具有交易费用的多资产投资与消费问题

然后我们有0<q<k上的O（q，b（q））>k，所以从下面的解ton′=O（q，n）交叉b（q）。设ψu=inf（q>u:nu（q）>b（q））。然后对于u<q<K∧ ψu，n′u（q）=O（q，nu（q））>O（q，b（q））>k。此外，还存在Km，使得q<Km时m′（q）<（m′（0）+k。因此在u<q<K上∧ψu∧Km，n′u（q）-m′（q）>k-（m′（0）+k）=（k-m′（0））=：bk>0，然后是nu（q）-m（q）>bk（q-u） 。另一方面，对于ψu<q<K∧Km，m（q）<1+q（m′（0）+k），因此nu（q）-m（q）>（1+kq）-（1+q（m′（0）+k））=bkq>bk（q-u） 。我们得出nu（q）-m（q）>bk（q- u） 对于u<q<q：=K∧ 公里。因此，使用（38）和L\'H^opital规则，ln（1+∑（u））=Zξ（u）u-R（1- R） qO（q，nu（q））nu（q）dq>ZQu2b[（1- R） q+R]（nu（q）- m（q））- q[v（q，nu（q））- v（q，m（q））]2q（1- q） [（1- R） q+R]b[l（q）- nu（q）]dq。对于分母，对于u<q<q≤ 1我们有2个问题（1-q） [（1- R） q+R]b[l（q）- nu（q）]<2q（1- q） [（1- R） q+R]b[l（q）- m（q）]=2q（1- q） {（1- R） （1）- q） [（1- R） q+R]+（b）- 1） R（1- R） }<2q{M+（b- 1） R（1- R） }一个交易费用为43的多资产投资和消费问题，其中M：=sup0<q<1（1- R） （1）- q） [（1- R） q+R]。对于分子，注意对于q<ζ（u）v（q，nu（q））- v（q，m（q））=Д（q，nu（q））- ^1（q，m（q））- {pД（q，nu（q））+E（q）-pД（q，m（q））+E（q）}<Д（q，nu（q））- Д（q，m（q））=b（nu（q）- m（q））。然后，2b[（1- R） q+R]（nu（q）- m（q））- q[v（q，nu（q））- v（q，m（q））]>{2b[（1- R） q+R]- bq}（nu（q）- m（q））=bL（q）（nu（q）- m（q）），其中L（q）：={2[（1-R） q+R]-q} 。由于L是线性的，并且L（0）=2R>0，我们可以选择在L（q）>min（2R，L（qL））>0的最小区间（0，qL）上工作。

对于u<qL的足够小的u，我们有bL（q）（nu（q）- m（q））>bmin（2R，L（qL））bk（q-u） 在u<q<q上∧ qL.将所有内容放在一起并设置bq：=Q∧ qL系列∧ 1，对于u<bQ，我们推导出ln（1+∑（u））>ZbQubmin（2R，L（qL））bk（q- u） 2q【M+（b- 1） R（1- R） ]dq=bmin（2R，L（qL））bk2[M+（b- 1） R（1- R） ]lnbQu+ubQ- 1.让你↓ 注意到Bq不依赖于u，我们得出结论∑（u）→ ∞.附录F.提案2的比较静态。（1） Setm（q）=b（m（q）- 1） 类似地，n（q）=b（n（q）- 1） 以及l（q） =b(l（q）-1） 。这种转换背后的思想是，m的构造使其不依赖于b。l 具有类似的属性。自由边值问题可以归结为（n，q*, q*)使得n′=O（q，n）服从n（q*) = m（q*) 和n（q*) = m（q*). 这里O（q，n）：=bO（q，nb+1）=bO（q，n）。注意，ζ（u）=inf{q>u：（1-R） nu（q）<（1-R） m（q）}=inf{q>u：（1）-R） nu（q）<（1-R） m（q）}。定义Д（q，n）=Д（q，n）=Д（q，nb+1），v（q，n）=v（q，n）=v（q，nb+1）和D（q，n）=D（q，n）=D（q，nb+1）。那么，作为q和n的函数，ν、v和D都独立于b。一个交易成本为44We haveO（q，n）=-（1）- R） （n+b）D（q，n）2R（1- q） [（1- R） q+R][l（q）- n] 根据上述说明，通过术语（n+b）对bis的唯一依赖性。此外，n′=（n+b）F（q，n），其中F由F（q，n）=F（q，n）=-（1）- R） D（q，n）2R（1- q） [（1- R） q+R][l（q）- n] 不依赖于b。通过引理6，F在第二个参数中递减。Letbb>ebbe定义b的两个正值，并在参数b分别为b的情况下，给出初始值P问题n′（q）=O（q，n（q）），n（u）=m（u）的解。我们将此符号扩展到O，ζ，∑和（q*, q*) 在类似的情况下，如果nu是nu（u）=m（u）的初值问题的一个解，那么我们必须有（1-R） O（q，nu（q））<0，因此（1- R） O在b中减少。

