具有交易费用的多资产投资与消费问题

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英文标题：
《A multi-asset investment and consumption problem with transaction costs》
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作者：
David Hobson, Alex S.L. Tse, Yeqi Zhu
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this article we study a multi-asset version of the Merton investment and consumption problem with proportional transaction costs. In general it is difficult to make analytical progress towards a solution in such problems, but we specialise to a case where transaction costs are zero except for sales and purchases of a single asset which we call the illiquid asset.   Assuming agents have CRRA utilities and asset prices follow exponential Brownian motions we show that the underlying HJB equation can be transformed into a boundary value problem for a first order differential equation. The optimal strategy is to trade the illiquid asset only when the fraction of the total portfolio value invested in this asset falls outside a fixed interval. Important properties of the multi-asset problem (including when the problem is well-posed, ill-posed, or well-posed only for large transaction costs) can be inferred from the behaviours of a quadratic function of a single variable and another algebraic function.
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中文摘要：
在本文中，我们研究了具有比例交易成本的默顿投资和消费问题的多资产版本。一般来说，很难在这些问题的解决方案方面取得分析性进展，但我们专门研究交易成本为零的情况，除非出售和购买单一资产，我们称之为非流动资产。假设代理具有CRRA效用，资产价格遵循指数布朗运动，我们表明，基本HJB方程可以转化为一阶微分方程的边值问题。最佳策略是，只有当投资于该资产的总投资组合价值的一部分超出固定区间时，才交易非流动资产。多资产问题的重要性质（包括当问题是适定的、不适定的或仅针对大交易成本的适定的）可以从单个变量的二次函数和另一个代数函数的行为推断出来。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> A_multi-asset_investment_and_consumption_problem_with_transaction_costs.pdf (861.39 KB)

2022-5-30 22:25:56 上传

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关键词：投资与消费 交易费用 费问题 交易费 Mathematical

具有交易成本的多资产投资和消费问题David HOBSON、ALEX TSE和YEQI ZHUAbstract。在本文中，我们研究了具有比例交易成本的默顿投资和消费问题的多资产版本。一般来说，很难对此类问题的解决方案进行分析，但我们专门研究交易成本为零的情况，除了出售和购买单一资产（我们称之为非流动资产）之外。假设代理具有CRRA效用，资产价格遵循指数布朗运动，则基础HJB方程可以转化为Firstorder微分方程的边值问题。最佳策略是仅当投资于非流动资产的总投资组合价值的分位数超出固定区间时，才交易该资产。多资产问题的重要性质（包括当问题是适定的、不适定的或仅针对大交易成本的适定的）可以从单变量的二次函数和另一个代数函数的行为推断出来。1、简介在他的一篇重要著作中，Merto n【20】考虑了在一个连续时间随机金融模型中，价格接受代理所面临的投资组合和消费问题，该模型包括无风险债券和风险资产。假设代理人的目标是在有限的期限内最大化消费的预期折扣率。在一个模型中，单个风险资产遵循具有常数参数的指数布朗运动，代理人具有常数相对风险，默顿证明，最优行为是以与资产成比例的比率消费，并将恒定的财富作用投资于风险资产。

其结果很容易概括为多重风险资产。Constantinides和Magill[9]是第一个将比例交易成本添加到模型中的公司。在一个单一风险资产的模型中，他们推测了最优策略的形式，即日期：2018年8月29日。大卫·霍布森：英国考文垂华威大学统计系，CV4 7AL。DHobson@warwick.ac.uk；Alex Tse：剑桥金融研究基金会，剑桥大学法官商学院，剑桥，CB2 1AG，英国。STse@jbs.cam.ac.ukYeqi朱：瑞士信贷，伦敦，英国。（本文所表达的观点是作者的观点，而非瑞士信贷。）叶奇。Zhu@credit-瑞士。com。一个交易成本为2的多资产投资和消费问题，使投资于风险资产的财富份额保持在一个区间内。随后，戴维斯和诺曼（Davis and Norman）[11]对结果做出了精确的陈述，并展示了如何通过当地时间表达解决方案。最优行为是以最小的方式进行交易，以便将变量（现金财富、风险资产中的财富）保持在平面上的楔形区域，这是通过以奇异随机控制的形式出售和购买风险资产来实现的。Davis和Norman【11】中的方法是写出Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程，并将候选值函数描述为该方程的解。Shreve andSoner[23]对[11]使用粘度溶液的结果进行了反驳，并给出了一些扩展。这些方法仍然是解决具有交易成本的投资组合优化问题的主要方法，尽管最近提出了一种基于影子价格的不同技术，用户指南见Guas Onian和Muhle Karbe【14】。

