具有交易费用的多资产投资与消费问题

那么q′（1）是很好定义的，而且由于a>-ln（1+λ）我们有q′（1）=ea>1/（1+λ）=χ′（1）。一个交易成本为33的多资产投资和消费问题，加上q（1）=1=χ（1），我们必须知道q（p）是χ（p）在p=1时的上交。由此我们得出p上q（p）6χ（p）的结论∈ [p*, 1） p上的χ（p）6 q（p）∈ （1，p*]. （35）然后。附录D.主要结果的证明定理1和2的证明。我们一起证明了这两个定理。假设我们处于有利地位。根据第5节的分析，存在一个解（n（·），q*, q*) 对于n为严格正的自由边值问题。根据GC的光滑度，VCis为C2×2×1。此外，在附录B和附录C中，我们看到Vc是x中的一个严格凹函数，用于解HJB变量不等式（34）。Let Mt：=Rte-δsC1-Rs1-Rds+e-δtVC（Xt，Yt，Θt）。应用Ito引理，我们得到MT=M+Zte-δsLCs，∏sVCds+中兴通讯-δsMVCdΦs+中兴通讯-δsNVCdψs+中兴通讯-δsσVCx∏sdBs+中兴通讯-δsηVCyYsdWs6 M+中兴通讯-δsσVCx∏sdBs+中兴通讯-δsηVCyYsdWs。假设R<1。然后Mt>0，随机积分的和是一个局部鞅-而这又是一个超级角色。因此，E（Mt）6 M=VC（x，y，θ），其给出中兴通讯-δsC1-Rs1- Rds6 VC（x，y，θ）- Ee-δtVC（Xt，Yt，Θt）6 VC（x，y，θ）。发送t时→ ∞, 我们获得ER∞e-δsC1-Rs1-Rds6 VCby单调c收敛，因此V 6 VCby，因为c是任意的。如果R>1，则上述参数不会直接通过，因为局部鞅不会在下面有界。但是，使用[11]的参数，我们可以考虑一个有界于无交易区域的扰动候选值函数，并定义一个将是超鞅的值过程。

通过考虑扰动候选值函数的极限可以得到结果。为了展示VC6 V，有必要证明存在一种能够实现VC价值的投资/消费战略。假设初始值（x，yθ）为yθx+yθ=p∈ [p*, p*]. 定义反馈控制C*= （C）*t） t>0且∏*= （π）*t） t>0，带C*t=C*（Xt、Yt、Θt）和∏*t=π*（Xt，Yt，Θt）其中C*（x，y，θ）：=[VCx（x，y，θ）]-R、 ∏*（x，y，θ）：=-（u- r） VCx（x，y，θt）+σηρyVCxy（x，y，θt）σVCxx（x，y，θt），一个交易成本为34和Θ的多资产投资和消费问题*= （Θ*t） t>0a有限变量，当地时间策略以Θ的形式*t=θ+Φ*t型- ψ*t其保持不变（p*, p*). 让X*是在这些控制下发展的流动财富过程。现在自（X）*, YΘ*) 总是位于无事务楔子中，此策略显然是可以接受的。让M*是流程M*= （M）*t） t>0在此受控系统下进化。THNM公司*t=M*+中兴通讯-δsLC*s、 ∏*sVCds+中兴通讯-δsMVCdΦ*s+中兴通讯-δsNVCdψ*s+中兴通讯-δsσVCx∏*sdBs+中兴通讯-δsηVCyYsdWs=：M*+ Nt+Nt+Nt+Nt+Nt+Nt。通过构造C*和∏*, Nt=0。此外，Φ*是由集合{Pt=p*} 其中VCS=0。因此，Nt=0，类似地，Nt=0。遵循类似于Davis和Norman[11]的思想，可以证明（见Tse[25]）局部鞅随机积分和Nare鞅。然后我们就有了期望中兴通讯-δs（C*s） 1个-R1级- Rds+ E（E-δtVC（X*t、 Yt，Θ*t） ）=E（M*t） =米*= VC。（36）此外，还可以显示（见Ts e【25】）limt→∞E（E-δtVC（X*t、 Yt，Θ*t） ）=0。那么lettingt→ ∞ 在（36）中，给定svc=EZ∞e-δs（C*s） 1个-R1级- Rds6 sup（C，π，Θ）∈A（0，x，y，θ）EZ∞e-δsC1-Rs1- Rds= 五、 现在假设初始值（x，yθ）为p<p*.