然后（1- R） BNUCANNO上十字（1- R） enuand自（1-R） bn′u（u）=（1-R） bO（u，bnu（u））<（1-R） eO（u，enu（u））=（1-R） en′u（u），我们必须有（1-R） bnu（q）<（1- R） enu（q）至少达到q=bζ（u）∧eζ（u）。由此我们得出bζ（u）<eζ（u）。另一方面，F（q，n）依赖于bonly到n-ln（1+∑（u））=Zζ（u）uRq（1- R） O（q，n（q）b+1）n（q）b+1dq=Zζ（u）uRq（1- R） O（q，n（q））n（q）+bdq=Zζ（u）uRq（1- R） F（q，n（q））dq。但是，由于bZbζ（u）uRq（1）中n和ζ的单调性- R） F（q，bn（q））dq>Zbζ（u）uRq（1- R） F（q，en（q））dq>Zeζ（u）uRq（1- R） F（q，en（q））dq我们使用（1- R） F（q，n）<0，且F在相关范围内以n递减。我们得出结论，ln（1+b∑（u））<ln（1+e∑（u）），因此bq*=b∑-1（ξ）<e∑-1（ξ）=等式*.证明销售边界q的单调性*, 可以通过其右边界点（nv（·）、（v）、v）对解族进行参数化。有关类似想法的使用，请参见[1 5]。（2） 现在我们考虑b中无交易楔子极限的单调性。我们使用不同的变换和比较结果。设置a（q）=n（q）- m（q）。然后，原始自由边值问题变为在边界条件a（q）下求解a′（q）=O（q，a（q））*) =a（q*) = 0，其中o（q，a）=-（1）- R） （a+m（q））D（q，a+m（q））2R（1- q） [（1- R） q+R]b[l（q）- m（q）- a]-2R（1- R） bq+b（1- R） b.交易成本为45的多资产投资和消费问题观察b[l（q）- m（q）]=（1- R） q（1- q） +（b- 1） R（1- R） q（1-R） q+R不依赖于b。此外，Д（q，a+m（q））=ba+Д（q，m（q））=ba+R（1- R） {（1- q）- （b）- 1） }和v（q，m（q））=-2R（1- R） （b）- 1） 都独立于b。因此D（q，a+m（q））=2b[（1-R） q+R]a- q[v（q，a+m（q））- v（q，m（q））]andO（q，a+m（q））a+m（q）=-（1）- R） D（q，a+m（q））2R（1- q） [（1- R） q+R]b[l（q）- m（q）- a] 与b无关。回想起来，我们假设R<1。

