计量经济学中的不可能推理：理论与应用

1365–1387年。Feir、Donna、Thomas Lemieux和Vadim Marmer（2016）“模糊回归不连续设计中的弱识别”，《商业与经济统计杂志》，第34卷，第2期，第185-196页。Gerard、Fran,cois、Miikka Rokkanen和Christoph Rothe（2016）“使用操纵运行变量的回归不连续性设计中的处理效果界限”，NBER工作文件22892。Gibbs、Alison和Francis Su（2002）“关于选择和界定概率指标”，《国际统计评论》，第70卷，第3期，第419-435页。Gleser、Leon和Junn Hwang（1987），“变量和相关模型误差中100（1-α）%有限预期直径置信集的不存在”，《统计年鉴》，第15卷，第4期，第1351-1362页。Goncalves、Felipe和Steven Mello（2018）“几个坏苹果？：警务中的种族偏见”，纽约犯罪实验室工作论文。Granger、Clive和Namwon Hyung（1999）“偶尔的结构断裂和长记忆”，讨论论文99-14，加利福尼亚大学圣地亚哥分校。Hahn、Jinyong、Petra Todd和Wilbert Van der Klaauw（2001）“回归不连续设计治疗效果的识别和估计”，《计量经济学》，第69卷，第1期，第201-209页。Hamilton，James（1989）“非平稳时间序列和商业周期经济分析的新方法”，《计量经济学》，第57卷，第2期，第357-384页。Huber，Peter（1964）“位置参数的稳健估计”，《数理统计年鉴》，第35卷，第1期，第73-101页。（1965）“概率比检验的稳健版本”，《数理统计年鉴》，第36卷，第6期，第1753-1758页。Huber、Peter和Elvezio Ronchetti（2009）《稳健统计：约翰·威利父子公司》，新泽西州霍博肯。Imbens、Guido和Karthik Kalyanaraman（2012）“回归不连续性估计器的最佳带宽选择”，《经济研究评论》，第79卷，第3期，pp。

933–959。Imbens、Guido和Thomas Lemieux（2008）“回归不连续设计：实践指南”，《计量经济学杂志》，第142卷，第2期，第615-635页。Inster、Yuri和Irina Suslina（2003）《高斯模型下的非参数拟合优度检验》，第169卷：Springer Science&Business Media，纽约。Jacob，Brian和Lars Lefgren（2004），“补救教育和学生成绩：回归不连续性分析”，《经济学和统计学评论》，第86卷，第1期，第226-244页。Kamat，Vishal（2018）“回归不连续设计中的非参数推断”，计量经济学理论，第34卷，第3期，第694-703页。Kleibergen，Frank（2005年），“在不假设已识别的情况下测试GMM中的参数”，《计量经济学》，第73卷，第4期，第1103-1123页。Kleven、Henrik和Mazhar Waseem（2013年），“利用缺口揭示优化摩擦和结构弹性：来自巴基斯坦的理论和证据”，《经济学季刊》，第128卷，第2期，第669-723页。Kraft，Charles（1955）“统计程序一致性和统一一致性的一些条件”，载于Neyman，Jerzy，Lucien LeCam和Henry Scheffe eds.加利福尼亚大学统计出版物，第2（6）卷，伯克利和洛杉矶：加利福尼亚大学出版社，第125-142页。Lee，David（2008）“美国众议院选举中非随机选择的随机实验”，《计量经济学杂志》，第142卷，第2期，第675-697页。Lehmann、Erich和Howard D\'Abrera（2006）《非参数：Springer Verlag New York》。Lehmann、Erich和Joseph Romano（2005）检验统计假设：Springer Verlag NewYork。Low，Mark（1997）“非参数置信区间”，统计年鉴，第25卷，第6期，第2547-2554页。McCrary，Justin（2008）“回归间断设计中运行变量的操作：密度测试”，《计量经济学杂志》，第142卷，第2期，pp。