然后考虑购买φ=xp的策略*-（1）-p*)yθy（1+λp*)时间零点的股份数量，使得非流动资产的交易后持股比例为y（θ+φ）x+y（θ+φ）-y（1+λ）φ=p*, 然后遵循投资/消费战略（C*, ∏*, Θ*) 就像p的情况一样∈ [p*, p*] 之后通过构造VC，VC（x，y，θ）=VC（x-y（1+λ）φ，y，θ+φ）。使用（36）我们有中兴通讯-δs（C*s） 1个-R1级- Rds+ E（E-δtVC（X*t、 Yt，Θ*t） ）=VC（x- y（1+λ）φ，y，θ+φ）=VC（x，y，θ），由此我们可以得出VC6 V。类似的参数适用于初始值p>p*.现在我们考虑导致无条件病态的参数集。有证据表明，没有流动资产的问题（这是仅涉及单个风险资产的经典交易成本问题）是不适定的。请注意l（1） 6 0等于b>b1-这个不等式可以重新表述为α>ηR+δ1-R、 但这正是在一个风险y作为设定情况下的病态条件。参见【15】或【7】。最后，我们考虑了条件适定情形。从第5节的讨论可以清楚地看出，只要ξ>ξ，仍然存在（n（·），q*, q*) 自由边值问题的一个解是一个交易成本为35的多资产投资和消费问题，因此，在证明非条件良好构成的cas e s的过程中，可以显示VC=V。此外，从Le mma 3中，我们可以看到n（·）↓ 0 a sξ↓ξ、 依次为VC→ ∞ 从其构造。但是V>vc，因此我们得出V→ ∞ asξ↓ ξ。这表明了问题在ξ=ξ时的不适定性，并利用ξ中V的单调性，将此结论推广到任何ξ6ξ。附录E。

一阶微分方程为了方便起见，我们回顾了一些符号，并介绍了更多的符号：m（q）=R（1- R） bq公司-b（1- R） bq+1，l（q） =m（q）+1- Rbq（1- q） +（b- 1） R（1- R） bq（1- R） q+R，Д（q，n）=b（n- 1） +（1- R） （b）- 2R）q+（2- b） R（1- R） ，E（q）=4R（1- R） （b）- 1） （1）- q） ，v（q，n）=Д（q，n）- sgn（1- R） p（q，n）+E（q），D（q，n）=2b[（1- R） q+R][n- m（q）]- q[v（q，n）- v（q，m（q））]，A（q，n）=(l（q）- n） 2b[（1- R） q+R]- bq1- sgn（1-R） ^1pИ+E！！+D（q，n）。（37）我们有一个有用的引理。引理4。O（q，n）有一个替代表达式O（q，n）=-（1）- R） nD（q，n）2R（1- q） [（1- R） q+R]b[l（q）- n] 。（38）证明。

考虑人B(l（q）- n） +Д（q，n）=R（1-R） q- b（1- R） q+b- bn+（1- R） q（1- q） +（b- 1） R（1- R） q（1- R） q+R+bn- b+b（1- R） q+R（1- R）[-第2季度+第2季度- b] =R（1-R）（1）- q）- （b）- 1） +（b- 1） q（1- R） q+R+ （1）- R） q（1- q） =（1）- R） （1）- q） [R（1- q） +q]-（b）- 1） R（1- R） （1）- R） q+R（1- q） 。交易成本为36的多资产投资和消费问题，注意到（1- R） q+R=R（1- q） +q，b[（1- R） q+R](l（q）- n） =（1）- R） （1）- q） [R（1- q） +q]- R（1- R） （b）- 1） （1）- q）- Д（q，n）[R（1- q） +q]，并乘以4（1- R） （1）- q） ，4b（1- R） （1）- q） [（1- R） q+R](l（q）- n） =4（1- R） （1）- q） [R（1- q） +q]- 4х（q，n）（1- R） （1）- q） [R（1- q） +q]+Д（q，n）-{sgn（1- R） }^1（q，n）+4R（1- R） （b）- 1） （1）- q）= {2（1）- R） （1）- q） [R（1- q） +q]- ^1（q，n）}- {sgn（1- R） }^1（q，n）+E（q）.将最后一个表达式写为我们发现的两个正方形的差异2（1- R） （1）- q） [（1- R） q+R]- ^1（q，n）- sgn（1- R） pД（q，n）+E（q）=4b（1- R） （1）- q） [（1- R） q+R](l（q）- n） 2（1- R） （1）- q） [R（1- q） +q]- v（q，n）。ThenO（q，n）=（1- R） nR（1- q）-2（1- R） qn/R2（1- R） （1）- q） [（1）-R） q+R]- ^1（q，n）- s gn（1- R） pД（q，n）+E（q）=（1）- R） nR（1- q）1.-（1）- R） q（1- q） b类(l（q）- n） +qv（q，n）2b[（1- R） q+R](l（q）- n）=（1）- R） n{2b(l（q）- n） [（1- R） q+R]- 2[（1- R） q+R]（1- R） q（1- q） +qv（q，n）}2bR[（1- R） q+R]（1- q）(l（q）- n） =（1）- R） nn2b[（1- R） q+R]小时(l（q）- m（q））- （n）- m（q））-（1）-R） q（1-q） bi+qv（q，n）o2bR（1- q） [（1- R） q+R]（l（q）- n） 。结果如下2b[（1- R） q+R]l（q）- m（q）-（1）- R） q（1- q） b类= 2R（1- R） （b）- 1） q=-qv（q，m）。引理2的证明。（1） 请注意l（q）- m（q）=1- Rbq（1- q） +（b- 1） R（1- R） bq（1- R） q+R=（1- R） qb[（1- R） q+R]P（q）一个交易成本为37的多资产投资和消费问题，其中P（q）=Rb+（1-2R）q-（1）-R） q.因此l（q） 如果存在P（q）=0的根，则距离q=0的和m（q）由P（q）=0的根给出。

