具有交易费用的多资产投资与消费问题

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公式J=J（z）包含形式为zJ′（z）和zJ′（z）的表达式，因此可以通过替换（z，J（z））7将其制成齐次方程→ （eu，K（u））。然后，通过设置w（K）=dkduan并将K作为方程的主题，可以将K的二阶方程简化为一阶方程，有关相关问题m中类似r阶降阶的详细信息，请参见[13]或[15]。然而，在某些情况下，x=0位于无反作用区域内，此时z未定义，并且上述方法不起作用。因此，我们需要使用不同的参数化。我们使用基于Pt=YtΘtXt+YtΘtre的参数化表示非流动资产中账面财富的比例。x=±0（或z=±）处的终点∞) 在p=1时成为一个微妙的点，但正如我们仔细分析所示，任何奇点都可以消除。使用（2）中的值函数形式计算所有相关的偏导数，（5）可以写成0=bbG（p）-pG′（p）1- R1.-1/R- δG（p）+r（1- p） [（1- R） G（p）- pG′（p）]+α[（1- R） pG（p）+p（1- p） G′（p）]+ηp（1- p） G′（p）- 2Rp（1- p） G′（p）- R（1- R） pG（p）-β[（1- R） G（p）- pG′（p）]+ηρ-R（1- R） pG（p）+Rp（2p- 1） G′（p）- p（1- p） G′（p）2[pG′（p）+2RpG′（p）- R（1- R） G（p）]。（19） 交易费用为25Leth（p）=sgn（1）的多资产投资与消费问题- p） | 1- p | R-1G（p）和w（h）=p（1- p） dhdp。然后是新（h）p（1- p） =dhdp=sgn（1- p） | 1- p | R-1.G′（p）+（1）- R） G（p）1- p（20） in turnG′（p）=w（h）| p | 1- p | R- （1）- R） G（p）1- p、 （21）本文件G（p）-pG′（p）1- R=G（p）-p1级- Rw（h）| p | | 1- p | R- （1）- R） G（p）1- p= |1.- p|-右侧1.-w（h）（1- R） h类. （22）我们预计Vx>0，因此该表达式为正。因此，sgn（1-p） =sgn（h）=sgn（1- W（h））。

然后G（p）-pG′（p）1- R1.-1/R=sgn（1- p） | 1- 第1页-右侧| h|-1/R1.-w（h）（1- R） h类1.-1/R，（23）（1）- p） [（1- R） G（p）- pG′（p）]=sgn（1- p） | 1- 第1页-R[（1- R） h类- w（h）]，（1- R） G（p）-pG′（p）=sgn（1- p） | 1- 第1页-R1级- p（1- R） h类1.-w（h）（1- R） h类和（1- R） pG（p）+p（1- p） G′（p）=sgn（1- p） | 1- 第1页-Rw（h）。进一步求导ew（h）w′（h）=p（1- p） dhdpddhw（h）=p（1- p） ddpw（h）=p（1- p） ddp公司sgn（1- p） | 1- p | R-1[p（1- p） G′（p）+（1）- R） pG（p）]= sgn（1- p） | 1- p | R-1.p（1- p） G′（p）+p（1）- p） （1）- 2Rp）G′（p）+（1- R） p（1- Rp）G（p）假设b>0意味着代理人希望持有正数量的非流动资产，并且无交易楔子包含在半空间p>0中。考虑到b<0，有必要考虑p<0。这种情况可以通过在h的定义中加入额外的sgn（p）因子，从而将h（p）=sgn（p（1- p） ）| 1- p | R-1G（p）。这导致了额外的情况，但没有新的数学，问题仍然可以归结为求解n′=O（q，n），其中O由（7）给出，但现在q<0。