1（ξ）和q*= ζ（q*). q*和q*未定义ξ<ξ。图4：。案例3中选择的参数为R=0.5、b=0.25、b=1.75和b=1.2。q0 0.5 1 1.51.051.11.15n（q）n（q）n（q）m（q）和l（q）（a）溶液示例nu（q）具有不同的初始值（u，m（u））。ξ0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.20.30.40.50.60.70.80.9（b）q*= ∑-1（ξ）和q*= ζ（q*).图5：。案例4中选择的参数为R=1.25、b=1.5、b=1.25和b=2.6。比较静态在这一节中，我们研究了无交易楔子*, p*] 价值函数V随市场参数和交易成本水平的变化而变化。6.1。

关于marke t参数的单调性。提案2。假设（n（·），q*, q*) 是自由边值问题的解。然后：（1）q*和q*在b中减少；交易费用为19（2）且R＜1，q的多资产投资与消费问题*和q*在附录F中证明了命题2。回想一下，p*=q*1+λ（1-q*)和p*=q*1.-γ（1-q*). 然后，Pro位置2立即给出：定理3。（1） p*和p*在b中减少；（2） 对于R<1，p*和p*定理3描述了辅助参数方面的比较静力学。一般来说，很难对原始市场参数的比较静态进行整体陈述，因为许多市场参数输入了多个辅助参数的定义。然而，关于p的依赖性，我们有以下结果*和p*关于发行率，以及非流动资产的漂移。推论2。p*和p*δ减小。如果R<1，则p*和p*α增加。这一推论证实了这样一种直觉，即随着非流动资产收益的增加，它变得更有价值，代理人选择尽早购买非流动资产，然后再出售。此外，阿希斯贴现参数增加，他希望更快地消费财富，而且由于消费从现金账户中提取，他选择将更多的财富保留在流动资产中，而将更少的财富保留在非流动资产中。现在我们考虑持有的非流动资产的现金价值。

我们将非流动资产中的代理预扣税与其他相同代理进行比较（相同的风险规避和贴现参数，在金融市场中使用债券和价格为S的风险资产进行交易），该代理在非流动资产中的初始捐赠为零，并且禁止持有任何风险资产头寸。考虑一下没有非流动资产的市场。对于在该市场中运营的代理人，初始财富x>0时，允许使用消费/投资策略（我们写下（C=（Ct）t≥0，π=（πt）t≥0）∈AW（x））如果C和∏是渐进可测的，如果由此产生的财富过程x=（Xt）t≥0对于所有t均为非负。此处X solvesdXt=r（Xt- πt）dt+πtStdSt- CTDT受制于X=X。设W=W（X）为CRRA投资者的价值函数：W（X）=sup（C，π）∈AW（x）E“Z∞e-δtC1-Rt1- Rdt#。由于自由边值问题不依赖于b，q*和q*与b无关。我们有强有力的数字证据表明q*在频带q中减小*在b中增加，但我们无法证明这个结果。交易成本为20的多资产投资和消费问题发现W的问题是一个没有交易成本的典型默顿消费/投资问题。我们发现（x）=Rδ-r（1- R）-β（1- R） 2R级-Rx1-R1级- R=bbR公司-Rx1-R1级- R、 定义C=C（yθ；x）为持有非流动资产的不确定性等价值，即拥有流动财富x和当前价格的非流动资产θ单位的代理人在市场上进行交易时，如果交易结束后不允许交易非流动资产，则其将交换持有的非流动资产的现金金额。

（我们假设此交易所没有交易成本，但如果需要，可以轻松添加。）然后C=C（yθ；x）solvesW（x+C）=V（x，y，θ），变为C=C（yθ；x）=（x+yθ）G（p）1/（1-R）- x、 附录F中证明了定理4。定理4。（1） （1）- R） G在b中减少；（2） （1）- R） G在b中增加。推论3。C在δ中减少，在α中增加。这两种单音调在直觉上都很自然。对于α中的mo臭名昭著，由于代理人仅持有非流动资产的多头头寸，我们预计他将从漂移的增加中受益，从而获得非流动资产的收益。（请注意，在准确阐述这一论点时需要谨慎。最佳策略的一部分是有时购买非流动资产的单位，如果价格更高，成本会更高。）如果我们考虑δ中的单调性，那么对于R<1，增加δ会降低已发现的消费效用的大小，并降低值函数。然而，这与降低风险资产持有的确定性等值并不相同。事实上，当NR>1时，增加δ会降低消费贴现效用的大小，但由于这些项为负值，这会增加价值函数。尽管如此，C在δ中递减。请注意，如果他开始持有有偿付能力的初始投资组合，但持有非流动资产为负，那么代理会在时间零点进行即时交易，使其持有为正。交易成本为216.2的多资产投资和消费问题。考虑到交易成本的单调性。从第5节的讨论中，我们已经看到，转换的边界仅取决于往返事务c ostξ。特别是q*和q*ξ分别严格递减和递增。