请注意，P(-R1级-R） =P（1）=R（b- 1） >0，因为根据假设，b>1。如果R<1，则sinc e P为倒U形，且P（1）>0二次方程P（q）=0必须有两个不同的解。当0<P（1）=P(-R/（1）- R） ，我们必须使P（q）>0 onq∈ [-R/（1）- R） ，1]，并且必须在此间隔之外找到两个根。如果R>1，则p（q）的最小值由qP得出：=2R-12（右-1） 。请注意，1<qP<R/（R- 1） ，自0<P（1）=P（R/（R- 1） ，P（q）=0的根必须包含在区间（1，R/（R）上- 1） ）如果存在。利用P的这些性质可以很容易地得到所需的结果。（2） q=-R/（1）-R） 仅与R>1 s相关，我们将其写成q=R/（R-1） 。请注意l 在q=RR时爆炸-1、有必要检查O（q，n）的分母在q=R/（R）时不等于零- 1） 。直接计算得出[（1- R） q+R][l（q）- n] | q=RR-1=-（b）- 1） Rband hence2R（1- q） [（1- R） q+R]b[l（q）- n] | q=RR-1=2R（b- 1） （R）- 1） 6=0。（39）（3）下面的引理记录了一些有用的恒等式。引理5。Д（q，m（q））=R（1- R） {（1- q）- （b）- 1） }，Д（q，l（q） ）=（1- R） （1）- q）（1）- R） q+R-（b）- 1） R（1- R） q+R,Д（1，n）=b（n- l（1） ），v（q，m（q））=-2 R（1- R） （b）- 1） ，v（q，l（q） （）=-2R（1-R） （1）-q） （b）-1） （1）-R） q+R，（1- q） [（1- R） q+R]>0；2（1- R） （1）- q） [（1- R） q+R]，（1- q） [（1- R） q+R]<0，v（1，n）=Д（1，n）- sgn（1- R） |Д（1，n）|。交易费用为38%的多资产投资和消费问题。大多数身份很容易被替换。对于v（q，l（q） ）我们有v（q，l（q） ）=（1- R） （1）- q）（1）- R） q+R-（b）- 1） R（1- R） q+R- sgn（1- R） s（1- R） （1）- q）（1）- R） q+R+（b- 1） R（1- R） q+R= （1）- R） （1）- q）（1）- R） q+R-（b）- 1） R（1- R） q+R- （1）- R） | 1- q|（1）- R） q+R+（b- 1） R（1- R） q+R这简化了表述。回到引理2第（3）部分的证明。注：tha t sgn（Д（1，n））=sgn（n- l（1） ）。

