计量经济学中的不可能推理：理论与应用

为了解决这个问题，我们依赖Bickel和B¨uhlmann（1996），他们的工作在计量经济学文献中基本上被忽视。他们用TV和Mallows度量（也称为Wasserstein度量）来描述AR和MA过程的闭合。TV指标强于Mallows指标，而inturn指标强于LP指标。事实上，Mallows度量下的收敛意味着弱收敛和二阶矩收敛；参见Bickel和Freedman（1981）和Bickel和B¨uhlmann（1996）。因此，随机过程的闭包wrt-LP度量大于闭包wrt-Mallows度量。结果表明，错误持续时间和复合泊松模型在LP度量的闭包中。换言之，LP度量中的鲁棒空集wrt包含替代集，这些集之间的最小TV距离为零。因此，所有针对鲁棒空值的测试的幂都不大于大小。鉴于有限阶ARMA过程的封闭性非常丰富，我们可能想知道哪些假设是可测试的。Bahadur和Savage（1956）以及Romano（2004）指出，即使在iid的情况下，如果没有进一步的力矩约束，测试人口平均数也是毫无希望的。我们能试着测试分位数吗？Peskir（2000）和Shorack and Wellner（2009）为时间依赖下经验过程的一致收敛提供了充分条件。量化投资的自然选择是风险价值（VaR），这在金融文献中常用。建立VaR假设可测试的经验过程类别是很有意思的。我们将此示例留给将来的工作。5模拟在本节中，我们提供蒙特卡罗模拟来说明在RDD环境下进行测试的不可能性。我们发现，在完全假设下，Wald检验无法统一控制尺寸。

我们使用了基于经验示例的数据生成过程（DGP）。即使对于与数据一致的DGP，也会出现拉科夫大小控制。此外，模拟还表明，在人工控制尺寸后，Wald检验的功效很小。为简洁起见，我们将重点放在RDD案例上，我们预计RKD和外源性测试案例也会有类似的结果。我们的DGP基于Lee（2008）的在职数据。李在美国众议院研究在职优势。平均而言，一个政党的候选人几乎没有赢得选举的地区，与该政党的候选人几乎没有输掉选举的地区相当。强制变量X是民主党的得票率。目标参数是民主党人在时间t（在职）赢得选举对民主党人在时间t+1赢得选举的概率的影响。其他几位计量经济学家也将Lee的数据用于模拟研究，例如Imbens和Kalyanaraman（2012）、Calonico等人（2014）以及Armstrong和Koles\'ar（2018）。我们使用蒙特卡罗DGPof Imbens和Kalyanaraman（2012）以及Calonico等人（2014），如方程式（5.1）所述。Y型=0.48+1.27X+7.18X+20.21X+21.54X+7.33X+U如果X∈ (-0.99，0）0.52+0.84倍- 3倍+7.99倍-9.01X+3.56X+U如果X∈ [0，0.99]（5.1），其中X分布为β（2，4），U为零均值高斯分布，标准偏差为0.1295，且X与U无关。图2描述了方程（5.1）的条件平均函数。方程式（5.1）中的DGP属于Armstrong和Koles\'ar（2018）在RDD应用中研究的函数类。第658页上的函数集FRDP，p（C）包含方程（5.1），其中p=2，常数C=7.2。图2：基于Lee（2008）数据的条件平均函数注：方程（5.1）的条件平均函数。

强制变量X是民主党在时间t内的得票率。如果民主党在时间t+1内获胜，结果变量Y等于1，否则等于零。我们的模拟研究使用由两个参数控制的方程（5.1）的变化：τ∈ R和M∈ R+。Y型=0.48+τ∧（4MX/τ）+1.27X+7.18X+20.21X+21.54X+7.33X+U如果X∈ (-0.99，0）0.48+τ∧（4MX/τ）+0.84X- 3倍+7.99倍-9.01X+3.56X+U如果X∈ [0，0.99）（5.2），其中∧（·）是logistic CDF函数。方程（5.1）和（5.2）的条件平均函数在截面积的任一侧都是不同的。第一个在X=0时不连续，大小为0.04，而第二个在X=0时不连续。对于τ=0.04，方程（5.2）将方程（5.1）近似为M→ ∞. 参数M是τ∧（4MX/τ）wrt X在X=0时的导数。当斜率M变大时，方程（5.2）的连续条件平均函数近似于尺寸为τ的不连续函数。图3说明了这种近似，以及第4.1节中推论3的证明。例如，当限制操纵选票份额以赢得选举时，会出现一个类似于方程（5.2）的模型，该模型的M值较高。RDD文献中广泛研究了forcingvariable的操纵。例如，见McCrary（2008）和Gerard等人（2016）。假设以X为条件赢得选举的平均因果效应对于获胜率较小的地区很小，但在其他地区则很大。在没有操纵的情况下，E[Y | X]是连续的，并且在切面右侧非常平滑。低X地区的政党有操纵选举的动机，研究者观察到被操纵的胜利边缘X，而不是X。