然后O（q，n）≤ 0超出相关范围，并且Ob（q，a）=-（1）- R） D（q，a+m（q））2R（1- q） [（1- R） q+R]b[l（q）- m（q）- a]m级b+1- Rb=-O（q，a+m（q））a+m（q）×1- Rbq+1- Rb>0。假设BB>eb。使用证明的第1部分中的类似思想，我们可以推导出q<eζ（u）的bζ（u）>eζ（u）和bau（q）>eau（q）。因此，使用o（q，a+m（q））a+m（q）不依赖于bln（1+b∑（u））=Zbζ（u）u的事实-Rq（1- R） O（q，bnu（q））bnu（q）dq=Zbζ（u）u-Rq（1- R） O（q，bau（q）+m（q））bau（q）+m（q）dq>Zeζ（u）u-Rq（1- R） O（q，bau（q）+m（q））bau（q）+m（q）dq>Zeζ（u）u-Rq（1- R） O（q，eau（q）+m（q））eau（q）+m（q）dq=ln（1+e∑（u）），其中我们使用ζ（u）的单调性，并且o（q，n）在n中递减，而henceO（q，a+m（q））a+m（q）在a中递减。因此bq*=b∑-1（ξ）>e∑-1（ξ）=等式*. 通过用正确的边界点参数化解族，可以以类似的方式证明比例边界的单调性。定理4的证明。（1） 假设R<1，我们写出证明。c ase R>1如下所示。一个交易成本为46的多资产投资和消费问题，我们使用（7）来计算bO（q，n；b）=-2（1- R） qn/R{2（1- R） （1）- q） [（1- R） q+R]- ^1（q，n）-pД（q，n）+E（q）}×1+Д（q，n）pД（q，n）+E（q）！^1因此，对于q>0，s gnbO（q，n；b）= -新加坡元^1b= -sg n（n- 1） =+1，因为n（·）的上边界为1。此外，m（q）：=b（m（q；b）- 1） 与带无关，我们由此推断bm（q；b）=-m（q；b）-1因此在连续区域q上∈ 【q】*, q*] 我们有sgnbm（q；b）= -sgn（m（q；b）-1） =+1。使用符号bO（q，n；b）| n=n（q）和bm（q；b）以及q*在b中减少，我们得出结论，n（·；b）在b中增加。

如果我们将n的定义域扩展到[0，∞) 通过设置n（q）=n（q*) 对于q<q*n（q）=n（q*) 对于q>q*然后我们有n（·；b）在bon中增加[0，∞).从n（q；b）在b中增加的事实出发，我们可以推断-（1）-q） N（q；b）、hW（h；b）、w（h；b）和（1）-p） h′（p；b）在b中增加。n对于bb>eb（并使用overscripts标记相应选择b下的函数和参数），我们有sgn（1- p） bh′（p）>sgn（1- p） eh′（p）。（41）回想一下，G（p）=n（q*)-R（1+λp）1-Rand G（p）=n（q*)-R（1- γp）1-购买和销售区域。利用bwe中n的单调性得出g（p）<eG（p）over p∈ （0，bp*) ∪（ep*, 1/γ）。假设G（p；b）在b中没有减少。那么，由于G是连续的，bG（p）必须与eg（p）交叉至少两次，第一次交叉为上交叉，最后一次交叉为下交叉。分别用KU和Kd表示第一个上交叉点和最后一个下交叉点的P坐标。远离p=1，（41）意味着BG（p）不能向下交叉EG（p）。那么唯一的可能性是，有精确的两个CRO，0<ku<kd=1。但如果kd=1，则K：=bG（1）=eG（1），关系g（1）G（1）-G′（1）1-R1.-1/R=n（1）给定SBG′（1）=（1）- R）K- （Kbn（1））-R/（1）-R）> （1）- R）K- （肯（1））-R/（1）-R）=eG′（1）与kd=1是下交的假设相矛盾。（2） 现在考虑b中的单调性。对于R<1，可以应用与上述c类似的参数。如果我们可以证明n（·；b）在b中递减。但这紧接着是sgnbO（q，n；b）=-新加坡元^1b= -1=sgnbm（q；b）和q*一个交易成本为47的多资产投资和消费问题，当R>1时，我们不能使用这个论点。然而，b中的值函数的单调性，以及C的单调性，可以通过对变元的比较来证明。

