计量经济学中的不可能推理：理论与应用

这与测试无条件分位数的问题形成了对比，无条件分位数不支持不可能的推断。参见Lehmann和D\'Abrera（2006），Tibshirani和Wasserman（1988），以及Coudin和Dufour（2009）。备注8。在模糊RDD情况下，处理效果等于Xi=c时e【Yi | Xi】的不连续性除以Xi=c时e【Di | Xi】的不连续性。推论3适用于这两个条件均值函数，在模糊RDD情况下也会导致不可能的推理。Feir等人（2016）研究了模糊RDD中的弱识别，并提出了一种稳健的测试程序。与Kamat（2018）和本文相比，他们弱识别的来源来自于Xi=c时E【Di | Xi】中的小不连续性。目前在RDD应用研究中使用的最常见的推理程序依赖于瓦尔德检验，该检验在数据中是a.s.连续的，并产生有限预期长度的置信区间。有关最常用的推理程序，请参见Imbens和Kalyanaraman（2012）以及Calonico等人（2014）。推论3表明，不可能控制这些测试的规模和这些置信区间的覆盖率。我们的论文并不是第一篇在RDD案例中显示不可能推理的论文。Kamat（2018）证明，具有不连续性的模型与TVmetric中没有不连续性的模型相似。他应用了Romano（2004）的测试不可能性，并发现测试受大小的限制。利用图3的图形直观性，我们提供了一个简单的samefacts证明，用弱距离代替TV度量。此外，我们还补充道，Wald测试产生的置信区间为零。值得强调的是，统计学家Low（1997年）和Cai and Low（2004年）关于非参数函数的线性泛函上的密度区间不可能存在适应性增益的工作。

这些作者在一类模型P上采用正确覆盖率的置信区间，并推导出给定模型P下任何置信区间的预期长度的下界∈ P、 随着样本量的增加，这些边界收缩到零的速率并不依赖于P。换言之，任何置信区间的预期长度为P∈ P收缩到零的速度快于下限必须对P具有不正确的覆盖率。Armstrong和Koles\'ar（2018）得出了对P具有正确覆盖率的任何置信集的预期长度的下限。随着P变得更普遍，下限增加到不一致，这是我们不可能的类型B。从积极的方面来看，如果我们限制模型P的类别，这两种类型的不可能性就会消失。如果我们假设G中的函数具有绝对斜率，则用于证明推论3的近似是失败的，该斜率由截断两边的有限常数C限定。Kamat（2018）表明，如果g（x）的前三个导数以及条件矩在P上一致有界，则Wald Tests渐近地具有正确的大小。Armstrong和Koles\'ar（2018）推导出了覆盖计量经济学中使用的最光滑或形状假设的凸函数类g的最小-最大最优长度置信区间。在RDD的情况下，他们考虑函数g（x），使得pth阶泰勒近似残差以Cxpon为界，Cxpon为截函数的任一侧。综上所述，应用研究者应记住，阈值不连续性值的测试和置信集的有效性在很大程度上取决于限制强迫变量X的平均结果变化。例如，考虑Jacob和Leffren（2004）对芝加哥暑期学校项目的分析。

强制变量X是一个标准化的阅读分数，决定了该项目的资格，Y是一个标准化的数学考试分数或项目结束后的阅读分数。看看他们的图6和图7，似乎可以合理地假设给定X的Y的条件平均值的斜率小于1。换句话说，今天的阅读成绩提高1分，明天的平均成绩提高不到1分。限制模型P的类别并不是在RDD中构造有效测试的唯一方法。解决该问题的另一种方法是考虑与推论3不同的空集Pdi，其中重点是阈值处的跳跃不连续性。一个例子是无效假设，即一个人的结果只受他所接受的治疗的影响，而不受治疗对相邻个体的影响。在暑期学校申请中，暑期上课的学生人数远远少于学年。参加暑期项目的学生之间可能会有更多的互动，从而导致治疗的溢出效应。一位希望检验无溢出的研究人员提出了Yi和Yj条件对X的依赖性的零假设。在一致有界矩条件下，Shahand Peters（2019）提出了对这种零假设的检验，这种零假设控制了大样本的大小并具有非平凡的力量。另一个对不可能检验免疫的无效假设的例子是，治疗效果的缺失相当于一个平滑的条件平均函数。我们可以定义零假设，即g是Lipschitz连续且具有常数C，以及替代假设，即g是方程式（4.2）中的任何其他函数。当治疗变量是强制变量X的函数，且该函数在已知切面处发生变化时，就会出现类似的设置。

