计量经济学中的不可能推理：理论与应用

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英文标题：
《Impossible Inference in Econometrics: Theory and Applications》
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作者：
Marinho Bertanha and Marcelo J. Moreira
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  This paper studies models in which hypothesis tests have trivial power, that is, power smaller than size. This testing impossibility, or impossibility type A, arises when any alternative is not distinguishable from the null. We also study settings in which it is impossible to have almost surely bounded confidence sets for a parameter of interest. This second type of impossibility (type B) occurs under a condition weaker than the condition for type A impossibility: the parameter of interest must be nearly unidentified. Our theoretical framework connects many existing publications on impossible inference that rely on different notions of topologies to show models are not distinguishable or nearly unidentified. We also derive both types of impossibility using the weak topology induced by convergence in distribution. Impossibility in the weak topology is often easier to prove, it is applicable for many widely-used tests, and it is useful for robust hypothesis testing. We conclude by demonstrating impossible inference in multiple economic applications of models with discontinuity and time-series models.
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中文摘要：
本文研究假设检验具有平凡幂的模型，即幂小于大小的模型。当任何备选方案无法与空值区分时，就会出现这种测试不可能性或不可能性类型A。我们还研究了不可能对感兴趣的参数几乎确定有界置信集的设置。第二种类型的不可能性（类型B）发生在弱于a类不可能性的条件下：感兴趣的参数必须几乎无法识别。我们的理论框架连接了许多关于不可能推理的现有出版物，这些出版物依赖不同的拓扑概念来显示模型不可区分或几乎无法识别。我们还利用分布收敛引起的弱拓扑推导了这两种类型的不可能性。弱拓扑中的不可能性通常更容易证明，它适用于许多广泛使用的测试，并且对于鲁棒假设测试很有用。最后，我们展示了不连续模型和时间序列模型在多种经济应用中的不可能推理。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Impossible_Inference_in_Econometrics:_Theory_and_Applications.pdf (984.13 KB)

2022-5-30 22:46:36 上传

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关键词：计量经济学 计量经济 经济学 Applications Multivariate

计量经济学中的不可能推理：理论与应用Marinho BertanhaaMarcelo J.Moreirab本期：2019年9月24日第一版：2016年10月11日摘要本文研究假设检验具有平凡力量的模型，即力量小于规模的模型。当任何备选方案无法与空值区分时，就会出现这种测试不可能性或不可能性类型A。我们还研究了不可能为感兴趣的参数设置几乎肯定有界的置信集的情况。第二类不可能（B类）发生在弱于a类不可能的条件下：感兴趣的参数必须几乎不可识别。我们的理论框架将依赖不同拓扑概念的许多现有不可能推理出版物连接起来，以显示模型不可区分或几乎不可识别。我们还推导了这两种类型的不可能使用分布收敛引起的弱拓扑。弱拓扑中的不可能性通常更容易证明，它适用于许多广泛使用的测试，也适用于稳健假设测试。最后，我们展示了不连续模型和时间序列模型在多个经济应用中的不可能推理。关键词：假设检验、置信区间、弱识别、回归间断JEL分类：C12、C14、C31圣母大学经济系。地址：3060 Jenkins Nanovic Halls，Notre Dame，IN46556，USA。电子邮件：mbertanha@nd.edu.网址：www.nd。埃杜/~姆贝坦。B相应的作者。FGV EPGE。地址：巴西里约热内卢RJ 22250-040 11楼190号波塔福戈广场。电子邮件：mjmoreira@fgv.br.网站：epge。fgv。br/en/教授/马塞洛·莫雷拉。1引言大多数实证研究的目标是使用随机样本数据估计人口统计模型的参数。

估计值和总体参数之间的差异是不确定的，因为样本数据没有关于总体的所有信息。StatisticalReference提供了量化这种不确定性的方法。典型的方法包括假设和置信集。在假设检验中，研究人员将所有可能的人口模型分为两组模型。空集包括研究人员怀疑为错误的模型。备选方案集包括所有其他可能的模型。需要控制测试的大小，即当空集包含真实模型时，拒绝空集的错误概率。当真实模型在空集之外时，强大的测试有很小的错误概率无法拒绝空集。另一种方法是使用数据建立真实模型参数未知值的置信集。研究人员需要控制置信集排除真实值的错误概率。错误概率必须在整个可能的模型集上进行统一控制。本文研究了不可能控制假设检验和置信集的错误概率的必要条件和充分条件。之前的工作表明，在特定环境下，无法控制测试和置信集的错误概率。在文献中基本上有两种类型的不可能。第一类不可能性表示，任何假设检验都受到大小的限制。也就是说，不可能找到控制大小的强大测试。我们称之为A型不可能。第二类不可能性表明，几乎可以肯定（a.s.）有界的任何置信集的错误概率都任意等于1（即零置信水平）。