然而，原始规模下的购买/销售边界仍然取决于购买和销售的个人成本。写入*（λ，γ）=q*（ξ） 1+λ（1- q*（ξ） ），p*（λ，γ）=q*（ξ） 1个- γ（1- q*（ξ） ）并回忆ξ=λ+γ1-γ。如果q*（ξ） <q*（ξ） <1然后p*（λ，γ）≤ q*（ξ） <qM<q*（ξ）≤ p*（λ，γ），默顿线位于无交易楔体内。但是，如果1<q*（ξ） <q*（ξ） 那么我们有了*（λ，γ）>q*（ξ） 和p*（λ，γ）<q*默顿线可能不属于非交易区。Wehavedp公司*dγ=p*q*q*ξξγ=1+λ（1- γ） 1+λ[1+λ（1- q*)]q*ξ<0因此，代理人购买更多非流动资产时，非流动资产中的财富与账面财富的临界比率在销售交易成本中降低。然而，也许令人惊讶的是，临界比p的依赖性*购买发生在什么时候，购买的交易成本在符号上并不明确：dp*dλ=p*λ+p*q*q*ξξλ=-q*（1）- q*)[1+λ（1- q*)]+1.- γ1+λ[1+λ（1- q*)]q*ξ不一定是负的，因为我们可能有q*> 1、Hobsonet al【15】进一步讨论了这一问题，其中给出了默顿线位于无交易区域之外，且无交易区域的边界在交易成本参数中不是单调的例子。结论默顿（Merton）对无限期、消费和投资问题的解决方案【20】是温和而明智的，但假设市场是完美的，没有摩擦。在这项工作的基础上，有一个巨大的文献，首先是康斯坦丁尼德和马吉尔[9]，戴维斯和诺曼[11]，在存在交易成本的情况下，研究解决方案的形式。当存在单一资产时，Cho i等人【7】（viashadow prices）和Ho bson e t等人【15】（通过对HJB方程的分析）能够准确描述问题适定时的特征。

然而，[1]、[7]和[15]都假设金融市场只包括一项风险资产。在本文中，我们将结果推广到了两种风险资产，并给出了解决方案的完整特征，但在仅对其中一种风险集支付交易费用的特殊情况下。这也是Choi[6]使用不同方法研究的模型。交易成本为22的第二个多资产投资和消费问题风险资产可用于对冲和投资目的，这使得该问题比单一风险资产情况更为复杂，但我们可以扩展[15]中的方法以给出完整的解决方案。事实上，在计算已知代数函数的积分之前，我们可以准确地确定pr问题何时适定，并且在解决一个初始微分方程的自由边值问题之前，我们可以确定无反作用楔的边界。我们分析的核心是这个自由边值问题。尽管效用最大化问题取决于描述代理人（其风险规避和贴现率）、市场（利率和交易资产的漂移、波动性和相关性）和摩擦（买卖交易成本）的许多参数，但ODE取决于风险规避参数和另外三个参数，我们想要的解决方案可以通过往返交易成本进一步具体化。在Choi等人[7]的工作基础上，在我们之前的工作[15]中，我们给出了单一风险资产情况下问题的解决方案。【7】和【15】中的主要问题是理解ODE通过奇点时的解。

在本文中，表m更丰富，常微分方程更复杂，但在其他方面，分析更简单，因为尽管关键常微分方程具有奇异性，但这些奇异性可以消除。在本文中，我们假设了一个单一的非流动资产和另外一个风险资产，但分析立即扩展到了一个单一的非流动资产和几个不需要支付交易成本的风险资产组的情况，而牺牲了更复杂的记法。这一观察结果是共同基金定理的一种形式——age nt选择按额外的流动性金融资产的比例进行投资，这些资产可以组合成具有代表性的市场资产。Evans等人[13]提供了相关上下文中论点的详细信息。尽管如此，将amodel扩展到具有许多风险资产，并且所有这些资产都需要支付交易成本，仍然是一个具有挑战性的开放问题。参考文献[1]Herczegh A.和Prokaj V.Shadow Price in the power utility case。《应用概率年鉴》，25（5）：2671–27072015。[2] M Akian、Menaldi J.L.和Sul em A.具有交易成本的多资产投资组合选择问题。《模拟中的数学与计算机》，38（1-3）：163–172，1995年。[3] M Bichuch和P.Guasoni。投资流动和非流动资产。SSRN：SSRN。com/abstract=25235382016。[4] M Bichuch和S.E.Shreve。效用最大化以交易成本交易两个期货。《暹罗数学金融杂志》，4（1）：26–852013年。具有交易成本的多资产投资和消费问题23【5】A.卡德尼拉斯。具有交易成本的消费投资问题：调查和开放性问题。运筹学数学方法，51:43–682000。[6] Jin H yuk Choi。流动和非流动资产的最佳投资和消费。ArXiV:ArXiV预印本1602.069982016。[7] Jin Hyuk Choi、Mihai Sirbu和Gordan Zitkovic。