这是Card等人（2015）（CLPW15）研究的奥地利失业福利案例。对于以前收入X低于临界值c的未就业个人，失业福利会随着收入的增长而增长；否则，如果他们以前的收入超过c，他们只会从收入中获得固定收益。CLPW15发现，对于福利固定在福利金右边的人，失业持续时间不取决于过去的收入（见图3）。道德风险会导致失业持续时间延长，随着福利的增加，收入越高，失业持续时间越长。因此，研究者可以指定平滑条件平均的无效假设来检验是否存在道德风险。拒绝可能是因为坡度的突然变化或阈值处的跳跃不连续性，这两种情况都表明求职行为发生了变化。然而，请注意，在CLPW15研究的所谓回归扭结设计（RKD）中，Lipschitz g的零假设不同于完全假设。RKDnull指出，g的一阶导数在阈值处是连续的，该零支持测试不可能性。RKD最近在经济学中越来越受欢迎。除CLPW15外，见Dong（2016）、Nielsen et al.（2010）和Simonsen et al.（2016）。该设置与RDD案例中的设置相同，只是兴趣的因果影响是阈值条件平均结果斜率的变化。一阶导数的连续性xE【Yi（1）| Xi=x】和阈值x=c处的xE【Yi（0）| Xi=x】保证了平均效应的确定。感兴趣的参数m=u（P）是Zi=（Xi，Yi）分布的函数：u（P）=xE[易（1）- Yi（0）| Xi=x]=limx↓cxE[易| Xi=x]- 林克斯↑cxE【Yi | Xi=x】。

（4.3）Zi的所有可能分布族的定义方式与方程式（4.2）略有不同：P={P：（Xi，Yi）~ Pg级∈ G s.t。xE【Yi | Xi=x】=g（x）}。（4.4）u的弱识别源于这样一个事实，即在x=c处具有不连续一阶导数的任何条件平均函数E【Yi | Xi=x】都很好地近似于一系列连续可微的条件平均函数。利用这一观点可以很容易地验证假设1。推论4。假设1满足P0，mm级∈ R、 定理2和3适用于RKD。即，（i）扭结不连续m值的a.s.连续试验φm（Z）的功率受尺寸限制；（ii）扭结不连续m值和有限预期长度的置信度集的置信度为零。推论4的证明遵循推论3的证明。只需使用P和u（P）的新定义，并构建序列PkwithxEPk[易| Xi=x]=gk（x）。4.2束流存在性检验第二个例子将定理2应用于检验标量随机变量束流存在性的问题。当X的分布在已知点X表现出非零概率，但在X的邻域内是连续的时，就会发生聚束。在许多实证研究中，单变量分布中的聚束是人们感兴趣的对象。例如，Saez（2010）和Kleven和Waseem（2013）依赖于税级边界上“报告收入”的聚集，以确定报告收入与税率的弹性；Goncalvesand Mello（2018年）在“交通罚单收费速度”上使用聚束来区分宽大和不宽大的警察，并识别种族歧视；RDD分析中的一个标准做法是检查强制变量的分布是否在切割处有聚束，这将被视为反对设计的证据。假设X是一个标量随机变量。