交易成本为26的多资产投资和消费问题，因此（19）中的二阶项可以改写为：p（1- p） G′（p）- 2Rp（1- p） G′（p）- R（1- R） pG（p）=sgn（1- p） | 1- 第1页-Rw（h）（w′（h）- 1） ，则，-R（1- R） pG（p）+Rp（2p- 1） G′（p）- p（1- p） G′（p）=-|1.- 第1页-R1级- psgn（1- p） （w′（h）w（h）- （1）- R） w（h）），pG′（p）+2RpG′（p）- R（1- R） G（p）=sgn（1- p） | 1- p|-（1+R）[w（h）w′（h）+（2R- 1） w（h）- R（1- R） h）]。（24）替换回（19），并除以sgn（1-p） | 1- 第1页-Rwe获得0=bbh | h|-1/R1.-w（h）（1- R） h类1.-1/R- δh+r[（1- R） h类- w（h）]+αw（h）+ηw（h）（w′（h）- （1）-nβ（1- R） h类1.-w（h）（1-R） h类- ηρ[w′（h）w（h）- （1）- R） w（h）]o2[w（h）w′（h）+（2 R- 1） w（h）- R（1- R） h）]。（25）回顾定义W（h）=W（h）（1-R） h，N=W-1和n（q）=n（q）|-1/R | 1- q | 1-1/R。

thennw（N（q））=（1- R） N（q）W（N（q））=（1- R） qN（q）。将h=N（q）放入（25）并除以h。然后我们得到0=bbn（q）- δ+r（1- R） （1）- q） +α（1- R） q+η（1- R） [qw′（N（q））- q]-1.- R{β（1- q）- ηρ[qw′（N（q））- （1）- R） q]}qw′（N（q））+（2R- 1） q-R、 （26）回顾第3.2节开头给出的辅助常数（bi）i=1,2,3,4的定义。重新计算（26）并乘以b0=（1- R） q（w′（N（q）））+[bn（q）- [b+bR（1- R） ]+（b+2R- 2） （1）- R） q]qw′（N（q））+（2R- 1） （b）- 1） +R（1- （b）（1）- R） q+[（1- 2R）b+R（1- R） b类- R（1- R） b]q+bR+b[（2R- 1） q- R] n（q）=：A（qw′（n（q））+B（qw′（n（q）））+C.（27）一个具有交易成本的多资产投资和消费问题27这可以看作是qw′（n（q））中的二次方程。请注意，系数A、B、C仅通过辅助参数B、B、B依赖于市场参数s。我们希望根对应于Vxx<0。这相当于1- RpG′（p）+2R1- RpG′（p）- RG（p）<0。（28）使用（24）和sgn（1- p） =sgn（h），并将（28）乘以| 1- p | R+1/| h |我们发现我们想要的解决方案是（1- R） h{w（h）w′（h）+（2R）- 1） w（h）- R（1- R） h}={qw′（N（q））+（2R- 1）q- R} <0。（29）考虑（26）和w rite u=qw′（N（q））。对于固定q和n（q），（26）的形式为（1-R） 澳大利亚-a=（1-R） （au+a）（u-a） 其中（ai）1≤我≤5是a>a且a=R的常数-（2R-1） 很容易看出，这个方程有两个解，一个在u=a的每一边，而从（29）中，我们想要的那一个是较小的根。Thusqw′（N（q））=-B- sgn（A）√B- 4AC2A。其中A、B、C是（27）中的常数。注意，sgn（A）=sgn（1- R） 。那么，我们haven′（q）n（q）=1- RR（1- q）-RN′（q）N（q）=1- RR（1- q）-1.- RRqqw′（N（q））- （1）- R） q=1- RR（1- q）-1.- RR2Aq-B- sgn（A）√B- 4AC- 2A（1- R） 经过一些代数，我们到达n′（q）=（1）- R） n（q）R（1- q）-2（1- R） qn（q）/R2（1- R） （1）- q） [（1）- R） q+R]- ^1（q，n（q））- sgn（1- R） pД（q，n（q））+E（q）。附录B。