换句话说，有限边界不可能包含高概率参数的真实值。我们把这种不可能性称为B型。尽管这两种不可能性相互关联，但在现有文献中，这两种类型的不可能性往往是相互关联的。本文的第一个贡献是连接关于不可能推理的文献，并研究A型和B型不可能之间的关系。本简介末尾的图1总结了文献以及本文中得出的新关系。据我们所知，不可能类型A可以追溯到20世纪50年代。在一篇经典论文中，Bahadurand Savage（1956）在人口平均数的情况下展示了这两种类型的不可能性。任何将零均值与非零均值分布区分开来的测试都受到大小的限制；总体平均值的任何a.s.有界置信区间的错误概率都等于1。Bahadurand Savage（1956）采用总变化（TV）度量来测量任意两个分布之间的距离。我们将这种距离的概念称为强距离。他们表明，具有一定均值的分布的零集相对于具有所有可能均值的分布集中的TV度量是稠密的。这种不可能性通常是由于所有可能模型类别中的模型丰富而产生的。如果我们将类限制为仅一个模型，则不可能发生，这与逐点推理相同。对更大类别的模型进行统一推断很重要，因为研究人员通常不知道手头模型的所有方面。例如，工具可能很弱，如果我们错误地认为它们总是很强，那么点式推理的结论就会产生误导。事实上，不可能类型A与TV度量下所有可能模型集中零集凸包的密度密切相关。

Kraft（1955）针对任何两组分布的测试问题，对Bahadurand Savage（1956）的理论进行了重要的推广。Kraft定理5给出了最小功率严格大于其大小的测试存在的必要和充分条件。当且仅当零集和备选集的凸包之间的最小TV距离远离零时，才存在这种测试。Kraft将该定理归于Le Cam，他的定理的类似版本出现在Ingster和Suslina（2003）的Eorem 2.1中。Romano（2004）证明，在所有可能的模型集合中，零集密集于TV度量是不可能的有效条件。我们推导出了Kraft定理5的推论，该定理指出，在所有可能模型的集合中，零集的凸包是稠密的，而TV度量是不可能类型a的一个必要且有效的条件。零集稠密意味着零集的凸包是稠密的。我们的推论将关于不可能类型A的文献与TV度量联系起来。计量经济学文献的一个不同分支关注给定兴趣参数（如平均值或回归斜率）的不可能B类密度集。在人口平均数的情况下，Bahadur和Savage（1956）通过证明以下事实得出了不可能类型B。对于任何均值m，均值等于m的分布集在TV度量的所有似然模型集中是稠密的。这比Gleser和Hwang（1987）提出的不可能类型的有效条件更强。Gleser和Hwang（1987）考虑了欧几里德空间中由参数索引的模型类。

只要存在一个分布P，它们就得到不可能类型B*这样，对于每个感兴趣的参数值，P*与TV度量的相关参数值的分布近似相等。与不可能类型A一样，如果Gleser和Hwang（1987）的条件适用于约束分布空间，则不可能类型B也适用，这是一个较弱的有效条件。Donoho（1988）还为满足TV度量中稠密图条件的分布函数的相关参数提供了B类不可能性。这种函数的一个例子是概率密度函数（PDF）的导数。虽然不可能获得a.s.有界密度集，但Donoho（1988）表明，在某些情况下，可以建立有效的单侧下限密度区间。类似地，Low（1997）证明了非参数函数的线性泛函上置信区间长度的适应收益是不可能的。随着可能模型类别的增加，Low在置信区间预期长度上的下限逐渐增加至一致。Dufour（1997）将Gleser和Hwang（1987）的工作推广到一般度量空间中由参数表示的模型类。Dufour（1997）还指出，不可能类型B意味着从a.s.有界置信集构建的测试无法控制大小。与所有作者不同的是，Gleser和Hwang（1987）将其分析局限于具有相同sigma有限测度的参数密度函数的分布。如果两个分布的密度函数在数据中大致相同，则无法区分这两个分布。在其设置中，密度函数中的逐点近似与TV度量中的近似相同。然而，密度函数的逐点逼近仍然比无分布收敛性强。

见命题2.29和推论2.30，范德法特（2000）。到目前为止，Dufour（1997）提到的距离概念比TV度量弱得多，TV度量是弱收敛或分布收敛背后的距离概念。只要存在一个分布P，他就得到了B型可能性*这样，对于感兴趣的参数的每个值，都存在一系列分布，其中感兴趣的参数的值在分布中收敛到P*. 较弱的距离概念限制了对边界概率为零的置信集的分析*. 已知的L'evy-Prokhorov（LP）度量体度量弱收敛。我们把这种距离的概念称为弱距离。我们证明了杜福尔的不可能类型B在对流分布空间后也成立。当分布在LP度量和TV度量中不可区分时，我们重新讨论了不可能类型A。我们发现，不可能类型A适用于替代分布下A.s.连续的所有测试。一个有效的条件是，在LP度量下的所有可能模型集中，全集的凸包都是稠密的。一方面，LPmetric不会为每个测试函数生成不可能类型A。另一方面，A类。s、 连续测试包括实证研究中使用的绝大多数测试。TV度量中的收敛总是意味着LP度量中的收敛。反之则不然，除非在更严格的设置中。