在没有聚束的情况下，假设Xis的CDF持续不同。聚束测试相当于测试X在X处是否具有正概率质量。让Pbe用连续不同的CDF来测试X的分布集。该集合是所有混合连续离散分布，其中一个质量点位于x，但其他情况下连续可微分CDF。备选方案下的任何分布Q在LP度量中由零下的分布序列pk很好地近似。因此，安雅。s、 连续测试的功率受大小限制。推论5。假设1在测试是否存在聚束的问题上得到了满足。因此，在受尺寸限制的PHA功率下，a.s.连续的任何试验φ（Z）。这个示例有一个有趣的特性，上一节的RDD和RKDexamples没有共享。在本例中，无法在近似于Q的整数下找到序列PK∈ Pusing电视指标。事件X=X在null下的概率为零，但在备选方案下的概率为正。因此，dT V（P，Q）>0本节中不需要假设CDF是连续可微的。我们之所以采用这种假设，是因为典型的非参数密度估计器假设密度是连续的。无论CDF是连续可区分的，还是仅仅连续的，本节的测试都是不可能的。对于每个P∈ P、 Q∈ P.定理1表明存在一个最大功率大于大小的测试，但我们的定理2说，该测试在P下不能是a.s.连续的。使用LP度量，而不是TV度量，导致我们搜索在P下不连续的测试。对于具有n iid观测值Xi的样本，测试φ（X，…，Xn）=InPni=1I{Xi=x}>0在P下不连续。

此测试的大小等于零，功率等于1- （1）- δ） n，其中δ=P[Xi=x]。4.3基于聚束的外生性检验第三个例子来自Caetano（2015），他使用聚束在给定X的Y条件分布中的思想来构建一个不需要工具变量的外生性检验。它适用于回归模型，其中未观察到的因素的分布被假定为不连续的wrt解释变量。有趣的是，在控制协变量W后，标量解释变量X对结果变量Y的影响。例如，假设我们在控制了母亲观察到的特征W后，对每天平均吸烟量X对出生体重Y的影响感兴趣。在（X，W）的条件下，当我们将不吸烟的母亲与吸烟很少的母亲进行比较时，如果零吸烟的母亲的未观察到的特征U的分布发生了剧烈的变化，那么可以说，在零吸烟的情况下，母亲的未观察到的特征U的分布是聚集的。如果出现聚集现象，那么变量X是内生的，因为我们无法将吸烟对出生体重的影响与未观察到的特征对出生体重的影响分开。确定Y的人口模型写为Y=h（X，W）+U，其中U总结了影响Y的未观察到的混杂因素。我们无法推断U上的聚束，除非h在（X，W）上是连续的。U wrt X的聚束是X atX=0的局部内生性的证据。0处的聚束意味着E[U | X=0，W]的不连续性-E[U | X=X，W]为X↓ h的连续性使聚束等效于E的不连续性[Y | X=0，W=W]- E[Y | X=X，W=W]asx↓ 每w.Caetano（2015）建议测试0w limx↓0E[Y | X=0，W=W]- E[Y | X=X，W=W]=0（4.5），作为测试X=0时X的局部外生性的方法。