候选值函数的连续性与光滑性命题1的情形（i）的证明。我们有Zn（q*)N（q*)duw（u）-Zp公司*p*duu（1- u） =Zq*q*N′（u）（1）- R） uN（u）-u（1- u）du+Zq*q*duu（1- u）-Zp公司*p*duu（1- u） =Zq*q*-Ru（1- R） O（u，n（u））n（u）杜邦- ln（1+ξ）=0使用（11），这建立了（13）和（14）的等价性。假设我们有一个解（n（·），q*, q*) 到（12），n严格为正。设N（q）=sgn（1-q） n（q）-R | 1- q | R-1，W=N-1和w（h）=（1- R） hW（h）。我们设置GC（p）=sgn（1- p） | 1- 第1页-Rh（p）一个交易成本为28的多资产投资和消费问题，其中h solvesdhdp=W（h）p（1-p） 。为了便于记法（并允许我们编写派生脚本），将G写成GC的简写。首先，我们检查G是否为C。在无交易间隔之外，这是从定义开始立即出现的，并且在（p*, p*) 这是因为n和n′是连续的。这一特性由一对父子（w，w′）继承，然后由三个父子（h，h′，h′）进行积分，最后由三个父子（G，G′，G′）进行积分。仍需检查p处G、G′和G′的连续性*和p*. 我们证明了a t p的连续性*;p的证明*都是相似的。使用1-q*1.-p*=1+λp*对于倒数第二个等价，我们有g（p*+) = sgn（1- p*)|1.- p*|1.-右侧（p*)= sgn（1- p*)|1.- p*|1.-Rsgn（1- q*)n（q*)-R | 1- q*|R-1=n（q*)-R（1+λp*)1.-R=G（p*-).p上G′的连续性*从（2）开始，其中g（p*+)-p*G′（p*+)1.- R=| 1-p*|-右侧*（1）-W（h*)) =G（p*+)1.- p*（1）-q*) =G（p*)1+λp*= G（p*-)-p*G′（p*-)1.- R、 最后，fr om（24），p*G′（p*+) + 2Rp*G′（p*+) - R（1- R） G（p*+)=G（p*+)（1）- p*)h类*[w（h*)w′（h*) + （2R- 1） w（h*) - R（1- R） h类*]= -R（1- R） G（p*)1.- q*1.- p*= -R（1- R） G（p*)（1+λp*)= p*G′（p*-) + 2Rp*G′（p*-) - R（1-R） G（p*-)我们得出结论，G′在p=p时是连续的*.现在我们认为（x+yθ）1-R1级-RG（yθx+yθ）严格递增且严格凹。外部[p*, p*] 这是定义的直接形式。

在[p*, p*] 如果G（p），则会出现递增性质-pG′（p）1-R> 0。但这是微不足道的，因为g（p）-pG′（p）1- R=| 1- p|-右侧（1- W（h））=| 1- p|-RN（q）（1- q） =| 1- p|-R | 1- q | Rn（q）-R> 0。同时，（x+yθ）1-R1级-RG（yθx+yθ）在[p]上是凹的*, p*] 等于（28），或通过分析得出（29）到qw′（N（q））+（2R- 1） q- R<0。但这源于我们对根的选择（27）。命题1案例（ii）的证明。注意，Q的被积函数*q*Rq（1-R） O（q，n（q））n（q）dq是全方位负的，因此dq是全方位负的*-Rq（1-R） O（q，n（q））n（q）dq存在于[0，ln（1+ξ）]。因此-ln（1+ξ）6 a 6ln（1+ξ）。一个交易成本为29的多资产投资和消费问题，对于p 6=1，G=gc的平滑度如下，如命题1的第一种情况所示。我们将重点讨论p=1的情况。首先假设p*< 1<p*. 如果我们可以证明G和G′在p=1时的连续性→1G（p）G（p）-pG′（p）1- R1.-1/R=n（1）（30）和跛行→1pG′（p）（1- R） G（p）=1- ea。