假设操纵发生的概率取决于xin持续增加，但急剧增加到切割的右侧。在这种情况下，研究人员观察到一个传统的平均函数，该函数在切面处连续，但在切面右侧急剧增加。在实践中，人们可能仅仅因为操纵而错误地拒绝零效应的零点，图3：近似一个不连续的条件平均函数（τ=0.04）（a）M=0（b）M=0.5（c）M=2（c）M=8注：不连续的条件平均函数e[Y | X]（实线）由一系列连续的条件平均函数（虚线）近似。对于τ=0.04和M，实线是模型5.1的E[Y | X]，虚线是模型5.2的E[Y | X]∈ {0，0.5，2，8}。该图表明，模型5.2近似于DGP basedon Lee（2008），因为X=0的斜率变大。并不是因为实际的因果关系。我们在a部分中提供了该DGP的具体示例。附录中的6。感兴趣的参数是m，X=0时跳跃不连续的大小。零假设m=0，这是方程（5.2）中带τ的模型集∈ R和M∈ R+。交替假设为m 6=0，这是一组τ6=0且m=∞. 第4.1节表明，备选方案中的任何模型在LP度量中都可以通过空值下的模型很好地近似。a.s.连续测试的功率小于或等于大小。蒙特卡罗实验模拟了一个iid样本的10000次绘制，共有500次观测。实验中模型5.2的（τ，M）值范围与Lee\'sDGP的震级一致。图2中条件平均图的最大斜率为1.97，weset M∈ {0，2，…，10}。Lee的DGP的m值为0.04，我们在{0，0.01，0.04，0.08}中改变τ。我们进行了尺寸和功率分析。

在尺寸分析中，我们模拟了每个（τ，M）-模型下Wald检验的拒绝概率。m和标准误差的估计值由Calonico等人（2014）的稳健偏差校正方法获得，并使用Statpackage rdrobust实现。对于每个模型（τ，M），测试的临界值来自模型（τ，0）下统计的模拟分布。这确保了在null（M=0）下，平滑模型中测试的精确大小。表1中Wald试验的标称尺寸为5%，模拟拒收概率表1：零尺寸下的拒收概率5%τM=0 M=2 M=4 M=6 M=8 M=10.01 0.0500 0.0540 0.0557 0.0592 0.0585 0.0580.02 0.0500 0.0665 0.0678 0.0649 0.0694 0.0685.03 0.0500 0.0910 0.0942 0.0938 0.0941 0.1016.04 0.0500 0.1005 0.1067 0.1071 0.1121 0.1139.05 0.0500 0.1114 0.1264 0.1334 0.1464 0.1434.06 0.0500 0.1292 0.1632 0.1680 0.18190.1819.07 0.0500 0.1258 0.1617 0.1832 0.1906 0.2026.08 0.0500 0.1320 0.1888 0.2142 0.2266 0.2427注：表格显示了模型5.2中（τ，M）各种选择下Wald试验的模拟拒绝概率。测试的临界值因行而异，但在列之间是恒定的。对于每个（τ，M）-模型，测试的临界值来自模型（τ，0）下统计的模拟分布。Wald检验的M和标准误差估计值由Calonico等人（2014）的稳健偏差校正方法获得，并使用STATA软件包“rdrobust”实现。随τ和M增加。对于从方程（5.1）中的模型观察到的最大斜率M=2，测试的大小在5.4%和13.2%之间变化，这取决于在空值下选择的模型。