我们认为h在X上可能有很高的斜率，甚至在X上是不连续的，这使得外源性不稳定。观测数据Z=（Z，…，Zn），Zi=（Xi，Wi，Yi）为iid，概率为P。（Xi，Wi）的支撑表示为X×W。假设（X，W）上的Y分布是连续的。X的分布在X=0时具有非零概率，但在其他情况下是连续的。假定δ>0，使得[0，δ） 十、 设G表示所有函数的空间G:X×W→ 有界且在{x \\{0}}×W上连续可微的R。x=0处的不连续大小可以取R中的任何值。所有可能分布的族表示为asP={P:Zi~ Pg级∈ G s.t.EP【Yi | Xi=x，Wi=w】=G（x，w）}。（4.6）在X的局部外生性下，函数τP（w）=EP[Yi | Xi=0，Wi=w]- 林克斯↓0EP[Yi | Xi=x，Wi=w]必须等于0w∈ W、 在实践中，对τP（W）与W的聚合进行推断是很方便的∈ 而不是在整个函数τP（W）上。聚合的示例包括|τP（W）|的平均值、τP（W）平均值的平方根或|τP（W）|对W的上确界∈ W、 为了简洁起见，我们选择第二个选项。对于分配P∈ P、 定义u（P）=EP公司τP（W）1/2。局部外生性对应于u（P）=0与u（P）6=0的测试。参数u（P）在模型P类中是弱识别的。与RDD情况一样，任何在x=0处不连续的条件平均函数E[Yi | Xi=x，Wi=w]都可以很好地近似于连续条件平均函数序列E[Yi | Xi=x，Wi=w]。假设1使用与RDD案例中相同的参数进行验证。推论6。假设1满足P0，mm级∈ R、 定理2和3适用于局部外生性检验的情况。即，（i）a.s。

聚合连续性m值的连续测试φm（Z）的功率受大小限制；（ii）aggregatediscontinuity m值和有限预期长度的置信集的置信度为零。Caetano（2015）提出的推理程序依赖于非参数局部多项式估计方法。与RDD案例一样，这些程序产生的测试在数据和确定预期长度的置信区间中是a.s.连续的。推论6意味着缺乏规模控制和零置信水平。4.4时间序列模型第四个例子说明了针对LP指标的稳健假设检验，它对宏观经济学家具有实际意义。宏观计量经济学通常使用线性时间序列过程。Wold表示定理证明了这一点，它断言每个协方差平稳过程xt都可以写成MA过程加上一些确定性项：xt=B（L）εt，其中L是滞后算子，B（L）=Pqi=0bili，ε是一个不相关的误差序列。需要注意的是，q阶数必须太大，才能对许多应用程序有用。ARMA模型SA（L）xt=B（L）εt很好地捕捉到了具有有限滞后顺序的MAP过程的特征，其中A（L）和B（L）的阶数很小，其中A（L）=Ppi=0aili。具有有限阶（p，q）的平稳ARMA（p，q）模型集的闭包不一定只包含平稳模型。最简单的例子发生在A（l）=1时-al和B（l）=1。当| a |<1时，过程是平稳的，但当a=1时，过程是非平稳的。这一观察结果导致了ARIMA模型，该模型能够更好地捕捉时间序列的持续性。从20世纪90年代开始，应用研究人员开始意识到ARIMA模型本身有局限性。

这导致了其他随机过程的发展，包括错误持续时间模型、马尔可夫切换模型、阈值模型、结构突变和分数积分过程等。这是一部庞大的文献，其中包括汉密尔顿（1989）、帕克（1999）和白和佩伦（1998）的论文，仅举几个例子。许多作者指出，这些不同的模型扩展可能彼此距离不太远。例如，Perron（1989）表明，具有漂移的综合过程和具有破碎趋势的平稳模型很容易混淆；Parke（1999）指出，误差持续时间模型封装了分数积分序列；Granger和Hyung（1999）以及Diebold和Inoue（2001）发现，带中断的线性过程可能被误解为长记忆模型。在这些论文中，以及在大多数相关计量经济学文献中，重点是斯托克斯过程的自方差。我们在第3节中对稳健假设检验的讨论建议我们考虑ARMAProcess的闭包，以区分这些模型。例如，假设一个过程是协方差平稳的，而不是一个错误持续时间模型或复合泊松模型。具有非平凡能力的测试的存在要求我们寻找这些进程集之间的TV距离。然而，在TV距离内近似这些过程的能力通常基于非常严格的假设。例如，有关复合泊松过程的TV近似，请参见Barbour和Utev（1999）。如果我们专注于LP度量，那么搜索协方差平稳与误差持续时间或复合泊松的测试问题就会变得容易得多。