例如，如果分布中的收敛意味着概率密度函数（PDF）的一致收敛，那么Scheffe定理意味着TV度量中的收敛（Van der Vaart（2000）的推论2.30）。本文的第二个贡献是注意到距离的一个较弱的概念，如theLP度量，为不可能推理问题带来了进一步的见解。首先，用弱距离证明模型的收敛性通常比用强距离证明模型的收敛性更容易。在依赖不连续性的一类重要经济学模型中，应用类似于Portmanteau定理的论点，可以立即得到不可能推理的LP版本。其次，LP度量的使用帮助研究人员寻找具有非平凡能力的测试。如果模型对于LP度量是不可区分的，但是对于TV度量是可区分的，那么我们表明，Ausuve测试必然是a.s.不连续的。第三，LP度量可以是一种明智的距离选择，用于研究对小模型偏差具有鲁棒性的假设检验。例如，考虑连续分布的空集与支持有理数的离散分布的备选集。可以通过LP度量中的连续分布序列来近似任何此类离散分布。因此，不可能用a.s.连续测试来有力地测试这些集合。另一方面，如果观测值取合理值，则null和alternative之间的TV距离为正值，则会导致一个完美的测试拒绝null。稳健性使我们不禁要问，观察有理数是否确实是反对零假设的证据，或者仅仅是四舍五入或测量误差的问题。

同样的问题也可能出现在导出的形式或结构计量经济模型中，即使是在误判程度很小的情况下。根据手头的问题，我们可能希望寻找将每个Hhypothesis wrt的闭包与LP度量分离的测试。本文的第三个贡献是指出基于时间序列不连续性和宏观经济计量模型的微观经济计量模型中的不可能推理。许多微观经济分析通过依赖变量分布中的自然不连续性来确定感兴趣的参数。这就是回归不连续设计（RDD）的情况，RDD是经济学中非常流行的一种识别策略。在RDD中，在年龄或考试分数等变量的临界点处，个人分配到项目中的情况会不连续地发生变化，如Hahn et al.（2001）和Imbens and Lemieux（2008）。例如，Schmieder等人（2012年）研究了失业保险持续时间随年龄增长而增加的个人。Jacob和Lefgren（2004）分析了学生参加暑期学校的影响，这种影响会不连续地改变wrt考试成绩。假设所有其他特征在课程结束时变化平稳，那么暑期学校对未来表现的影响可以通过课程结束时平均表现的不连续变化来体现。确定的一个基本假设是，在控制了暑期学校后，成绩会随着考试成绩的变化而平稳变化。具有连续效应的模型很好地近似于具有不连续效应的模型。Kamat（2018）使用TV指标表明，RDD中当前的测试实践支持不可能性类型A。我们使用LP指标重新审视了他的结果，并说明不可能性类型B也适用于RDD。蒙特卡罗实验表明，Calonico et al。

（2014年），其规模可能高于预期的显著水平，甚至低于合理的模型限制。我们所依赖的数据生成过程与Lee（2008）的实例一致。此外，模拟结果表明，即使在人工控制尺寸后，Wald检验的威力也很小。条件平均函数的斜率限制不能纠正典型Wald检验的有限样本失效。在其他应用中，研究人员假设在给定的点上，个体未观察到的特征会发生不连续的变化。这就是集群的概念，在经济学中被广泛利用。由于激励机制的不连续变化或变量的自然限制，会出现束聚现象。例如，正如Saez（2010）所指出的，报告收入的分布可能在所得税率变化点显示出非零概率；或者，每天平均吸烟量的分布在零吸烟时具有非零质量。我们表明，对于a.s.连续测试，测试标量变量是否存在插入的问题是a型不可能的，但对于非连续测试，则不可能。Caetano（2015）使用了有聚束的变量条件分布，并提出了无工具变量的非均质性检验。关键的见解是，给定治疗变量的结果变量的分布集中构成内生性的证据。例如，考虑确定吸烟对出生体重影响的问题。一个重要的假设是，在控制所有其他因素的情况下，出生体重随吸烟而平稳变化。在此假设下，聚束相当于观察到的平均出生体重在零吸烟时不连续。外生性检验寻找这种不连续性作为内生性的证据。