M的真实值未知，坡度M=10上更保守的上限会使测试的大小失真达24%。在功率分析中，我们研究了M=∞ 和τ∈{0，0.01，…，0.08}。这些模型属于备选方案，因为当m=∞. Foreach（τ，∞)-模型，我们希望测试在最不利的空模型下具有正确的大小。表1表明，空值下最不利的模型是斜率最大的模型。图3显示，零模型可以近似任何备选方案（τ，∞)-建模任意好。如果我们将X=0处的斜率限制为最大M，则对于备选值（τ，∞)-模型为（τ，M）-模型。评估a（τ，∞)模型，检验的临界值来自（τ，M）-模型下统计数据的模拟分布，用于（τ，M）的各种选择。这样，在所有最不利（τ，m）模型的可能性下，当m=0时，测试具有正确的大小。表2：备选方案下的拒收概率-尺寸5%τM=0 M=2 M=4 M=6 M=8 M=10.01 0.0610 0.0508 0.0504 0.0501 0.0504 0.0500.02 0.0763 0.0527 0.0524 0.0505 5 0.0513 0.0501.03 0.1020 0 0.0574 0.0532 0.0525 0.0526 0.0527.04 0.1204 0.0646 0.0571 0.0556 0.0536 0.0524 0.05 0.1583 0.0770 0.0670 18 0.0597 0.0573 0.0544.06 0.2013 0.0899 0.0682 0.0638 0.0605 0.0569.07 0.2192 0.1023 0.07320.0677 0.0642 0.0590.08 0.2781 0.1179 0.0839 0.0707 0.0654 0.0631注：表中的条目显示了模型5.2下Wald试验的模拟拒收概率，其中τ和M=∞, 因此，不连续的尺寸为m=τ。测试的临界值因行和列而异。对于每个（τ，M）-条目，临界值来自于零（τ，M）-模型下统计的模拟分布。

Wald检验的m和标准误差估计值由Calonico et al.（2014）的稳健偏差校正方法获得，并使用STATA软件包“rdrobust”实现。表2中试验的威力随着不连续性τ的大小而增加，但在零位条件下，随着最不利模型的斜率M而减小。直观地说，M越高，harderit就越能区分（τ，M）-模型和（τ，∞)-模型对于τ=0.04和M=2的经验相关值，我们看到测试的功效为6.5%，略高于其大小。空值下模型斜率上更保守的上界本质上使幂相等。附录中的A.9节包含标称水平1%和10%的这些表格的版本，以及使用的模拟临界值。6结论当对计量经济模型中的参数进行推断时，一些作者提供了检验具有微不足道的功效的条件（不可能类型a）。其他人则检查信任区域的错误概率是否等于1（不可能类型B）。这些负面结果背后的动机是，模型中的兴趣参数可能几乎是不确定的。不可能推理依赖于模型与距离的某些概念不可区分。一些作者使用总变化（TV）度量来区分模型，而其他人则依赖于L'evy-Prokhorov（LP）度量，这是一个较弱的距离概念。在TVmetric中区分模型的能力是存在具有非平凡幂的测试的必要和有效条件。根据较弱的距离概念进行的不可能推理通常更容易证明，它适用于广泛使用的几乎可以肯定的连续测试类，并且对于稳健的假设测试很有用。不可能类型A比类型B强。

Dufour（1997）关注的模型是，基于有界置信区域的测试无法控制大小，但它们仍然具有非平凡的能力。当辅助变量可能任意弱时，采用联立方程模型。Moreira（2002、2003）和Kleibergen（2005）提出了在B型不可能的模型中具有正确尺寸的测试。此外，当识别能力强时，这些测试具有良好的能力，在通常的渐近条件下有效。它们的威力并不是微不足道的，正是因为备选方案下的每个模型都不是由空值下的模型来近似的。LP与TV指标的选择将我们的工作与Peter J.Huberon稳健统计的工作联系起来。这使我们看到LP指标下模型偏离的结束。特别是，稳健假设检验要求在LP度量下，零集和备选集的闭合之间存在非零TV距离。例如，不可能找到一个稳健的测试来有力区分协方差平稳模型与误差持续时间和复合泊松模型，因为前者的闭包包含后者。这个结论非常丰富，我们想知道什么样的假设是可测试的。无法测试总体平均值，因此一种可能性可能是风险值（VaR）等分位数。Peskir（2000）和Shorack and Wellner（2009）为依赖下的经验过程的收敛提供了充分的条件。在这些条件的基础上建立能够进行分位数测试的过程类别，这将是一项有趣的未来工作。7致谢我们感谢蒂姆·阿姆斯特朗、莱安德罗·戈尔诺和匿名裁判提供的有益意见和建议。Bertanha感谢圣母岛和CORE UcLouvain的支持。Moreira感谢CNPq和FAPERJ的研究支持。