698–714。Moreira，Marcelo（2002）在加州大学伯克利分校联立方程模型博士论文中以正确的大小进行测试。（2003）“结构模型的条件似然比检验”，《计量经济学》，第71卷，第4期，第1027-1048页。Nielsen、Helena Skyt、Torben Sorensen和Christopher Taber（2010）“评估助学金对大学入学的影响：来自政府补助政策改革的证据”，《美国经济杂志：经济政策》，第2卷，第2期，第185-215页。威廉·帕克（1999）“什么是分数积分？”《经济学与统计评论》，第81卷，第4期，第632-638页。Pierre Perron（1989）“大崩盘、油价冲击和单位根假说”，《计量经济学》，第57卷，第6期，第1361-1401页。Peskir，Goran（2000）“从统一大数定律到统一遍历定理”，课堂讲稿系列66号，数学系。奥胡斯大学。Porter，Jack（2003）《回归不连续模型中的估计》，未出版手稿，威斯康星大学麦迪逊分校。Romano，Joseph（2004）“关于非参数检验、t检验的统一行为和相关问题”，《斯堪的纳维亚统计杂志》，第31卷，第4期，第567-584页。沃尔特·鲁丁（1976）《数学分析原理：麦格劳·希尔，纽约》。艾曼纽尔（2010）Saez，“纳税人会纠结在一起吗？”《美国经济杂志：经济政策》，第2卷，第3期，第180-212页。Schmieder、Johannes、Till von Wachter和Stefan Bender（2012）“延长失业保险对商业周期的影响：20年回归间断估计的证据”，《经济学季刊》，第127卷，第2期，pp。

701–752。Shah、Rajen和Jonas Peters（2019）“条件独立性测试的硬度和广义协方差度量”，工作文件arXiv:1804.07203。Shorack、Galen和Jon Wellner（2009）《经验过程与统计应用》，第59卷：费城工业和应用数学学会（SIAM）。Simonsen、Marianne、Lars Skipper和Niels Skipper（2016）“处方药需求的价格敏感性：利用回归扭结设计”，《应用计量经济学杂志》，第31卷，第2期，第320-337页。Tibshirani、Robert和Larry Wasserman（1988）“敏感参数”，《加拿大统计杂志》，第6卷，第2期，第185-192页。Van der Vaart，Aad（2000）《渐近统计：剑桥大学出版社》，剑桥英国。附录A。1推论的证明1在开始证明之前，我们先介绍一些符号。P的密度∈ P wrtσ-有限度量u是P。所有分布的密度集inP表示为P。同样，零密度集和替代密度集是pand P，它们的并集等于P。定义co（P）为任意子集P的凸包 p以类似于方程式（2.1）的方式。两个分布P，Q之间的总变化（TV）度量∈ 密度为P，q的P∈ p定义为V（p，q）=Z | p- q | du。（A.1）（A）和（b）的等价性证明分为三部分。第1部分：（a）<=> （a） 其中（a）：q∈ p{pk}k co（p）使得dT V（pk，q）→ 0（a）：q∈ p{pk}k co（p）和{εk}k↓ 0，使得dT V（pk，q）<εkkPart 1，证明，（a）=> （a） ：修复q。

对于εk=dT V（pk，q）→ 0，存在单调子序列εkj=dT V（pkj，q）↓ 创建新序列epj=pkjand eεj=εkj/2，以便dT V（epj，q）<eεj。第1部分，证明，（a）<= （a） ：简单明了。第2部分：（a）<=> （b） 其中（a）：q∈ p{pk}k co（p）和{εk}k↓ 0，使得dT V（pk，q）<εkk（b）：q∈ p{εk}k↓ 0，以便φZφq du<εk+供应∈pZφp dukPart 2，证明，（a）=> （b） ：Fix q，（a’）表示存在序列{pk}k co（p）和{εk}k↓ 0，使得dT V（pk，q）<εkk、 修正k。使用定理1和{p}={q}。（a） 暗示φRφq du<εk+供应∈pRφp du。对于收敛到零的序列εk中的每一个k，给定任意q，这是正确的。第2部分，证明，（a）<= （b） ：Fix q，getεk。Fix k。使用定理1和{p}={q}。（b） 表示存在pk∈ co（p），使得dtv（pk，q）<εk。每k重复一次，得到序列{pk}k co（p）使得dt V（pk，q）<εkk、 第3部分：（b）<=> （b） 其中（b）：q∈ p{εk}k↓ 0，以便φZφq du<εk+供应∈pZφp duk（b）：φ和q∈ p、 Zφq du≤ 支持∈pZφp du第3部分，证明（b）=> （b） ：Fix q，getεk。Fixφ。Rφq du<εk+supp∈pRφp du。在两侧取限制值，Rφq du≤ 支持∈pRφp du。对于每个q和每个φ都是这样。第3部分，证明（b）<= （b） ：简单，因为对于任意φ，q和{εk}k↓ 0Rφq du≤ 支持∈pRφp du表示rφq du<εk+supp∈pRφp du。A、 2定理2的证明定理2的证明与Romano（2004）对定理1的证明遵循相同的路线，但我们的假设1是根据LP度量和P的凸包来陈述的∈ P、 存在一系列分布{Pk}∞k=1 co（P）使PKD→ Q、 分布的收敛性等价于EPk[g]→ 公式[g]，对于Q下不连续点集概率为零的每个有界实值函数g（定理25.8，Billingsley（2008））。特别是，对于任意φ，即a.s，g=φ时也是如此。