Kallsen和Muhle Karbe【18】、Choi等人【7】和Herczeghand Prokaj【1】使用双重方法来描述交易成本和风险资产问题的解决方案。Davis和Norman[11]的结果仅限于单个风险资产，了解它们如何推广到多个风险资产是非常有意义的。卡德尼拉斯（Cadenillas）[5，第65页]在其《关于交易成本的消费/投资问题的调查》一文中说，“本次调查的大多数结果仅限于一种债券和一种股票的情况。然后，重要的是看看这些结果是否可以扩展到涵盖实际数量的股票。尽管该论文发表后取得了一些进展，但陈和戴（Chen and Dai）[27，第2页]最近的论文也表达了类似的观点：“最优策略的大多数现有理论特征都是针对单一风险资产的。相比之下，关于多重风险资产的文献相对有限，Guasoni和Muhle Karbe【14，194页】：“与无摩擦模型形成鲜明对比的是，从一种风险资产转移到几种风险资产是由交易成本决定的。多重资产引入水平效应，这违背了一维直觉。因此，综上所述，多资产情况下的理论和数值结果都非常有趣，本文可以被视为对该理论的贡献。在多资产情况下，在计算方面，Muthuraman和Kumar【21】使用政策改进过程来构建价值函数的数值解，而as sociatedno交易区域，Collings和Haussmann【8】通过马尔可夫链近似推导出数值解，并证明其收敛性，Dai和Zhong【10】使用惩罚方法获得数值解。

在理论方面，Akian等人[2]表明，价值函数是HJB方程的唯一粘性解（并在交易成本为3的两资产多资产投资和消费问题中提供了一些数值结果），Chen和Dai[27]确定了两资产情况下无交易区的形状。一般问题的显式解仍然很少见。一种可能出现显式it解决方案的情况是不相关风险集合和具有恒定绝对风险厌恶的代理的相当特殊的情况。在这种情况下，问题分解为一系列优化问题，每个风险y资产对应一个优化问题，参见Liu【19】。另一个已经取得一些进展的环境是小交易成本的问题，参见Whalley a and Wilmott【26】、Janecek and Shre ve【17】、Bichuch and Shreve【4】、Soner and Touzi【24】，以及最近对多资产案例的分析，Possamai等人【22】。本文用展开法给出了最优策略、价值函数和无交易区域的渐近公式。我们的重点是最优投资/消费问题，但也有关于最优投资问题的平行文献，涉及在遥远的终端地平线上实现预期效用最大化，例如，见Dumas和Luciano[12]，以获得设定情形下的显式解，以及Bichuch和Guasoni[3]，以获得最近在类似于我们的流动和非流动资产环境下的工作。在本文中，我们考虑了一个无风险债券和两个风险资产的问题。第一种风险资产的交易是无成本的，但第二种风险资产（我们称之为ILIQ uidasset）的交易会产生成比例的成本。这也是Choi最近发表的一篇论文【6】。更一般地说，我们可能有一些不需要支付交易成本的风险资产。

根据共同基金定理，这种一般情况可以归结为单一流动风险资产的情况。本文是Hobson等人[15]的延伸，该等人考虑了债券和非流动资产的类似问题，但没有其他风险资产。文献[15]中的许多技术都延续到了本文的宽泛设置中。（同样，Choi[6]的论文扩展了Choi等人的工作，将arisky流动资产包括在内。）然而，由于当金融市场仅包括一项风险资产时，参数较少，因此[15]中的问题明显更简单，更易于进行比较静态分析。相比之下，本文处理的是多资产问题，虽然是在一个相当特殊的情况下，但很难对其进行全面的一般性分析。多资产环境带来了新的挑战，使分析变得复杂。为我们的问题写下汉密尔顿-雅科-比-贝尔曼（HJB）方程是一个很简单的问题。价值函数是四个变量（流动资产财富、非流动资产价格、持有的非流动资产数量、时间）的函数，满足二阶非线性HJB方程。本文也可以视为霍布森和朱的结果的发展【16】。霍布森和朱的模型包括流动性风险资产和非流动性资产，但假设出售非流动性资产的交易成本是有限的。这种情况可以称为“完全非流动”情况：非流动资产可以出售，但不能购买，问题是一个最优清算问题。本文扩展了Hobson和Zhu[16]，考虑到有限的交易成本和非流动资产的购买。一个交易成本为4的多资产投资和消费问题，在一对未知的自由边界上进行价值匹配和平滑拟合。

（平滑结果为二阶。）我们的目标是表明，对于一类由初始值参数化的一阶常微分方程的解族，自由边界和值函数的求解问题可以简化为边界交叉问题的研究。这使我们能够精确描述表m适定的参数组合（定理1），并在这些情况下给出值函数的表达式（定理2）。这些结果将Choi et al【7】和Hobson et al【15】扩展到多个风险组合的情况。如上所述，Choi研究了一个类似的问题。本文与Choi【6】的主要区别在于，我们分析了HJB方程，而Choi ta采用了双重方法并研究了影子价格。Choi[6][备注2.2，假设2.4]假设对应的零交易成本的双资产问题是适定的，因此，无论交易成本的价值如何，流动资产和非流动资产的表m都是适定的。相比之下，除了无条件适定的情况外，我们还考虑了pr问题对于zer o和小交易成本是不适定的，但是对于大交易成本是适定的情况。（请注意，这种情况的分析超出了方法的范围，该方法仅限于（小）交易成本参数的扩展。）事实上，我们证明（推论1），如果忽略流动资产，该问题是适定的，那么对于足够大的交易成本，该问题是适定的。我们将问题仅在交易费用较大时才适定的情况称为条件适定情况。我们的第二个成就是对这个问题的比较静力学做出了定义。