本研究部分由巴西高级财政委员会（CAPES）财务代码001协调会资助。ReferencesAngrist、Joshua和Victor Lavy（1999），“使用Maimonides规则估计班级规模对学业成绩的影响”，《经济学季刊》，第114卷，第2期，第533-575页。Armstrong、Timothy和Michal Koles\'ar（2018）“一类回归模型中的最优推断”，《计量经济学》，第86卷，第2期，第655-683页。Bahadur、Raghu和Leonard Savage（1956）“某些非参数统计过程的不存在”，《数理统计年鉴》，第27卷，第4期，第1115-1122页。Bai、Jushan和Pierre Perron（1998）“估计和测试具有多重结构变化的线性模型”，《计量经济学》，第66卷，第1期，第47-78页。Barbour、Andrew和Sergey Utev（1999）“总变差中的复合泊松近似”，随机过程及其应用，第82卷，第1期，第89-125页。Marinho Bertanha（2019）“具有多阈值的回归不连续设计”，《经济计量学杂志》，即将出版。Bertanha、Marinho和Guido Imbens（2019）“模糊回归不连续设计的外部有效性”，《商业和经济统计杂志》，即将出版。Bickel、Peter和Peter B¨uhlmann（1996）“什么是线性过程？”《国家科学院院刊》，第93卷，第22号，第12128-12131页。Bickel、Peter和David Freedman（1981）“Bootstrap的一些渐近理论”，《统计年鉴》，第9卷，第6期，第1196-1217页。帕特里克·比林斯利（2008）《概率与度量：约翰·威利父子》，纽约。Black，Sandra（1999）“更好的学校重要吗？家长对基础教育的评估”，《经济学季刊》，第114卷，第2期，第577-599页。卡罗莱纳州卡埃塔诺（2015年），《计量经济学》，第83卷，第1期，“集群模型中无工具变量的外生性检验”。

4，第1581-1600页。Cai、Tony和Mark Low（2004）“非参数置信区间的适应理论”，《统计年鉴》，第32卷，第5期，第1805-1840页。Calonico、Sebastian、Matias Cattaneo和Rocio Titiunik（2014）“回归不连续设计的稳健非参数置信区间”，《计量经济学》，第82卷，第6期，2295-2326页。Canay、Ivan、Andres Santos和Azeem Shaikh（2013）“关于内生性非参数模型中识别的可测试性”，《计量经济学》，第81卷，第6期，第2535-2559页。Card、David、David Lee、Zuan Pei和Andrea Weber（2015年），《计量经济学》，第83卷，第6期，第2453-2483页。Coudin、Elise和Jean-Marie Dufour（2009）“异方差和未知形式非线性依赖下线性回归中的有限样本分布自由推断”，《计量经济学杂志》，第12卷，S19-S49页。Diebold、Francis和Atsushi Inoue（2001）“长期记忆和制度转换”，《经济计量学杂志》，第105卷，第1期，第131-159页。Dong，Yingying（2016）“跳跃或扭结？回归概率跳跃和扭结设计用于治疗效果评估”，工作论文，加利福尼亚大学欧文分校。Dong、Yingying和Arthur Lewbel（2015），“确定回归不连续模型中改变政策阈值的影响”，《经济学与统计评论》，第97卷，第5期，第1081-1092页。Donoho，David（1988）“关于密度泛函的单边推断”，《统计年鉴》，第16卷，第4期，第1390-1420页。理查德·达德利（1976）“概率和度量”，演讲笔记系列第45号，奥胡斯大学MatematiskInstitut。Dufour，Jean-Marie（1997）“计量经济学中的一些不可能定理及其在结构和动态模型中的应用”，《计量经济学》，第65卷，第6期，pp。