（31）将（31）替换为（30）we rec超过给定的G（1）值。使用（23）和p的等价性→ 1和q→ 1我们有G（p）G（p）-pG′（p）1-R1.-1/R=| h|-1/R | 1-W（h）| 1-1/R=| N（q）|-1/R | 1- q | 1-1/R=n（q）→ n（1）和（30）保持不变。对于（31），我们有，1- W（h（p））1- p=（1- R） h（p）- p（1- p） h′（p）（1）- R） （1）- p） h（p）=1-pG′（p）（1）- R） G（p）。假设p<1。然后使用h（p）的定义，0=Zh（p）N（q*)duw（u）-Zpp公司*duu（1- u） =ZW（h（p））q*N′（q）dq（1）- R） qN（q）-Zpp公司*duu（1- u） =ZW（h（p））q*N′（q）（1）- R） qN（q）-q（1- q）dq+ZW（h（p））q*dqq（1- q）-Zpp公司*duu（1- u） =ZW（h（p））q*-Ru（1- R） O（u，n（u））n（u）杜邦-Zq公司*p*duu（1- u）-ZpW（h（p））dqq（1- q） =ZW（h（p））q*-Ru（1- R） O（u，n（u））n（u）杜邦- ln（1+λ）- ln公司pW（h（p））1- W（h（p））1- p.出租p↑ 1.利用跛行的事实→1W（h（p））=1，我们得到Limp↑11- W（h（p））1- p=ea。（32）p>1的类似计算得出limp↓1W（h（p））- 1便士-1=Ea。因此（31）成立。

作为副产品，我们可以建立Limp→1G′（p）=（1- R） （1）- ea）G（1）=（1）- R） （1）- ea）n（1）-Re公司-（1）-R） a.一个交易成本为30的多资产投资和消费问题，现在考虑G′在p=1时的连续性。我们表现出跛行→1G′（p）存在。考虑方：[（1）- R） G（p）-pG′（p）]G（p）[pG′（p）+2RpG′（p）- R（1- R） G（p）]=（1- R） h（1- W（h））W（h）W′（h）+（2R- 1） w（h）- R（1- R） h=（1- R） （1）- q） （1）- R） qN（q）/N′（q）- （1）- q） [R+（1- R） q]=（1- R） [1- R- R（1- q） n′（q）/n（q）]R[R+（1- R） q]n′（q）/n（q）- R（1- R） 。然后，跛行→1[（1- R） G（p）-pG′（p）]G（p）[pG′（p）+2RpG′（p）- R（1- R） G（p）]=limq→1（1- R） [1- R- R（1- q） n′（q）/n（q）]R{[R+（1- R） q]n′（q）/n（q）- （1）- R） }=（1- R） R[n′（1）/n（1）- （1）- R） 】。（33）注意n′（1）/n（1）- （1）- R） 6=0，因为sgn（n′（1））=-sgn（1- R） 。因此，该限值始终是明确的，可用于获得limp的表达式→1G′（p）。由于G是Cand（28），对于p<1和p>1都成立，因此（28）在p=1和（x+yθ）1也成立-R1级-RG（yθx+yθ）在[p]上是凹的*, p*].最后，我们考虑以下情况：*= 1或p*= 1、假设我们处于前一种情况。然后显示G在p的连续性*= 1足以表明n（q*)-R（1+λ）1-R=n（1）-Re公司-（1）-R） a.但q*= 1当p*= 1，因此a=-ln（1+λ）。然后，上述表达式立即成立。G′（1）和G′（1）的值可以再次从（31）和（33）中推断出来。在案例p中也有类似的结果*= 1.附录C。