Q下连续。取任意序列εn→ 0，并从序列{Pk}ksuch中选取一个子序列{Pkn}nf- εn≤ 公式φ- EPknφ≤ εn.（A.2）因此，公式φ≤ EPknφ+εn≤ 支持∈co（P）EPφ+εn.（A.3）给定εn→ 0，因此，对于Q∈ P、 公式φ≤ 支持∈co（P）EPφ。（A.4）因此，supQ∈PEQφ≤ 支持∈co（P）EPφ。（A.5）很明显∈co（P）EPφ≥ 支持∈PEPφ。这仍然需要证明这些是平等的。假设支持∈co（P）EPφ>supP∈PEPφ。选择足够小的ε>0，以支持∈co（P）EPφ-ε>支持∈PEPφ。存在Pε∈ co（P）这样支持∈co（P）EPφ≥ EPεφ>supP∈co（P）EPφ- ε>支持∈PEPφ。（A.6）根据定义，Pε=PNi=1αIpin∈ N、 Pi∈ Pi、 αi∈ [0，1]i、 和Pni=1αi=1。那么，EPεφ=PNi=1αiEPiφ≤ 支持∈PEPφ，矛盾。因此，支持∈co（P）EPφ=供应∈PEPφ和SUPQ∈PEQφ≤ 支持∈PEPφ。（A.7）A、 3定理3的证明该证明是Dufour（1997）和Gleser and Hwang（1987）的证明的组合。第（2.6）部分：固定m∈ u（P）。定义φm=I{m 6∈ C（Z）}，注意∈P（m）EPφm=支持∈co（P（m））EPφm（见定理2的证明）。因此，1- α≤ infP公司∈P（m）P【m】∈ C（Z）]=infP∈co（P（m））P[m∈ C（Z）]。因此P∈ co（P（m）），P[u（P）∈ C（Z）]≥ 1.- α。根据假设2，co（P（m））中存在{Pk}，使得Pkd→ P*. 然后，1- α≤ Pk[u（Pk）∈ C（Z）]=峰值[米∈ C（Z）]→ P*[米∈ C（Z）]（A.8），其中收敛遵循Portmanteau定理，因为P*({m∈ C（Z）}）=0（Billingsley（2008）的定理29.1）。这证明了（2.6）。第（2.7）部分：选择序列mn∈ u（P），使得Mn是无界的。假设不丧失一般性↑ ∞. 我们有这个1- α≤ P*[mn∈ C（Z）]≤ P*[mn≤ U[C（Z）]]。（A.9）取限值为n→ ∞,1.- α≤ P*[U[C（Z）]=∞] （A.10）≤ P*【U【C（Z）】- L[C（Z）]=∞] = P*[D[C（Z）]=∞] . （A.11）第（2.8）部分：假设2给出了一个序列{Pk}kin co（P），该序列在分布上收敛于P*. 根据假设，P*[{D[C（Z）]=∞]}] = 所以Portmanteau定理给出了Pk[D[C（Z）]=∞]] →P*[D[C（Z）]=∞]] ≥ 1.-α。