我们关注无交易楔子的边界和非流动资产中所持资产的确定性等值。在其他结果中，我们证明（见定理3和推论2的精确陈述）随着非流动资产漂移的改善，代理人的目标是将其总财富的很大一部分保留在非流动资产中，即发生销售和购买的临界比率在漂移中增加。相反，当代理人变得越来越不耐烦时，代理人将财富的一小部分保留在非流动资产中。此外，我们证明（定理4和推论3），随着非流动资产漂移的改善，或当代理人变得不耐烦时，非流动资产持有的不确定性等值增加。有关更详细的讨论，请参见第6节。论文的其余部分如下。在下一节中，我们将阐述这个问题。在第3节中，我们推导了HJB方程，并给出了如何将其转换为涉及一阶微分方程的自由边值问题的启发式方法。然后我们可以陈述我们关于解存在性的主要结果（第4节）。在第5节中，我们讨论了出现的各种情况。在第7节结束之前，第6节讨论了问题的比较静力学。关于交易成本为5的多资产投资和消费问题的材料自由边值问题的解决方案，HJB方程的验证论证，以及分析微分方程解决方案的其他引理，均归入附录。2、问题在于，一种货币市场工具支付的固定利率r>0，而两种风险资产，其中一种是流动资产，另一种是非流动资产。不存在与流动资产交易相关的交易成本。

同时，非流动资产的交易会产生一定比例的交易成本λ∈ [0，∞) 关于采购和γ∈ [0，1），其中λ和γ并非都为零。设（S，Y）=（St，Yt）t>0分别为流动资产和非流动资产的价格过程。价格动态由（St，Yt）给出=Sexp（u-σ） t+σBt, Yexp是的（α-η） t+ηWt其中（B，W）是一对相关系数ρ为的布朗运动∈ (-1，1）。写入β：=（u- r） /σa和ν：=（α- r） /η分别表示流动资产和非流动资产的夏普比率。设Θt为一个账龄nt在时间t持有的非流动资产的单位数。然后Θt=Θ+Φt-ψtΦ=（Φt）t>0和ψ=（ψt）t>0都是递增的非负过程，分别代表非流动资产的购买和销售累计单位。设C=（Ct）t>0为资产的非负消费率过程，且∏=（t）t>0为持有风险流动资产的现金价值。我们假设Θ、C和∏是渐进可测的，并且是右连续的。如果X=（Xt）t>0是流动工具（现金和流动风险资产）的总值，则假设交易成本以现金支付，消费来自现金账户，dXt=r（Xt- πt）dt+πtStdSt- Ctdt- Yt（1+λ）dΦt+Yt（1- γ） dψt=[（u- r） ∏t+rXt- Ct]dt- Yt（1+λ）dΦt+Yt（1- γ） dψt+σ∏tdBt。我们说，如果一个投资组合（X，Θ）的瞬时清算值是非负的，那么该投资组合（X，Θ）在时间t是有偿付能力的，即xt+Θ+tYt（1- γ）- Θ-tYt（1+λ）>0。如果得出的投资组合在当前时间和未来所有时间点都是可解的，则消费/投资策略（C，π，Θ）被认为是可接受的。

为具有初始时间t值（Xt）的可容许策略集编写A（t，x，y，θ-= x、 Yt=y，Θt-= θ） 。我们假设年龄nt具有风险规避参数R的CRRA效用函数∈ （0，∞) \\ {1} 。他的目标是找到一个最佳战略，最大限度地提高预期终身贴现效用，这是一个多资产投资和消费问题，其交易成本为6。因此，问题是发现v（x，y，θ）=sup（C，π，Θ）∈A（0，x，y，θ）EZ∞e-δsC1-Rs1- Rds（1） 其中δ是代理人的主观贴现率。我们将根据代理人的财富称其为pa。在我们的参数化中，关键数量将是Pt：=ΘtYtXt+ΘtYt，即投资于非流动资产的账面财富比例。HJB方程和自由边值问题3.1。推导HJB方程。LetV（x，y，θ，t）=sup（C，π，Θ）∈A（t，x，y，θ）EZ∞te公司-δsC1-Rs1- Rds从时间t开始为向前的起始值函数。受仅涉及单个风险资产的经典案例分析的启发，我们假设值函数的形式为v（x，y，θ，t）=e-δtV（x，y，θ）=Υe-δt（x+yθ）1-R1级- RG公司yθx+yθ（2） 对于一些要确定的严格正函数G和一个对流标度常数，这将有助于简化HJB方程。我们采取行动=bRb公司-R第3节中规定的带裸常数。2与潜在问题相关的财务参数。对于本文，我们假设G是光滑的，并使用启发式参数来推导候选值函数的特征。