值函数仅通过R和辅助参数s对参数进行nds，因此在比较两个仅通过bwe进行区分的模型时，可以等效地比较两个仅在α中进行区分的模型。考虑一系列模型，唯一的区别是第一个模型中的Y具有漂移|α，而第二个模型中的Y具有漂移|α，其中|α>|α。写入=^α- α>0。假设参数与第一个模型中的持续假设1相同；那么第二个模型中必然存在假设1。Let（▄Y，^Y）=（▄Yt，^Yt）t≥0由（▄Yt，^Yt）=（yeηWt+（▄α）给出-η） t，yeηWt+（^α-η） t）使^Yt=etYt。设（￠C，￠∏，￠Θ=θ+￠Φ）-ψ）是第一个模型中代理的可接受策略。假设Θ为非负，请注意，即使非流动资产的初始捐赠为负，最优策略也具有此属性，因为在这种情况下，有一笔初始交易进入了半计划θ中包含的无交易楔子≥ 0、我们可以假设我们从非交易区域开始。然后▄X=X和▄X=（▄Xt）t≥0solvesd▄Xt=r（▄Xt-∏t）dt+∏tStdSt-Ctdt-Yt（1+λ）dΦt+Yt（1- γ） d？ψt。定义绝对连续的递增过程κ乘以κt=Rtnd？Φs∧ （d？ψs+Θsds）OA和set^∏t=^∏tΘt=Θte-t^Ct=~Ct+（λ+γ）~Ytdκt+（1- γ） 中兴通讯-sd￠Φs- dκs^ψt=中兴通讯-sd？ψs+Θsds- dκs然后，^Θt^Yt=ΘtYt，相应的财富过程解为d^Xt=r（^Xt-^∏t）dt+^∏tStdSt-^Yt（1+λ）d^Φt+^Yt（1- γ） d^ψt-^Ctdt=r（^Xt-∏t）dt+∏tStdSt-^Yte-t（1+λ）[d|Φt- dκt]+^Yte-t（1- γ） [dψt+Θtdt- dκt]-Ctdt- （1）- γ） 年初至今- （λ+γ）~Ytdκt=r（^Xt-∏t）dt+∏tStdSt-Ctdt-Yt（1+λ）dΦt+Yt（1- γ） 交易成本为48的多资产投资和消费问题，如果^X=X=^X，则^X求解的方程与^X和^Xt=^X相同≥ 0

然后，对于第一个模型中的任何可容许策略≥0是正的，包括该模型中的最优策略，在第二个模型中有一个相应的容许策略，且在所有未来时间内的消费都严格较大。因此，在第二个模型中，值函数严格来说更大。附录G.交易成本的一致性条件Fix正常数>0，定义δ（）：=1-W（h（1-））>0和δ（）：=W（h（1+））-1>0。那么foro（，δ，δ）：=ln1.- 1+- ln公司δ（1- δ） δ（1+δ）,我们有p*< 1<p*ln（1+ξ）+o（，δ（），δ（））=“Z1-p*dpp（1- p） +Zp*1+dpp（1- p）#-“Z1-δ（）q*dqq（1- q） +Zq*1+δ（）dqq（1- q） #=“Zh（1-）h*dhw（h）+Zh*h（1+）dhw（h）#-“Z1-δ（）q*dqq（1- q）-Zq公司*1+δ（）dqq（1- q） #=“ZW（h（1-））q*N′（q）dq（1）- R） qN（q）+Zq*W（h（1＋））N′（q）dq（1- R） qN（q）#-“Z1-δ（）q*dqq（1- q）-Zq公司*1+δ（）dqq（1- q） #=Z1-δ（）q*-Rq（1- R） O（q，n（q））n（q）dq+Zq*1+δ（）-Rq（1- R） O（q，n（q））n（q）dq。发送时↓ 0，我们有δ（）↓ 0和δ（）↓ 0和thusZq*q*-Rq（1- R） O（q，n（q））n（q）dq=ln（1+ξ）+lim↓0o（，δ（），δ（））。现在，δ（）δ（）=W（h（1+））- 11- W（h（1- ））=W（h（1+））- 11- W（h（1- ））。但是1- W（h（1- ））=（1- R） h（1- ）- （1- ）h′（1- ）（1- R） h（1- ）=1-（1）- ）G′（1- ）（1- R） G（1- 因此lim↓01-W（h（1-））=1-G′（1）（1）-R） G（1）。同样，我们有lim↓0W（h（1+））-1=1-G′（1）（1）-R） G（1）。因此lim↓0o（，δ（），δ（））=0和（11）保持不变。如果p*= 1或p*= 1，可以使用类似的论证来证明（11）仍然有效。