存在一个序列δk↓ 0，使得Pk[D[C（Z）]=∞]] ≥ 1.-α-δk.Fixε>0。集合Bε（P*) ∩ co（P）包含上述序列中的许多PK。对于这些Pks，1- α- δk≤ Pk[D[C（Z）]=∞]] （A.12）≤ 支持∈Bε（P*)∩co（P）P[D[C（Z）]=∞]] （A.13）=支持∈Bε（P*)∩PP[D[C（Z）]=∞]] （A.14）最后一个等式后面是上文（2.6）证明中的相同论点。以极限值为k→ ∞ 给出（2.8）。A、 4置信区间覆盖率-引理A.1引理A.1。设C（Z）按式（2.9）构造。然后，infP∈PP[u（P）∈ C（Z）]=1- 卸荷点法∈u（P）α（m）。（A.15）引理证明A.1。假设SUPM∈u（P）供应∈P0，mP（φm（Z）=1）=α。（A.16）现在，选择ε>0。然后，存在mε，使得α- ε/2≤ 支持∈P0，mεP（φmε（Z）=1）≤ α。（A.17）也存在Pε∈ P0，mε，使得α- ε≤ Pε（φmε（Z）=1）≤ α。（A.18）重新排列上述表达式，我们得到1- α+ε≥ Pε（u（Pε）∈ C（Z））≥ 1.- α。（A.19）因此，我们发现∈PP[u（P）∈ C（Z）]=1- α、 （A.20）正如我们想证明的那样。A、 5推论3Fix m的证明∈ R、 选择任意Q∈ P1，m，设m=u（Q）6=m。定义g（x）=等式【Yi | Xi=x】。构造函数序列gk:R→ R、 k=1，2。如下所示：gk（x）=g（x）+（m- m）∧k（x- c）- I{x≥ c}（A.21）其中∧（·）是物流分布的累积分布函数（CDF）。函数gk在X{c}上连续可微，因此gk∈ Gk、 和limx↓cgk（x）-林克斯↑cgk（x）=m。此外，作为k→ ∞, gk（x）→ g（x）每x 6=c。定义pk为（Xi，Yi）的分布- g（Xi）+gk（Xi））当（Xi，Yi）~ Q、 因此u（Pk）=m和Pk∈ P0，mk、 还有待证明Pkd→ Q、 或等效地，表明（Xi，Yi- g（Xi）+gk（Xi））d→ （Xi，Yi）（A.22）作为k→ ∞ 其中（Xi，易）~ Q、 注意（Xi，Yi-g（Xi）+gk（Xi））=（Xi，Yi）+（0，gk（Xi）-g（Xi）），因此必须显示gk（Xi）- g（Xi）p→ 0作为k→ ∞.定义Ak={c- k-1<Xi<c+k-1} ，并设Ack为Ak的补码。

固定ε>0。Q[| gk（Xi）- g（Xi）|>ε]（A.23）=Q[| gk（Xi）- g（Xi）|>ε| Ak]Q[Ak]（A.24）+Q[| gk（Xi）- g（Xi）|>ε| Ack]Q[Ack]。（A.25）部分（A.24）消失为k→ ∞ 根据概率测度的连续性，因为Ak↓ {c} 假设Q[{c}]=0。对于第（A.25）部分，请注意| gk（x）- g（x）|≤ |m级-m |∧(-k） 对于任何x∈ AckCause∧k（x- c）在x上严格增加，并且在x=c左右对称，所以| gk（x）- g（x）|在x=c时达到最大值- k-1和x=c+k-因此，（A.25）≤ 我|m级- m |∧(-k） >εQ[确认]→ 0（A.26），因为∧(-k）→ 0作为k→ ∞.因此，假设1满足每m∈ R、 定理2适用，推论2适用于u（P）=R。A、 6具有操纵的RDD模型示例在本节中，我们提供了一个具有操纵的DGP示例，该示例产生了一个类似于蒙特卡罗实验中等式（5.2）的模型。输掉选举的潜在结果被归一化为零（Yi（0）=0），赢得选举的潜在结果为Yi（1）。假设在紧张的选举中获胜的预期潜在收益很小，但在其他情况下很大；也就是说，让E[Yi（1）- Yi（0）| Xi=x]=E[Yi（1）| Xi=x]=x，其中Xi是给定政党在第一区的胜利边缘。假设Xi的分布是均匀的[-1，1]。每个地区都是从给定分布中抽取的iid（Yi（1），Xi，εi），其中εidenotes districti在可能操纵的世界中影响选举结果的潜力。在一个没有操纵的世界里，研究者观察到（Yi，Di，Xi），其中Di=I{Xi≥ 0}是胜利指标，Yi=DiYi（1）+（1- Di）Yi（0）=DiYi（1）是结果。因此e[Yi | Xi=x]=Xi{x≥ 0}。