假设我们在范围内（1- R） n<（1- R）l（1） 。n sgn（Д（1，n））=-sgn（1- R） ，v（1，n）=2Д（1，n）和D（1，n）=2b[n- m（1）]- v（1，n）+v（1，m（1））=2 b[n- m（1）]- 2b【n】- l（1） ]+2b[m（1）- l（1） ]=0。进一步地，在一些代数之后，我们可以显示qD（q，n）| q=1=-2bR（n- m（1））。考虑F（q，n）=O（q，n）n=-（1）-R） D（q，n）2R（1-q） [（1-R） q+R]b[l（q）-n] 。那么F的分子和分母在q=1时都为零。尽管如此，我们可以应用L\'H^opital规则来计算limq→1D（q，n）1-qt减少（15）中的表达。现在考虑limn→l（q） F（q，n）。假设前0<q<1。然后d（q，l（q） ）=2（1）- R） q（1- q）[（1- R） q+R]+R（b- 1） （1）- R） q+R它是非零的，具有sgn（D（q，l（q） ））=sgn（1- R） 。因此，对于q<1和R<1，limn↑l（q） F（q，n）=-∞ 对于q<1和r>1，limn↓l（q） F（q，n）=+∞.现在假设q>1，如果R>1- R） q+R>0。然后d（q，l（q） ）=2b[（1- R） q+R]1.- Rbq（1- q） +（b- 1） R（1- R） bq（1- R） q+R- 2（1- R） q（1- q） [（1- R） q+R]- 2R（1-R） （b）- 1） q=0。然后，为了确定F（q）的值，l（q） ）通过L\'H^opital的规则，我们需要Dn=2b[（1- R） q+R]- qvn=2b[（1- R） q+R]- bq1-sgn（1- R） ^1pИ+E！。（40）交易成本为39的多资产投资和消费问题如下nD（q，n）n个=l= 2b[（1- R） q+R]1.-q[（1- R） q+R][（1- R） q+R]+R（b- （1）因此我们得到（16）。（4） 我们证明了R＜1的结果。R>1的结果也可以类似地获得，唯一的问题是，当（1- R） q+R改变符号。请注意，对于固定q，m（q）和l（q） 引理2的第1部分给出。q=1时，F在n中的单调性可从（15）中获得。如果0<q<1，则从2b[（1- R） q+R]-bq1-sgn（1- R） ^1pД+E！>2b[（1- R） q+R]- 2bq=2Rb（1- q） >0，我们从（40）得出结论，D（q，n）在n中增加。

由于D（q，m（q））=0，因此对于n>m（q），D（q，n）>0，对于n<m（q），D（q，n）<0。因此，F（q，n）=0当且仅当n=m（q），我们有sgn（F（q，n））=-sg编号D（q，n）（1- q） [（1- R） q+R][l（q）- n]= sgn[（n- m（q））（n- l（q） ）]。这给出了0<q<1范围内F（q，n）所需的符号性质。现在考虑q>1的情况。从这个证明的第3部分，我们得到了D（q，l（q） ）=0。我们可以计算D对n的二阶导数Dn=sgn（1- R） bqE（E+Д）3/2所以（rec all R<1）D（q，n）在n中是凸的。因为D（q，m（q））=D（q，l（q） ）=0，因此在q>1的区域上，当n位于m（q）和l（q） 否则D（q，n）>0。因此，sgn（D（q，n））=sgn[（n- m（q））（n- l（q） ）]。Thensgn（F（q，n））=sgnD（q，n）l（q）- n= -sgn（n- m（q））。最后，请注意，只有当n=m（q）或n=l（q） 。但对于q>1，n=l（q） 引理2的第3部分给出。因此，F（q，n）=0当且仅当n=m（q）。关于F进一步性质的引理是证明∑单调性和比较静力学结果的关键：引理6。对于q∈ （0，1）和（1）-R） m（q）<（1-R） n<（1-R）l（q） ，对于q>1和（1-R） m（q）<（1- R） n，我们有nF（q，n）6 0。交易费用为40%的多资产投资和消费问题。直接计算得出(l（q）- n）nD（q，n）l（q）- n= (l（q）- n）Dn+D（q，n）=A（q，n），其中A在（37）中定义。区分我们拥有的nA（q，n）=s gn（1- R） bE（q）q(l（q）- n） （Д+E（q））3/2。因此，对于q>0和R<1，对于n<l（q） n>l（q） 。如果r>1，则A（q，n）在n<l（q） n>l（q） 。现在我们计算A（q，n）的极限值为n→ ±∞.