候选值函数和HJB方程在本节中，我们验证了命题1中给出的候选值函数解决了HJBvariational不等式- supc>0，πLc，πVC，-MVC，-NVC公司= 0（34）一个交易成本为31的多资产投资和消费问题，其中L、M和N是算子Lc，πf：=c1-R1级- R- cfx+σfxxπ+（（u- r） fx+σηρfxyy）π+rfxx+αfyy+ηfyy- δf，Mf：=fθ- （1+λ）yfx，Nf：=（1）- γ） yfx公司- fθ。注意，对于f=f（x，y，θ），它是严格递增的，并且在x中有*f：=supc>0，πLc，πf=R1- Rf1-1/Rx+rxfx+αyfy+ηyfyy-（βfx+ηρyfxy）2fxx- δfand，因此它等效于表明-L*VC，-MVC，-NVC公司= 从VC的构造来看，L*无交易区域、购买区域和销售区域的VC=0、MVC=0和NVC=0。因此，仍需证明L*VC6 0、NVC6 0、，-1/λ6 p<p*;MVC6 0，NVC6 0，p*6页6页*;L*VC6 0，MVC6 0，p*< p 6 1/γ。采购区域p上∈ [-1/λ，p*), 直接替换显示NVC=-bRb公司-Rn（q*)-R（λ+γ）y（x+yθ）-R（1+λp）-R6 0，andL*VC=R（x+yθ）1-R1级- RbRb公司1.-R（1+λp）1-Rn（q*)-Rm（q*) - m级（1+λ）p1+λp6我们使用了n（q）的事实*) = m（q*),（1+λ）p1+λp<（1+λ）p*1+λp*= q*平方m（q）随着q<q而减小（分别增大）*< Q当R<1时（分别为R>1）。可以对销售区域p执行类似的计算∈ （p*, 1/γ]表示MVC6 0和L*VC6 0。现在，我们展示了无事务注册表上的MVC6 0∈ [p*, p*]. 不等式NVC6 0可以用同样的方式证明。

再次将G作为GC的简写，我们有mvc=VCθ- （1+λ）yVCx=pVCθ（1+λp）G′（p）G（p）- λ（1- R）.因为sgn（VC）=sgn（1- R） ，有必要并有足够的时间显示（1- R）（1+λp）G′（p）G（p）- λ（1- R）6 0。交易费用为32但G（p）=sgn（1）的多资产投资与消费问题- p） h（p）| 1- 第1页-Rf对于p6=1，然后G′（p）G（p）=h′（p）h（p）-1.- R1级- p=w（h）h（p）p（1- p）-1.- R1级- p=1- R1级- pW（h）p- 1.所需的不等式是1- W（h）1- p> 1+λp.（35）我们将证明p的（35）∈ [p*, p*] \\ {1}。然后，MVC6 0将保持在p=1以及VC的平滑度。按构造q=W（h（p））。由于W是单调的，h是单调的，除非可能在p=1时，因此q是p的增函数。然后，从identityZN（q）N（q）开始*)dhw（h）=Zpp*duu（1- u） 在替换导致（1 0）之后，我们发现了ZQQ*-Ru（1- R） O（u，n（u））n（u）du=-Zqq公司*dvv（1- v） +Zpp*duu（1- u） 。由于左侧的表达式在q中递增，我们推导出q（1- q） dqdpp（1- p） 。定义χ（p）：=（1+λ）p1+λp。然后χ是ODEχ′（p）=（p，χ（p）），其中（p，y）=y（1-y） p（1-p） 。注意χ（p*) =（1+λ）p*1+λp*= q*= q（p*).假设p*< p*< 对于p<1，依次为q=q（p）=W（h（p））<1，我们有q′（p）6（p，q（p）），我们得出q（p）6χ（p）表示p*6 p<p*6.1。然后1- W（h（p））=1- q（p）>1- χ（p）=1- p1+λpwhich建立（35）。如果ins tead 1<p*< p*, 我们可以通过显示q（p）>χ（p）表示1<p得出sa me结果*6 p和转弯QDP>q（q-1） p（p-1） 。仍需考虑p的情况*6 1 6 p*. 唯一的问题是，在p=1时，q（p）和χ（p）的导数的比较可能不是琐事，因为（p，y）。但通过直接计算，我们发现χ′（1）=1+λ。另一方面，q′（1-) = 无力的↑11- q（p）1- p=跛行↑11- W（h（p））1- p=eadue to（32），s同样，我们有q′（1+）=ea。