切向效应没有间断性，因果效应为零，DGP处于切向效应为零的无效假设下（图4（a））。图4：有操纵的RDD示例（a）无操纵的条件平均数（b）有操纵的条件平均数注：图（a）中没有操纵，研究人员观察了（Yi，Xi）的样本。实线表示观察结果的条件平均值，给出胜利边缘E【Yi | Xi】。胜利情况下潜在结果的条件平均值E【Yi（1）| Xi】为虚线，失败情况下的潜在结果标准化为零Yi（0）=0。在图（b）中，存在操纵，研究人员观察到一个样本（▄Yi，▄Xi）。实线为E[| Yi | | Xi]，虚线为E[Yi | Xi]。操纵增加了cuto ff处conditionalmean函数的斜率。在一个充满操纵的世界里，如果这样做的预期潜在收益是积极的，那么第一区的特定政党决定影响选举。换言之，如果不受操纵的胜利率XI导致选举失败，那么赢得选举的预期潜在收益E[Yi（1）- 易（0）| Xi]是绝对积极的，然后党决定操纵。因此，如果Xi<0，并且胜利边缘从Xitoεi>0变化，则会发生操纵。尽管该党尽可能少地操纵选票以赢得选举，但它并没有完全控制自己的选票份额。假设εi=5χ（3），即五次具有三个自由度的卡方分布。在零处计算的pdf fε等于零，但它高度倾斜到零的右侧。设▄Xibe操纵胜利边缘定义为▄Xi=I{Xi<0}εI+I{Xi≥ 0}Xi。研究者观察（▄Yi，▄Di，▄Xi），其中▄Yi=▄DiYi（1）+（1-Di）Yi（0）=▄DiYi（1），且▄Di=I{▄Xi≥ 0}是胜利指示器。

操纵下的条件平均函数是由【】Yi |▄Xi=x】=I{x给出的≥ 0}E[Yi（1）|Xi=x]=I{x≥ 0}EhYi（1）{εi=x，Xi<0}或{Xi=x，Xi≥ 0}i=i{x≥ 0}nθ（x）E[Yi（1）|εi=x，Xi<0]+（1- θ（x））E[Yi（1）| Xi=x，Xi≥ 0]o=I{x≥ 0}nθ（x）E[Yi（1）| Xi<0]+（1- θ（x））E[Yi（1）| Xi=x]o=I{x≥ 0}nθ（x）（1/3）+（1- θ（x））xo，其中权重θ（x）=fε（x）P（Xi<0）fε（x）P（Xi<0）+fX（x）I{x≥ 0}=fε（x）0.5fε（x）0.5+0.5I{x≥ 0}是θ（x）∈ [0，1]，θ（0）=0，θ（x）在x中是连续的，并且在x=0附近是正的和高度倾斜的。条件平均函数E【~ Yi ~ ~ Xi=x】在截止效应处急剧增加（图4（b）），因为因果效应低和高的地区操纵其截止效应的XitoXi=ε。切割处没有间断，DGP仍处于零影响的零假设下。然而，操纵使得在临界点很难区分零效应和正效应。A、 7推论5Fix Q的证明∈ P带CDF FQ（x）。CDF FQ（x）在x=x时有一个大小δ>0的跳跃不连续性。称FQat x 6=x的导数为FQat x 6=x，它是x的一个连续函数，每x 6=x。R上fqf的积分等于1- δ。fQat x、fQ（x+）和fQ（x）的侧限-), 可能会有所不同。选择序列εk↓ 0、构造一个连续的“帽状”函数k（x）：[x-εk；x+εk]→ R使得：（i）gk（x-εk）=fQ（x-εk）；（ii）gk（x+εk）=fQ（x+εk）；（iii）gk（x）对于x具有恒定的正斜率≤ x、 x的常数和负斜率≥ x；（iv）gk（x）≥ fQ（x）；和（v）R（gk（x）- fQ（x））dx=δ。对于足够小的εk，总是可以构造这样的函数。定义fPk（x）=fQ（x）+I{x- εk≤ x个≤ x+εk}（gk（x）- fQ（x））。这是一个连续的PDF函数，让它定义分布Pk。然后CDF FPK收敛到FQas k→ ∞ 在FQ的每个连续性点，以便Pkd→ QA、 8推论6Fix m的证明∈ R