清晰^1（q，n）→ ±∞ 作为n→ ±∞.然后，lim（1-R） n个→+∞v（q，n）=lim（1-R） ^1→+∞^1- sgn（1- R） pИ+E（q）=0和Lim（1-R） n个→+∞(l（q）- n） 1个- sgn（1- R） Д（n，q）pД（n，q）+E（q）！=观察a（q，n）=2b[（1-R） q+R](l（q）- m（q））-bq公司(l（q）-n） 1个- sgn（1-R） ^1pИ+E！-qv（q，n）+qv（q，m（q））和thuslim（1-R） n个→+∞A（q，n）=2b[（1- R） q+R](l（q）- m（q））+qv（q，m（q））=2（1- R） [（1- R） q+R]q（1- q） 。现在我们计算A（q，n）的极限值为sgn（1- R） n个→ -∞. 在这种情况下，v（q，n）不再收敛。但考虑到BQ(l（q）- n） 1个- sgn（1- R） ^1pИ+E！+qv（q，n）=bql（q） +q（Д）- bn）- sgn（1- R） qДpД+Ebl（q） +（^1）- bn）+EД.使用以下事实- bn与n无关，我们可以得到lim（1-R） n个→-∞bq公司(l（q）- n） 1个- sgn（1- R） ^1pИ+E！+qv（q，n）=2bql（q）- 第2季度【b】- （1）- R） （b）- 2R）q- （2）- b） R（1- R） ]交易成本为41和41的多资产投资和消费问题（1-R） n个→-∞A（q，n）=2b[（1- R） q+R](l（q）- m（q））+qv（q，m（q））- 2bql（q） +2q[b- （1）- R） （b）- 2R）q- （2）- b） R（1- R） ]=2R（1- R） （b）- 1） q（1- q） （1）- R） q+Rafter一些代数。假设R<1。对于0<q<1，n<l（q）时，n中的A（q，n）增加，n中的n减少>l（q） 。在这个范围内→+∞A（q，n）=2（1- R） [（1- R） q+R]q（1- q） >0和下限→-∞A（q，n）=2R（1-R） （b）-1） q（1-q） （1）-R） q+R>0，我们得出所有n的A（q，n）>0。如果q>1，则A（q，l（q） ）=D（q，l（q） ）=0。但A（q，n）在n=l（q） 因此，对于q>1，我们有一个（q，n）6 0。将案例放在一起，（1- q） A（q，n）≥ 0和Fn≤ 现在假设R>1。假设0<q<1或q>R/（R）-1） 。然后，当n<l（q）时，A（q，n）在n中减少，当n>l（q） 。自limn以来→+∞A（q，n）<0和limn→-∞A（q，n）<0，我们得出所有n的A（q，n）<0。如果1<q<RR-1当A（q，n）在n=l（q） 。HenceA（q，n）>0表示1<q<RR-1.

我们再次发现（1- R） （1）- q） A（q，n）≥ 0和Fn≤ 0.检查q=1时的结果，如果R>1，则检查q=RR时的结果-1、q=1时，结果遵循fr om（15）。对于q=RR-1，使用（39）we haveFRR- 1，n=（R）- 1） DRR（右后）-1，n2R（b- 1） F（RR）的单调性-n中的1，n）遵循D（RR）的单调性-1，n）英寸。引理3的证明。对于任何u∈ （0，qM），然后自（1- R） nu（q）在q中递减，n′（ζ（u））=0，nu（q）只能在q>qM的某个点穿过m（q）。此外，对于u≤ q≤ ζ（u），（1-R） m（u）=（1-R） nu（u）≥（1）- R） nu（q）≥ （1）- R） nu（ζ（u））=（1- R） m（ζ（u））≥ （1）- R） 嗯。由于nqM（qM）=mM，我们有limu↑qMm（ζ（u））=m依次为limu↑qMζ（u）=qM。Thenlimu公司↑qM∑（u）=0。现在考虑∧（u）：=ln（1+∑（u））=Rζ（u）u-R（1-R） qO（q，nu（q））nu（q）dq。根据O（u，nu（u））=O（u，m（u））=0=O（ζ（u），m（ζ（u））=O（ζ（u），nu（ζ（u）），我们得到了∧du=Zζ（u）u-R（1- R） q否（q，nu（q））nu（q）nu（q）udq<0其中，我们使用引理6和n的单调性得出了关于符号的结论。交易成本为42的多资产投资和消费问题↓0∑（u）=+∞. 我们假设R<1；R>1的证明类似。考虑q值函数H（x）=（1-R） （m′（0）-x）-R（l′（0）-x） x.然后分别为H（m′（0））>0。选择常数k，使m′（0）<k<α<0，其中α是H（x）=0的负根。则H（k）>0，且等价于k<（1-R） （m′（0）-k） R（l′（0）-k） 。现在让b（q）=1+kq。很明显，D that（0，1）=0，然后是DDQD（q，1+kq）的定义q=0=qD（q，n）q=0，n=1+knD（q，n）q=0，n=1=-2Rbm′（0）+2Rbkandlimq↓0O（q，b（q））=-（1）- R） ddqD（q，1+kq）| q=02Rb[l′（0）- k] =（1）- R） （m′（0）- k） R（l′（0）- k） 。那么，对于所有的>0，存在K∈ （0，1）使得O（q，b（q））>（1-R） （m′（0）-k） R（l′（0）-k）-表示q<K。选择，使0<<（1-R） （m′（0）-k） R（l′（0）-k）- k